SIRGE PROJEKTSIOONIKS TASANDIL - võib olla sirge või punkt. KOLME RISTSIRGE TEOREEEM - täisnurga projektsioon tasandil on täisnurk siis ja ainult siis, kui täisnurga üks haar asetseb tasandil või on sellega paralleelne ja tema haar ei ole risti tasandiga. ANTUD NURGA PROJEKTSIOON TASANDIL - on suurim, kui nurgahaarad on tasandiga paralleelsed. KAHE TASANDI VASTASTIKUSED ASENDID RUUMIS - on paralleelsed ja mitteparalleelsed. KAHTE TASANDIT RUUMIS - nim paraleelseteks kui neil ei ole ühtegi ühist punkti. TASANDITE LÕIKESIRGEKS - nim kui 2 tasandit omavad ühiseid punkte, siis on neid lõpmatult palju ja nad kuuluvad kõik ühele sirgele. KAHE TASANDI PARALLEELSUSE TUNNUS - Kui ühe tasandi 2 lõikuvar sirget on paralleelsed teise tasandiga, siis on need tasandid paralleelsed. KAHE PARALLEELSE TASANDI VAHELISEKS KAUGUSEKS - on nende ühisel normaalil asuva tasandi vahelise lõigu pikkus.
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Sirged ja tasandid ruumis Sin on vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Paralleelseteks sirgeteks nimetatakse kaht üht tasandil asuvat sirget, millel ei ole ühtki ühist punkti. Lõikuvateks sirgeteks nimetatakse kaht sirget, millel on üks ühine punkt. Kiivsirgeteks nimetatakse kaht mitteparalleelset sirget ruumis, mis ei oma ühiseid punkte (s t)
sellele, kas kiired vetakse ekraaniga kaldu vi risti. Kaldprojektsiooni korral lisanduvad toodud lausetele 1...4 järgmised. 5. Kui sirglik on paralleelne ekraaniga, siis tema projektsioon ekraanil on pikkuselt vrdne ja paralleelne ligu enesega. 6. Sirgjoone ligud on vrdelised oma paralleelprojektsioonidega. Ligu paralleelprojektsiooni pikkuse ja ligu enda pikkuse suhet nimetatakse moondeteguriks m. 7. Paralleelsete sirgete paralleelprojektsioonid on üldjuhul jälle paralleelsed sirged. Nad projekteeruvad punktiks, kui sirged on kujutamiskiirte sihis, ja üheksainsaks jooneks, kui sirged asetsevad ühel tasandil, mis on kujutamiskiirtega paralleelne. 8. Kui tasandiline kujund on paralleelne ekraaniga, siis tema paralleelprojektsioon on vrdne kujundi enesega. Ristprojektsiooni kohta kehtivad kik eelnevad laused ja lisanduvad järgmised. 9. Täisnurga ristprojektsioon on täisnurk, kui tema üks haar on paralleelne ekraaniga
2) lõigud projekteeruvad esiekraanile tõelises pikkuses 3) põhikaldenurk projekteerub esiekraanile tõelises suuruses 4) üldjuhul on frontaalil põhijälg, esijälg puudub Tunnus - paralleelne või ühtiv X-teljega. 19. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel. Kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad vaated pole risti x-teljega, siis need sirged ruumis lõikuvad. 20. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega, siis need sirged on paralleelsed 21. Skitseerige kiivsirgete a ja b kaksvaade koos varjumise näitamisega. 1) Kiivsirged ei lõiku ega ole paralleelsed. 2) Kiivsirgete kaksvaade ei tohi rahuldada lõikumise ega paralleelsuse tunnust. 22. Nimetage kõik tasandi määramisvõimalused.
Horisontaaliks nimetatakse põhiekraaniga paralleelset nivoosirget. Tema tunnus kaksvaate alusel: h1 h"x A'B'=AB (Frontaaliks nimetatakse esiekraaniga paralleelset nivoosirget. Tema tunnus kaksvaate alusel: f1 f'x A"B"=AB). 19. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel. Kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad vaated pole risti x-teljega, siis need sirged on ruumis lõikuvad. 20. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega, siis need sirged on ruumis paralleelsed. 21. Skitseerige kiivsirgete a ja b kaksvaade koos varjumise näitamisega. 22. Nimetage kõik tasandi määramisvõimalused. Sirge ja ühe punktiga, mis ei asetse sirgel, kahe lõikuva sirgega kahe paralleelse sirgega, kolme punktiga, mis ei asetse samal sirgel 23
otspunktide esikvootide vahe. 34. Tuletada sirglõigu AB pikkus A(50,0;10) ja B(10;20;40). 35. Mis on sirglõigu põhikaldenurk (esikaldenurk) ja kuidas selle suurust määratakse? nurk sirge põhieraanil oleva sirglõigu projektsiooni vahel (esikaldenurk). 36. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega, siis need sirged on ruumis paralleelsed. 37. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel. Kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad vaated pole risti xteljega, siis need sirged ruumis lõikuvad. 38. Skitseerige kahe kiivsirge (a ja b) kaksvaade (lahendada varjumine). 39. Kas kahe kiivsirge paralleelprojektsioonid võivad olla paralleelsed?
. Kaaskompleksarvude omadused: Kompleksarvude jagatise leidmisel korrutakse ja jagatakse nimetaja kaaskompleksarvuga: Kompleksarve saab kujutada geomeetriliselt komplekstasandil, seejuures x-telg on reaaltelg, y-telg on imaginaartelg. Kompleksarvule z = a + bi seame vastavusse () punkti A(a, b) ning kohavektori = (a, b) ; s.t. z = a + bi , = (a, b). Niisiis geomeetriliselt kompleksarv z = a + bi näeb välja selliselt: Sellist tasandit, millel on kujutatud kompleksarvud, nimetatakse komplekstasandiks. Vaatleme, kuidas saab geomeetirliselt tõlgendada kaaskompleksarvu mõiste ning algebralised tehed kompleksarvudega. Kui z = a + ib, siis ehk y-koordinaat on b ja x-koordinaat on sama Seega geomeetriliselt kujutuvad kompleksarvud z ja sümmeetriliselt x telje suhtes. Vaatleme nüüd liitmise geomeetrilise tõlgenduse. Olgu , , siis . Arvudele , ja vastavad kohavektorid
2. Frontaal (f) esiekraaniga paralleelne sirge f'||x; AB=|A"B"|; f||2; erijuht f1 f'=P'=P. 3. Profiilsirge (r) külgekraaniga paralleelne sirge r'x ja r"x; r||3. 19. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel. Kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad vaated pole risti x-teljega, siis need sirged ruumis lõikuvad. La×b, sest L'a'×b' ja L''a''×b'' 20. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega, siis need sirged ruumis on paralleelsed. a||b, sest a'||b' ja a''||b'' 21. Skitseerige kiivsirgete a ja b kaksvaade koos varjumise näitamisega. Kiivsed- kui pole ravuldatud paralleelsuse ega lõikumise tingimused
2. Frontaal (f) esiekraaniga paralleelne sirge. Üldjuhul on kujutis põhiekraanil paralleelne sirge x-teljega, erijuhul punkt, kui sirge on risti põhiekraaniga. 19. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel. Kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad vaated pole risti x-teljega, siis need sirged ruumis lõikuvad. 20. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega, siis need sirged ruumis on paralleelsed. 21. Skitseerige kiivsirgete a ja b kaksvaade koos varjumise näitamisega. 22. Nimetage kõik tasandi määramisvõimalused. 1. kolme punktiga, mis ei asetse sirgel, 2. punkti ja sirgega, kui sirge ei läbi seda punkti, 3. kahe lõikuva sirgega,
Seda võrdust nim samasuseks kui ta on rahuldatud tundmatude x ja y kõigi väärtuste puhul. Seda võrdust nim võrrandiks kui teda rahuldavad tundmatute teatud väärtused. Kaht tundmatud x ja y sisaldava võrrandiga määratud jooneks nim joont, mille punktide koordinaadid rahuldavad seda võrrandit. Joone võrrandit F(x;y)=0 nim joone ilmutatud võrrandiks. Kui sellest võrrandist õnnestub tundmatu y avaldada x kaudu, nim seda ilmutatud jooneks. Kahe sirge vastastikused asendid Ühtivad sirged s=t Paralleelsed sirged s||t Lõikuvad sirged st={L} Kiivsirged s Nurk sirgete vahel Tasandi üldvõrrand Ax+By+Cz+D=0 Tundmatute x, y, z kordajad on tasandi normaalvektori koordinaadid. Tasandi normaalvektoriks nim iga vektorit, mis on risti tasandiga. Tasand on I järku algebraline pind. Kui tasandi võrrandis A=0, siis tasand on risti y-z tasandiga. Kui B=0, siis risti x-z tasandiga. Kui C=0, siis risti x-y tasandiga. Kui D=0, siis tasand läbib koordinaatide alguspunkti.
seda punkti, 3) kahe lõikuva sirgega, 4) vastastikune asend jäetakse muutmata, kahe paralleelse sirgega. muudetakse kujutamiskiirte sihti), 3) objekti 23. Mis on tasandi jälgjoon? Jooned, mida pööramise võte (muudetakse objekti asendit mööda tasand lõikab ekraane. paigalejäävate ekraanide ja kiirte suhttes 24. Millist tasandit nimetatakse üldasendiliseks? pööramise teel). Kui ta pole ühegi ekraaniga risti. 33. Kuidas tuleb võtta lisaekraani määrav uus 25. Mis on üldasendilise tasandi põhikaldenurk telg, et üldasendiline tasand projekteeruks (esikaldenurk) ja kuidas seda suurust sirgeks? Lisaekraan tuleb võtta risti selle määratakse? Põhikaldenurk- tasandi ühe jälgsirgega või nivoojoonega.
kummagi sirge mõlemad vaated pole risti kaksvaate teljega. 38) Skitseerida kahe kiivsirge (a ja b) kaksvaade (lahendada varjumine). 39) Kas kahe kiivsirge paralleelprojektsioonid võivad olla paralleelsed? Jah. 40) Kas kahe paralleelse sirge paralleelprojektsioonid võivad olla lõikuvad? Ei, nende paralleelprojektsioonid võivad olla kas paralleelsed sirged, punktid või ühine joonkujutis. 41) Kõik tasapinna määramisvõimalused. a) kolme punktiga, mis ei asetse sirgel b) punkti ja sirgega, kui sirge ei läbi seda punkti c) kahe lõikuva sirgega d) kahe paralleelse sirgega 42) Missugust tasapinda nimetatakse üldasendiliseks/eriasendiliseks? a) üldasendiline tasapind ei ole paralleelne mitte ühegi ekraaniga b) eriasendiline tasapind on risti vähemalt ühe ekraaniga 43) Mis on tasapinna põhijälgjoon/esijälgjoon?
Ringjoone kahte punkti ühendavat lõiku nimetatakse kõõluks. 15. Ringjoone mis tahes kaks punkti jaotavad ringjoone kaheks kaareks. 16. Ringi sektoriks ehk sektoriks nimetatakse ringi osa, mida piiravad ringi kaks raadiust ja nende otspunktide vahel asetsev ringjoone kaar. 17. Sirgel, millel on ringjoonega ainult üpks ühine punkt, nimetatakse ringjoone puutujaks. 18. Kui sirge lõikab Ringjoont kahes punktis siis nimetatakse seda sirget ringjoone lõikajaks. TRAPETS 1. Trapets on kumer nelinurk, mille kaks külge on omavahel paralleelsed ja kaks külge mitte. 2. Trapets (ld sõnast trapezium, mis tuleneb kr sõnast trapezion 'lauake'). 3. Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse alusteks ja ülejäänud kaht külge haaradeks. 4. Aluste vahelist kaugust nimetatakse trapetsi kõrguseks. 5. Trapetsi haarade keskpunkte ühendavat lõiku nimetatakse trapetsi kesklõiguks. 6. Trapetsi haara lähisnurkade summa on 180°. 7. S=(a+b)/2*h 8. S=ak (kus k on kesklõigu pikkus) 9
* Tasapinna normaali p e a l t v a a d e on risti tasapinna horisontaali pealtvaatega (ja põhijäljega), e e s t v a a d e aga on risti tasapinna frontaali eestvaatega (ja esijäljega). 55. Joonestada valitud punktist A tasapinna (p;e) normaali n projektsioonid. A'' e n'' n' * A' p 56. Millise nurgaga mõõdetakse kahe tasapinna vahelist nurka? * Nende tasandite normaalide vahelise nurgaga. 57. Millise nurgaga mõõdetakse nurka sirge ja tasapinna vahel? * Sirge ja tema ristprojektsiooni vahelise nurgaga sellel tasapinnal. 58. Nimetage põhilised lisaprojektsioonide saamise võtted. * 1) Lisaekraani võte(muudetakse ekraani ja vastavate kiirte asendit paigale jääva objekti suhtes) * 2) Uute kujutamiskiirte võte (objekti ja ekraani vastastikune asend jäetakse muutmata, muudetakse kujutamiskiirte sihti)
x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1 x3 x1 y 3 y1 z 3 z 1 0. x x1 y y1 z z1 Või teisiti – kuna AB ja AC on paralleelsed antud tasandiga, siis nende vektorkorrutis on risti tasandiga ja sobib tasandi normaaliks ning eelmise punkti valem annab tasandi võrrandi. KAHE TASAPINNA VASTASTIKUNE ASEND Nurgaks kahe tasandi vahel nimetatakse nurka nende tasandite normaalide vahel. Olgu antud kaks tasandit oma üldvõrranditega A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C 2 z D2 0. Nende normaalvektorid: n1 A1 , B1 , C1 , n2 A2 , B2 , C 2 . Kaks tasandit on paralleelsed ainult siis, kui nende normaalvektorid on kollineaarsed. A1 B1 C1 Koordinaatides: . A2 B2 C2
5.ptk Ringjoon ja korrapärane kolmnurk 8.klass Õpitulemused Näited 1.Ringjoone kaar ja kõõl - kaar: ringjoone osa, Ül.1060 saadakse vähemalt kahe punkti märkimisel Ringjoone punktist on joonestatud kaks ringjoonele; tähistamine: kirjuatatakse raadiusega võrdset kõõlu. Leida kõõlude otspunktide tähised (vajadusel lisatakse veel vaheline nurk. kolmas täht vahele) ja tõmmatakse kohale joonestada kõõlude otspunktidesse raadiused kaareke; mõõdetakse kaarekraadides; kõõl: tekivad kaks võrdkülgset kolmnurka ringjoone kaht punkti ühendav lõik, kõige iga nurk on 60° pikem kõõl on ringjoone diameeter kõõlude vahele jääb kaks sellist nurka seega kõõlude vaheline nurk on 2 60°=120° NB kesknurk suurusega 1° toetub kaarele, mis moodustab ringjoonest 2.Kesknurk - ringjoone kahe
ka alati paarisarv (sest neid võib vaadata kui korrutamist arvuga 2) 3)vastuolu tekib eeldusega, seega väite eitus on väär ja väide ise on tõene m.o.t.t. 16.Kahe sirge vastastikused asendid - ei Vaata jooniseid ristsirge ole lõikepunkte: sirged on paralleelsed; üks ühine punkt: sirged on lõikuvad, erijuht: ristuvad sirged, kui lõikumisel tekib nurk 90° 17.Kolme sirge vastastikused asendid - Teoreem 1. Kui kaks sirget a ja b on 1)pole lõikepunkte: kõik paralleelsed paralleelsed kolmanda sirgega c, siis nad 2)üks lõikepunkt: kõik lõikuvad on paralleelsed teineteisega. 3)kaks lõikepunkti: kaks sirget on Teoreem 2. Kui sirge c lõikab üht kahest
PLANIMEETRIAKURSUSE KORDAMINE GÜMNAASIUMI LÕPUEKSAMIKS. KOLMNURGAD 1. Kolmnurga sisenurkade summa on sirgnurk 180 o 2. Siinusteoreem a b c 2R sin sin sin 2. Koosinusteoreem a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 a 2 c 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos 4. Pindala valemid. ch ab sin abc S ; S ; S p ( p a )( p b)( p c) ; p ; 2 2 2 abc S pr ; S 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja se
PLANIMEETRIAKURSUSE KORDAMINE GÜMNAASIUMI LÕPUEKSAMIKS. KOLMNURGAD 1. Kolmnurga sisenurkade summa on sirgnurk + + = 180 o 2. Siinusteoreem a b c = = = 2R sin sin sin 2. Koosinusteoreem a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 4. Pindala valemid. ch ab sin a +b +c S= ; S= ; S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) ; p= ; 2 2 2 abc S = pr ; S= 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaa
olevaid materjale. Kursus algab punkti asukoha määramisega ruumis ning kahe punkti vahelise kauguse leidmisega. Siin oleks hea demonstreerida ka olukorda, kus punktid jäävad pildil üksteise taha ja tundub, nagu kaugust ei olekski. See on olukord, millega saame näidata, et joonis meid alati ei aita ja seega on tarvis appi võtta valemid. Olulisel kohal on stereomeetria asendilaused: nurk kahe sirge, sirge ja tasandi ning kahe tasandi vahel, sirgete ja tasandite ristseis ning paralleelsus, kolme ristsirge teoreem, hulknurga projektsiooni pindala. Neid mõisteid omandamata pole võimalik hiljem klassikalise stereomeetria ülesandeid lahendada. Tuleb tuua hulgaliselt näiteid klassiruumist, ,,mängida" pliiatsite (kui sirge) ja raamatutega (kui tasand). Võib kasutada ruumiliste kehade mudeleid, kus servad on sirgeteks ja tahud tasanditeks. Suurt tähelepanu tuleb pöörata kolme ristsirge
b) Kui paralleelsedsirged l6ikavad nurga m6isteteselgitamisekdigus. haarasid,siis l6igud, milleksparalleelid jaotavadnurga 0he haara,on v6rdelised l6ikudega, milleks nad jaotavad nurga teisehaara. c) Sirgjoonja tasand on paralleelsed,kui {. PROJEKTEERIMINE tasandilleidub antud sirgegaparalleelne sirge. 1.1 Projekteerimiseolemus.Projektsiooni d) Kaks tasandit on paralleelsed,kui tihe m6iste tasandikahel l6ikuvalsirgelon kummalgi oma paralleelteiseltasandil. Projekteerimineon geomeetriline toiming, e) Sirgjoonja tasandon teineteisega risti,kui millesosalevad tasandilleidubkaksl6ikuvatsirget,mis on - kujutatavese ehk obiekt; ristiantudsirgega. - projekteerivad kiiredehk kuiutamiskiired; 0 lga punktildbibUksainusantudtasapinna
kõrvunurka. Kõrvunurgad on ja ning ja . + = 180 + = 180 Kaht nurka nimetatakse tipunurkadeks, kui neil on = ühine kõrvunurk. Tipunurgad on võrdsed. Paralleelsed sirged Kahe sirge lõikamine sirgega ja 1 ja 1 ja 1 1 Kaasnurgad ja Lähisnurgad ja 1 ja 1 ja 1 ja 1 Põiknurgad 1 ja 1 ja ja 1 ja 1 Mitmesugused hulknurgad Kumer ja mittekumer hulknurk Hulknurka nimetatakse kumeraks kui ta asetseb ühel pool mistahes sirgest, mis on saadud külje pikendamise teel.
Kahe tasandi vahelise nurga arvutamiseks piisab nende normaalvektorite vahelise tervanurga arvutamisest. Tasandi ja sirge vahelise nurga all mõistetakse sirge ja selle tasandile võetud projektsiooni vahelist nurka: see on tasandi normaali ja sirge suunavektori vahelise nurga täiendnurk. Arve a, b ja c nimetatakse telglõikudeks. Telglõgud näitavad, kus tasand lõikub koordinaattelgedega. Nende abil on võimalik saada ettekujutus tasandi paiknemisest ruumis: kui tahame joonistada tasandit, siis on selleks sobivaim kuju võrrand telglõikudes. Sirge ja tasand kui alamruumid Ruumi Rn ühe võrra madalamat alamruumi Rn_1 nimetatakse hüpertasandiks. Sirge R1 on ruumi R2 hüpertasand ja tasand R2 on ruumi R3 hüpertasand. II järku jooned. Teist järku joone saab esitada üldvõrrandiga Ax2 +Bxy+Cy2+Dx+E+F=0,kus vähemalt üks kordajatest A, B või C0. Kolmliiget Ax2 + Bxy+Cy2 nimetatakse ruutliikmeks. Teist järku joonteks on ringjoon (A=C ja B=0), ellips (A ja C on sama
nimetame kompleksarvu mooduliks z = 2 2 + 32 = 13 · Punktile P vastava kompleksarvu moodul · Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a 2 + b2 13. Kompleksarvu geomeetriline esitus- · Kujutada ühel teljel pole võimalik, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud) · Kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt 13.1. Reaaltelg ja (x-telg) 13.2. Imaginaartelg (y-telg) · Kuidas võrrelda kompleksarve? Pole järjestatud hulk. Aga ikkagi ... 14. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju- · Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi · Avaldame joonisel olevast täisnurksest kolmnurgast reaalosa a ja imaginaarosa b nurga (kompleksarvu argument) ja mooduli kaudu ning
.. Kahe paarisarvu liitmisel saadakse paarisarv, ning kahe paarisarvu korrutamisel saadakse samuti paarisarv. Nt. 18+18=36; 18*18=324. Paaritu arv on täisarv, mis ei jagu kahega. Nt. 1, 3, 7, 9, 11, 13 ...Kahe paaritu arvu korrutamisel saadakse paaritu arv, kuid kahe paaritu arvu liitmisel saadakse paarisarv. Nt. 7*7=49; 7+7=14. Parabool on ruutfunktsiooni graafik. Parabooli haripunkt on punkt, mis asub parabooli sümmeetriateljel. See jaotab parabooli kaheks haruks. Paralleelsed sirged on sirged, mis pikendamisel üksteisega kunagi ei ristu. Sirged a ja b ning sirged d ja e on paralleelsed. Piirdenurk on nurk, mille tipp on ringjoonel ja haarad lõikavad ringjoont nimetatakse piirdenurgaks Punkti abtsiss ehk x - koordinaat on esimene punkti koordinaatidest ühe-, kahe- või kolmemõõtmelises koordinaadistikus. Punkti ordinaat ehk y - koordinaat on teine punkti koordinaatidest ühe-, kahe- või kolmemõõtmelises koordinaadistikus.
NURGAD Kahe sirge lõikamisel tekkinud kõrvunurkade summa on 180° ning tippnurgad on võrdsed. Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikamisel kolmanda sirgega tekkinud · Kaasnurgad on võrdsed · Põiknurgad on võrdsed · Lähisnurkade summa on 180° KIIRTETEOREEM: kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega Pöördteoreem. Kui sirged lõikavad nurga haarasid nii, et ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised vastavate lõikudega nurga teisel haaral, siis need sirged on paralleelsed. KOLMNURGAD 3/6 PLANIMEETRIA KORDAMINE Sisenurkade summa on 180° + + =180° a
75. a 2 = b 2 + c 2 Ellipsi ekstsentrilisus on fookuste vahelise kauguse ja pikema telje suhe = = 2a a 0 < < 1 ja ta iseloomustab ellipsi kuju. Kui = 0, saame ringjoone. a 76. Raadiusvektorid r1 + r2 = 2a r1 = a + x ja r2 = a x. Sirged x = ± on ellipsi juhtjooned. 77. Ellipsi parameetrilised võrrandid x = a cos t; y = b sin t 78. Kui b > a, siis ellipsi fookused asetsevad y-teljel ja valemid on b 2 = a 2 + c 2 , r1 + r2 = 2b, ekstsentrilisus c = 1 ja juhtjooned y = ± b b 79
75. a 2 = b 2 + c 2 Ellipsi ekstsentrilisus on fookuste vahelise kauguse ja pikema telje suhe = = 2a a 0 < < 1 ja ta iseloomustab ellipsi kuju. Kui = 0, saame ringjoone. a 76. Raadiusvektorid r1 + r2 = 2a r1 = a + x ja r2 = a x. Sirged x = ± on ellipsi juhtjooned. 77. Ellipsi parameetrilised võrrandid x = a cos t; y = b sin t 78. Kui b > a, siis ellipsi fookused asetsevad y-teljel ja valemid on b 2 = a 2 + c 2 , r1 + r2 = 2b, ekstsentrilisus c = 1 ja juhtjooned y = ± b b 79
Tasandi vektorvõrrand ja üldvõrrand Tasandi normaalvektoriks nim vektorit mis on risti tasandiga. Normaalvektorit tähistatakse harilikult n või n. Normaalvektorist üksi ei piisa tasandi määramiseks. Tuleb võtta veel üks tasand punkt M1. Tasandil tekib siis vektori M1M=r-r1. Et M1M on risti vektoriga n siis nende skalaaekorrutis on null, st n(r-r1)=0 so tasandi vektorvõrrand. Ax+By+Cz+D= 0 tasandi üldvõrrand. Ristseis ja paralleelsus Nurk kahe tasandi vahel on võrdne nurgaga nende tasandite normaalvektorite vahel. Tasandite ristseisu tunnus on A1A2+B1B2+C1C2=0 ja tasandite parallelsuse tunnus on A1/A2=B1/B2=C1/C2 Võrrandid telglõikudes Tasand võrrandiga Ax+By+Cz+D=0 ei läbi koordinaatide alguspunkti siis ja ainult siis kui vabaliige D0. Tasand ei ole paralleelne ühegi koordinaatteljega siis ja ainult siis kui A0, B0, ja C0. x/a+y/b+z/c=1- nim tasandi võrrandiks telglõikudes, arve a b ja c nim telglõikudeks.
· Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes · distributiivsus arvude liitmise suhtes · distributiivsus vektorite liitmise suhtes. · Arvu k ja vektori a 0 korrutiseks nimetatakse vektorit ka, mille pikkus 6.7 Vektori koordinaadid Iga koordinaattasandil oleva vektori v saab üheselt avaldada koordinaattelgede suunaliste ühikvektorite I ja j kaudu. v=Xi+Yj (X ja Y on vektori koordinaadid) v=(X;Y) · Vektori pikkus võrdub ruutjuurega vektori koordinaatide ruutude summast. · Vektorit OM, mille alguspunkt on koordinaatide alguspunktis, nimetatakse punkti M kohavektoriks. Kui M(a;b), siis OM=(a;b) · i=(1;0) ja j=(0;1) · Kui e on ühikvektor ja see moodustab x-telje positiivse suunaga teravnurga a, siis e=(cos a; sin a) ehk e=cos a·i+sin a·j · Nullvektori koordinaadid on nullid 0=(0;0) 6.8 Koordinaatidega antud vektorite võrdsus ja lineaartehted
6.ptk Ruutvõrrand 8.klass Õpitulemused Näited 1.Arvu ruut - kahe võrdse teguri korrutis Ül.1262,1263 2 a a=a ; mistahes ratsionaalarvu ruut on Leida arvu ruut taskuarvuti abil. mittenegatiivne 2 2 2 2 15 =225; 28 =784; 41 =1681; 57 =3249 Lihtsustada avaldis ja arvutada. 2 2 2 2 2,4 2 =(2,4 2) =4,8 =23,04 NB ruutjuure pöördtehe; saab kasutada 2 näiteks ruudu ja ringi pindala arvutamisel =3,5 =12,25 2 2 2 2 2 (-4,5) 4 -8 (-1,5) =(-4,5 4) -(-8
konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatedid? Sirglõigu pikkus võrdub hüpotenuusiga täisnurkses kolmnurgas, mille kaatetiteks on kas lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. 24. Sõnestage kahe sirge paralleelsus tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega, siis need sirged on ruumis paralleelsed 25. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel. Kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad vaated pole risti x-teljega, siis need sirged ruumis lõikuvad. 26. Skitseerige kahe kiivsirge (a ja b) kaksvaade (lahendada varjumine). 27. Nimetage kõik tasapinna määramisvõimalused. -Punkt ja sirge, mis ei läbi seda punkti -3punktiga, mis ei asetse ühel sirgel
Punkti A läbiva maakera normaali R ehk vertikaalsirge ja ekvaatoritasandi vaheline nurk on geograafiline laius B (mõõdetakse ekvaatorist põhja või lõuna suunas 0°-90°). Punkti A geograafiline pikkus L on nullmeridiaani ja punkti A meridiaani tasandite vaheline kahetahuline nurk (mõõdetakse ekvaatori- või paralleeltasandil nullmeridiaanist ida või lääne suunas). 4. Geotsentrilised koordinaadid Geotsentriliste koordinaatide alguspunkt ja teljed on seotud Maa raskuskeskme, pooluste, nullmeridiaani ja ekvaatoritasandiga. Eristatakse punktide (1)geotsentrilisi ruumilisi ristkoordinaate ja (2)geodeetilsi koordinaate. 1
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
