Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Lihtsustamine". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
avaldise, lihtsustageLahendus: Selles avaldises on kahe esimese murru nimetajad vastandmärgilised. Need murrud saab teisendada ühenimelisteks sel teel, et kasutame võrdusi m m m . n n n Saame a 2 b 2 ab ab d) b Lahendus: Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid Ratsionaalavaldiste lihtsustamine 1. Lihtsusta avaldist. a 3a 2 a) : 1 a 1 1 a 2 Lahendus: Lihtsustame selle avaldise tehete kaupa. Selleks teostame kõigepealt tehted sulgudes ja seejärel leiame vajaliku jagatise. Saame Vastus: a 1 6 a 3 4a 3 4a b) 2 2a 2 2a 2 2a 2 5 Lahendus: Vastus: a 1 6 a 3 4a 3 4a 4a 2a 2 2a 2 2a 2 2 5 2. Lihtsusta avaldis ja arvuta siis selle väärtus. a b a b a) 2 : , kui a = 5 ja b = 3
15 ⋅ 30 − 0,1−1 15 − 10 5 8⋅5 8 1 1 ⋅ 100 5 15% on , seega on otsitav arv = . 8 8 ⋅ 15 6 5 Vastus. Arv on . 6 a2 2 3 5 b Näide 13. Koondada 4b 2 + 3a b − 3a 3 − 3 a 2b 4 . b a a Lahendus. Avaldise esimeses liikmes korrutame kuupjuure all oleva murru lugejat ja nimetajat b-ga ning kolmandas liikmes teeme samasuguse korrutamise a 2 -ga, sest siis saame nendest nimetajatest kuupjuure ära võtta. Teises ja neljandas liikmes toome täisastme juure ette. Koondame sarnased liikmed. a2 2 3 5 b 3 2 4 a 2 ⋅ b 2a 3 2 b ⋅ a2 4b3 + a b − 3a 3 − a b = 4b 3 + a b − 3 a 3 − b3 a 2 b = b 2
1 1 x3 125 x + 3 x 4 - 3 16 x 3 3 4 x 8. + m- m -n 2 2 m + m -n 2 2 18. Leia avaldise täpne väärtus: 1. 8 - x 12 x +2 4. 1 1 a 2 + 1 1 6 2-x 18 x 21-x + - 2
ALGEBRA KONKURSS Ülesanded harjutamiseks Lihtsusta Lahenda võrrandid ja võrratused 1. 2a + 3b - 4a = 21. ( x - 2) 2 - ( x + 3) 2 = 5 x -1 2 - x 2. 2a - 2a (a 2 +1) = 22. + = 0,25 2 3 2 3. 16 - (a - 4) 2 = 23. x +1 = x 4. - 2a - (a 2 - a ) = 24. x 2 + x = 0,75 4 3 25. x 2 - 0,05 x - 0,05 = 0 5. + = a 2a 6. ( a - 3)( 2a - 3) = 26. (2 x + 5) 2 - (2 x - 5) 2 = 40 x 7. 2a 2 b (-3ab 3 ) = 27. 6 x 2 + 7 x - 3 = 0 3x x -1 8. (2 - a 5 )(a 5 + 2) = 28. - =0 2x + 2 x +1 9. (12a 2 b -16ab 2 ) : 4ab = 29. ( x - 2)( x + 3)(4 - x ) = 0
Algebraliste murrud © T. Lepikult, 2010 Algebraliste murdude korrutamine Kahe algebralise avaldise jagatist nimetatakse algebraliseks murruks. Tehteid algebraliste murdudega sooritatakse nagu harilike murdudega: Kahe murru korrutiseks on murd, mille lugejaks on teguriteks olevate murdude lugejate korrutis, ja nimetajaks on teguriteks olevate murdude nimetajate korrutis: a c ac b d bd Näide x y 3x z ( x y ) (3x z ) .
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI teema Geomeetria PLANIMEETRIA Tasandilised kujundid ja nendega seotud valemid. Ristkülik d b S ab P 2a b d a2 b2 a a Ruut d S a2 a P 4a d a 2 Rööpkülik d1 S ah ab sin h b P 2a b d2 180 0 d1 d 2 2a 2 b 2 a
4b-ax 3 3 2 3x 2a 2b+a a+b 4 y= +a -2b + sin x2 2,5y bx+2,7 4b 4 z=cos( x)+ +asin 3 y 2 +sin2 a+b ab NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaitmi alus. 3 2 b-e y= x +a - log 2 3 ax+ 3 cos y z=sin ax+ + as ab c Variandid 1 a y c z 0 1 0 4 1 4 1 1 2 3 2 2
Murru taandamine Algebraliste murdude taandamiseks kasutatakse: 1) ühise teguri sulgude ette toomist 4x + 8 4( x + 2) 2 N = = 2 x + 4 x 2 x( x + 2) x 2 2) abivalemeid 5a - 50 5( a - 10) 5 a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) N = = a - 100 ( a + 10 )( a - 10 ) a + 10 2 ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 ( a 3 + b 3 = ( a + b ) a 2 - ab + b 2 ) a -b
5. (1998) Leidke funktsiooni y = x3 -4x2 3x -2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud, maksimum- ja miinimumkoht. 6. (1998) On antud funktsioon f(x) = x2 2 ln x + 3. 1 1) Leidke f e 2 . 2) Leidke funktsiooni f(x) kasvamisvahemik ja ekstreemumid. 3) Lahendage võrrand f(x) = g(x), kus g(x) = x2 + ln2 x. 7. (1998) On antud funktsioon f(x) = sin x cos x. 1) Lihtsustage avaldist f(x) f(-x). 2) Lahendage võrrand f(x) = 1 3) Lahendage võrratus f(x) > 0 lõigus 0, . 4) Leidke funktsiooni f(x) miinimumkoht vahemikus (0; 2) ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. 1 8. Antud on funktsioon f ( x ) x 2 x 2 . 1) Leidke funktsooni f(x) määramispiirkond. 2) Leidke funktsiooni f(x) kasvamis- ja kahanemisvahemik. 3) Skitseerige funktsiooni f(x) graafik.
Üks- ja hulkliikmed © T. Lepikult, 2010 Matemaatiline avaldis Matemaatiliseks ehk analüütiliseks avaldiseks nimetatakse eeskirja, mis määrab teatava skalaarse suuruse (ehk avaldise väärtuse) leidmiseks konstantide ja muutujatega sooritatavad tehted ning nende sooritamise järjekorra. Näited 1) 2 52 on matemaatiline avaldis, mille väärtus on 27. 2) r2 on matemaatiline avaldis, mille väärtuse leidmiseks tuleb esmalt leida muutuja r väärtuse ruut ja seejärel korrutada tulemust arvuga = 3,14... 3) log( 5 x 2 sin x) - selle matemaatilise avaldise väärtuse leidmiseks tuleb 1)
Võrrandid x - 3 1) 2 x (3 x - 2) - 31 - ( 2 - x )(2 x + 3) - = 13( 5) 2 2 x - 7 3x + 1 x +6 2) x + - =5- ( 3) 2 5 2 3x - 4 x + 1 x +2 3) 2 x - 1 - = - 1 - ( 2 ) 2 3 2 2x -1 2x +1 8 4) = + (1) 2 x +1 2 x -1 1 - 4x 2 96 2 x - 1 3x - 1 5)5 + 2 = - ( 8) x - 16 x+4 4-x 10 x - 23 5 3 2 6) 3 - + = 0 3 2 x - 5 x - 5 x + 2 2( x + 1) - 7 x x + 1 2 2 3 7) 1
6 2a 5 4 3a 2 6a 4 a 2 a 6 f) = 4 + 4 - 4 = + -1 6a 4 6a 6a 6 a 3 2 3 2 374 Korruta hulkliikmed ja lihtsusta avaldis a) (2 x - 3)(4 x - 2) = 8 x 2 - 4 x - 12 x + 6 = 8 x 2 - 16 x - 6 c) ( x - 1)( x - 2) = x 2 - 2 x - x + 2 = x 2 - 3 x + 2 3 375/b Leia avaldise väärtus, kui x = 2 Lahendus. Enne lihtsustame avaldise 3 5 x( z - 1) - x(5 x - 7) = 5 x 2 - 5 x - 5 x 2 + 7 x = 2 x = 2 × =3 2 NB! Kui oleksime kohe x -i asendanud, oleksime pidanud sooritama pika ja raske arvutamise.
a2 a 2a 3a 6a 6 5 2a 4 3a 2 6a 4 a 2 a6 f) 4 4 4 1 6a 4 6a 6a 6a 3 2 3 2 374 Korruta hulkliikmed ja lihtsusta avaldis a) ( 2 x 3)(4 x 2) 8 x 2 4 x 12 x 6 8 x 2 16 x 6 c) ( x 1)( x 2) x 2 2 x x 2 x 2 3x 2 3 375/b Leia avaldise väärtus, kui x 2 Lahendus. Enne lihtsustame avaldise 3 5 x( z 1) x(5 x 7) 5 x 2 5 x 5 x 2 7 x 2 x 2 3 2 NB! Kui oleksime kohe x -i asendanud, oleksime pidanud sooritama pika ja raske arvutamise. 379 Lihtsusta avaldis, kasutades hulkliikmete korrutamise valemeid.
a2 a 2a 3a 6a 6 5 2a 4 3a 2 6a 4 a 2 a6 f) 4 4 4 1 6a 4 6a 6a 6a 3 2 3 2 374 Korruta hulkliikmed ja lihtsusta avaldis a) ( 2 x 3)(4 x 2) 8 x 2 4 x 12 x 6 8 x 2 16 x 6 c) ( x 1)( x 2) x 2 2 x x 2 x 2 3x 2 3 375/b Leia avaldise väärtus, kui x 2 Lahendus. Enne lihtsustame avaldise 3 5 x( z 1) x(5 x 7) 5 x 2 5 x 5 x 2 7 x 2 x 2 3 2 NB! Kui oleksime kohe x -i asendanud, oleksime pidanud sooritama pika ja raske arvutamise. 379 Lihtsusta avaldis, kasutades hulkliikmete korrutamise valemeid.
2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1) Lihtsustage see avaldis. 3
ARVUTAMINE JA ALGRBRALINE TEISENDAMINE Esmalt oleks vaja tuletada meelde järgmised valemid ja reeglid: Tähega N tähistatakse naturaalarvude hulka, st. arvud, mida saame loendamise teel (1, 2, 3, …..). Vahel arvatakse ka arv 0 naturaalarvude hulka. Tähega Z tähistatakse kõikide täisarvude hulka (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) Tähega Q tähistatakse kõikide ratsionaalarvude hulka. Tähega I tähistatakse kõikide irratsionaalarvude hulka (mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). Tähega R tähistatakse kõikide reaalarvude hulka. R Q I 1) Arvu aste. a) a n a a ......... a a, kui n N n tegurit b) a a a m n m n Näide: x 8 x 5 x13 c) a m : a n a m n Näide: y 9 : y 3 y 6 d) a n b n a b n Näide: x 5 y 5 xy
7. Stereomeetria. Riigieksamiülesannete koostamisel lähtutakse riiklikus õppekavas esitatud nõuetest (vt ,,Põhikooli ja gümnaasiumi riiklik õppekava"; http://www.riigiteataja.ee/ert/act.jsp?id=174787 ). Eksamiülesannete lahenduste näiteid (2008/2009 õ-a riigieksami põhjal) a a 1 -2 2 1. (10 punkti) Lihtsustage avaldis 2 - 2 2 - b ja leidke avaldise a - 2 ab + b 2 (a + b ) a täpne väärtus, kui a = -4 + log 5 125 ja b = 3 2 . a (a + b ) - a (a - b )
NÄIDE 2: 7y + 14x + 35 = 7 (y + x + 5) 8. Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis, kaksliikme ruut, kaksliikme kuup, kuupide summa ja vahe valemid. Ruutude vahe (a+b)(a-b)= a²- b² Vahe ruut (a-b)²= a²-2ab+b² Summa ruut (a + b)² = a² + 2ab + b² Summa kuup (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Kuupide summa a³ + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) Kuupide vahe (a-b)(a²+ab+b²)= a³-b³ Vahe kuup (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ 9. Algebraliste valemite lihtsustamine. NÄIDE 1. Leiame avaldise (x + 2)² + (3x3 - 14x) : x - (2x - 5)² väärtuse, kui x = -0,5. Kõigepealt lihtsustame avaldise: (x + 2)² + (3x3 - 14x) : x - (2x - 5)² = x² + 4x + 4 + 3x² - 14 - 4x² + 20x - 25 = 24x - 35. Leiame nüüd avaldise väärtuse: 24(-0,5) - 35 = -12 - 35 = - 47. 10. Lineaarvõrrandite lahendamine 1. kui võrrand sisaldab harilikke murde, siis vabaneme nendest, korrutades võrrandi mõlemaid pooli kõigi murdude ühise nimetajaga 2
Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium Test nr. 1. a 0,5 - 16b 0, 5 1. Leia avaldise - 4b 0, 25 , kui a = 16. a 0, 25 - 4b 0, 25 1) 6 2) -2 3) 4 4) 2 2. Leia antud arvudest suurim ( 2) ( 2) 3, 2 3 1 4, 7 1) 2) 3) 4) 3 4 5
Trigonomeetria ülesanded riigieksamil 1. (17.05.1997, H, 10 punkti). Lihtsustage avaldis 2 sin sin 2 2 cos 2 cos2 tan ja arvutage selle väärtus, kui . 4 2. (17.05.1997, R, 15 punkti)
Korrutamise abivalemid (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = ( a - b)( a 2 + ab + b 2 ) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 Näiteid · Lahutada tegureiks : 1. 6z 7 3z 5 = 3 z 5 (2z2 -1) 2. 5a (a + b ) 2b ( a + b) = (a + b)( 5a 2b) 3. 2a ( x +y) x y = 2a ( x +y) (x + y ) = ( x + y)(2a -1) 4. x4 n x3 n = x3 n ( x n -1) 5. 25 c2 = (5 c)(5 + c) 6. (v + b)2 n 2 = ((v + b) +n)((v + b) n )= ( v +b + n)(v + b n ) 7. m 2 +6m + 9 = (m + 3)2 8. 9a 2 6a + 1 = (3a -1)2 9. 27s 3 8d 3 = (3s 2d)(9s 2 + 6 s d + 4d 2) 10. 64 + f 3 = (4 + f )(16 4f + f 2) b · Kaksliikmes a + b tuua sulgu
23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Põhivariant 2. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 7 y -1 - 4 x -1 1. (5p) Leidke avaldise väärtus, kui x : y = 3 : 4. 3y -1 - x -1 Lahendus: 7 ( 4( x y 7x - 4y - -1 7 y - 4x -1 y = (x x = xy =
Hulkliikme tegurdamine 1) ühisteguri sulgude ette toomine 8y2 4y = 4y (2y 1) 2 5 4 18u v 27uv = 9uv4 (2uv 3) x2 2x = x (x + 2) 2) valemite abil a2 b2 = (a + b) (a b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a3 ± b3 = (a ± b) (a2 ab + b2) 4a2 9b2 = (2a + 3b) (2a 3b) 4m2 20mn + 25n2 = (2m 5n)2 27x3 + 8 = (3x + 2) (9x2 6x + 4) 3) rühmitamisvõte ay + az + by + bz = a (y + z) + b (y + z) = = (y + z) (a + b) x3 3x2 3x + 9 = x2 (x 3) 3 (x 3) = = (x 3) (x2 3) 4) erinevate võtete kombineerimine NB! Kõigepealt toome võimaluse korral ühisteguri sulgude ette, seejärel vaatame, kas saab tegurdada veel mõne teise võttega. 5x2 + 10x + 5 = 5 (x2 + 2x + 1) = = 5 (x + 1)2 m3n mn3 = mn (m2 n2) = = mn (m + n) (m n)
Kordamine III 1. Lihtsusta avaldis ja arvuta seejärel kirjalikult selle täpne väärtus, kui a = 5,5 3a - 6 2 - a - 36 a + 6 2 2. Lihtsusta avaldis ja arvuta seejärel kirjalikult selle täpne väärtus, kui x = -4,5 4x + 8 3 - x - 16 x - 4 2 1 1 2 3. Lihtsusta avaldis - : m + n m - n mn - n 2 1 1 ab + b 2 4. Lihtsusta avaldis - a -b a +b 2 2 4 4 2 5. Lihtsusta avaldis : - + 2 3x - 6 x - 2 x + 2 x - 4 2 2 4 2 6. Lihtsusta avaldis - + 2 : x - 3 x + 3 x - 9 3x - 9 2 2 1 7. Lihtsusta avaldis 2 2 : +
Neid võrrandeid saab lahendada mitut moodi vastavalt sellele, kas absoluutväärtuseid on üks või mitu. 1) Kui absoluutväärtusi on võrrandis üks: Kõige lihtsam on sel juhul võrrandit lahendada, kasutades absoluutväärtuse definitsiooni. Läbi tuleb proovida kaks varianti. Variant, kus absoluutväärtusega piiratud avaldise väärtus on vastavalt positiivne ja negatiivne. Näide: |x-3|=2 1) x-3>0 -> x>3 2) x-3<0 -> x<3 Edasi kaotatakse absoluutväärtused ning lahendatakse kaks lineaarvõrrandit, negatiivse variandi kõrval vahetatakse aga märgid! 1) x-3=2 2) -x+3=2 x1=5 x2=-1
3. AVALDISTE TEISENDUSI. LINEAARVÕRRAN D Koostajad: Gerli Savila, Janek Käsper, Erik Mandel, Marek Käsper. 3.1 KORRUTISE LIHTSUSTAMINE • Korrutamise vahetuvuse ja ühenduvuse seaduste kohaselt võetakse kõik arvulised tegurid omaette ja tähelised tegurid omaette rühma. 5 x a x (-3) x b x c = -3 x 5 x abc = -15abc • Kordaja 1 jäetakse korrutises kirjutamata. abc • Kordaja -1 asemele kirjutatakse ainult miinusmärk. - abc ÜLESANNE 1: LIHTSUSTA KORRUTIS JA LEIA KORDAJA 1) 5a●(-3)bc= 2) 4x●(-2)= 3) 10●(-a)●0.1= 4) 5a● (-0.2)●b = 5) 3,5●(-2x) ●(- 1)= ÜLESANNE 1: VASTUSED • 1) VASTUS: 5a●(-3)bc=-15abc , kordaja -15 • 2) VASTUS: 4x●(-2)=-8x , kordaja -8 • 3) VASTUS: 10●(-a)●0.1=-a , kordaja -1 • 4) VASTUS: 5a● (-0.2)●b =-ab , kordaja -1 • 5) VASTUS: 3,
Ülesanded logaritm- ja eksponenfunktsioonile ja võrranditele. 1. Arvutage avaldise täpne väärtus ilma taskuarvutita, näidates tehteid: 1 1 -2 - 1 100 4 10 5 + 0,04 2 - - + 16 0, 25 52,3 0 + 2 3 2. Skitseerige samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = 6 x , y = 3 x ja y = 0,3 x graafikud. Missuguste argumendi väärtuste korral kehtib võrratus 6 x > 3 x ? (viiruta).
Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit (st tundmatu asendamisel lahendiga muutub võrrand samasuseks). Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Lubatud teisendused (võrrandi põhiomadused) on järgmised: 1) võrrandi pooli võib vahetada; 2) võrrandi mõlemale poolele võib liita või mõlemast poolest lahutada ühe ja sama arvu või muutujat sisaldava avaldise (mis omab mõtet võrrandi kogu määramis- piirkonnas), see annab sisuliselt teisenduse, mida tuntakse kui võrrandi liikmete teisele poole võrdusmärki viimist muutes samal ajal liikmete märgid vastupidisteks; 3) võrrandi mõlemat poolt võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga või muutujat sisaldava avaldisega, mis ei võrdu nulliga muutuja ühegi väärtuse korral LINEAARVÕRRAND
Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vaba
KESKKOOLI MATEMAATIKA RAUDVARA 1. osa Andres Haavasalu dikteeritud konspekti järgi koostanud Viljar Veidenberg. 2003. aasta 1 Sisukord Sisukord........................................................................................................................................2 Arvuhulgad............................................................................................................................... 5 Naturaalarvude hulk N..........................................................................................................5 Negatiivsete täisarvude hulk z ...........................................................................................5 Täisarvude hulk Z.................................................................................................................5 Murdarvu
5 ax+b 2a 2b+a a+b NB! 4b-ax 3 3 2 3x Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 y= +(a -2b) + sin x2 2,5y avaldise absoluutväärtust +asin 3 y 2+sin2 ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e bx+2,7 4b z=cos( x)+ on naturaallogaritmi alus. a+b ab
, cx + d ,..., s cx + d )dx , (1) s.t. integraali avaldisest, mis sisaldab muutujat x ja erinevaid juuri murdlineaarsest ax + b avaldisest , kus a , b, c ja d on konstandid. Niisuguse avaldise cx + d ax + b ratsionaliseerimiseks kasutatakse muutuja vahetust = t k , kus k on juurijate cx + d m, n ,..., s vähim ühiskordne. Viimasest võrdusest avaldame muutuja x ja tema diferentsiaali. 2. Teiseks vaatleme irratsionaalavaldise integraali kujul R( x , ax 2 + bx + c )dx. (2)
5 ax+b 3 2a 2b+a a+b 4b-ax 3 3 3x +(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust 4 a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3 y x 2 y= ln - 2 by
annaabi.ee 
