Logaritmfunktsioon
Logaritmfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni
y=logax , kus a>0 , a1 ja x>0
1) 0
TULETISED Astmeline:=n* nt. =5* Trigonomeetrilised: (=cosx = - sinx = Logaritmfunk. tuletised: (; ' Eksponentfunk tuletised: ' = *1 (e lne=1)= Tuletised : ' = ' (x)' = 1 (c)'=0 (-x)' = -1 Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletis 1.Summa tuletis (u+v)' = u' + v' Nt. + (= + 2. Vahe tuletis (u-v)' = u'-v' 3. Korrutise tuletis (u*v)' = u'*v + u*v' 4. Jagatise tuletis (
Logaritmvõrratused © T. Lepikult, 2003 Logaritmfunktsiooni monotoonsus Logaritmvõrratuses esineb otsitav muutuja logaritmitavas või logaritmi aluses. y Lahendamisel 4 y = log a x, a > 1 kasutatakse logaritmfunktsiooni monotonsuse omadust: 2 ühest suurema aluse 1 korral on 1/a 1 a 2 0 3 x logaritmfunktsioon -1 kasvav ja ühest -2 väiksema (kuid nullist y = log 1/a x, suurema) aluse korral kahanev. 0<1/a <1 Lihtsaimad logaritmvõrratused Lihtsaimad logaritmvõrratused
Valemid ja Mõisted Funktsiooni f(x) tuletis kohal x: f ( x + x) - f ( x) f ( x) = lim x 0 x Funktsiooni jagatise tuletis u u v - uv = v v2 Funktsiooni summa tuletis (u+v)'=u'+v' Funktsiooni korrutise tuletis (c*u)'=c*u' (u*v)'=c'u+cu' Astmefunktsiooni tuletis (xa)'=axa-1 (x)'=1/(2x) Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Logaritmfunktsiooni tuletised (logax)'=1/(x ln a) (lnx)'=1/x Eksponent funktsiooni tuletised (ax)'=axln a (ex)'=ex Liitfunktsioon F ( x) = f (u ) g ( x) Veel reegleid funktsioonide tuletiste kohta: x = 1 1 1 = 2 x x c = 0 Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z
6. Logaritm- ja eksponentfunktsioonid. Logaritm- ja eksponentvõrrandid ning võrratused Põhiteadmised · Arvu logaritmi mõiste ja omadused; · naturaallogaritm; · eksponent- ja logaritmfunktsioonid, nende graafikud ja omadused. Põhioskused · Avaldiste logaritmimine ja potentseerimine; · üleminek logaritmi ühelt aluselt teisele; · eksponent- ja logaritmfunktsiooni omaduste kasutamine vastavate võrrandite ja võrratuste lahendamisel; · eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · eksponent- ja logaritmfunktsioonide pöördfunktsioonide, nende määramis- ja muutumispiirkondade leidmine ning graafikute skitseerimine. Valemid · Arvu logaritm ja selle omadused ac = b c = loga b, kus a > 0, b > 0, a 1 log b a =b
17 Võrratuste süsteemi lahendite hulk: C = A B = x : x < 2 27 Vastus: 17 x - ; 2 27 Näide 2 (1) Leida funktsiooni f ( x) = log(5 x - 10) + 6 - 2 x määramispiirkond. Lahendus Funktsiooni määramispiirkonda kitsendavad kaks tingimust: 1) logaritmfunktsiooni argument peab olema positiivne: 5 x - 10 > 0; 2) ruutjuurealune avaldis ei või olla negatiivne: 6 - 2 x 0; Näide 2 (2) Saadud kaks võrratust moodustavad lineaarvõrratuste süsteemi, mille lahendihulk annabki funktsiooni määramispiirkonna: 5 x - 10 > 0, 6 - 2 x 0 Leiame esimese võrratuse lahendihulga: 5 x - 10 > 0 5 x > 10 x > 2.
Vastus ümarda ühelisteni. 6. Tassi valati kohv temeperatuuriga 90°. Kohvi jahtumist kirjeldab valem u (t ) 18 80 0,9 t , kus t on aeg minutites ja u kohvi temperatuur kraadides. Kui soe on kohv 10 minuti pärast? Mitu minutit võtab aega kohvi jahtumine 60° - ni? ARVESTUSLIK TÖÖ. Logaritm. 11.klass KITSAS 1. Skitseeri teljestikku logaritmfunktsiooni y log 2 x graafik. Leia funktsiooni määramis-, muutumis-, negatiivsus-, positiivsuspiirkond, nullkohad, ja kasvamis ning kahanemisvahemikud. Joonesta samasse teljestikku funktsiooni y 2 x graafik. Tähista mõlemad. 2. Lahenda võrrandid ja kontrolli lahendit: a. log 3 x 5 e. log 24 x log 4 x 6 0 b. log x 256 4 1
Arvutage õhurõhk 150 m ja 3000 m kõrgusel merepinnast. Vastus ümarda ühelisteni. 6. Tassi valati kohv temeperatuuriga 90°. Kohvi jahtumist kirjeldab valem u (t ) 18 80 0,9 t , kus t on aeg minutites ja u kohvi temperatuur kraadides. Kui soe on kohv 10 minuti pärast? Mitu minutit võtab aega kohvi jahtumine 60° - ni? ARVESTUSLIK TÖÖ. Logaritm. 11.klass KITSAS 1. Skitseeri teljestikku logaritmfunktsiooni y log 2 x graafik. Leia funktsiooni määramis-, muutumis-, negatiivsus-, positiivsuspiirkond, nullkohad, ja kasvamis ning kahanemisvahemikud. Joonesta samasse teljestikku funktsiooni y 2 x graafik. Tähista mõlemad. 2. Lahenda võrrandid ja kontrolli lahendit: a. log 3 x 5 e. log 24 x log 4 x 6 0 b. log x 256 4 1
jagatise ja astme 3) kirjeldab eksponentfunktsiooni, logaritm. x Logaritmimine ja sh funktsiooni y = e omadusi; potentseerimine. 4) selgitab arvu logaritmi mõistet Üleminek logaritmi ja selle omadusi; logaritmib ning potentseerib lihtsamaid avaldisi; ühelt aluselt 5) kirjeldab logaritmfunktsiooni ja teisele. selle omadusi; Logaritmfunktsioon 6) joonestab eksponent- ja , selle graafik ja logaritmfunktsiooni graafikuid omadused. ning loeb graafikult funktsioonide Eksponent- ja omadusi; logaritmvõrrand, 7) lahendab lihtsamaid eksponent-
n siis nimetatakse vastavat logaritmi naturaal- ehk loomulikuks logaritmiks ja tähistatakse ln x. Näited ln 20 = 2,9957... ln e = 1 / 2, sest e1/ 2 = e algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Logaritmi omadused 1. a log a x = x Sealhulgas e ln x = x, 10log x = x : 2. Logaritmid eksisteerivad vaid positiivsetel arvudel (logaritmfunktsiooni määramispiirkonnaks on positiivsete reaalarvude hulk). 3. log a xy = log a x + log a y x 4. log a = log a x - log a y y 5. log a x n = n log a x 7. log a 1 = 0 1 6. log a n x = log a x 8. log a a = 1 n algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Logaritmi omadused 1 9
Argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. Vaatleme ainult reaamuutuja funktsioone, st nii X kui ka Y koosnevad reaalarvudest. * jagatise nimetaja ei tohi võrduda nulliga 1 X R f (x ) = x + 3 X = ]- ;-3[ ]- 3; [ * paarisjuure argument peab olema mittenegatiivne X R f (x ) = 2x - 7 X = [3,5; [ *logaritmfunktsiooni argument peab olema positiivne X R ( f ( x ) = log x 3 + 1 ) X = ]- 1; [ 1 Funktsiooni muutumispiirkond Eeskirja kohaselt määramispiirkonna kõigi punktide teisendamisel saadud reaalarvude alamhulk on funktsiooni muutumispiirkond. Argumendi igale väärtusele vastab üks ja ainult üks funktsiooni väärtus. Funktsiooni mingi väärtus võib vastata ainult
k ! ( n−k ) ! 70)Sündmus ja selle tähistamine. Sündmus on tegevus, mille katse võimalikku tulemust ei teata ette (P) 71)Mis on tõenäosus ( sõnastus ja valem) Sündmuse tõenäosus on arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust teatud tingimustel. soodsate võimaluste arv Sündmus= kõigi võimaluste arv 72) a) Eksponentfunktsiooni graafik b) logaritmfunktsiooni graafik c) pöördfunktsiooni graafik 73) paaris –ja paaritu funktsiooni leidmise tingimus Paarisfunktsioon f(-x)=f(x) Paaritufunktsioon f(-x)=-f(x) 75) Mille suhtes on sümmeetriline a) paarisfunktsiooni (y-telje suhtes) b) paaritu funktsiooni(koordinaatide alguspunkti suhtes) c) pöördfunktsiooni (sirge y=x suhtes) graafikud
lõppkiirus v. Funktsioonid v ja h on teineteise suhtes pöördfunktsioonid. Pöördfunktsiooni näited (3) Näide. Leiame funktsiooni y = log(1 - x) pöördfunktsiooni. Lahendus Kuna funktsioonid z = 1 x ja y = log z on üksühesed funktsioonid, siis on seda ka liitfunktsioon y = log(1 - x) ja pöördfunktsioon on leitav. Funktsiooni y = log(1 - x) määramispiirkonnaks saame: 0 < 1 - x < + - < x < 1. Muutumispiirkonnaks on logaritmfunktsiooni muutumispiirkond: Y = (-; + ). Pöördfunktsiooni arvutuseeskirja saamiseks avaldame võrrandist y = log(1 - x) muutuja x: y = log(1 - x) 10 y = 1 - x x = 1- 10 y x = f -1 ( y ) = 1 - 10 y Pöördfunktsiooni määramispiirkond: Y = (-; + ). Pöördfunktsiooni muutumispiirkond: X = (-; 1). Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 a, b - antud arvud Lineaarfunktsiooni graafikuks on sirge.
selle stiimuli väärtusesse alates kõige väiksemast tajutavast suurusest S0 ehk absoluutsest lävest. Selgub, et otsitav suurus n- eristuslävede arv- on seaotud füüsilise intensiivsusega logaritmilise suhte kaudu: n = k · log (Sn / S0) , kus k on kordaja, mis näitab Weberi konstandi suurust, ja Sn ning S0- vastavalt hinnatavat ja minimaalselt tajutavat stiimuli tugevust. Fechneri seadus näitab, et tajumulje kasvab aeglasemalt, kui stiimuli väärtus. Seda kirjeldab logaritmfunktsiooni graafik. Selle seadusega näitas Fechner, et füüsiliste ja vaimsete suuruste vahel on kindel seaduspärasus, mida saab lühemalt väljendada matemaatilise valemiga. Wilhelm Maximilian Wundt (1832-1920) oli see mees, kes 1879.a sisustas Leipzigi Ülikoolis paar ruumi katseseadmetega, millest sai maailma esimene psühholoogia labor. Seal said ettevalmistuse suur hulk esimese põlvkonna psühholooge, nende seas ka Wundti lemmikõpilasi
Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. Fikseerime mingi x väärtuse ja arvutame f(x). Seejärel arvutame g[f(x)], st funktsioon g kohal f(x). Tulemusena saame esialgse x väärtuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f[g(y)] saame y väärtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f(x)] = x , f[g(y)] = y . 19. Mis on logaritmfunktsioon? Millised on logaritmfunktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafikud ning kuidas on need seotud eksponentfunktsiooni määramispiirkonna, väärtuste hulga ja graafikutega? (lk 10, 14) Funktsiooni y = a x pöördfunktsioon nimetatakse logaritmfunktsiooniks ja tähistatakse x = loga(y). Erijuhul, kui a = e, siis seda funktsiooni nimetatakse naturaallogaritmiks ja tähistatakse x = ln(y). Määramispiirkond on X = (0; +∞) ja muutumispiirkond Y = R.
kui y = cosx , siis y = -sinx. 41. 42. Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletiste valemid. 43. Konstandi valem: C'=0 44. Summa valem: (u+v)'=u'+v' 45. Korrutise valem: (uv)'=u'v+uv' u u v - uv = 46. Jagatise valem: v v2 47. 48. Liitfunktsiooni tuletise valem. dy dy du = 49. dx du dx 50. 51. Eksponentfunktsiooni ja logaritmfunktsiooni tuletis ning astmefunktsiooni tuletis mistahes reaalarvulise astendaja puhul (valemid). Funktsioonide y = tan x ja y = ln x tuletiste valemid. Logaritmiline diferentseerimine. Arkusfunktsioonide tuletiste valemid 52. ( x) = 1 53. ( x ) = x -1 54. (e x ) = e x 55. ( a x ) = a x ln a 1 (ln x) = 56. x 1 (log a x ) = 57. x ln a 58
Funktsiooni y = logax nimetatakse logaritmfunktsiooniks. Logaritm ja eksponentfunktsioon on teineteise pöördfunktsioonid. Nende funktsioonide graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes. Joonisel on kujutatud eksponentfunktsiooni y = e^x ja tema pöördfunktsiooni y = lnx graafikud. Uuri logaritmfunktsioonide omadusi nende graafikute põhjal avades faili lingil: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/logaritmid1.pdf Saime teada, et logaritmfunktsiooni korral Elve Vutt ¿ 1) määramispiirkonnaks on vahemik ¿ 0 ; ¿ ¿ 2) muutumispiirkonnaks on vahemik ¿-; ¿ ¿ 3) kui a ¿ 1 , siis positiivsuspiirkonnaks +¿=¿1 ; ¿ ja ¿ X
siis nende funktsioonide graafikud on sümmeetrilised y-telje suhtes
· Kasvav kogu määramispiirkonnas, kui a>1. Kahanev, kui 0
, mis ongi ju täpselt funktsioon loetuna negatiivses suunas. Eksponentsiaalfunktsiooni muutumispiirkonna moodustavad kõik positiivsed reaalarvud. Teisisõnu leidub iga positiivse reaalarvu jaoks , nii et . Selles võib ilmselt veenduda puhtalt graafikut vaadates – graafik on pidev, ühel pool lähe- neb nullile, teisel pool tormab lõpmatusse. Tegemist on olulise omadusega, mis võimaldab meil hiljem defineerida eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsiooni – logaritmfunktsiooni [lk 290]. 283 Eksponentsiaalfunktsiooni graafikut uurides näeme, et ühest suurema aluse korral eksponentsiaalfunktsioon kasvab ta aina kiiremini. Selgub, et asi on veelgi hullem – ka eksponentsiaalfunkt- siooni kasvamise kiirus ehk tuletis [lk 320] kasvab järjest kiiremini, ja ka tema kii-
(II) 2) Lahendades võrrandi a f x0 saame punkti M abstsissi x0 . 32 33 Pärast seda leiame puutepunkti ordinaadi y0 ja arvu a (I) või b (II) väärtuse. III 1) Määramispiirkonna leidmisel lähtume logaritmfunktsiooni definitsioonist, silmas pidades, et parameetri k väärtus (kas k 0 , või k 0 ) pole teada. 2) Lahendame võrrandi, kasutades logaritmi omadusi n log a x log a x n ja log a x log a y x y .. Saame ruutvõrrandi, mille diskriminant (D) on võrdne nulliga, sest ülesande andmetel võrrandil peab olema üks lahend. Lahendades võrrandi D 0 parameetri k suhtes, saame kaks k väärtust, millest ainult üks vastab ülesande tingimustele. Lahendused
5. Nimetage elementaarsed põhifunktsioonid! Astnef-nid, eksponentf-nid, logaritmf-nid, trigonomeetrilised f-nid, arkusf-nid 6. Mis on astmefunktsioon? Esitage astmefunktsiooni näide ja koostage selle graafik! Astmef-n on funktsioon, kus f-n on reaalarvulises astmes. 7. Mis on eksponentfunktsioon? Esitage eksponentfunktsiooni näide ja koostage selle graafik! Eksponentf-n on f-n milles sisaldub e ( ....), mis on võetud astmesse x. 8. Mis on logaritmfunktsioon? Esitage logaritmfunktsiooni näide ja koostage selle graafik! Logaritmf-n on eksponentf-ni pöördf-n. 9. Miks logaritmfunktsioon ja ja eksponentfunktsioon on koordinaatteljestiku I veerandi nurgapoolitaja suhtes sümmeetrilised? Sest nad on teineteise pöördf-nid. 10. Millega võrdub =? 11. Millega võrdub =? 12. Millega võrdub =? 13. Millega võrdub =? 14. Nimetage 2 nurgamõõtu! kraadid, radiaanid 15. Mis on radiaan? 16
4. · Üksühene funktsioon - kui argumendi x väärtusele tema määramispiirkonnas seatakse vastavusse üks kindel y väärtus. · Üksühese funktsiooni pöördunktsioon kujutis mis seab igale le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Üksühese funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni graafikud on sümeetrilised sirge suhtes. · Logaritmfunktsioon eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon , kus a on logaritmi alus. ( ja ). Logaritmfunktsiooni graafik on eksptonentfunktsiooni graafiku peegeldus sirge suhtes. · Arkusfunktsioonid trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Kuna trigonomeetrilised funktsioonid pole terves oma määramispiirkonnas üksühesed siis ei ole võimalik saada neile terves oma määramispiirkonnas üksühest pöördfunktsiooni. Pöördfunktsiooni defineerime nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. 1. ja , neist esimene iga korral
• Keerulisemad funktsioonid Ka keerulisemate funktsioonide jaoks saab tuletada valemid, mis kirjeldavad vea muutust funktsiooni rakendamisel. Kuna funktsioone on aga palju, siis tuleks ka palju uusi vale- meid. Lihtsam on ära õppida algoritm, mille abil saab leida vea iga funktsiooni jaoks. Olgu funktsiooniks y = log x, argumendi väärtuseks x = 124 ja veaks ∆x = 5. Logaritm- funktsiooni väärtus on y = log 124 = 2,09. Nüüd leian logaritmfunktsiooni väärtused x + ∆x ja x − ∆x korral. ymax = log(124 + 5) = 2,11 ymin = log(124 − 5) = 2,08 Leian, kumb on suurem: kas erinevus y ja ymax (2,11 − 2,09 = 0,02) või y ja ymin vahel (|2,08 − 2,09| = 0,01). Suurim erinevus ongi y viga: ∆y = ±0,02. y = 2,09 ± 0,02 6 Sõltumatud vead Sõltumatute vigade korral on vead tekkinud üksteisest sõltumatult, juhuslikult. Taolised vead
Taylori rea kohal a = 0. Valemite (10.8) ja (10.9) kohaselt (10.10) (vrd. näide 6.8), kus cn+1 (x) on mingi arv punktide 0 ja x vahel. Jääkliikme hindamiseks paneme tähele, et kui b > 0, siis Olgu x ∈ R suvaline ja olgu b > 0 selline arv, et |x| < b. Kasutades seost korral saame, et 10.8 - 10.9 - 6.8 - 44. Logaritmfunktsiooni arendamine astmereaks (*) Esitada näide 10.13 koos kõigi sammude põhjendustega. Vaatleme logaritmfunktsiooni f : (−1,∞) → R, f (x) := ln (1 + x) . Kui −1 < x < 1, siis geomeetrilise rea summa valemi kohaselt (ln (1 + x))′ = 1/(1 + x) = 1 − x + x2 − x3 + · · · = Seejuure rida koondub vahemikus (−1, 1) ja tema summa üheks algfunktsiooniks on astmerea summa, tähistame selle sümboliga F (x)
Pikkov lk 26 Siirde pärivool Ia sõltub siirdele rakendatud päripingest eksponentsiaalselt. Seda omadust kasutatakse eksponentfunktsiooni ja logaritmfunktsiooni realiseerivates operatsioonvõimendites. Is on siirde vastuvool (lekkevool). pn-siirdel on elektrilise ventiili omadused (ühele voolusuunale on
-1,5 Küll aga võime leida selle funktsiooni pöördfunktsiooni sel juhul, kui ahendame tema määramispiirkonna lõiguks X=[- /2; /2] sel korral on siinusfunktsiooni pöördfunktsiooniks vastav arkusfunktsioon: x= arcsin y, y[-1;1] Näide 2: Leiame funktsiooni y=log(1-x) pöördfunktsiooni. Funktsiooni y=log(1-x) määramispiirkonnaks saame: 1-x>0 <=> x<1 ehk X=(-;1). Muutumispiirkonnaks on logaritmfunktsiooni muutumispiirkond: Y=(-;+). Pöördfunktsiooni arvutuseeskirja saamiseks avaldame võrrandist y = log(1 - x) muutuja x: y =log(1-x) <=> 10y=1-x<=> x = 1-10y => x=f-1 (y) = 1-10y . Pöördfunktsiooni muutumispiirkond: Y= Y=(-;+). Pöördfunktsiooni määramispiirkond: X=(-;1). 9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. Definitsioon 1 Arv a on muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui igas etteantud
2 2 cosh x sinh x Nad on pidevad, sest aritmeetilised tehted pidevate funktsioonidega annavad tulemuseks pideva funktsiooni. 3.4.3 Logaritm- ja astmefunktsioon Logaritmfunktsioon. Olgu a > 0 ja a 6= 1. Logaritmfunktsioon y = loga x defineeritakse kui eksponentfunktsiooni x = ay pöördfunktsioon. Kuna viimase väärtuste hulgaks on intervall (0, ∞), siis see on logaritmfunktsiooni määramispiirkond. Vastavalt lausele 3.24 on juhul a > 1 eksponentfunktsioon rangelt kasvav ja juhul 0 < a < 1 rangelt kahanev, lause 3.18 kohaselt on sama omadusega ka tema pöördfunktsioon. Eksponentfunktsiooni pidevusest tuleneb logaritmfunktsiooni pidevus oma määramispiirkonnas (vrd. teoreem 3.20). y y y = loga x,
27
Näiteks log3 ' log3 27 & log3 9 ' 3 & 2 ' 1
9
Astme logaritm võrdub astendaja ja astendatava logaritmi korrutisega log a (b n) ' n loga b
Näiteks log4 (165) ' 5 log4 16 ' 5 @ 2 ' 10
Logaritmfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni
y (x) ' loga x
Omadused (vt joonis 55):
< Logaritmfunktsiooni graafik läbib punkte (1;0) ja (a;1).
< Kui a>1, siis on logaritmfunktsioon kasvav,
kui 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kontrolltöö teemad 1. Funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond ning nende leidmine. 2. Põhiliste elementaarfunktsioonide graafikud (v.a. cot(x), sec(x), csc(x) ja nende pöördfunkt- sioonid). Enamasti on need loogiliselt tuletatavad. 3. Eksponent- ja logaritmfunktsiooni omadused. Eksamiteemad 1. Funktsiooni mõiste. Funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond. 2. Paarisfunktsioon ja paaritu funktsioon. 3. Mõisted: üksühene funktsioon, pealekujutus, liitfunktsioon, pöördfunktsioon. 4. Põhilised elementaarfunktsioonid (mõiste ja graafikud) ja elementaarfunktsioonid (mõiste). 5. Jada mõiste. PEATÜKK 3. FUNKTSIOONID JA JADAD 3
annaabi.ee 
