Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Kahendsüsteemi powerpoint esitlus". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
kahendsüsteem, jääk, arvusüsteem, 1001, kümnendsüsteemi, täisarvu, loendamine, teisendamine, binaarsüsteem, arvusüsteemi, araabia, esitamiseks, 1101, täisarvuliselt, liitmine, korrutamine, kasutusalaksSindi Gümnaasium Karl Kivila 10.a klass ARVUSÜSTEEMID Referaat Sindi 2015 SISUKORD 1. ARVUSÜSTEEMID.........................................................................................................................3 1.1 Positsiooniline arvusüsteem.......................................................................................................3 1.2 Erinevad arvusüsteemid.............................................................................................................3 2. ERINEVATE ARVUSÜSTEEMIDE ARVUDE TEISENDAMINE KÜMNENDSÜSTEEMI.......5 3. KÜMNENDSÜSTEEMI ARVUDE TEISENDAMINE ERINEVATESSE ARVUSÜSTEEMIDESSE............................................................................................................
. . . . a5 a4 a3 a2 a1 a0 a-1 a-2 a-3 a-4 . . . . a i . . . . Arv koosneb numbritest. näide: arv 1024 koosneb neljast numbrist: '1' '0' '2' '4' Ainus üldtuntud mittepositsiooniline arvusüsteem on rooma numbrite a süsteem numbrimärkidega I V X L C D M Arvu väärtus ik Mistahes positsioonilises arvusüsteemis (ehk iga aluse p korral) avaldub n
Egiptus Babüloonia Kreeka Vana Rooma I V X L C D M Arvude tähistamise mistahes süsteemi nimetatakse arvusüsteemiks. Nii kujutavad kõik eespool toodud näited arvusüsteeme. Neid arvusüsteeme nimetatakse mittepositsioonilisteks arvusüsteemideks, sest nendes ei sõltu vastava märgi (numbri) väärtus tema asukohast arvus. 1 Arvusüsteemi nimetatakse positsiooniliseks, kui iga tema numbri väärtus sõltub numbri asukohast arvus. Selgitame seda näite varal: olgu meil arv kolmsada kolmkümmend kolm kirjutatud: Egiptuse hieroglüüfides: Positsioonilises kümnendsüsteemis: 333 Vasakult esimene märk tähistab sadat. Vasakult esimene kolm tähistab kolme
ARVUTITE ARITMEETIKA IAY0140 POSITSIOONILISED ARVUSÜSTEEMID 1. Milline on tiutum mittepositsiooniline arvusüsteem? – Rooma numbrid – Morsekood Positsiooniline arvusüsteem on arvusüsteem, mis esitab arve järjestikku kirjutatud numbritena, kusjuures numbrile omistatav väärtus sõltub tema asukohast ehk numbrikohast selles järjestuses. Positsioonilise arvusüsteemi aluseks nimetatakse naturaalarvu k, mis tähistab, mitut numbrit (null kaasa arvatud) arvusüsteem kasutab. Näiteks kümnendsüsteemi alus on kümme: see kasutab numbreid 0 kuni 9. Igas arvusüsteemis (va juhul kui alus on 1) on aluse tähis 10, sest see on esimene arv, mida ei saa tähistada k numbri abil. 2. Mis on arvusüsteemi alus? Mida ta määrab? Arvusüsteemi aluse mõiste – numbri kirjapanekuks kasutatavate märkide arv.
1. Kahendsüsteem ja selle teisendamine kümnendsüsteemi. Sümbolite arv ehk süsteemi alus p=2, sümbolid on 0 ja 1. Järkude kaalud vasakul pool koma on 2 0; 21; 22; 23 jne. Ning paremalpool koma 2-1; 2-2; 2-3; jne. Näide. Hakkame , pihta ja liigume vasakule (0 ei pea kirjutama) 100101,1012 = 1*20+0*21+1*22+0*23+0*24+1*25+1*2-1+0*2-2+1*2-3 =1+4+32+1/2+1/8=37+0,5+0,125=37,625 10 2. Kümnendsüsteem ja selle teisendamine kahendsüsteemi Sümbolite arv ehk üsteemi alus p=10 sümbolid on 0;1;2;3;....;9, järkude kaalud vasakul pool koma on 100; 101; 102; jne ning paremal pool koma 10-1; 10-2; 10-2 jne. Näide. 598,7410 = 8*100+9*101+5*102+7*10-1+4*10-2 Teisendamine 2'hend süsteemi. Täisarvu teisendamiseks kahendsüsteemi jagatakse seda süsteemi alusega ja jääk kirjutatakse kõrvale. Näide. 55 10->2 55:2 1 27:2 1 13:2 1 6:2 0 3:2 1 1 1
Digitaaltehnika Loengukonspekt Sisukord Sisukord............................................................................................................................... 2 1. Arvusüsteemid................................................................................................................. 4 1.1. Kümnendsüsteem......................................................................................................4 1.2. Kahendsüsteem.........................................................................................................4 1.3. Kaheksandsüsteem....................................................................................................4 1.4. Kuueteistkümnend süsteem...................................................................................... 4 1.5. Kahendkodeeritud kümnendsüsteem 8421...............................................................5 1.6
Digitaaltehnika Loengukonspekt Sisukord Sisukord...............................................................................................................................2 1. Arvusüsteemid..................................................................................................................4 1.1. Kümnendsüsteem......................................................................................................4 1.2. Kahendsüsteem.........................................................................................................4 1.3. Kaheksandsüsteem....................................................................................................4 1.4. Kuueteistkümnend süsteem......................................................................................4 1.5. Kahendkodeeritud kümnendsüsteem 8421...............................................................5 1.6
XILINX Spartan 3 FPGA kasutus auto multimeedias Toomas Ruuben. TTÜ Raadio ja sidetehnika 55 instituut. Digitaalarvuti toimimise üldpõhimõtted, arvsüsteemid Kümnendsüsteem K -1 A10( D ) = ai 10i i =0 Näiteks: 2 102 + 5 101 + 3 100 = 200 + 50 + 3 = 253 Kahendsüsteem K -1 A2( B ) = ai 2i i =0 Näiteks: 1 23 + 0 2 2 + 1 21 + 1 2 0 = 8 + 2 + 1 = 1110 Toomas Ruuben. TTÜ Raadio ja sidetehnika 56 instituut. 28 Digitaalarvuti toimimise üldpõhimõtted, arvsüsteemid
Aadressisiiini bittide arv määrab ära mälu maksimaalse suuruse, mille poole protsessor saab pöörduda - Andmesiini laius (Data bus) - Andmesiini kaudu samaaegselt edastatavate bittide arv (iga biti jaoks on kaablis oma juhtmesoon) 7. Mida tähendab digitaalinfo juures diskreetne aeg? - Aeg, millal loetakse signaali diskreetne seisund? (madal, kõrge) 8. Millised on 4 peamist numbrisüsteemi? - 10 – kümnend- ehk detsimaalsüsteem - 2 – kahend- ehk binaarsüsteem - 16 – kuusteistkümmend- ehk heksadetsimaalsüsteem - 8 – kaheksand- ehk oktaalsüsteem Vabalt saab ka ise numbrisüsteeme luua, näiteks kolmend- või kolmekümne kahendsüsteem. 9. Arvude teisendamine nelja peamise numbrisüsteemi vahel (k.a. murdarvud). Kümnendpunkt, teisendamine 10nd süsteemi: 101.011B = 1*22 + 0*21 + 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2 + 1*2-3 = =4 + 0 + 1 + 0 + 0.25 + 0.125 = 5.375D 123.48O = 1*82 + 2*81 + 3*80 + 4*8-1 + 8*8-2 =
....................................................................................................... 18 Järjestussuhe ................................................................................................................................................... 19 Graafid ............................................................................................................................................................. 20 Arvusüsteemid 1. Milline on tuntuim mittepositsiooniline arvusüsteem? Rooma numbrite süsteem. 2. Mis on positsioonilise arvusüsteemi alus? Mida ta määrab? Alus määrab ära positsioonilise arvusüsteemi ning mitmest numbrimärgist arvusüsteem koosneb. 3. Mis on arvujärgu kaal? Kuidas on iga järgu kaal määratud? Igal arvujärgul on kaal , mille saame arvusüsteemi alust p arvujärgu indeksiga i astendades: . 4. Mida näitab koma? Koma näitab, kus lähevad täisarvulised järgukaalud üle murdarvulisteks. 5
Digitaaltehnika konspekt 1 Sissejuhatus......................................................................................................................... 3 2 Arvusüsteemid..................................................................................................................... 4 2.1 Kahend-, kaheksand-, kuueteistkümnendarvude teisendamine kümnendarvudeks.......4 2.2 Teiste arvsüsteemide arvude murdosa teisendamine kümnendarvu murdosaks...........5 2.3 Ülesanne 1.................................................................................................................... 5 2.4 Ülesanne 1a.................................................................................................................. 6 2.5 Ülesanne 1b.................................................................................................................. 6
Skeemitehnika I kordamisküsimused 1. Numbrite esitamine ja teisendamine kahend-, kümnend- ja kuueteistkümnendsüsteemis. Kümnendsüsteemist 16. süsteemi käib sama moodi nagu 10.süsteemist binaari, ainult et jagad kahe asemel 16ga ja jäägis (milleks tulevad arvud 0-15) asendad 10-15 ->A-F. NT 1000 (10.süsteemis) = 3E8 (16.süsteemis). 2. Loogikafunktsioonid ja neid realiseerivad loogikaelemendid (funktsioonide nimetused, olekutabelid, skeemi tingmärgid). AND (ja) A B Q 0 0 0 0 1 0
MDNK: q L ab L i Z ai q i- w -6 L L $ ² 10 /HLGD ²4 ² 4B = . . . $ 0000 0010 0001 1001 B = 1310 ² 1001 0111 1000 0001 —————————————————————————————— 0100 0100 1001 0010
MDNK: q L ab L i Z ai q i- w -6 L L $ ² 10 /HLGD ²4 ² 4B = . . . $ 0000 0010 0001 1001 B = 1310 ² 1001 0111 1000 0001 ------------------------------------------------------------ 0100 0100 1001 0010 |A| = 2 = + 7210 B = 2 = 1310 ²²²²²²²²²²²²
EKSAMIKÜSIMUSED 2005 Sisukord Sisukord ..................................................................................................................................................... 1 Arvuti riistvara matemaatilised alused ...................................................................................................... 4 Kahendsüsteem .............................................................................................................................. 4 Boole funktsioonid ja nende esitus................................................................................................ 4 Diskreetne aeg ............................................................................................................................... 4 Lihtsamaid Boole` funktsioone realiseerivad loogikaelemendid ..................
EKSAMIKÜSIMUSED 2005 Sisukord Sisukord............................................................................................................................................1 Arvuti riistvara matemaatilised alused ............................................................................................ 4 Kahendsüsteem............................................................................................................................4 Boole funktsioonid ja nende esitus..............................................................................................4 Diskreetne aeg............................................................................................................................. 4 Lihtsamaid Boole` funktsioone realiseerivad loogikaelemendid.....................................
5 Küsimus 10 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Märgista järgnevas loetelus need nimed, mis loogikaseaduste hulgas tõepoolest eksisteerivad: Vali üks või enam: välistatud teise seadus kontrapositsiooni seadus välistatud kolmanda seadus vastuolu seadus päritolu seadus Morgani seadus eeldusseadus topelteituse seadus DeMorgani seadus neeldumisseadus topeltjaatuse seadus ARVUSÜSTEEMID Küsimus 1 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Kuidas toimub arvu teisendus mingisse teise arvusüsteemi? Vali üks: uue alusega jagamise teel järguväärtuste liitmise teel järguväärtuste korrutamise teel uue alusega astendamise teel Küsimus 2 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Milline on tuntuim mittepositsiooniline arvusüsteem? Vali üks: kuueteistkümnendsüsteem kümnendsüsteem kahendsüsteem rooma numbrid araabia numbrid Küsimus 3 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Millised arvujärgud on madalamad järgud ? Vali üks: väiksemate numbritega täidetud arvujärgud
ja arvudest ei ole normaalkujulised 2.Üksliikme kordaja - esimesel kohal olev kordaja on 10 arvuline tegur normaalkujulises üksliikmes 3.Sarnased üksliikmed - üksliikmed, mis ja on sarnased, sest täheline osa on erinevad ainult kordaja poolest või ei erine üldse samasugune 4.Üksliikme teisendamine normaalkujule - kirjutame arvuliste tegurite korrutise esimesele kohale ning asendame samade muutujate korrutised astmetega astmealuste tähestikulises järjekorras 5.Üksliikmete koondamine - tuleb teha vastav Õ ül.161 tehe vaid üksliikmete kordajatega, täheline osa jääb muutmata NB koondada saab sarnaseid üksliikmeid selgitus: sarnased on esimene ja teine liidetav,
42. Hulkliikmetejagamine, kui kordajad kuuluvad lõplikku korpusesse GF (2m ) (natuke on mainitud loengus nr.13 ja raamat lk. 18-19) Jagamine on kahel viisil, kas tavaline (tulemuseks on jagatis) või faktorringis (tulemuseks on jääk). Otsene jagamine: Q(z)/g(z)=f(z) Nt. jagame koodi 1111111 koodiga 1011 saame 1111111/1011=1101 Hulkliikmete jagamine tabeli kujul: 1111111 jagaja hulkliige: 1011 1011 1101 1001 1011 01011 1011 0000 (jääk) Või nii, et jagamise tulemuseks on otsese jagamise jääk: (1111111/1011)mod g(z)=0000, kus taandava hulkliikme rollis fm(z) rollis on hulkliige g(z) 43. Hulkliikmete juured (raamat lk.45-46 ja loeng 14(alates slaid 12)) Tekitava hulkliikme juured on ka kõikide lubatud koodsõnade hulkliikmete juurteks. Lubatud koodsõnade hulkliikmete juured kuuluvad korpusesse GF(2m). Arvesse võttes tsükkelkoodi omadust 3
Saateks 5 Digitaal- ja mikroprotsessortehnika arengut kajastavaid aastaarve 6 1. DIGITAALELEKTROONIKA ALUSED 7 1.1. Diskreetsed ja arvsignaalid 7 1.1.1. Kvantimine 7 1.1.2. Kodeerimine, dekodeerimine ja koodide liigid 8 1.1.3 Kümnendarvude teisendamine kahend-, kaheksand- ja kuueteistkümnendarvudeks 12 1.1.4. Informatsiooni hulk ja signaali viga 13 1.2. Loogikafunktsioonid ja loogikalülitused ning nende esitusviisid 14 1.2.1. Loogikatehted 14 1.2.2. Loogikaseadused 17 1.2.3
Mis on Diskreetne Matemaatika ? Termineid: — verbaalne esitus on mistahes info esitamine lingvistilise keele abil. " diskreetne " ≡ " mitte pidev " ehk " astmeline " — formaalne esitus on mistahes info esitamine ilma lingvistilise keele abita ehk kokkulepitud sümbolite abil. vs. " Diskreetne Matemaatika " ↔ " Pidev Matemaatika " NB! MÕTLEMINE on alati verbaalne ehk toimub mingi lingvistilise keele Diskreetne Matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate funktsioonidega. abil.
..........................................................6 Reaalarvude piirkonnad............................................................................................................7 Protsentarvutus......................................................................................................................... 7 Ratsionaalavaldise lihtsustamine..............................................................................................7 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine............................................................................ 8 Astendamine............................................................................................................................. 8 Naturaalarvuline astendaja................................................................................................... 8 Tehted astmetega.................................................................................................................. 8
82. Sarnased hulknurgad hulknurgad, mille vastavad nurgad on võrdsed ja vastavad küljed on võrdelised. 83. Sarnasustegur sarnaste hulknurkade vastavate külgede pikkuste jagatis. Tähis k. 84. Sfäär kera pind. 85. Silinder keha, mille moodustab ümber oma ühe külje pöörlev riskülik. 86. Sirgnurk nurk, mille haarad moodustavad sirgjoone. 180o 87. Siseringjoon ringjoon, mis puutub hulknurga kõiki külgi. 88. Suhe jagatis 89. Suurim ühistegur mitme täisarvu ühistegur, mis jagub nende arvude iga teise teguriga. 90. Taandamine 1. hariliku murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. 2. võrduse mõlema poole jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. 91. Taandamata ruutvõrrand ruutvõrrand kujul ax2+bx+c=0 92. Taandatud ruutvõrrand ruutvõrrand kujul x2+px+q=0 93. Tekstülesanne ülesanne, mille lähtesituatsiooni on kirjeldatud sõnalisel kujul. 94
· Taanda murrud: 1) 2) 3) 24 15 506 · Missuguse osa kilomeetrist moodustab 400 m? 14 6 9 14 · Taanda ja seejärel arvuta: 1) 2) 120 26 54 2 4. Murdude teisendamine ühenimelisteks Murru lugeja ja nimetaja korrutamist ühe ja sama nullist erineva arvuga nimetatakse murru laiendamiseks. Seda arvu, millega murru lugejat ja nimetajat korrutatakse, nimetatakse murru laiendajaks. Laiendaja kirjutatakse laiendatava murru kohale väiksese kaarekese sisse. Näide: Kui laiendaja on 5, siis same, et Kui murdu on vaja laiendada nii, et uue murru nimetaja oleks võrdne mingi etteantud arvuga, siis öeldakse, et murdu tuleb laiendada antud nimetajani.
LN(a) Naturaallogaritm (alus e=2,718…). a>0 LOG(a [; alus ]) Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 LOG10(a) Logaritm alusega 10. a>0 MDETERM(p) Lahtriplokis asuva maatriksi deteminant MINVERSE(p) Lahtriplokis asuva maatriksi pöördmaatriks. MMULT(p1;lp2) Lahhtriplokkides lp1 ja lp2 asuvate maatriksite korrutis MOD(a;b) Jagatise a/b jääk MROUND(a;täpsus) Ümardab arvu etteantud täpsusega PI() Pii = 3,141592654 RADIANS(a) Teisendab graadid radiaanideks RAND() Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 ROUND(a;n) Ümardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani SIGN(a) Arvu märk: 1 - + (positiivne), -1(negatiivne); 0 - null SIN(a) Siinus. Argument radiaanides SQRT(a) Ruutjuur. a>=0
ℤ = {±1; ± 2; ± 3; ...} . Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Laiendades täisarvude hulka positiivsete ja negatiivsete murdarvudega, saame a ratsionaalarvude hulga ℚ = , kus a ∈ ℤ , b ∈ ℤ ja b ≠ 0 . Ratsionaalarve saab b esitada nii kahe täisarvu suhtena kui ka lõplike või lõpmatute perioodiliste 3 5 1 kümnendmurdudena. Näiteks , , . 4 1 6 Kokkuvõttes ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Näiteks 3 , 4 + 2 . Kõigi irratsionaalarvude hulga tähis on I. Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud koos moodustavad reaalarvude hulga ℝ . Seega ℚ ∪ I. = ℝ .
paigaldatud eseme saab kätte esimesena.(LIFO) • Operatsioonid. o Elemendi lisamine pinusse (push) o Elemendi eemaldamine pinust (pop) o Uue pinu loomine. o Kontroll, kas pinu on tühi. o Kontroll, kas pinu on täis (ruum uute elementide lisamiseks on otsa saanud). 5.2 Näited pinu kasutamisest • Funktsioonide väljakutse organiseerimine • Avaldiste teisendamine, kontrollimine, arvutamine ja muu aritmeetiliste avaldiste töötlemine (sulge mugavalt uurda) • Igasuguse info tagurpidi pööramiseks • Abivahend andmete hoidmisel, kus viimati listud väärtust tuleb kohe töötlema hakata • Alamprogrammide väljakutse organiseerimine arvutis o Uue alamprogrammi väljakutse tähendab seda, et programmi täitmine jääb teatud kohas
transistorid. Tarbib vähem voolu loendurid kõik järgnevad signaale, muundada püsimäludeks. Ühekordselt ja kiirem. STTL (Schollky TTL koodid on naaberkoodid. kahendkoodis antud arv programmeeritavaid mälusid e. Low TTL) - kasutatakse Soti Suvalise mooduliga e. kümnendsüsteemi arvuks jne. liigitatakse sõltuvalt sellest, kas dioodi. Pannakse transistori ette naaberkoodid on koodid, mis Üldjuhul on dekoodril nii mitu need programmeeritakse tehases diood, et transistor ei küllastuks, erinevad teineteisest ainult ühe sisendit n, kui mitu kohta on mälukiibi valmistaja poolt või kuna küllastunud transistori kahendjärgu poolest
Sisukord Eessõna 1 1 Arvuti tööpõhimõtted ja ehitus 4 1.1 Analoog- ja digitaalsignaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Kahendsüsteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Informatsiooni esitamine arvutis. Mälumahu ühikud . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Arvutite liigitus. Arvutikorpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Emaplaat ja sellega seonduv . . . . . . . . . . . . . .
Põhivara 7. klass Protsendi mõiste: Ühte sajandikku osa mingist kogumist, tervikust nim. protsendiks (%). Jagatise väljendamine protsentides: Tihti on vaja teada, mitu % moodustab üks arv teisest. Kahe arvu jagatise väljendamiseks protsentides leiame selle jagatise esmalt kümnendmurruna ning korrutame siis sajaga. Näide: Arv 3 arvust 4 moodustab? 3 : 4 = 0,75 0,75 * 100 = 75% Tekstülesannete lahendamine % abil: Metsapäeval oli kavas istutada 2400 puud. Õpilased ületasid ülesande 16% võrra. Mitu puud istutati? Antud ülesannet saab lahendada kahel viisil. võimalus: 1% on 2400 : 100 = 24 16% on 16 * 24 = 384 16% 2400-st on 384 Kuna plaan ületati 16% võrra, mis vastab 384 puule, siis istutati 2400 + 384 = 2784 puud. võimalus: Mitu puud on 16% ? 2400 puud on 100% x puud on 16% x = 2400 * 16/100 = 384 Mitu puud istutati? 2400 + 384 = 2784
Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Lahtriplokis asuva maatriksi deteminant Lahtriplokis asuva maatriksi pöördmaatriks. Lahhtriplokkides lp1 ja lp2 asuvate maatriksite korrutis Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega Pii = 3,141592654 Astendamine - a^b Teisendab graadid radiaanideks Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 Ümardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani Arvu märk: 1 - + (positiivne), -1(negatiivne); 0 - null Siinus. Argument radiaanides Ruutjuur. a>=0 Argumentide väärtuste summa Tangens. Argument radiaanides
1) sest 4 =16 5) võrdub nulliga; arvu ruudu pöördtehe; 2) 6) üldiselt =|a|, |a|=a, kui a 0 või |a|=a, kui 3) 7) a<0 4) 8) NB ruutjuurt negatiivsest arvust ei ole olemas, aga ruutjuur negatiivse arvu ruudust võrdub selle vastandarvuga 3.Ratsionaalarvud - kahe täisarvu jagatis vaata kujul (q 0); tähis Q; Q=täisarvud+ Ül.1279,1289 Esitada kahe täisarvu jagatisena. positiivsed ja negatiivsed murdarvud; -8=-8:1 0,0082=82:10 000 osahulgad: naturaalarvude hulk ja - =- täisarvude hulk; siia kuuluvad murdarvud on kas lõplikud või lõpmatud perioodilised kümnendmurrud; iga ratsionaalarv avaldub Leida, kumb on suurem. lõpmatu perioodilise kümnendmurruna < + LOE
Arvutite rakendusala laienemine Alguses kasutati arvuteid ainult arvutusülesannete jaoks. Uuemad arvutid tegid arvutusi kiiremini ja laiendasid lahendatavate ülesannete valdkonda. Suur arvutusjõudluse hüpe toimus selle sajandi keskpaigas, kui hakati looma elektronarvuteid. 1946. aastal avaldas ameerika matemaatik John von Neumann artikli, kus ta sõnastas kaks põhiprintsiipi, mida rakendatakse kõigis kaasaegsetes arvutites: 1. arvutis tuleb arvud esitada mitte kümnendsüsteemi arvudena, vaid kahendsüsteemis, s.t. ainult numbrite 0 ja 1 abil; 2. arvuti töö juhtimiseks tuleb kasutada arvuti mälus paiknevat programmi (kuni selle ajani kasutati programmeerimiseks perfokaarte, perfolinte ja juhtimispuldi lüliteid). Mälus paikneva programmi ja andmete vahel ei ole olulist erinevust, s.t. üks programm võib vaadelda teist programmi kui andmeid. Nende kahe printsiibi järgi loodud arvutitega sai töödelda ka andmeid, mis ei olnud arvud. Aja
annaabi.ee 
