toimus ühenimeliste ühenimeliste murdude murdude liitmine liitmine ja lahutamine ja lahutamine Kuidas teisendati murde ühenimelisteks? Olgu antud 2 murdu 1 Ja 2 6:2 2 3 6:3 Tahane Väikseim Järelikult Teist Esimestmurduneid arv, murdu viia onlaiendanühisele ühiseks mis jagub nimetajale nimetajaks laiendan nii 2ga, 3ga,2 kuisobiv 3ga on 6arv 6 sest sest 32 ** 23 == 66 1 3 3 2 2 4 = = 2 6 3 6 Kuidas liideti ja lahutati ühenimelisi murde? Ühenimeliste murdude liitmisel liideti
toimus ühenimeliste ühenimeliste murdude murdude liitmine liitmine ja lahutamine ja lahutamine Kuidas teisendati murde ühenimelisteks? Olgu antud 2 murdu 1 Ja 2 6:2 2 3 6:3 Tahane Väikseim Järelikult Teist Esimestmurduneid arv, murdu viia ühisele onlaiendan ühiseks mis jagub nimetajale nimetajaks laiendan nii 2ga, 3ga,2 kuisobiv 3ga on 6arv 6 sest sest 32 ** 23 == 66 1 3 3 2 2 4 = = 2 6 3 6 Kuidas liideti ja lahutati ühenimelisi murde? Ühenimeliste murdude liitmisel liideti murdude lugejad, nimetajad jäid endiseks
4) milles a, b ja c on antud arvud ( ) ja x on tundmatu. MURDVÕRRAND JA VÕRRATUS Võrrandit, milles tundmatu asub ka murru nimetajas, nimetatakse murdvõrrandiks. Murdvõrrandi lahendamisel: 1) viime võrrandi kõik liikmed ühele poole võrdusmärki 2) viime kõik murud ühisele nimetajale 3) kasutame murru nulliga võrdumise tingimust: murd = 0 kui tema lugeja = 0 ja nimetaja ≠ 0 Murdvõrratus on võrratus, mis sisaldab muutujat murru nimetajas. JUURVÕRRAND JA VÕRRATUS Juurvõrrand on võrrand, milles muutuja esineb juuritavas. Näiteks ja on juurvõrrandid. Juurvõrrandi lahendamiseks tuleb muutujaga liikmed vabastada juurtest. Selleks astendatakse võrrandi mõlemat poolt juurijaga võrdse arvuga.
selline võrratus on samaväärne seostega f ( x) g ( x) 0 g ( x) 0 Murdvõrratuse lahendamisel saab kasutada intervallimeetodit. Vaatame seda täpsemalt näidete varal. Näide 4 2 Näide Lahendame võrratuse 1. x 1 Lahendus Kanname kõik liikmed võrratuse ühele poolele 2 1 0 x 1 ja viime ühisele nimetajale 2 x 1 0 ehk x 1 3 x 0 x 1 Näide 4 Viimasest võrratusest saame samaväärsed seosed (3 x)( x 1) 0 x 1 0 Lahendame võrratuse (3 x)( x 1) 0 Kasutame intervallimeetodit, selleks esitame kõigepealt võrratuse vasaku poole sobival kujul. (3 x)( x 1) 0 1 ( x 3)( x 1) 0 Näide 4 Vastava funktsiooni y = (x - 3)(x - 1) nullkohad on x = 3, x = 1 ning mõlemad on ühekordsed
Esita arvuhulgana. 64. Merlel on 5 kr rohkem raha kui Karlil. Kui Merle oma rahast 8 kr ära kulutaks ja Karl oma summa kahekordistaks, siis oleks neil kokku 39 kr. Leia mitu krooni raha on Merlel ja mitu Karlil. 65. Kahes kastis on kokku 154 õuna. Kui ühest kastist võtta 21 õuna ja panna need teise kasti, siis oleks mõlemas kastis ühepalju õunu. Leia mitu õuna on kummaski kastis. 66. Murru lugeja on nimetajast 1 võrra väiksem. Kui jätta selle murru lugeja samaks ja nimetajale liita 3, saadakse murd ½. Leia esialgne murd. 67. Murru nimetaja on lugejast 1 võrra suurem, Kui jätta selle murru nimetaja samaks ja lugejale liita 6, siis saadakse arv 2. Leia esialgne murd. 68. Jüril on 60 kr, mille ta kavatses kulutada kaustikute ostmiseks. Et kaustiku hind oli vahepeal tõusnud 3 kr võrra, siis sai ta oma raha eest osta ühe kaustiku kavatsetust vähem. Arvuta mitu kaustikut sai Jüri oma raha eest osta ja kui palju maksis üks kaustik. 69
mitte ei läbi intervalli. Murdvõrratus Murdvõrratusi on kõige kergem lahendada, saades aru, et kui kahe arvu korrutis on positiivne, on ka nende jagatis positiivne ning vastupidi. Tänu sellele võib jagatise asendada korrutisega ning kasutada samuti intervallmeetodit. Enne seda tuleb aga kõik liikmed viia vasakule poole ning viia ühisele nimetajale. Mitterange võrratuse puhul tuleb kindlasti juurde mainida, et ei tohi lubada argumendi väärtusi, mille korral nimetaja väärtus oleks võrdne nulliga. Näide: Kui argumendi suurima astme kordaja on negatiivne, tuleb intervalljoont alustada altpoolt! Siit saab kirjutada lahendid: x=]-1;0[
9. (tan u)´= (cos2 u)-1 u´x , (cot u)´= (- sin2 u)-1 u´x , 10. (arcsin u)´= - (arccos u)´= (1 u2) 1/2 u´x , 11. (arctan u)´ = - (arccot u)´= (1+ u2) 1 u´x . 6 L`HOSPITALI REEGEL 1. 0/0; /: lim f(x)/g(x) = lim f´(x)/g´(x); xa xa 2. 0·: fg = f / g 1 = g / f 1; 3. - : võimalusel viia funktsioonide vahe ühisele nimetajale; 4. 1, 0,... : lim f g = eA, A = lim g ln f; xa xa 7 FUNKTSIOONI GRAAFIKU KONSTRUEERIMINE Vaatleme funktsiooni y = f(x). I. Leiame tema MÄÄRAMISPIIRKONNA. II.Vastamaks küsimusele, kas funktsiooni tuleb uurida KOGU MÄÄRAMISPIIRKONNA ULATUSES, uurime, kas funktsioonil on ERIOMADUSI, st kas ta on PAARIS, PAARITU või PERIOODILINE. Eriomaduste olemasolul võib arvestada graafiku sümmeetria või kordumisega.
. a2 −1 y ( x − y) 2 x Näide 10. Lihtsustada avaldis 2 − 4 . x +y 2 x − y4 Lahendus. Lahutame teise murru nimetaja valemi a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) abil teguriteks, rakendades seda valemit kaks korda. Taandame. Viime ühisele nimetajale, koondame sarnased liiikmed. Taandame. y ( x − y) y ( x − y) 2 2 x x − 4 = 2 − = x2 + y 2 x − y4 x + y 2 ( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 ) = x − y ( x − y) x − y = ( ) x +y22
Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m = Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm A1 ( x - c2 ) ( x - cm ) + A2 ( x - c1 )( x - c3 ) ( x - cm ) + + Am ( x - c1 ) ( x - cm -1 ) ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) Selleks, et leida kordajad A1 , A2 , , Am viime murrud ühisele nimetajale. Kirjutame välja lineaarse võrrandisüsteemi, milles on m võrrandit ja m tundmatut, mida lahendades saame A1 , , Am . Kaks võimalust, kas anda x-le m erinevat väärtust või koostada iga x erineva astme (0 kuni m-1) kordajatest võrrand. Kui nimetaja tegurid on lineaarsed ja esimeses astmes, saame lahutada murru kaheks osamurruks. Näide 1: 2 x -1 A B = + , kus A ja B on konstandid ( x -1)( x - 2) x -1 x - 2
keha lõppkiirus paigalolevas süsteemis v 2 = v ' 2 +v 02 , sest liikuv süsteem jätkab paigaloleva suhtes liikumist kiirusega v 02 . Sellisel juhul saame eelmisse valemisse asendades 2m1 ( v 01 - v02 ) v 2 - v 02 = . m1 + m 2 Viies kiiruse v 02 teisele poole ja teisendades murrud ühisele nimetajale, saame pärast sarnaste liidetavate koondamist 2m1v01 + (m2 - m1 )v02 v2 = . (5.36) m1 + m2 Analoogiliselt saame näidata, et sümmeetriakaalutlustel 2m2 v02 + (m1 - m2 )v01 v1 = . (5.37) m1 + m2 Käsitleme veel mõningaid erijuhte 1
Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m = Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm A1 ( x - c2 ) ( x - cm ) + A2 ( x - c1 )( x - c3 ) ( x - cm ) + + Am ( x - c1 ) ( x - cm -1 ) ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) Selleks, et leida kordajad A1 , A2 , , Am viime murrud ühisele nimetajale. 5 Kirjutame välja lineaarse võrrandisüsteemi, milles on m võrrandit ja m tundmatut, mida lahendades saame A1 , , Am . Kaks võimalust, kas anda x-le m erinevat väärtust või koostada iga x erineva astme (0 kuni m-1) kordajatest võrrand. Kui nimetaja tegurid on lineaarsed ja esimeses astmes, saame lahutada murru kaheks osamurruks. Näide 1: 2 x -1 A B = +
Integreerime võrduse mõlemad pooled
Vastavalt Lagrange'i valemile
Kui x
x+sinx/x=1+0 =1, kui võtta nyyd tuletis siis, tuleb limx-> 1+cosx ->ei
eksisteeri. *Rakendamine: 1)määramatused 0/0, / on vaatluse all, siis
saab neid lahendada L'H reegli järgi 2) 0* määramatus, mille korral
vaatleme limx->a f(x)g(x)=?=>f(x)g(x)=f(x)/1/g(x) =g(x)/1/f(x)-> on vaja tuletada
mitmekordseid murrujooni) 3)määramatused 1 ;0 ; 0=> limx->a f(x)g(x)=eA
(A= limx->a ln f(x)g(x)= limx->ag(x)lnf(x)) 4) määramatused - => murru ühisele
nimetajale tuua
20.F-ni monotoonsus om ja ekstreemumid
F-n y=f(x) on piirkonnas D monotoonne parajasti siis, kui selles piirkonnas f-ni
muut säilitab märki y= f; f>0=f-ni väärtuste vahe f=f(x2)-f(x1), x1
8a2 8b2 = 8(a + b)(a b). Ühise nimetaja saamiseks kirjutame välja ühe nimetaja, näiteks esimese: 4(a b). Teise nimetaja 6(a + b) teguritest puuduvad esimeses arv 3 ja kaksliige (a + b) need tuleb esimese nimetaja tegureile lisada. Saame 12(a b)(a + b), milles kolmandast nimetajast 8(a + b)(a b) puuduvad veel arv 2 (8 = 2 . 2 . 2, kuid 12 = 2 . 2 . 3). Otsitav ühine nimetaja on seega 24(a + b)(a b). Nüüd määrame laiendajad ja viime murrud ühisele nimetajale. a a (6 a b a 6 a b 6a a b 6a 2 6ab ; 4a 4b 4 a b 4 a b 6 a b 24 a b a b 24 a 2 b 2 b b b 4 a b ( 4 a b 4b a b 4ab 4b 2 ;
x 2 + p1 x + q1 l1 ) ( x 2 + ps x + qs ) ls 1 Viies osamurdude summa ühisele nimetajale ja võrdsustades saadud lugeja S ( x) -ga. Saame q0 leida tundmatud kordajad A, B, C I liiki osamurru integraal A ln x - , kui k = 1 A (26.5) dx = ( x - ) 1- k (x - ) k A , kui k > 1 1- k
x 2 + p1 x + q1 l1 ) ( x 2 + ps x + qs ) ls 1 Viies osamurdude summa ühisele nimetajale ja võrdsustades saadud lugeja S ( x) -ga. Saame q0 leida tundmatud kordajad A, B, C I liiki osamurru integraal A ln x - , kui k = 1 A (26.5) dx = ( x - ) 1- k (x - ) k A , kui k > 1 1- k
- Tervise puudus ja/või puude olemasolu (pikaajalise terviseprobleemiga inimeste arv, madala sünnikaaluga imikute arv) - Hariduse, oskuste, treeningu puudus (ka koolist väljalangemine, 15-16.a. mitteõppivate arv - Geograafilise ligipääsu puudumine teenustele (kaugus teenustest, s.h. avalikest) - Eluase (mugavusteta, ülerahvastatud vm) - Halb sotsiaalne keskkond (kuritegevus, vandalism, väike osavõtt ühiskondlikust elust) Indeksi tehnika 1) Samale nimetajale viidud näitajad summeeritakse 2) Kasutatakse faktoranalüüsi Indeksi arvutamine tavaline Inglismaal (teatav alternatiiv on omavalitsuse võimekuse indeks) Indeksi moodustamise tehnika 1.Aluseks võetakse indiviid -hinnatakse teatud kaupade/teenuste/ tegevuste/olukordade hädavajalikkust elutegevuseks (määratakse kaubad, mida igaüks peaks saama endale lubada) 2. Piirkonnapõhine deprivatsiooni indeks – kasutatakse olemasolevaid näitajaid, 1) otseselt ja
i, 2 l kus i = 1, . . . , k, ja igale pol¨ unoomi Qn (x) tegurile (x +px+q) grupp liidetavaid kujul (xM i x+Ni 2 +px+q)i , kus i = 1, . . . , l. Konstantide A1 , . . . , Ak , . . . , M1 , N1 , . . . , Ml , Nl , . . . m¨a¨aramiseks minnakse valemi (5.10) paremal poolel u ¨hisele nimetajale. Kuna vastav u ¨hine nimetaja on Qn (x), peab paremal poolel saadav lugeja olema v~ordne vasaku poole lugejaga St (x). Sellest v~ordusest tuletataksegi v~orrandid tundmatute A1 , . . . , Ak , . . . , M1 , N1 , . . . , Ml , Nl , . . . m¨ a¨aramiseks. Funktsiooni (5.8) integreerimine taandub n¨ uu¨d valemis (5.10) esinevate osamurdude integreerimisele. A 3. Osamurdude integreerimine
vastab igale pol¨ unoomi Qn (x) tegurile (x - a)k grupp liidetavaid kujul (x-a) i, 2 l kus i = 1, . . . , k, ja igale pol¨ unoomi Qn (x) tegurile (x +px+q) grupp liidetavaid kujul (xM i x+Ni 2 +px+q)i , kus i = 1, . . . , l. Konstantide A1 , . . . , Ak , . . . , M1 , N1 , . . . , Ml , Nl , . . . m¨a¨aramiseks minnakse valemi (5.10) paremal poolel u ¨hisele nimetajale. Kuna vastav u ¨hine nimetaja on Qn (x), peab paremal poolel saadav lugeja olema v~ordne vasaku poole lugejaga St (x). Sellest v~ordusest tuletataksegi v~orrandid tundmatute A1 , . . . , Ak , . . . , M1 , N1 , . . . , Ml , Nl , . . . m¨a¨aramiseks. Funktsiooni (5.8) integreerimine taandub n¨ uu¨d valemis (5.10) esinevate osamurdude integreerimisele. A 3. Osamurdude integreerimine. Murru (x-a) i integreerimine on lihtne. Tabeli
xa 11 ja lim z = b2 = 0 xa Teoreemi 4.1 p~ohjal eksisteerivad niisugused l~opmatult kahanevad suuru- sed ja , et y = b1 + ja z = b2 + . Siis y b1 + b1 b1 + b1 = = + - z b2 + b2 b2 + b2 Viies kaks viimast murdu u ¨hisele nimetajale, saame y b1 b1 b2 + b2 - b1 b2 - b1 b1 b2 - b1 = + = + (1.3) z b2 b2 (b2 + ) b2 b2 (b2 + ) Viimases jagatises on lugeja b2 + (-b1 ) j¨arelduse 4.4 ja teoreemi 4.2 p~ohjal l~opmatult kahanev suurus. Nimetaja b22 + b2 avaldub konstandi b22 ja l~opma- tult kahaneva suuruse b2 summana. Teoreemi 4.1 p~ohjal on nimetaja piirv¨a¨artus b22 = 0. Jagatis
, seega Δt=2 πR ( V −V1 i sk − 1 V i +V sk ) , viime sulgudes sk 4 πR V oleva avaldise ühisele nimetajale, saame Δt= V 2i −V 2sk (3) arvestades, 2 4 π R ω sk Δt= 2 et Vsk =Rωsk 2
Kuid järgnevalt vaatleme süsteemi mõnest teisest ruumipunktist, kuid kõik muu jääb samaks. Tähistame ds-iga kaugust esialgse vaatluspunkti ja selle teise ruumipunkti vahel. Süsteemi kuuluvad kehad peaksid nihkuma just selle ds võrra: Süsteemi vaatlemisel erinevates vaatluspunktidest ei juhtu süsteemi endaga midagi, seega: millest järeldub 102 ehk milles dt viime murru ühisele nimetajale ja saame lõpuks järgmise avaldise Viimane seos näitab juba impulsi jäävuse seadust, sest see rahuldab ainult järgmist seost: See tähendab seda, et impulsi jäävuse seadus tuleneb ruumipunktide samaväärsusest. Kuid nüüd vaatleme süsteemi mõnest teisest suunast, kuid kõik muu jääb ikkagi samaks. Teeme nii, et d näitab kaugust esialgse ja uue vaatenurga vahel. Ringjoone kaare pikkuse ja kesknurga vahel on järgmine seos
Kuid järgnevalt vaatleme süsteemi mõnest teisest ruumipunktist, kuid kõik muu jääb samaks. Tähistame ds-iga kaugust esialgse vaatluspunkti ja selle teise ruumipunkti vahel. Süsteemi kuuluvad kehad peaksid nihkuma just selle ds võrra: Süsteemi vaatlemisel erinevates vaatluspunktidest ei juhtu süsteemi endaga midagi, seega: 105 millest järeldub ehk milles dt viime murru ühisele nimetajale ja saame lõpuks järgmise avaldise Viimane seos näitab juba impulsi jäävuse seadust, sest see rahuldab ainult järgmist seost: See tähendab seda, et impulsi jäävuse seadus tuleneb ruumipunktide samaväärsusest. Kuid nüüd vaatleme süsteemi mõnest teisest suunast, kuid kõik muu jääb ikkagi samaks. Teeme nii, et d näitab kaugust esialgse ja uue vaatenurga vahel. Ringjoone kaare pikkuse ja kesknurga vahel on järgmine seos
Kuid järgnevalt vaatleme süsteemi mõnest teisest ruumipunktist, kuid kõik muu jääb samaks. Tähistame ds-iga kaugust esialgse vaatluspunkti ja selle teise ruumipunkti vahel. Süsteemi kuuluvad kehad peaksid nihkuma just selle ds võrra: Süsteemi vaatlemisel erinevates vaatluspunktidest ei juhtu süsteemi endaga midagi, seega: millest järeldub 108 ehk milles dt viime murru ühisele nimetajale ja saame lõpuks järgmise avaldise Viimane seos näitab juba impulsi jäävuse seadust, sest see rahuldab ainult järgmist seost: See tähendab seda, et impulsi jäävuse seadus tuleneb ruumipunktide samaväärsusest. Kuid nüüd vaatleme süsteemi mõnest teisest suunast, kuid kõik muu jääb ikkagi samaks. Teeme nii, et dα näitab kaugust esialgse ja uue vaatenurga vahel. Ringjoone kaare pikkuse ja kesknurga vahel on järgmine seos
annaabi.ee 
