Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Liitmisvõte ja asendusvõte". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
matemaatika, liitmisvõte, asendusvõteLineaarvõrrandisüsteemide lahendamine a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Asendusvõte 13 + 2 y = 9 x 3y 7x = 3y x = 7 3y 13 + 2 y = 9 7 27 y 13 + 2 y = 7 7 91 = 27 y - 14 y 13 y = 91 :13 y=7 3 7 x= 7 x=3 K: v1 = 13 + 2 7 = 27 p1 = 9 3 = 27 v1 = p1 v2 = 7 3 = 21 p2 = 3 7 = 21 v2 = p2 x=3 V: y=7 Liitmisvõte 3x = 2 y + 1 3 2x = 3y + 4 (-2) 9x = 6 y + 3 -4 x = -6 y - 8 5 x = -5 : 5 x = -1 3 (-1) = 2 y + 1 2 y = -4 : 2 y = -2 K: v1 = 3 ( -1) = -3 p1 = 2 ( -2) + 1 = -3 v1 = p1 v2 = 2 ( -1) = -2 p2 = 3 ( -2) + 4 = -2 v2 = p2 x = -1 V: y = -2 Graafiline lahendamine x -1 x - 2y =1 y = 2 y - x = 1 y = x +1 y = x +1 x 0 2 y 1 3 y = 0,5 x - 0,5 x 3 5 y 1 2 x = -3 y = -2 K: v1 = -3 - 2 (-2) = 1 p1 = 1 v1 = p1 v2 = -2 - (-3) = 1 p2
Abivalemid RUUTUDE VAHE: (a+b) (a-b) = a +ab-ab+b =a2-b2 2 2 (a+b) (a-b) = a2-b2 NÄIDE: 16-a 2 = 4 2 -a 2 = (4+a) (4-a) SUMMA RUUT: (a+b) = (a+b) (a+b) = a +ab+ba+b2 = a2+2ab+b2 2 2 (a+b)2 = a2+2ab+b2 NÄIDE: (7x+4y) 2 = (7x) 2 +2(7x)(4y)+(4y) 2 = 49x 2 +56xy+16y 2 VAHE RUUT: (a-b) = (a-b) (a-b) = a -ab-ba+b2 = a2-2ab+b2 2 2 (a-b)2 = a2-2ab+b2 NÄIDE: (3a-b) 2 = (3a) 2 -2(3a)b+b 2 = 9a 2 -6ab+b 2 KUUPIDE SUMMA: (a+b) (a - ab+b ) = a - a b+ab2+ba2- ab2+b3 = a3+ b3 2 2 3 2 (a+b) (a2- ab+b2) = a3+ b NÄIDE: (a+3)(a 2 -3a+9) = a 3 +3 3 = a 3 +27 KUUPIDE VAHE: (a-b) (a +ab+b ) = a +a b+ab2-
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine · Lineaarvõrrandisüsteemi üldkuju a1 x + b1 y = c1 a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 a2 x + b2 y = c2 · Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisvõtted 1. Asendusvõte 13 + 2 y = 9 x 7x = 3y 3y 7x = 3y x = 7 3 y 13 + 2 y = 9 7 27 y 13 + 2 y = 7 13 - y = -13 y = 7 7 3 7 x= =3 7 Kontroll : v1 = 13 + 2 7 = 13 + 14 = 27
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111; 24x2 + 5x 1 24x2 + 6x
4.ptk Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem 8.klass Õpitulemused Näited 1.Kahe tundmatuga lineaarvõrrand - Ül.908 normaalkuju ax+by=c, esimese tundmatuga lineaarliige ax, teise teise | 12 tundmatuga lineaarliige by ja vabaliige c; tähed a,b ja c tähistavad arve, need on laiendajad on 12;4;2;3 võrrandi kordajad; kahe tundmatuga võrrandil on samad põhiomadused, mis 48x-4(2x-5)=2(y+2)-3(2x-3y) ühe tundmatuga võrrandil 48x-8x+20=2y+4-6x+9y 48x-8x-2y+6x-9y=4-20 NB kaks kahe tundmatuga lineaarvõrrandit 46x-11y=-16 normaalkuju moodustavad lineaarvõrrandisüsteemi 2.Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi Ül.901 normaaalkuju - võrrand üldkujul ax+by=c 3x-5(3y-4)=-3(x-2)+6 kirjutatakse nii, et lineaarliikmed on 3x-15y+20=-3x+6+6 tähestikulises järjekorras; murde, sulge või 3x-1
KESKKOOLI MATEMAATIKA RAUDVARA 1. osa Andres Haavasalu dikteeritud konspekti järgi koostanud Viljar Veidenberg. 2003. aasta 1 Sisukord Sisukord........................................................................................................................................2 Arvuhulgad............................................................................................................................... 5 Naturaalarvude hulk N..........................................................................................................5 Negatiivsete täisarvude hulk z ...........................................................................................5 Täisarvude hulk Z.................................................................................................................5 Murdarvu
· Positiivset arvu, mille ruut esineb tegurina ruutjuure märgi all, võib tuua tegurina juuremärgi ette; positiivset arvu, mis seisaab tegurina juuremärgi ees, võib viia ruutu tõstetult tegurina juuremärgi alla. nt: 2. Korrutamise ja tegurdamise abivalemid. ( a+b)2= a2+2ab+b2 ( a-b)2= a2-2ab+b2 ( a+b)(a-b)= a2-b2 3. Lineaarvõrrandite süsteemi lahendamine: Liitmisvõte Asendusvõte + 2y+3y=15 5y=15 -y = -3 Y=3 Y = 3 X=23 2x+3×3=5 X=6 2x= -4 X= -2 Vastus = Vastus = 4. Kolmnurga kesklõik, ümbermõõt ja pindala. · Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. · Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.
DETERMINANDI MÕISTE. KAHEREALISE DETERMINANDI Avaldanud esimesest võrrandist x-i ja asendanud saadud tulemuse teise võr- KASUTAMINE VÕRRANDISÜSTEEMIDE LAHENDAMISEL randisse, saame c1 b1 y Paljude sisult erinevate probleemide lahendamine viib ühe ja sama seaduse a1 x b1 y c1 x , kui a1 0. järgi koostatud avaldisteni. Sel juhul on otstarbekas uurida nende avaldiste a1 üldisi omadusi. c b y° a2 ¡¡ 1 1 ±± b2 y c2 a1 korrutame võrrandi pooli a1-ga Üheks selliseks av
Matemaatika 11. klassi praktikumi töö 1. Kirjalik arvutamine m Tehted astmetega (a:b)n = an : bn Tehted juurtega a n n am (ab)n = an * bn a b a b an am = an+m n m a n m a a a an : am = an-m b b n m n*m (a ) = a
1) Koonda sarnased liikmed a) 2a - 5a + 8a - 7a = ................... f) 7x - 9x -2 + 3 = ................................... b) 5x + 3x + 6x - 2x = ................... g) 15x + y - 3x - 7y - 3 = ........................... c) 11y - 5y + 6y - 7y = ..................______ h) 2x - 5xy - 3y - 3x + 2xy = ...................... d) 22c - 13c + 8c - 7c = ................ i) 11 - 3a + 7b - 2a + 4b = ........................ e) 3a - 5b + 9a - 7b = ...................._____ j) 13u + 7v + 8u - 8u - 11v + 21 = ............. 1. Lahenda järgmised võrrandid: a) 5 - 4x + 9 = 2x - 10 ....................... e) 24x = 17 + 9x + 42 + 1 .................. ................................................... ................................................... ................................................... ................................................... b) 5 - 8y = - 23 + y + 1 ....................... f) 87x -
Ruutvõrrandid. Ruutvõrrandid esituvad kujul ax2 + bx + c = 0. Ruutvõrrandid jagunevad taandamata ja taandatud ruutvõrranditeks: Taandamata ruutvõrrand Taandatud ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 x2 + px + q = 0 - b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 23 = 0, 3) 3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x + 6) = 0. Kahe arvu korrutis on
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill ……………�
ARVUTAMINE JA ALGRBRALINE TEISENDAMINE Esmalt oleks vaja tuletada meelde järgmised valemid ja reeglid: Tähega N tähistatakse naturaalarvude hulka, st. arvud, mida saame loendamise teel (1, 2, 3, …..). Vahel arvatakse ka arv 0 naturaalarvude hulka. Tähega Z tähistatakse kõikide täisarvude hulka (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) Tähega Q tähistatakse kõikide ratsionaalarvude hulka. Tähega I tähistatakse kõikide irratsionaalarvude hulka (mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). Tähega R tähistatakse kõikide reaalarvude hulka. R Q I 1) Arvu aste. a) a n a a ......... a a, kui n N n tegurit b) a a a m n m n Näide: x 8 x 5 x13 c) a m : a n a m n Näide: y 9 : y 3 y 6 d) a n b n a b n Näide: x 5 y 5 xy
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor) 1. On antud kolmnurk tippudega A(1;2), B(4;3) ja C(2;5). Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt asetseb antud parabool
Lahenda lineaarvõrrandisüsteemid 1. Lahenda võrrandisüsteemi graafiliselt. y - x 4 y 4x 1 (a) b) y 2x - 5 y 2x - 3 2. Lahenda järgmised lineaarvõrrandisüsteemid liitmisvõttega. y x 1 x - y 10 (a) (b) 2x y 5 0 2x - y 16 3 y 4 x - 2 2x 3y - 6 0 (c) (d) 2 y - 1 x 2 y - 3 x 2 4 3. Lahenda järgmised lineaarvõrrandisüsteemid asendusvõttega. x 3y 6
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn a>0 d = 2r r= a = a = - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn 0, kui a = 0 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd anam=an
1. Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib punkte C(-3 ; 1) ja D(2 ; -5). X - XC Y - YC Sirge võrrand kahe punkti järgi: = . X D - X C YD - YC X - ( -3) Y -1 X + 3 Y -1 Asetame arvud võrrandisse: = = . 2 - ( -3) - 5 -1 5 -6 5y 5 = 6x 18 5y + 6x 5 + 18 = 0 6x + 5y + 13 = 0 2. Leia punktiga A(5 ; -2) ja sihivektoriga s = (3 ; -2) määratud sirge võrrand. X - X A Y - YA Sirge kanooniline võrrand: = . s1 s2 X - 5 Y - (-2) Asetame arvud võrrandisse: = . 3 -2 3y + 6 = 2x + 10 2x + 3y 4 = 0 3. Leia kahe punktiga C(-1 ; 3) ja D(7 ; 4) määratud sirge tõus. Kas s
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega ⎧a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn ⎪ a>0 d = 2r r= a = a = ⎨ - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn ⎪0, kui a = 0 (a+b)(c+d)=ac+ad
~ KORGEMA ¨O MATEMAATIKA EKSAMITO ¨ 1. variant1 Perekonnanimi, nimi, kuup¨ aev.......................... 1. Antud 2 LVS laiendatud maatriksit 2 Milline LVS on lahenduv 1 0 15 3 5 1 0 5 3 · esimene 5 0 1 5 0 5 ja 0 1 - 45 0 1 5 · teine 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 · mitte u
Kordamine III 1. Lihtsusta avaldis ja arvuta seejärel kirjalikult selle täpne väärtus, kui a = 5,5 3a - 6 2 - a - 36 a + 6 2 2. Lihtsusta avaldis ja arvuta seejärel kirjalikult selle täpne väärtus, kui x = -4,5 4x + 8 3 - x - 16 x - 4 2 1 1 2 3. Lihtsusta avaldis - : m + n m - n mn - n 2 1 1 ab + b 2 4. Lihtsusta avaldis - a -b a +b 2 2 4 4 2 5. Lihtsusta avaldis : - + 2 3x - 6 x - 2 x + 2 x - 4 2 2 4 2 6. Lihtsusta avaldis - + 2 : x - 3 x + 3 x - 9 3x - 9 2 2 1 7. Lihtsusta avaldis 2 2 : +
Õpilase individuaalne 1) ül 20, 21 5. 07. 09. 06 Kordamine Lineaarvõrrandid. töö KÜL 2) ül 27(26, 27, 42, 44, ) Asendusvõte. 1) ül 31, 33, 34 6. 07. 09. 06 Kordamine Võrrandisüsteemid. Õpilase individuaalne töö Liitmisvõte KÜL 2) ül 50 (1, 4, 11) 7. 11. 09
Hulkliikme tegurdamine 1) ühisteguri sulgude ette toomine 8y2 4y = 4y (2y 1) 2 5 4 18u v 27uv = 9uv4 (2uv 3) x2 2x = x (x + 2) 2) valemite abil a2 b2 = (a + b) (a b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a3 ± b3 = (a ± b) (a2 ab + b2) 4a2 9b2 = (2a + 3b) (2a 3b) 4m2 20mn + 25n2 = (2m 5n)2 27x3 + 8 = (3x + 2) (9x2 6x + 4) 3) rühmitamisvõte ay + az + by + bz = a (y + z) + b (y + z) = = (y + z) (a + b) x3 3x2 3x + 9 = x2 (x 3) 3 (x 3) = = (x 3) (x2 3) 4) erinevate võtete kombineerimine NB! Kõigepealt toome võimaluse korral ühisteguri sulgude ette, seejärel vaatame, kas saab tegurdada veel mõne teise võttega. 5x2 + 10x + 5 = 5 (x2 + 2x + 1) = = 5 (x + 1)2 m3n mn3 = mn (m2 n2) = = mn (m + n) (m n)
Lineaarkujutus ja teisendus. Olgu hulgad V, W vektorruumid. Aksioom1 Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust f: V W nimetatakse lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus : f ( a + b) = f (a) + f (b). Järeldus1 Olgu = = 1 f ( a + b) = f ( a ) + f ( b ) lineaarkujutuse distributiivsus vektorite liitmise suhtes. Järeldus2 = 0 f ( a ) = f (a ) lineaarkujutuse kommutatiivsus skalaariga korrutamise suhtes. Järeldus3 = = 0 f ( 0 ) = 0 Aksioom2 Vektorruumi V korral määratud lineaarset kujutust f : V V nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks vektorruumist V iseendasse tagasi. Lineaarkujutuste f ja g korral lepitakse kokku rääkida ka nende summast f + g ja kujutuste korrutamisest reaalarvuga f. Lineaarkujutiste liitmisel ja korrutamisel arvuga lepitakse kokku järgmises:
Põhivara 7. klass Protsendi mõiste: Ühte sajandikku osa mingist kogumist, tervikust nim. protsendiks (%). Jagatise väljendamine protsentides: Tihti on vaja teada, mitu % moodustab üks arv teisest. Kahe arvu jagatise väljendamiseks protsentides leiame selle jagatise esmalt kümnendmurruna ning korrutame siis sajaga. Näide: Arv 3 arvust 4 moodustab? 3 : 4 = 0,75 0,75 * 100 = 75% Tekstülesannete lahendamine % abil: Metsapäeval oli kavas istutada 2400 puud. Õpilased ületasid ülesande 16% võrra. Mitu puud istutati? Antud ülesannet saab lahendada kahel viisil. võimalus: 1% on 2400 : 100 = 24 16% on 16 * 24 = 384 16% 2400-st on 384 Kuna plaan ületati 16% võrra, mis vastab 384 puule, siis istutati 2400 + 384 = 2784 puud. võimalus: Mitu puud on 16% ? 2400 puud on 100% x puud on 16% x = 2400 * 16/100 = 384 Mitu puud istutati? 2400 + 384 = 2784
Valemid a1 = a (ab)n = an bn a0 = 1 a n =an (an)m = anm an . am = an+m a-n = an an an-m am 1) ax2+bx=0 = x(ax+b) = x1=0 ja x2= -b Taandamata Ruutvõrrand 2) ax +bx+c=0 = x1,2= -b + b2-4ac = a(x-x1)(x-x2) 2 Taandatud Ruutvõrrand 3) x +px+q = x1,2= -p + p2-q = (x-x1)(x-x2) 2 Viete i teoreem x1+x2=-p X1 . x2= q Tegurdamine 2 2 (a+b)(a-b) = a -b 2 Ax +bx = x(ax+b) (a+b)2 = (a+b) . (a+b) = a2+2ab+b2 Ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2) (a-b)2 = (a-b) . (a-b) = a2-2ab+b2 A3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b2
2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid ning parabool puudutab x
Tehetest ligikaudsete arvudega Ligikaudsete arvudega korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui mitu on neid vähima tüvenumbrite arvuga komponendis. Ligikaudsete arvude summa ja vahe tuleb ümardada kõigi komponentide ühise madalaima järguni. Näide: 2,40+18,879=21,279 ehk 21,28 Hulkliige Üksliikmete summat nimetatakse hulkliikmeks. Üksliikmeid, mille liitmisel hulkliige moodustub, nimetatakse hulkliikme liikmeteks ja nende kordajaid- hulkliikme kordajateks. Näide: 4c -3c+8c-c = Hulkliikmete liitmine ja lahutamine Kui sulgude ees on pluusmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks; kui sulgude ees on miinusmärk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Näide: (2x-5)-(x-7)+(15-9x)-(6x-3)= 2x-5-x+7+15-9x-6x+3=-14x+20=20-14x Hulkliikm
53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982. 3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005 4. I. Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu¨s I. Tallinn, 2001. 3 5. G. N. Berman, Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuse u ¨lesannete kogu. Moskva, 1977 (vene keeles)
Kordamisülesanded 11 klass 1. Kombinatoorika ja tõenäosus a) Ühes klassis õpitakse 14 õppeainet. Mitmel erineval viisil saan nendest koostada ühe päeva tunniplaani, kui selles peab olema 7 erinevat õppeainet? Vastus: 17297280 b) Martinil on taskus viis viiekroonist ja neli kümnekroonist rahatähte. Kui suur on tõenäosus, et kahe kupüüri juhuslikul võtmisel on mõlemad viiekroonised? Vastus: 20/72 c) Tõenäosus leida pliiats kirjutuslaua esimesest sahtlist on 0,5, teisest sahtlist 0,7 ja kolmandast 0,4. Kui suur on tõenäosus , et pliiats on olemas a) täpselt ühes sahtlis b) vähemalt ühes sahtlis c) mitte üheski sahtlis
-1- - 1.Leia funktsiooni määramispiirkond. 3 x 3 x y y b) y 17 15 x 2 x log( 1 x ) 2 a) 4x 8 c) 2x 2 3 9 x y d) y = log( x2 + x -20 ) - 6x e) log 2 ( x 4) f) y = log x-1 x2
Pärnu Niidupargi Gümnaasium Koostas: KAJA ORAV Töölehed VIII klassile 2002/2003 õppeaasta Antud elektroonilised töölehed on mõeldud VIII klassi matemaatika mõistete, geomeetria ülesannete ning tehete kohta üks-ja hulkliikmetega kursuste iseseisvaks kordamiseks või teadmiste kontrollimiseks. Iga küsimuse lõpus oleva rohelise kastikese täitmine õige vastuse ees oleva tähega annab järgmisele reale liikumise korral tulemuseks ÕIGE. Kui Te ei leidnud esimesel korral õiget vastust, siis võite uuesti proovida. JÕUDU TÖÖLE! Küsimused ja kommentaarid on oodatud aadressil [email protected] Mõisteid, mida ei defineerita nimetatakse
4. koondame sarnased liidetavad 5. leiame lahendi, jagades võrrandi mõlemat poolt tundmatu. Leitud lahendit tuleb osata vajadusel kontrollida. Näide 1. Lahendame võrrandi 2(2x - 5) = 20 - x Avame sulud 4x - 10 = 20 - x 4x + x = 20 + 10 5x = 30|: 5 x = 6. Selle võrrandi lahend on x = 6. 11. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi lahendamine (Graafiline, liitmisvõte, asendusvõte) 12. Tekstülesannete lahendamine lineaarvõrrandsüsteemi abil. 13. Defineerimine ja algmõisted. Definitsioon on mõiste lühike ja täpne seletus. Mõisted, mida ei saa seletada nimetatakse algmõisteteks. Algmõisteid ei defineerita, vaid neile antakse nii täpne kirjeldus, kui see võimalik on ja tuuakse selgituseks näiteid 14. Teoreem ja aksioom. Eeldus ja väide. Pöördteoreem. Põhitõdesid, mida ei saa tõestada, nimetatakse aksioomideks.
annaabi.ee 
