Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Reaalarvud". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
täisarv, naturaalarv, ratsionaalarvud, täisarvud, naturaalarvu, ratsionaalarvude, ratsionaalarvudeks, kümnendmurd, irratsionaalarvud, täisarvudeks, lõpmatu, reaalarvud, korrutamisel, seotus, enos, itcollege, arvuhulgad, action, 10klass, velskerNaturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga N. Naturaalarvude hulga saame esitada kujul: N = {1;2;3;...;n-1;n;n+1;...} . 0 1 2 3 4 Naturaalarvude hulga omadusi. · Naturaalarvude hulk N on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurim arvu. · Naturaalarvude hulk N on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. (Kui kaks naturaalarvu liita või korrutada on tulemuseks alati naturaalarv.) · Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise või jagamise suhtes. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks, ülejäänuid paarituteks arvudeks. Ühest suuremat naturaalarvu , mis jagub vaid ühe ja iseendaga nimetatakse algarvuks, kõiki ülejäänud ühest suuremaid arve kordarvudeks. Algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 jne. (Hulk on lõpmatu.) Arvud 0 ja 1 ei ole algarvud ega kordarvud.
Arvuhulgad Arvuhulgad Naturaalarvud N 0, 1, 2, 3, ... , n , ... Negatiivsed täisarvud Positiivsed murrud -4, -100, ... 1/2, 7/9, 18/33, ... Täisarvud Z Negatiivsed murrud -3/4, -17/9, ... Ratsionaalarvud Q Irratsionaalarvud 2, , Reaalarvud R Imaginaararvud - 1, - 5, Kompleksarvud C 2 Naturaalarvud N = {0, 1, 2, ..., n, ...} Naturaalarvude jada on lõpmatu (igale naturaalarvule järgneb veel naturaalarve).
2. On hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. 3. On hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Ratsionaalarvud Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus a Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n ( ) jagatisena nii, et kus on täisarvude hulk, on naturaalarvude hulk (v.a. null) ja on ratsionaalarvude hulk. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Näiteks 2¾ = 11/4 = 2,7500000.... või 2,7499999... ja 0 = 0/1 = 0,00000... on ratsionaalarvud. Ratsionaalarvu vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu ning pöördarvuks ratsionaalarvu . Kõikide ratsionaalarvude hulk moodustab oma aritmeetiliste tehetega "+" ja "×" korpuse (ratsionaalarvude korpuse), mis on reaalarvude korpuse R alamkorpus ning on
REAALARVUD Joosep Andrespuk 10.A Klass Paide 2009 1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud. Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki võrrelda, selleks aga tuli nende hulkade elemente loendada. Nii tekkis naturaalarvude hulk N. Esialgu ei kuulunud null arvude hulka. Alles 7. Sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Neli põhitehet naturaalarvudega on liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine.
Matemaatika: Arvuhulgad ja
arvuhulkade omadused
Mairo Tammepõld
10ü
Arvuhulgad
● Arvuhulgad jagunevad reaalarvudeks.
● Reaalarvud on
naturaalarvud N=(1;2;3;4;...)
täisarvud Z=(...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...)
ratsionaalarvud Q=(...;-12;...;3;...;-4;...;-½;0)
irratsionaalarvud J=(...;π;...;erinevad ruutjuured)
Arvuhulgad
● Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi
mõisteid :
harilik murd - ½ (a-lugeja, b-nimetaja)
lihtmurd - (a
Julia Lissovskaja matemaatika õpetaja Tartu Kutsehariduskeskus 2010 Arvuhulgad Naturaalarvude hulk Täisarvude hulk Ratsionaalarvude hulk Reaalarvude hulk Naturaalarvude hulk Naturaalarvud on arvud 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., n-1, n, n+1,... Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega N Naturaalarvude hulga omadused Naturaalarve saab kujutada punktidena arvkiirel Naturaalarve saab järjestada 0 1 2 3 4 1. a = b; 2. a > b; 3. a < b Naturaalarvude hulk on lõpmatu
.......................................................................................... 2 Negatiivsete täisarvude hulk z ......................................................................................... 2 Täisarvude hulk Z............................................................................................................... 2 Murdarvude hulk.................................................................................................................2 Ratsionaalarvude hulk Q.....................................................................................................2 Irratsionaalarvud................................................................................................................. 3 Reaalarvud R.......................................................................................................................3 Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}. Väikseim = 0, suurim puudub. Naturaalarvude hulk on
3. Arvuhulga kinnisus tehte suhtes- Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus 4. Arvuhulga pidevus- Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev 5. Vastandarv- Naturaalarvu n vastandarvuks nimetatakse sellist arvu -n, mis rahuldab võrdust n + ( -n ) = 0. 6. Täisarvude hulk- · Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga osahulk · Z = {....-2; -1; 0; 1; 2; ......} · Jaguneb naturaalarvudeks ja negatiivseteks arvudeks a 7. b Murdarvud- Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis on jagatis täisarv, kui aga ei jagu, siis
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4
Uurimustöö sisaldab teemasid nagu: Arvu tegurid ja kordsed; Jaguvuse tunnused; Algarvud ja kordarvud; Kordarvu esitamine algtegurite korrutisena; Ajaloolised andmed; Arvude ühistegurid; Arvude ühiskordsed. Eraldi on välja toodud ka uurimustöös esinevate mõistete definitsioonid. Teemad sisaldavad mõisteid, selgitusi ja näiteülesandeid. 4 2. Uurimustöös esinevate mõistete definitsioonid Naturaalarv arvud 0, 1, 2, 3,... ; Algarv naturaalarv, millel on ainult kaks tegurit (arv 1 ja arv ise); Kordarv naturaalarv, millel on rohkem kui kaks tegurit.; Tegur (ehk jagaja) täisarv, millega jagub vaadeldav täisarv; Ristsumma numbrite summa; Jaguvus - kui ühe naturaalarvu jagamisel teisega saadakse tulemuseks naturaalarv, siis öeldakse, et esimene arv jagub teisega; Ühistegur (ehk ühisjagaja) täisarv, millega jaguvad kõik vaadeldavad täisarvud; Ühiskordne naturaalarv, mis jagub kõigi vaadeldavate naturaalarvudega;
Matemaatilise analüüsi (I) I osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus ehk moodul. Positiivseid ja negatiivseid täis- ning murdarve koos arvuga null nimetatakse ratsionaalarvudeks. Lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena esitatavaid arve nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud koos moodustavad reaalarvude hulga. x Reaalarvu absoluutväärtuseks ehk mooduliks x nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi x = x, kui x 0, x = -1, kui x < 0. x x. Kehtib seos 2. Muutuv suurus ehk muutuja, jääv suurus ehk konstant. Muutuva suuruse muutumispiirkond. Mõisted: vahemik, lõik, poollõik. Kasvav ja kahanev muutuv suurus, monotoonne suurus. Tõkestatud muutuv suurus.
Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1.
nullist. Kui lauses kasutatakse üldisuse kvantorit, siis selle lausega väidetakse midagi kõigi antud liiki objektide kohta ja seetõttu peab neid väiteid tõestama ka üldkujul. Seevastu lause ümberlükkeks piisab ainult ühest kontranäitest. Näide: Eitame lauset: ,,Kõik naturaalarvud on algarvud." 1. Antud juhul P(x) = ,,x on algarv" 2. ¬(x , x on algarv) 3. x , ¬(x on algarv) 4. x , x ei ole algarv Leidub naturaalarv, mis ei ole algarv. Näide: Eitame lauset: ,,Leidub selline reaalarv x, et x2 = 1." 1. Antud juhul P(x) = ,,x2 = 1" 2. ¬(x , x2 = 1) 3. x , ¬(x2 = 1) 4. x , x2 1 Iga reaalarvu x korral x2 1 Näide: Eitame lauset: ,,Iga reaalarvu x korral leidub reaalarv y nii, et x < y." 1. Antud juhul P(x, y) = ,,x < y" 2. ¬(x y , x < y) 3. x y , ¬(x < y) 4. x y , x y
Matemaatika eksami teooria Reaalarvud 1.1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud · Naturaalarvude hulk N (ainult positiivsed täisarvud) · Naturaalarvu n vastandarv -n defineeritakse selliselt, et n+(-n)=0 · Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q. Ratsionaalarv on arv, mis avaldub jagatisena a/b, kus a Z, b Z ja b 0. · Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud · Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv. · Arvutamisel piirdutakse ligikaudsete väärtustega e lähenditega, nt pii=3,14
Valem ise: Pn,k =* pk * qn k *Bernoulli valemi rakendamise tulemusena saadakse k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral. Kohati on kirjanduses p ja q tähistatud ka kui ,,õnnestumise" ning ,,ebaõnnestumise" tõenäosus. nt. Leida mündi 10-kordsel viskamisel kirja 4 korda esinemise tõenäosus, kus seega p = 0,5 ning q = 0,5. [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. *Kordarv on selline ühest suurem naturaalarv n, millel on ka muid positsiivseid tegureid peale 1 ning tema enda. *Algarv on selline ühest suurem naturaalarv n, mille ainsateks positiivseteks teguriteks on arvud 1 ning tema ise. Algarvud: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.... Kordarvud: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15.... *Esiteks, algarve on naturaalarvude hulgas lõpmata palju. *Algarvude jaotus kohta on teada, et neid leidub naturaalarvude hulgas suhteliselt korrapäratult
...................................................................................5 Negatiivsete täisarvude hulk z ...........................................................................................5 Täisarvude hulk Z.................................................................................................................5 Murdarvude hulk.................................................................................................................. 5 Ratsionaalarvude hulk Q...................................................................................................... 5 Irratsionaalarvud...................................................................................................................6 Reaalarvud R........................................................................................................................ 6 * Rooma numbrid..........................................................................................
Esimese ja kolmanda arvu reaalosa 4 (seega võrdsed), kuid nende arvude olemas lahend täisarvude hulgas Ä. Täisarvude hulgas ei ole lahendeid näiteks imaginaarosad (-5i ja -6i) pole võrdsed. Seega pole ka arvud omavahel võrdsed. võrrandil 2x = 3. Ratsionaalarvude hulgas  on sellel võrrandil lahend olemas. Teisel ja neljandal kompleksarvul on võrdsed nii reaalosa kui ka imaginaarosa. Seega Võrrandil x2 = 2 ei ole lahendeid ratsionaalarvude hulgas. Viimasel võrrandil on aga need arvud on omavahel võrdsed. Kas leiad veel võrdsete kompleksarvude paare ?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Täieliku järjestatud korpuse eksisteerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Täieliku järjestatud korpuse konstruktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Ratsionaalarvud järjestatud korpuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Naturaalarvud. Matemaatilise induktsiooni meetod . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Ratsionaalarvude alamkorpus . . . . . . . . . . . . .
MATEMAATILINE ANALÜÜS I § 1 REAALARVUD JA FUNKTSIOONID 1. Reaalarvu mõiste Tähistame sümboliga N kõigi naturaalarvude hulga, st N = {1, 2, 3,...} ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3,...}. p Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul q , kus p ja q on täisarvud, q 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena. Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= , 12 ...n saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil: a = , 12 ...n 00... või a = , 12 ...(n -1)99... .
..…… 35 3.20 Näited võrratuste ja võrratussüsteemide lahendamisest …………..… 35 3.21 Logaritmid ………………………………………………………..…. 41 3.22 Summa märk ………………………………………………….……. 44 3.23 Ülesanded aritmeetikast ja algebrast …………...………………..….. 46 1 1. ARVUHULGAD Positiivsed täisarvud ehk naturaalarvud tekkisid vajadusest loendada esemeid. Kõik naturaalarvud moodustavad naturaalarvude hulga ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ...} . Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. Naturaalarvude hulk muutub kinniseks lahutamise suhtes, kui teda täiendada arvude 1, 2, 3, ... vastandarvudega -1, -2, -3, ... . Negatiivsed ja positiivsed täisarvud ning arv 0 moodustavad täisarvude hulga ℤ = {±1; ± 2; ± 3; ...}
Füüsika I osa eksami kordamisküsimused TEST........................................................................................................................................... 1 DEFINITSIOONID...................................................................................................................13 VALEMID (SEADUSED)........................................................................................................20 TEST Loeng 1 · Arvutüübid: naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv, reaalarv, kompleksarv. naturaalarv loendamiseks kasutatavad arvud 0, 1, 2, 3, ... (mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja); täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud; ratsionaalarv need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n (n0) m/n. Igal ratsionaalarvul on lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Nt.
46264338327950288419716939937510..., 2 2 5, sest 5 =25, 6 =36, 29 on lähemal arvutamisel kasutada 3,14; hulga tähis I arvule 25 2 2 6, sest 6 =36, 7 =49, 40 on lähemal NB moodustavad reaalarvude hulga arvule 36 osahulga 5.Reaalarvud - ratsionaalarvud ja loe reaalarvude kohta irratsionaalarvud kokku; tähis R; Ül.1285 osahulgad: naturaalarvude hulk N, N R; tõene täisarvude hulk Z, ratsionaalarvude hulk Q, R; väär, sest on irratsionaalarv irratsionaalarvude hulk I; Q I=R Q R; tõene, sest kõik ratsionaalarvud kuuluvad ka reaalarvude hulka NB iga reaalarvu saab esitada lõpmatu kümnendmurruna 6
tingimata on vajalik ka saadud tulemuste tõlgendamine. Näiteks tekstülesande korral on alati vajalik välja kirjutada vastus. 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA Arvud ja nende hulgad Loendamisel saadud arve nimetatakse naturaalarvudeks: N = {0; 1; 2; 3; ...}. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. See tähendab, et kahe naturaalarvu liitmisel või korrutamisel on tulemuseks alati naturaalarv. Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise ja jagamise suhtes. Täiendades naturalarvude hulka vastandarvudega, saame täisarvude hulga: Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}. Täisarvude hulk kooosneb positiivtest täisarvudest, negatiivsetest täisarvudest ja arvust 0. Arvu null ei loeta positiivseks ega negatiivseks. Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Negatiivsed arvud võeti esmakordelt kasutusele Indias võla, kahju, väljamineku märkimiseks.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Kontrolltöö teemad 1. Reaalarvu absoluutväärtus ja selle omadused (enamus neist on loogiliselt tuletatavad). 2. Summa sümbol. Eksamiteemad 1. Naturaalarvud. 2. Täisarvud. 3. Ratsionaalarvud. 4. Irratsionaalarvud. 5. Reaalarvud. 6. Summa sümbol. PEATÜKK 0. TÄHISTUSED. REAALARVUD 0.1 Tähistused := definitsioon (võrdub, rõhutatult) aX element a kuulub hulka X a/X a ei kuulu hulka X XY hulk X sisaldub hulgas Y (NB! mitterange kuulumine) mujal võidakse eristada ja , meil = AB hulkade ühend A B hulkade ühisosa X Y hulgast X lahutatakse hulk Y
4 Sisukord osa 0 – SISSEJUHATUS . .................... 17 OSA 2 – arvud ..................................... 75 matemaatika meie ümber ................... 20 arvuhulgad .......................................... 78 Matemaatika kui keel ....................................21 Naturaalarvud ...............................................78 Matemaatika muutub ja areneb .....................22 Täisarvud .......................................................82 Mis on matemaatika? ....................................23 Ratsionaalarvud .............................................83 Matemaatika on mitmekülgne ..................... 24 Irratsionaalarvud ja reaalarvud ......................87 miks õppida matemaatikat? ............... 24 Kompleksarvud* .......................................... 89
valemitekujul (predikaatvalem). Predikaatmuutujate kohta tuleb alati eelnevalt täpsustada, milliseid KVANTORID ∀ ∃ väärtusi ta võib omandada ehk milline on predikaadi Kui soovime väita, et predikaat P (x) kehtib oma määramispiirkonna määramispiirkond. kõikide x-ide ( x1 x2 x3 . . . ) korral ehk: Olgux täisarv ja vaatleme ühekohalist predikaati: P ( x1 ) ∧ P ( x2 ) ∧ P ( x3 ) ∧ P ( x4 ) ∧ . . . . = 1 P(x) ≡ (x > 2) ∧ (x < 4) siis kasutame sellise väite kompaktsemaks esitamiseks üldsuse kvantorit: ∀ x = 3 saame tõese predikaatlause (predikaatvalemi):
2.2) kus 3N on kolmega (j¨ agita) jaguvate naturaalarvude hulk, st 3N = {3; 6; 9; . . .} , ning a¨ 6N on kuuega jaguvate naturaalarvude hulk, st 6N = {6; 12; 18; . . .} , on (0.2.1) t¨ uu ¨pi. aite korral lauseks A lause "n 6N" ja lauseks B vastavalt "n 3N". Seejuures on selle n¨ V¨aidet (0.2.2) tuleb lugeda "kui arv n on kuuega jaguv naturaalarv, siis arv n jagub kolmega". Tingimus "n 6N" on piisav v¨aite "n 3N" t~oesuseks. Samas tingimus "n 6N" ei ole tarvilik v¨ aite "n 3N" t~oesuseks, n¨aiteks "9 / 6N", kuid "9 3N". T¨ahistus AB (0.2.3) on l¨uhikirjapilt v¨aitele "laused A ja B on loogiliselt samav¨ a¨arsed ", st kui lause A on t~oene, siis ka B on t~oene, ja vastupidi, kui lause B on t~oene, siis on t~oene ka A. V¨aidet (0.2
kogu süsteem hulga väidete abil ära kirjeldada, ning seejärel saab väikese hulga standardsete loogikareeglite abil tuletada iga õige väite nimetatud süsteemi kohta. Erinevalt esimesest kahest on meie kolmanda näite - aritmeetika - näol tegemist lõpmatu süsteemiga: täisarve on ju lõpmatult palju. Kas lõpmatut süsteemi saab üldse kirjeldada lõpliku hulga väidete abil? Teatud piirini saab. Defineerime näiteks täisarvude hulga: · ``0 on täisarv'' · ``kui x on täisarv, siis x + 1 on täisarv'' Definitsioonis kasutasime sümboleid 0 ja + 1, millele me mingit aprioorset tähendust ei omista. Oluline on võimalus konstrueerida definitsiooni abil lõpmatu hulk objekte: {0, 0+1, 0+1+1, 0+1+1+1, ...} Aritmeetika jaoks tuleb meil defineerida täisarvude hulga järgmine fundamentaalne omadus (matemaatilise induktsiooni
F (x, y, y' ) = 0 lahend tingimusel y (x0) = y0 , kus x0 , y0 R on fikseeritud konstandid, nimetatakse algtingimustega ülesandeks e. Cauchy ülesandeks ja tingimust y (x0) = y0 ülesande algtingimuseks. Kordamisküsimused 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. · Naturaalarvud (0, 1, ,2,..,n,...) N arvude jada on lõpmatu, kaks N-i liites saame uue arvu mis on ka N. Kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. · Täisarvud Lisades N arvudele negatiivsed täisarvud saame täisarvude hulga Z (-2, -1, 0, 1, 2), -1 ja 1, -n ja n on teineteise vastandarvud. kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes, mitte aga jagamise suhtes; · Ratsionaalarvud koosnevad murdudest. R arvude omadused: tihe, ei ole pidev, kinnine kõige aritmeetiliste tehete suhtes. · Reaalarvud - Ratsionaalarve ja irratsionaalarve nimetatakse ühiselt reaalarvudeks. On
Ainekava eksamiks ,, Matemaatiline analüüs I " 2007 2008 kevadsemester 1. Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Naturaalarvud arvud, mis saadakse loendamise teel, tähistatakse: IN (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ) Täisarvud kõik naturaalarvud ja nende vastandarvud ning lisaks 0, tähistatakse Z m Ratsionaalarvud on sellised reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n jagatisena nii et n n 0
teatamist küsitakse nen-
dele vastavaid kaugusi,
aga ainult siis, kui eel-
nevalt küsitud nendele
vastav paljundusarv oli
suurem kui 1. Positiivne
kaugus loob massiivi
vastava koordinaattelje
positiivses suunas, ne- Joonis 13.
gatiivne kaugus aga negatiivses suunas.
Polaarmassiivi moodustamine käsuga 3DARRAY on samuti piisavalt sarnane tema
"kahemõõtmelisele" juhule (käsk ARRAY). Esmalt küsitakse elementide arvu pöördel, mis
peab olema ühest suurem täisarv. Järgmisena küsitakse polaarmassiivi pöördenurga suurust
viibaga
Specify the angle to fill (+=ccw, =cw) <360>:
Anda võib nii positiivse kui negatiivse arvu, kuid mitte suurema kui 360 (viimane võetakse
ka vaikimisi). Vastus viibale
Rotate arrayed objects? [Yes/No]
1. Reaalarvud Reaalarvude hulga R kirjeldamisel peab oskama välja tuua järgmist: 1) Q ⊂ R – ratsionaalarvude hulk sisaldub reaalarvude hulgas 2) Aritmeetika (tehted reaalarvudega) ja järjestus Aritmeetika. Eeldame, et hulgas R on defineeritud reaalarvude liitmine ja korrutamine järgmiste omadustega: (A1) a + b = b + a kõikide a,b € R korral (liitmise kommutatiivsus) (A2) (a + b)+ c =a +(b + c) kõikide a,b,c € R korral (liitmise assotsiatiivsus) (A3) b + 0 = b iga b € R puhul (nullelemendi olemasolu)
annaabi.ee 
