Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Kaksliikmete korrutamine". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
kaksliikme, liikmega, korrutamine, korrutamiselNäide: 4c -3c+8c-c = Hulkliikmete liitmine ja lahutamine Kui sulgude ees on pluusmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks; kui sulgude ees on miinusmärk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Näide: (2x-5)-(x-7)+(15-9x)-(6x-3)= 2x-5-x+7+15-9x-6x+3=-14x+20=20-14x Hulkliikme korrutamine üksliikmega Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutatakse üksliikmega selle hulkliikme iga liige ja tulemused liidetakse. Näited: 5(4x-2y)=20x-10y ; -3u(5u-v)= -15u +3uv Hulkliikme jagamine üksliikmega Hulkliikme jagamisel üksliikmega jagatakse hulkliikme iga liige selle üksliikmega ja tulemused liidetakse. Näide: Teguri toomine sulgudest välja Näited: 12x -4x + 8x=4x(3x -x+2) ; 4a y+12ay = 4ay(a+3y) ; 15a b c -25a b c +40a b c
mittesarnast liiget 5.Kolmliige - hulkliige, milles on kolm mitte- sarnast liiget 6.Hulkliikmete liitmine - kui sulgude ees on plussmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks, s.t. ühe hulkliikme liikmed kirjutatakse teise järel samade märkidega 7.Hulkliikmete lahutamine - lahutatava hulkliikme kõik liikmed kirjutada esimese järele vastupidiste märkidega; võimalusel koondada NB miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees 8.Hulkliikme korrutamine üksliikmega - korrutatakse üksliikmega selle hulkliikme iga liige ja tulemused selgitus: liidetakse 1) 2) 3) 9.Hulkliikme jagamine üksliikmega - jagatakse hulkliikme iga liige selle üksliikmega ja tulemused liidetakse selgitus: 1) 2)
HULKLIIKMED(2.ptk) Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatake üksikliikmete summat. Kordajad 3 Hulkliikme liikmed Hulkliikmete liitmine ja lahutamine (5a-6b+7)+(2a-9b-5)=5a-6b+7+2a-9b-5 =3a+3b+12 Kui sulgude ees on + märk , siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks. Kui sulgude ees on märk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Hulkliikmete korrutamine üksikliikmega 1,5 3( 1) Ava sulud ( ) 2) Koondatakse.( Sarnased liidetavad, astendajad ei muutu) Hulkliikmete jagamine üksliikmetega 1) Teguri toomine sulgudest välja Hulkliikme teisendamist korruiseks nimetatakse hulkliikmete tegurdamiseks. 6 6 Tuues miinusmärgi ette muudame sulgudes märgid vastupidiseks. Kaksliikmete korrutamine (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd Võimalisel ka koondatakse (6a-3)(2a+3)-(3a-4)(2a+1)= Rühmitamisvõte Ruutude vahe valem (a+b)(a-b)=
1. harilik murd Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. 2. kümnendmurd Kümnendmurd on komaga arv. N: 23,4 ;14,1 ; 3,8 ; 10,5 3.murru taandamine Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine
1.5. Kõige viimaseks kirjutatakse alati vabaliige. 1.6. Hulkliige, mis on kahe üksliikme summa nimetatakse kaksliikmeks. 1.7. Hulkliige, mis on kolme üksliikme summa nimetatakse kolmliikmeks. 2. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine 2.1. Kõigepealt tuleb avada sulud ja seejärel koondada sarnased liikmed. 2.2. Kehtivad reeglid: 2.2.1. - märk sulu ees... 2.2.2. Sulu ees oleva arvuga tuleb... 3. Hulkliikme korrutamine üksliikmega 3.1. Sulu ees või järel oleva üksliikmega tuleb sulus kõik korrutada, kui võimalik siis koondada ja vastus korrastada. 4. Hulkliikme jagamine üksliikmega 4.1. Hulkliikme jagamisel üksliikmega tuleb selle hulkliikme iga liige jagada antud üksliikmega. 4.2. Kui liikmete vahel on + või -, siis taandada ei tohi. 5. Tegurdamine 5.1. Tegurdamiseks nimetatakse avaldise kirjutamist korrutisena.
NÄIDE 5: 3a2 + 4xy - a2 + xy - 5xy - 2a2 = (3 - 1 - 2)a2 + (4 + 1 - 5)xy = 0 NÄIDE 5: 7yw – 4w² - 8w² - 10w² = 7yw – 22w² 5. Hulkliige, hulkliikmete liitmine ja lahutamine. Hulkliige on üksliikmete summa. 2a + b ; 2a + b + 7c + 2 ; 3yzx NÄIDE 1: (3 + 7v²) + (3 + 6v) = 3 + 7v² + 3 + 6v = 6 + 7v² + 6v NÄIDE 2: (-6w² - 4) – (5 + 7w² - 8w) = -6w² - 4 – 5 -7w² + 8w = 13w² - 9 + 8w NB! Miinus märk sulu ees, muudab märgi sulu sees!!! 6. Hulkliikmete korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame. a (b + c + d) = ab + ac + ad Hulkliikme jagamisel üksliikmega jagame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame. (a + b + c) : k = a/k + b/k + c/k 7. Hulkliikmete tegurdamine. Hulkliikmete tegurdamine on hulkliikme esitamine korrutisena. NÄIDE 1: 2x² + 5x = x (2x + 5) NÄIDE 2: 7y + 14x + 35 = 7 (y + x + 5) 8
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega:
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega:
1) Võrdsete alustega astme korrutamine. *Võrdsete alustega astme korrutamisel astendajad liidetakse. am x an = a m+n 2)Võrdsete alustega astme jagamine. *Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. am : an = a m-n 3) Korrutise astendamine. *Korrutise astendamisel võib astendada iga tegur eraldi ja siis saadud tulemus korrutada. ( a x b )m am x bm 4) Jagatise astendamine. *Jagatise astendamisel võib astendada eraldi jagatava ja jagaja ja seejärel jagada üks tulemus teisega. ( a x b ) m am : bm 5) Astme astendamine,
Misted 8. klassile 1. Milline murd on harilik murd? * Harilik murd nitab, mitmeks vrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on vetud. 2. Milline murd on kmnendmurd? Too nide . * Kmnendmurd on komaga arv . nt : 2,14 ; 76,76 ; 16,36 3. Mida nimetatakse murru taandamiseks? * Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist he ja sama nullist erineva arvuga 4. Astmete korrutamine. Too nide. * he ja sama alusega astmete korrutamisel me liidame astendajad ja siis astendame astme alust. nt : a(astmes n) * a(astmes m) = a (astmes n+m) 3(astmes4)* 3 (ruudus) = 3(astmes 6) = 729 5. Astemete astendamine. Too nide. * Astmete astendamisel antendajad korrutame ja siis astendame. nt: (a astmes n) astmes m = a astmes mn ; (2 astmes -3) astmes 4 = 2 astmes -12 6. Astmete jagamine. * Sama alusega astmete jagamisel me lahutame astendajad ja siis astendame astme alust. 7.Negatiivne astendaja. Too nide .
Erinimeliste murdude liitmisel laiendatakse ühte murdu nii, et saadakse sama nimetaja, mis on teisel murrul. Seda nimetajat nimetatakse ühiseks nimetajaks. Edasi liidetakse nagu samanimelisi murde. Erinimeliste murdude liitmine Erinimeliste murdude liitmine Erinimeliste murdude lahutamine Laiendatakse ühte murdu nii, et mõlemad murrud oleksid ühenimelised. Edasi toimitakse nii, nagu ühenimeliste murdude lahutamisel. Erinimeliste murdude lahutamine Harilike murdude korrutamine a c ac = b d bd Harilike murdude korrutamisel korrutatakse murdude lugejad omavahel ja nimetajad omavahel, Võimaluse korral tuleb lõpptulemust taandada või teisendada segaarvuks. Lihtmurdude korrutamine Korruta pikal murrujoonel lugejad omavahel ja nimetajad omavahel. Taanda saadud vastust kahega. Lihtmurdude korrutamine Selles ülesandes saad juba pikal murrujoonel tegurid taandada, sest 9 ja 3 jaguvad kolmega.
et saadakse sama nimetaja, mis on teisel murrul. Seda nimetajat nimetatakse ühiseks nimetajaks. Edasi liidetakse nagu samanimelisi murde. Erinimeliste murdude liitmine Erinimeliste murdude liitmine Erinimeliste murdude lahutamine Laiendatakse ühte murdu nii, et mõlemad murrud oleksid ühenimelised. Edasi toimitakse nii, nagu ühenimeliste murdude lahutamisel. Erinimeliste murdude lahutamine Harilike murdude korrutamine a c ac = b d bd Harilike murdude korrutamisel korrutatakse murdude lugejad omavahel ja nimetajad omavahel, Võimaluse korral tuleb lõpptulemust taandada või teisendada segaarvuks. Lihtmurdude korrutamine Korruta pikal murrujoonel lugejad omavahel ja nimetajad omavahel. Taanda saadud vastust kahega. Lihtmurdude korrutamine Selles ülesandes saad juba pikal murrujoonel
Näide Üksliikmete 3,7x, 5x3 ja - x2 lahutamisel üksliikmest 6 saame avaldise 6 3,7 x 5x 3 x 2 Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saadud avaldisi nimetatakse algebralisteks summadeks. Üksliikmete algebralises summas võib muuta liidetavate järjekorda. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Üksliikmete algebralise summa koondamine. Üksliikmete korrutamine ja jagamine Kui üksliikmete algebralises summas esineb sarnaseid liikmeid, siis need koondatakse, s. t. asendatakse kõik sarnased liikmed üheainsa liikmega, mille kordaja võrdub asendatavate liikmete kordajate summaga. Näited 4 x 2 3xy 5 x 2 xy x 2 4 xy abc 2 3x 3 2,5ac 2b (5 x)3 xy 122x 3 1,5abc 2 xy 125x 3 Üksliikmete korrutamisel kordajad korrutatakse ja ühesuguste täheliste tegurite astendajad liidetakse.
t. D = b2 - 4ac 0). Esimesel juhul on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist 2Sõna "kompleksne" tähendab eesti keeles "liitne"; selle nimetuse andis arvudele lahendit, teisel juhul on lahendid võrdsed. a + bi esmakordselt saksa matemaatik Gauss (1777-1855). Missugused on aga ruutvõrrandi lahendid siis, kui võrrandi diskriminant on Kompleksarvude korrutamine ja jagamine negatiivne ? Vaatleme mõnda näidet. Korrutame arvud a + bi ja c + di. Kaksliikmete korrutamise reegli järgi 2 2 4 2 Näide 4. Lahendame võrrandid x + 16 = 0, x - 2x + 10 = 0 ja x - 3x - 4 = 0. (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac - bd + (ad + bc)i. Seega 1) Kui x2 + 16 = 0, siis x = ± -16 = ± 16·i2 = ± 4i. Seega x1 = -4i ja x2 = 4i
8. klassi matemaatika mõisted ja valemid Ümardamisel kasutatakse järkusid. Tüvenubriteks loetakse: 1) täisarvus kõik numbrid väljaarvatud arvu lõpus olevad nullid. 2) kümnendmurrus kõik numbrid va. Arvu ees olevad nullid. Arvutamine ligiklaudsete arvudega: 1) liitmisel, lahutamisel ümardatakse lõppvastus ühise madalaima järguni. (Tüvenumbrite madalaima järguni) 2) korrutamisel, jagamisel tuleb lõppvastus ümardada nii, et temas oleks sama palju tüvenumbreid, kui oli seda vähima tüvenumbrite arvuga algandmes. 3) mitme tehtega ülesandes tuleb: a) arvutada iga tehe eraldi ja jätta 1 varunumber ning lõppvastus ümardada täpselt. b) hinnata iga tehte tulemust ja otsustada milleni tuleb vastus ümardada. Protsent: Osa=osamäär * tervik Tervik=osa : osamäär Osamäär=osa : tervik Sagedustabel, sektordiagramm: 1)tunnus on suurus, mis iseloomustab mingit objekti
Om6 Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingile reale/veerule liita või lahutada mistahes arvuga korrutatud teatud teine rida/veerg. Om7 Kahe n- järku determinandi A ja B korrutis A B on arvuliselt võrdne teatava uue n- järku determinandiga C, mille i-nda rea ja j-nda veeru ühine element cij saadakse determinandi A i-nda rea ja determinandi B j-nda veeru vastavate elementide korrutamisel ning saadud tulemuste liitmisel. Om8 Kui determinandi mingi rea/veeru kõik elemendid on nullid, siis võrdub determinant nulliga. Om9 Kui determinandis kõik allpool/ülal peadiagonaali paiknevad elemendid on nullid, siis võrdub determinandi väärtus tema peadiagonaali elementide korrutisega ehk pealiikmega. Om10 Determinandi väärtus võrdub nulliga parajasti siis ( siis ja ainult siis), kui selle determinandi
1. Harilike murdude liitmine a c ad + bc + = b d bd 2. Harilike murdude lahutamine a c ad - bc - = b d bd 3. Harilike murdude korrutamine a c ac = b d bd 4. Harilike murdude jagamine a c ad : = b d bc 5. Astmete korrutamine am an = am+n 6
Näited: vektori lüke, veerud vastavalt ümber paigutada lATMl=lAl 2. Maatriks: = pööre, peegeldus, korrutamine arvuga. Lineaarkujutuse f ja g summa ja korrutamine arvuga *f. (f+g)()=f()+g(); (*f) ()=f(*) Kõik kujutused, mis rahuldavad eelpool mainitud 2
V=3 =27 (cm ) VASTUS. Kuubi serv on 3 cm ja ruumala NB vastusesse mitte kirjutada "Lahendid 3 27 cm . on ...", vaid vaadata ülesande tekstist korralikult järele, mida küsiti 2 19.Ruutvõrrandi ax +bx+c=0 lahendamine Ül.1367 kaksliikme ruuduks täiendamise võttega - Lahenda võrrand kaksliikme ruuduks viia vabaliige vasakult poolelt paremale; täiendamise võttega. täiendada sobiva arvu liitmisega vasakut 2 poolt nii, et tekib kaksliikme ruut; liita x -6x+8=0 viia vabaliige paremale sama arv ka parema poolega; võtta poolele 2 saadud kaksliikmest ruutjuur; leida x -6x=-8 liita mõlema poolega sobiva lahendid, lahendades vastavad arvu ruut
liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda. Kolmnurga reegel summavektoriks on vektor, mis algab ühe liidetava alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n nimetatakse lineaarselt sõltuvaiks, kui leiduvad arvud a1; a2;...an, mis ei ole korraga nullid ning mille puhul kehtib seos (lineaarne kombinatsioon) 1a1 + 2a2+...+nan=0
Nüüd saame ac bc ad bd b) am bm an bn Lahendus: Tegurdame lugejat ja nimetajat. Lugeja: ac bc + ad bd = (ac bc) + (ad bd) = c(a b) + d(a b) = (c + d) (a b). Nimetaja: am bm an + bn = (am bm) (an bn) = m(a b) n(a b) = (m n) (a b). Saame, et xy c) yx Lahendus: vu d) 4u 2 4v 2 Lahendus: Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid Murdude korrutamine 1. Arvuta järgnevad korrutised. 4 3 a) 5 2 Lahendus: 5 3 b) 6 4 Lahendus: 3 c) 14 7 Lahendus: 1 d) 10 5 Lahendus: 2. Lihtsusta järgnevad avaldised. ab c 2 a) c a2 Lahendus: a 2b 3 m 2n 2 b) mn 2 a 3 b 2 Lahendus: 2x 2 yz 10ab 2 c) 5a 2 b 3 x 2 yz 2 Lahendus: a b a b xy d)
arvuga, siis öeldakse, et murdu tuleb laiendada antud nimetajani. 2 Näide: Laiendame murdu nimetajani 15 5 2 Uue murru saamiseks on vaja leida selline laiendaja, millega murru nimetajat 5 korrutades saame 15. Kuna 15 : 5 = 3, tuleb laiendajaks võtta 3. Seega saame: Lugeja ja nimetaja korrutamine leitud laiendajaga tehakse tavaliselt peast. Laiendatud murd kirjutatakse antud murru ja võrdusmärgi järele. Murru laiendamist saab kontrollida taandamisega. Taandamine ja laiendamine on teineteise pöördteisendused. Murdu laiendades saab erinevate nimetajatega murrud asendada selliste murdududega, mille nimetajad on võrdsed. Sellisel juhul öeldakse, et erinimelised murrud teisendatakse ühenimelisteks. 1 5
cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z 1 8. Vektorite kollineaarsus a b,( = = ) X 2 Y2 Z 2 AM x + x B y + y B 9. Lõigu jaotamine antud suhtes = , ( xM = A ; yM = A ;...) MB 1+ 1+
cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z 1 8. Vektorite kollineaarsus a b,( = = ) X 2 Y2 Z 2 AM x + x B y + y B 9. Lõigu jaotamine antud suhtes = , ( xM = A ; yM = A ;...) MB 1+ 1+
Seepärast nimetatakse x-telge reaalteljeks ja y-telge A = (aij) imaginaarteljeks. c*A = (cij), kus cij = c*aij Liitmine: Ühendades punkti Ax; ykoordinaatide alguspunktiga, saame + = (a1+ b1, a2+ b2, ..., an+ bn) vektori OA . Vahel on Maatriksite korrutamine: sobiv kompleksarvu x iy geomeetriliseks kujutiseks A= (1, 2, ..., n) read Kordumine arvuga: lugeda vektorit OA. B= (1, 2, ..., p) veerud = (a1, a2, ..., an) A*B = cA = (ca1, ca2, ..., can)
j¨argmiselt: 1 z1 = z2 ⇔ a = c ja b = d; 2 z1 ± z2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i 3 z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i 4 z1 z1 · z¯2 a + bi ac + bd bc − ad = 2 = = 2 + 2 i. z2 |z2 | c + di c + d2 c + d2 Kompleksarvude liitmine on analoogiline vektorite liitmisega. Korrutamine algebralisel kujul on tavaline algebraliste avaldiste korrutamine. Jagamine defineeritakse korrutamise kaudu. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Leida kompleksarvude summa, vahe, korrutis, jagatis, moodulid ja kaaskompleksid: 1 z1 = 3, z2 = −4i 2 u1 = 2 − 5i, u2 = 3 + i 3 w1 = 1 + i, w2 = −3 + 2i
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn a>0 d = 2r r= a = a = - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn 0, kui a = 0 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd anam=an
Summa ja vahe astendamise seoseid · Esimene seos LIIKMETE ARV Oletame, et meil on tehe ( a + b ) , kus 'a' ja 'b' on liidetavad ja 'n' on astendaja. n Summa või vahe astendamisel 'n'-ga on tekkivaid liikmeid alati n+1. NÄITEKS: ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2 ( a + b ) = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b4 4 ( a + b ) = a8 + 8a 7b + 28a 6b 2 + 56a5b3 + 70a 4b 4 + 56a3b5 + 28a 2b6 + 8ab7 + b8 8 · Teine seos KA VAHE ON SUMMA Kui meil on näiteks tehe ( a - b ) , tuleb seda võtta kui a + ( -b ) n n , mis tähendab seda, et saadavas avaldises tuleb kõigi liikmete, mis sisaldavad 'b'-d märgid kirjutada vastupidiselt, välja arvatud juhul, kui 'b' on paarisarvulise astendajaga. NÄITEKS: ( a - b) a + ( -b ) 3
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega ⎧a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn ⎪ a>0 d = 2r r= a = a = ⎨ - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn ⎪0, kui a = 0 (a+b)(c+d)=ac+ad
Lineaarkujutiseks nimetatakse kahe vektorruumi V ja W vahel olevat kujutist, kui on rahuldatud tingimus: f(*a+*b)=*f(a)+*f(b). Järeldused: 1) ==1, f(a+b)=f(a)+f(b) aditiivsus 2) =0 f(*a)= *f(a) homogeensus 3) =0, =0; f=0vektor (0V, 0W) Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutust f nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks. Lineaarteisenduse liigid: vektori lüke, pööre, peegeldamine sirgest, korrutamine arvuga. Lineaarkujutuse vektorruumiks L nimetatakse vektorruumi, kui on rahuldatud järgnevad tingimused: Lineaarkujutust võib korrutada arvuga a*f Def: lineaarkujutise distributiivsus (f+g)*(a)=f(a)+f(g) Def: (*f)*(a)=*f(a) Öeldakse, et kujutused f ja g on võrdsed, kui on rahuldatud võrdus f(a)=g(a) f=g f+g=g+f kommutatiivsus (f+g)+h=f+(g+h) assotsiatiivsus f+=f nullkujutis f+(-f)= vastandkujutis Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi need vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. f(x)=*x vektorid kollinaarsed Nullvektoris
ARITMEETIKA 1.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed 24 = 16 29 = 512 34 = 81 44 = 256 64 = 1296 25 = 32 210 = 1024 35 = 243 45 = 1024 65 = 7776 26 = 64 211 = 2048 36 = 729 46 = 4096 7 4 = 2401 27 = 128 212 = 4096 37 = 2187 54 = 625 84 = 4096 28 = 256 213 = 8192 38 = 6561 55 = 3125 94 = 6561 1.2 Hariliku murru põhiomadus Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui k 0 , siis a ka = b kb (murru laiendamine), ka ka : k a = = kb kb : k b (murru taandamine). 1.3 Tehetevahelised seosed Kui x + a = b , siis x = b - a . Kui x - a = b , siis
Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Liitmine: AB + BC = AC . Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab tingimusi: 1. vektor c on paralleelne vektoriga ; 2. kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse a korrutamisel arvu c absoluutväärtusega c . 4. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiliste vektorite skalaarkorrutis. Skalaarkorrutise 5 omadust. n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu (a1 ; a 2;... a n ) , võetuna kindlas järjekorras. Aritmeetiliste vektorite = (a1 ; a 2;... a n ) ja = (b1 ; b2;...bn ) summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit + = (a1 + b1 ; a2 + b2 ;..
Reaalarvu absoluutväärtus: | | - absoluutväärtuse märgid. Nt. |-5| = 5 ; |5| = 5 Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. Teineteise vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed. 1 Ratsionaalarvude liitmine ja lahutamine: +(+a) = +a +(-a) = -a -(-a) = +a -a(+a) = -a Ratsionaalarvude korrutamine ja jagamine: (+)*(+) = + (+) : (+) = + ( - )* ( - ) = + (-):(-)=+ ( - ) * (+) = - (+) : ( - ) = - (+) * ( - ) = - ( - ) : (+) = - Kui negatiivseid tegureid on paarisarv on korrutis positiivne. Kui negatiivseid tegureid on paaritu arv on korrutis negatiivne. Kahe samamärgilise arvu jagatis on positiivne. Kahe erimärgilise arvu jagatis on negatiivne. Arvu aste: 2³=222=8 a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0).
annaabi.ee 
