Joone võrrand © T. Lepikult, 2010 Joone võrrand Joone C võrrandiks ristkoordinaatides nimetame niisugust seost F(x, y) = 0 kahe muutuja x ja y vahel, mida rahuldavad selle joone iga punkti ristkoordinaadid ja ainult need. Sirge, mille Parabool, mille võrrandiks on y võrrandiks on b d y + x -b = 0 y - 2 ( x - c) 2 = 0 c c d Ringjoon, mille võrrandiks on r b ( x - a) 2 +
Joone võrrand Lineaarfunktsioon Funktsiooni, mida saab esitada kujul y = ax+ b nimetatakse lineaarfunktsiooniks. Avaldis ax on lineaarliige. Arv b on vabaliige, b väärtus vastab argumendi (x) väärtusele 0. Arv a näitab, mille võrra muutub funktsioon (y), kui argument (x) suureneb ühe võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatak...
Kodune arvestuslik töö. Vektor. Joone võrrand. 11.klass Esitamistähtaeg: 16.10.2012 Konsultatsioon: kokkuleppel või reedel 8.tund või meili teel ([email protected]) NB! Vormistus peab olema korrektne, täiuslik! ÜL.1 Ristküliku ABCD üheks tipuks on punkt A(4; 3), tipp B asub x-teljel ja küljega AB paralleelne külg CD asub sirgel x y + 7 = 0. 1) Arvuta ristküliku ABCD tippude B, C ja D koordinaadid ning joonesta ristkülik ABCD koordinaattasandile. 2) Koosta sirge võrrand, millel asub ristküliku diagonaal AC. 3) Arvuta ristküliku ABCD ümbermõõdu täpne väärtus. 4) Koosta ristküliku ABCD ümberringjoone võrrand. ÜL. 2 Punktist A(-2; 2) on joonestatud vektor = (6; 2). Läbi punkti D(-3; -5) on joonestatud sirge DC, mis on paralleelne sirgega AB. Punktide A, B, C ja D järjestikusel ühendamisel saadakse täisnurkne trapets, mille täisnurk on tipu B juures. 1) Tee joonis. 2) Koosta sirgete DC ja BC ...
docstxt/13646421495899.txt
Laboratoorne töö nr.1 Joone horisontaalprojektsiooni arvutamine. Töö ülesanne: Maastikul mõõdeti joont 0-6 kaks korda. Selle joone üksikud lõigud on erinevate kalletega. Lõikude kalded on mõõdetud kraadides või meetrites. Leida antud joone pikkuse horisontaal-projektsioon kahel erineval viisil. Leida joone mõõtmise absoluutne ja suhteline viga. Töö tulemused on välja toodud tabelis 1.1 Tabel 1.1 Lähteandmed ning arvutatud tulemused Punkt Joone pikkus Lõigu Kaldenurk I S Kaldest II S i Alguspunkti pikkus Kõrguskas Horisontaal tingitud horisontaal- Nr. st v - parand projektsioo
LABORATOORNE TÖÖ NR 3. MÕÕTMISED TOPOGRAAFILISEL KAARDIL III Eesmärk: Määrata punktide kõrgused, joone AB kalle ja koostada joone AB pikiprofiil. Ülesanne 1. Punktide kõrguste määramine. 0,4cm - 2,5m 0,1cm - X m 2,5 x0,1 X= = 0,625cm 0,4 HA= 45 + 0,625= 45,625m HB= 47,5m Metoodika: Ülesande lahendamiseks kasutan kaarti mõõtkavas 1:20 000. Kaardile on märgitud punktid A ja B, nendele punktidele tuleb määrata kõrgused. Punkt A asub kahe erineva kõrgusarvuga horisontaali vahel. Selle punkti kõrguse saab arvutada interpoleerimise
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 3. Vektor tasandil. Joone võrrand Põhiteadmised · Punkti koordinaadid; · vektor, vektori koordinaadid; · vektorite summa ja vahe; · vektori korrutamine arvuga; · kahe vektori skalaarkorrutis; · vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga; · sirge tõusu määramine;
1. Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib punkte C(-3 ; 1) ja D(2 ; -5). X - XC Y - YC Sirge võrrand kahe punkti järgi: = . X D - X C YD - YC X - ( -3) Y -1 X + 3 Y -1 Asetame arvud võrrandisse: = = . 2 - ( -3) - 5 -1 5 -6 5y 5 = 6x 18 5y + 6x 5 + 18 = 0 6x + 5y + 13 = 0 2. Leia punktiga A(5 ; -2) ja sihivektoriga s = (3 ; -2) määratud sirge võrrand. X - X A Y - YA Sirge kanooniline võrrand: = . s1 s2 X - 5 Y - (-2) Asetame arvud võrrandisse: = . 3 -2 3y + 6 = 2x + 10 2x + 3y 4 = 0 3. Leia kahe punktiga C(-1 ; 3) ja D(7 ...
Joonemõõtmise täpsus ning parandid jrk nr = 84 1. Antud: D1=174,02 + 0,84 = 174,86 m D2 = 174,00 + 0,84 = 174,84m Leida: D ja 1 N 1 2000 d = D1 - D2 ( D1 + D2 ) D= 2 Vastus:Tõenäolisim väärtus on D = 174,38 m ning mõõtmistekvaliteet jääb lubatud piiridesse. 2. Antud: D = 415,00 + 0,84 = 415,84 v = 2,3o t = + 32 oC lk = -14 mm Dk = 20 mm t0 = + 20 oC = 0,0000125 Leida: Dv, Dk, Dt, Dlõplik D l k Dk = 20 Dt = D (t - t 0 ) v DV = 2 D sin 2 2 Dloplik = D - Dv + Dk + Dt Vastus: Lõplik joone pikkus Dlõplik = 415,28 m
docstxt/125491603676732.txt
Laboratoorne töö nr.1: joone horisontaalprojektsiooni arvutamine Töö ülesandeks oli leida antud joone pikkuse horisontaalprojektsioon kahel erineval viisil ning leida joone mõõtmise absoluutne ja suhteline viga. 1. Leida vaadeldavate lõikude pikkused jooniselt ning joone keskmine pikkus: keskmine joone pikkus: dkeskm==340,23m d1= 80,0-0= 80,0 m d2= 112,0-80,0=32,0m d3=141,0-112,0=29,0m d4=206,0-141,0=65,0m d5=267,0-206,0=61,0m d6=340,23-267,0=73,23m 2. Leida joone horisontaalprojektsioon esimesel viisil: valemid: Si=di*cosvi ; Si= S1=80,0* cos(-1,8)=79,96m S2=32,0 *cos(-4,4)=31,91m S3=29,0 *cos(4,9)=28,89m S4= S5= S6= 3. Leida kaldest tingitud parandid: valemid: di=2*di*sin2 ; di= d1=2*80,0*sin2( d2=2*32,0*sin2( d3=2*29,0*sin2( d4= d5= d6= 4
Joone puutuja tõus ja võrrand Olgu kõverale y = f(x) tõmmatud puutuja punktis A. Olulised mõisted: A(x0, y0) puutepunkt x0 puutepunkti abstsiss ehk x-koordinaat
Joone mõõtmise täpsus ning parandid 1. Joone pikkust mõõdeti keskmistes tingimustes 2 korda ja saadi järgmised tulemused D1 = 174,02 + 0,jrk nr m ja D2 = 174,00 + 0,jrk nr m (nt jrk 15 siis D1=174,17). Hinnata mõõtmiste kvaliteeti ja leida joone tõenäolisim väärtus. Lahendus: Antud: D1=174,02 + 0,13 = 174,21 m D2 = 174,00 + 0,13 = 174,13 m Leida: D ja kas 1 N 1 2000 ? d = D1 - D2 d = 174,21 - 174,13 = 0,08m ( D1 + D2 ) D= 2 174,21 + 174,13 348,34 D= = = 174,17m 2 2 1 d 0,08 8 8 1 = = = N D 174,17 17417 17417 2000
Joone mõõtmise täpsus ning parandid jrk nr = 60 1 Joone pikkust mõõdeti keskmistes tingimustes 2 korda ja saadi järgmised tulemused D1 = 174,02 + 0,jrk nr m ja D2 = 174,00 + 0,jrk nr m (nt jrk 15 siis D1=174,15). Hinnata mõõtmiste kvaliteeti ja leida joone tõenäolisim väärtus. Lahendus: Antud: D1=174,02 + 0,60 = 174,62 m D2 = 174,00 + 0,60 = 174,6 m Leida: D ja kas 1 ∕ N ≤ 1 ∕ 2000 ? d D1 D2 ∆d= 174,62−174,60=0,02m ( D1 D2 ) D 2 174,62+ 174,60 D= =174,61m 2 1 ∆d 0,02 2 1 = = = = N D 174,61 17461 8730,5 1 1 ≤ 8730,5 2000
Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil, mida õpetatakse nii kitsas kui laias kursuses 10. klassi viimase teemana ja analüütiline geomeetria ruumis, mida õpetatakse vaid laias matemaatikas 12. klassis. Esimene kursus kannab pealkirja ,,Vektor tasandil. Joone võrrand" nii laias kui kitsas matemaatikas, kuid erinevused sisus on olulised. Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui
Laboratoorne töö nr. 1 Joone horisontaalprojektsiooni arvutus Lähteandmed: Punkti nr Joone pikkus alguspunktist Kõrguskasv h (m), kaldenurk (kraadi) 0 0 +2,5° 1 31,0 2 89,0 -3,3° 3 189,0 +2,1° 4 213,0 +7,4 m
Vahtramäe Emil Lugemiskontroll Tõmba õigele vastusele joon alla! 1. Raamatu Vahtramäe Emil autor on a) Eno Raud b) Aino Pervik c) Astrid Lindgren 2. Emil oli a) poiss b) tüdruk c) koer 3. Emili perekonnanimi oli a) Svensson b) Bergsson c) Mallsson 4. Emil elas a) Vahtramäe talus b) Smålandi talus c) Kassisalu talus 5. Emili väikese õe nimi oli a) Alma b) Ida c) Liina 6. Suureks kasvades sai Emilist a) linnapea b) vallavanem c) vallavolikogu esimees 7. Kuhu jäi Emili pea kinni? a) ämbrisse b) supitirinasse c) heinaveovankrisse 8. Mille neelas Emil alla? a) patarei b) püksinööbi c) viieöörise rahatähe 9. Emili ema oskas valmistada eriliselt head a) meekooki b) vorsti c) ahjupraadi 10. Mis värvi oli Ida kleit, kui Emili selle lipuvardasse tõmbas? a) punane ja valge b) sinine ja valge c) kollane ja sinine 11. Kuhu pani isa Emili kinni iga kord, kui ta mõne vembu viskas? a) sa...
kalduvad sissetulekute suurenemisel suurendama ka tarbimist, kuid mitte sama suurel määral, kui kasvab nende sissetulek. Vali üks: Tõene Väär Tagasiside Niisugusele seaduspärasusele viitas J.M.Keynes juba oma 1936. aastal ilmunud teoses "Tööhõive, intressi ja raha üldine teooria". Küsimus 9 Õige Hinne 1,0 / 1,0 Märgista küsimus Küsimuse tekst Keynes'i rist (kogukulutuste joone AE - aggregate expenditure - ning 45-kraadi joone lõikepunkt) näitab säästuläve, millest madalamatel sissetuleku tasemetel on tarbimiskulutused väiksemad kui kasutatav tulu, seega esineb negatiivne säästmine. Vali üks: Tõene Väär Tagasiside Vaadates juuresolevat joonist, nähtub, et negatiivse säästmise korral on tarbimiskulud suuremad võrreldes sissetulekutega. Niisugusel juhul kasutatakse tarbimiskulude katteks ära ka olemasolevaid sääste, mis toob kaasa säästude vähenemise ehk negatiivse säästmise.
maa-ala5x5 km, mõõtkavas 1:20 000 aga 10x10km. 13. Asimuut- horisontaalnurk, meridiaani P-suunast päripäeva kuni antud jooneni. Direktsiooninurk- horisontaalnurk, telgmeridiaani P-suunast päripäeva kuni antud jooneni. Seos- direktsiooninurk võeti kasutusele, et lihtsamates ül vältida meridiaanide koonduvuse mõju arvestamist. Rumb- Antud suuna ja meridiaani lähima suuna vaheline teravnurk. Tabelinurk- teravnurgaks taandatud direktsiooninurk. 14. Joone koordinaatide juurdekasvude arvutamine selle joone direktsiooninurga ja joone pikkuse horisontaalprojektsiooni järgi. X= I,IV+ II,III- Y=I,II+ III,IV- 15. Pöörülesanne, antud on kahe punkti koordinaadid 16. IV I III II 17. Riiklik geodeetiline referentssüsteem Riigi ulatuses peavad ruumiandmes olema ühtses geodeetilises süsteemis. 18. Tagatud peab olema mõõdistamsvõrgu punktide omavaheline nähtvavus ja mõõdistamisvõrgu punktid peavad
ühiskonnakriitilise isikunäituse "Ma nägin seda! Riigisaladus: kottida rahvast" eest, mis osutas eksistentsiaalsetele küsimustele • 2010 Biennali peapreemia, 5th Rokycany Biennial in Graphic Arts, Tsehhi Vabariik • 2011 Chicago Printmakers Collaborative Prize, USA jne. Arvamus • Peeter Allik suudab läheneda oma loomingus maailmas toimuvatele protsessidele väga humoorikalt ja huvitavalt. • Linoollõike looming on väga isikupärane. Joone intensiivsus, valguse ja varju mängud ja eri suuruses uuristatud vaod. Need köidavad vaataja tähelepanu. • Tema töödes põimuvad justkui poliitika, seksuaalsus, kultuursus jne. • Nali ja tõsidus, kurbus ja vägivald- ta suudab panna kõik ühte teosesse.
1. Riigi geodeetilise võrgu jagunemine. I ja II klassi võrguks ja tihendusvõrguks, Nivelleerimise I, II ja III klassi võrguks, Gravimeetriliseks I, II ja III klassi võrguks, Mareograafiliseks võrguks. 2. Horisontaalid Horisontaal on mõtteline joon, mille kõik punktid asuvad ühesugusel kõrgusel. Järjestikku asuvate samakõrgusjoonte kõrguste erinevus on ühesuurune, seda nimetatakse reljeefi lõikevaheks. 3. Joone mõõtmine lindiga Joone pikkuse mõõtmisel selgitakse mitu korda mahub lindi pikkus mõõdetava joone pikkusesse, millele lisandub jääk. Mõõtmist teostatakse samaaegselt kahe mõõtjaga. Selleks,et jäägi mõõtmine toimub vigadega peab lindi null olema tagumise mõõtja poolel. Mõõdetud joone pikkus d saadakse valmiga d=20(30,50,100)n+jääk, kus n on tagumise mõõtja käes olev mõõtevarraste arv ja 20(30,50,100) on lindi pikkus meetrites. Joone mõõtmisi teostatakse vähemalt
Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud, ta võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid nim süsteemi üldlahenditeks. Lahendid, mis saadakse parameetrie fikseerimise teel nim süsteemi erilahenditeks. 4. Kronecker-Capelli teoreem Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis kui süsteemi maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. Rank A=rank A/B; r=r' 5. Sirge tasandis, sirge ja tasand ruumis Joone võrrand Vaatleme matemaatilist avaldist, mis sisadab 2 tundmatut F(x;y)=0, saame võrduse. Seda võrdust nim samasuseks kui ta on rahuldatud tundmatude x ja y kõigi väärtuste puhul. Seda võrdust nim võrrandiks kui teda rahuldavad tundmatute teatud väärtused. Kaht tundmatud x ja y sisaldava võrrandiga määratud jooneks nim joont, mille punktide koordinaadid rahuldavad seda võrrandit. Joone võrrandit F(x;y)=0 nim joone ilmutatud võrrandiks
Samuti harjutada, kuidas leida punkti kõrgust kaardil. 1. Määrata kaardil märgitud punktide kõrgused. Kuna punkt A asub täpselt samakõrgusjoonel, siis saame selle punkti kõrguse lugeda kaardilt: HA= 52,5 m Punkt B asub samakõrgusjoonte vahel, seega tuleb selle punkti kõrgus kaardilt mõõta ja arvutada: HB= Hhoris+ h'; Hhoris = 62,5 mKõrguskasv h'= h h'= 2,5= 1,5 m HB= 62,5m + 1,5 m= 64 m 2. Määrata joone AB kalle. Joone AB otspunktide kõrguste vahe ja joone pikkuse horisontaalprojektsiooni SAB suhe on selle joone kaldenurga tangens, mis protsentides avaldatuna on joone kalle i. SAB= 750 m ; h= HB-HA= 64m- 52,5m = 11,5m Valemid: tanAB= ; AB= arctan; i%AB= ; iAB= ; Joone kaldenurga tangens : tanAB= 0,02 Kaldenurk: AB= 052'43'' Kalle protsentides: i%AB= 2% Kalle promillides: iAB= 20 3. Koostada joone AB pikiprofiil (Joonis 4-1). Määrata joone AB punktide
1. d1= 4,75 cm d2= 4,85 cm d3=5,28 cm Tabel 1.1 Joonte pikkused looduses Joon 1:25 000 1:10 000 1: 50 000 1:2000 1-2 1187,5m 475m 2375m 95m 2-3 1212,5m 485m 2425m 97m 3-1 1320m 528m 2640m 105,6m Ülesanne 2. On antud kahe punkti vahelise joone horisontaalprojektsiooni pikkus looduses (s). Leida selle joone pikkus kaardil järgmistes mõõtkavades 1)1:2000, 2)1:5000, 3)1:1000. Tulemused on toodud tabelis 1.2. Tabel 1.2 Joonte pikkused kaardil NR Mõõtkava S (m) D (cm) 1:2000 48,89 2,44 9 1:5000 48,89 0,98 1:1000 48,89 4,89
Leian kui palju see on looduses. 0,7∗5 3,1 cm – 5 m x= =1,13 3,1 0,7 – x m Järgmiseks liidan saadud tulemuse punktile lähima samakõrgusjoone korgusega (155) ja saan punkti A kõrguse. H a 1 = 155+1,13 = 156,13 m Vastused: H a = 140m; H a 1 = 156,13 m. Ülesanne 2. Määrata joone AB kalle. Metoodika: joone AB pikkuse mõõdan joonlauaga kaardil (Ülesanne 1) (1,9 cm). 1cm kaardil on 200 m looduses, seega on joone pikkus looduses 380 m. S AB = 1,9*200 = 380 m Kõrguskava on joone AB otspunktide vahe: ∆ h AB = 135-140 = -5 ∆ h AB 135−140 i AB = = = 0,013 S AB 380 −1 ∆ h AB −1 5
(esitada vastav valem ilma tuletamata). 10.Sfäärkoordinaadid. Esitada ristkoordinaatide valemid sfäärkoordinaatide kaudu (tuletada ei ole vaja). Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse (esitada vastav valem ilma tuletamata). 11.Joone kaare pikkuse diferentsiaal tasandil ja ruumis. Funktsiooni integraalsumma joonel. Esimest liiki joonintegraali definitsioon. 12.Esimest liiki joonintegraali arvutamine parameetrilise joone korral (esitada vastavad valemid ilma tuletamata). 13.Teist liiki joonintegraali definitsioonid tasandil ja ruumis. Integraal üle kinnise kontuuri. 14.Esimest liiki pindintegraali definitsioon.
Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pöördpinna ruumala VALEM 4) Pöördpinna pindala 3. Kahekordse integraali definitsioon ja omadused: aditiivsus, lineaarsus, monotoonsus, absoluutne integreeruvus,
Arvutasin maastikujoone pikkused erinevates mõõtkavades 1:25 000, 1: 10 000, 1:50 000 ja 1:2000 tulemused kandsin tabelisse 1.1 Tabel 1.1. Joonte pikkused erinevates mõõtkavades joon 1:25 000 1:10 000 1:50 000 1:2 000 1-2 1 250 m 500 m 2 500 m 100 m 2-3 900 m 360 m 1 800 m 72 m 3-1 1 0000 m 400 m 2 000 m 80 m Ülesanne 2 ( lisa 1 ) Leidsin 150,26 m joone pikkus kaardil järgmistes mõõtkavades 1)1:2000, 2)1:5000, 3)1:1000 1 cm- 20 m d cm- 150,26 m d = 150,26/ 20 = 7,51 cm Kui mõõtkava on 1:5000. selle 1 cm plaanil vastab 5000 cm ehk 1 cm- 50 m d cm- 150,26 m
Laboratoorne töö nr 3. Maamõõtmised topograafilisel kaardil III Ülesanne 1 Eesmärk: Punktide A ja B kõrguste määramine. Töövahendid: Võnnu valla kaart, mõõtkava 1:20 000, joonlaud, harilik, kalkulaator. Punkti A kõrgus: 54 Punkti B kõrgus: 65 Kirjeldus: Punkti A asub kahe erineva kõrgusarvuga joone vahel, punkti A saab leida interpoleerimise teel. Selleks tuleb tõmmmata kahe kõrgusjoone vahele abijoon mis oleks risti kõrgusjoontega. Tuleb määrata kaugus väiksema kõrgusarvuga horisontaalist(kõrguskasv) ja kaugus kahe horisontaali vahel. Mõõtmised tehakse kaardi mõõtkava arvestamata. Punkti A leidmiseks tuleb korrutada kõrguskasv kahe kõrgusjoone kõrguse muuduga ja jagada kaugusega kahe horisontaali vahel.
Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t oleks joone y = f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t tõus on f(c). Kuna sirged t ja t on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b - a-ga saame valemi (3.26). Kokkuvõttes: Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. Kõrgemat järku tuletised. Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f jne. Taylori polünomi valem
maksimum. Kui aga läbides x1 vasakult paremale tuletise märk muutub miinuselt plussiks, on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. 2. Olgu funktsiooni kriitiline punkt x1 selline, et f´(x) =0. Kui f´´(x1) on väiksem kui 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f´´(x1) on suurem kui 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. 24. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga Olgu f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a;b), siis kehtib: Kui f´´(x) on suurem kui 0 iga x (a;b) korral siis on joon y=f(x) nõgus vahemikus (a;b).
h'=(a'/a)*h. Punktide kõrgused leian valemiga HA,B=Hho r+ h'. h'=(a'/a)*h (m) HA,B=Hhor+h' (m) Punkt a (mm) a' (mm) A 4 2 1,25 81,2581,2 B 20 17 2,132,1 92,1392,1 Ülesanne 2. Leian kahe punkti (A ja B) vahelise joone kalde. Ülesandest 1 saan joone otspunktide kõrgused HA ja HB (vt. tabel 1). Mõõdan punkti A ja B vahelise kauguse joonepikkus 2 punkti vahel on 4,6 cm kaardil (S=4,6cm). Kasutades mõõtkava leian selle väärtuse ristkorrutise abil: 1 cm=200 m 4,6 cm= S AB , = 920 (m) Kõrguste vahe (h1,2) leian esimese ülesande HA ja HB väärtuse lahutamisel: h1,2 = HA HB = 81,25 -92,13= -10,88. Nüüd saan leida kaldenurga, kalde %-s ja kalde -s. Kaldenurk: v°1,2 = arctan(h1,2 /SAB) = arctan(10,88:920) -0°40'39''
Mõõta punktidevaheliste joonte pikkused mõõtesirkli ja põikjoonelise mõõtkava abil. Missugune maastikujoone pikkus vastaks samadele lõikudele 1:10 000, 1:5000 ja 1:2000 kaardilehel? Tulemused kanda tabelisse. Lahendus: Kui kaardi mõõtkava on 1:50 000, siis vastab 1 cm kaardil 500-le meetrile looduses. Kui mõõtkava on 1:25 000, vastab 1 cm kaardil 250-le meetrile looduses. Kui on vaja leida sellisel kaardil 10,7 cm joone pikkusele vastavat pikkust looduses, tähistan tundmatu pikkuse x-a. Seega: m Kasutades ristkorrutist saan: ehk Samal põhimõttel leian järgmised väärtused. Tabel 1.1 Joon Pikkus (cm) 1:25 000 (m) 1:10 000 (m) 1:50 000 (m) 1:2000 (m) 1-2 10,7 2675 1070 5350 214
direktsioonnurga saamiseks järgmisele punktile. Seega vajame alustamiseks kahte kindelpunkti. 3. Mis on kõrguse mõõtmise lubatav viga käigus? 5cm 4. Mis on situatsioonipunkti lubatav viga käigu suhtes? 5cm 5. Mis on mõõdistusvõrgu punkt? Plaanilis-kõrgusliku sidumise käigus moodustatud kohtkindla märgiga kindlustatud punkt. 6. Mis põhimõttel peaks tasandama koordinaatide juurdekasve, miks? Et, teada õiged koordinaadid. Juurdekasvud tasandati vastavalt joone pikkusele. Ühest küljest peaks tasandama juurdekasvud võrdselt, kuna tahümeetri kauguse mõõtmise täpsus ei sõltu peaaegu üldse joone pikkusest. 7. Kuna peab tegema sulgemisega käigu, kuna võib sellest loobuda. Kui mõõtkavas 1:500 on käigu pikkus rohkem kui 250m, siis peab tegema sulgemisega käigu 8. Joone pikkust mõjutavad parameetrid tahhümeetris. Prisma konstant 9. Missugune joone parand sõltub joone pikkusest, mis ei. 10. Mis
2-3/5,6cm 1400 560 2800 112 3-1/5.0cm 1250 500 2500 100 Kirjeldus: Kaardilt 1: 25 000 vastab 1cm 250m looduses. Et saada teada missugune maastikujoone pikkus vastaks samadele lõikudele tuleb kaardilt saadud pikkus korrutada vastavalt mõõtkavale, näiteks 5,5cm x 250= 1375m, seega 5,5cm kaardil vastab 2650m looduses. Ülesanne 2 Eesmärk: Etteantud väärtuse kahe punkti vahelise joone horisontaalprojektsiooni pikkus looduses abil arvutada joone pikkus kaardil. Mõõtkava on 1) 2000, 2) 5000, 3) 1:1000. Tabel 2. Horisontaalprojektsiooni pikkus looduses Horisontaalprojektsioon 1: 2000 1:5000 1:1000 i pikkus looduses/ Nr 56,75/10 2.84cm 1.14cm 5,68cm Kirjeldus: Et leida kahe punkti vahelise joone pikkus horisontaalprojektsiooni pikkus
3 216,0 -4,3m 4 256,0 -6,8m 5 312,0 +3,7m 6 340,07 340,17 Laboratoorne töö nr 1 Lähteandmed: n 1 Esiteks arvutan keskmise joone pikkuse D keskmine=340,07+340,17=680,24 680,24/2=340,12 d keskmine on 340,12 Teiseks arvutan lõikude pikkused d1=27-0=27m d2=90-27=63m d3=216-90=126m d4=256-216=40m d5=312-256=56m d6=340,12-312=28.12m Kolmandaks arvutan 1S horisontaalprojektsioonid S1=27m*cos3,80=26,94m S2=63m*cos1,50=62,98m S3=126*cos2.7o=125,86m S4=ruutjuur 402-4.32=39,77m S5=ruutjuur 562-6,82=55,59m S6=ruutjuur28,122-3,72=27,88
3 - 2x + x 2 7)y=tanx cosx 8) y = 9) y=sin2x x 2 x -1 2. Leia funktsiooni y= kasvamis ja kahanemispiirkonnad ja 1 - 3x ekstreemumpunktid. Määra ka nende liik. 3. Leia parabooli haripunkti koordinaadid y= 7x2+4x. 4. Leia joone y=(x+1) (x-1) (x-2) puutuja punktis , mille abstsiss on -3. x 5. Leia joone y= puutuja, mis on x -1 2 1) paralleelne sirgega x+y =5 2) risti sirgega 8x-3y=1 6. Punkti liikumisel on läbitud tee ja aja vaheline seos s=4t3-3t2+5t+8.Leia 1)algkiirus 2)hetkiirus ja kiirendus 1 sekundi lõpus. 7. Esita parabooli y= 2x2-8x +3 puutuja võrrand 1) kohal x=-2 2) juhul, kui puutuja tõus on 4
b. Joon 2-3: 3,55 cm c. Joon 3-1: 7,55 cm Tabel 2-1. Punktidevaheliste joonte pikkused erinevates mõõtkavades Joo 1:25 000 1:10 000 1:50 000 1:2000 n 1-2 1562,5 m 625 m 3125 m 120 m 2-3 887,5 m 355 m 1775 m 71 m 3-1 1887,5 m 755 m 3775 m 151 m Põikjooneline mõõtkava: 2. On antud kahe punkti vahelise joone horisontaalprojektsiooni pikkus looduses (S). Leida selle joone pikkus kaardil järgmistes mõõtkavades 1) 1:2000, 2) 1:5000, 3) 1:1000. Tulemused on esitatud tabelis (Tabel -2). Lähteandmed: 17.) S(m)= 150,63m looduses. Tabel -2. Joone pikkus kaardil erinevates mõõtkavades Mõõtkava 1:2000 1:5000 1:1000 Kaardil (cm) 7,532 3,013 15,063 3
miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2. Kui läbitakse punkti vasakult paremale ja funktsiooni märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles puntkis lokaalne miinimum. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus (II) Olgu funktsiooni f kriitiline punkt selline, et 1. Kui siis on funktsioonil punktis lokaalne maksimum 2. Kui siis on funksioonil punktis lokaalne miinimum 8. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. 9. Nõgus joon Joon on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus suureneb Kumer joon Joon on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus väheneb Olgu funktsioon kaks korda diferentseeruv lõigul (a,b) 1. Kui iga korral siis joon on nõgus piirkonnas (a,b) 2
puutuja on paralleelne x-teljega. Lagrange'i teoreem Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev ja vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et Lagrange'i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt. Punktidest A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) läbi tõmmatud lõikaja t tõus võrdub suhtega Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t oleks joone y = f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t tõus on f(c). Kuna sirged t ja t on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b - a-ga saame valemi . Kokkuvõttes: Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. 23
Aspect X- ja Y- telgede suunas erinevad võresammud 3 LINE sirgjoone joonestamine LINE on joon, mis koosneb sirglõikudest ehk lihtsalt murdjoon. Seda käsku saab välja kutsuda kahte moodi: 1) Viies hiirekursori joonestamise (DRAW) ikoonjadal ikoonile LINE ( ) ja vajutades hiire vasakule klahvile 2) Kirjutades käsuribale LINE Kui kirjutada käsuribale: LINE Kuvatakse tekst Specify first point of the line (määra kindalks joone alguspunkt või selle koordinaadid). Märkides ära joone alguspunkti kas hiire vasaku klahviga kuvaril või sisestades käsuribal punkti koordinaadid ( 2 , 3), küsitakse specify next point of the line (määrata järgmine joone punkt). Käsklus LINE lõpetatakse ENTER ( ) vajutamisega. 4 ARC ringikaarte joonestamine Valides käskluse ARC, küsib esiteks arvuti kaare alguspunkti.
d. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem Sõnastus: Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev ja vahemikus (a,b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus: Lagrange'i teoreem on Cauchy teoreemi erijuht. e. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu Punktidest A=(a,f(a)) ja B=(b,f(b)) läbi tõmmatud lõikaja tõus võrdub suhtega Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t' oleks joone y=f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t' tõus on on f'(c). Kuna sirged t ja t' on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b-a-ga saame valemi Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. (JOONIS) 26
LABORATOORNE TÖÖ nr.3 "Mõõtmised topograafilisel kaardil III" Kõrgused, reljeef (Geodeesia II osa, 1998, 1. peatükk) Ülesanne 1.Punkti kõrguste määramine. Kaart mõõtkavas 1:20 000. Lahendus: Et leida punkti 1A kõrgust, tõmban läbi kahe horisontaali, mille vahel punkt asub, joone, mis on asetatud võimalikult täisnurkselt horisontaalide suhtes, ja mõõdan kaardilt selle pikkuse. Järgmisena otsustan kumb horisontaalidest joonisel on madalam ning mõõdan selle ja punkti vahelise kauguse. Määran kõrguskasvu horisontaalide vahel: kui horisontaalid on mõlemad pidevjooned, on nende vahe 5 m pikk nagu kaardil märgitud. Kui üks horisontaalidest on kriipsjoon siis on horisontaalide vahe poole väiksem ehk 2,5 m. Arvutan reaalse kauguse
Laboratoorne töö nr 1.0 Joone horisontaalprojektsiooni arvutamine Maastikul mõõdeti joont 0-6 korda. Selle joone üksikud lõigud on erinevate kalletega. Lõikude kalded on mõõdetud kraadides või meetrites (tabel 1.1). Leida antud joone pikkuse horisontaalprojektsioon kahel erineval viisil. Leida joone mõõtmise absoluutne ja suhteline viga. Tabel 1.1 Lähteandmed Punkti nr Joone pikkus Kõrguskasv ∆h (m), algpunktist kaldenurk v (kraadi) 0 0 +3,3° 1 59,0 -2,7° 2 107,0 +1,9° 3 164,0 +2,6 m 4 204,0 -4,9 m 5 254,0 -3,3 m 6 340,51 340,55 1 1
miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2. Kui läbides punkti vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Olgu funktsiooni kriitiline punkt selline, et = 0. 1. Kui < 0, siis on funktsioonil punktis lokaalne maksimum. 2. Kui > 0, siis on funktsioonil punktis lokaalne miinimum. 24) Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. Öeldakse, et joon = on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon = on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Olgu funktsioon kaks korda diferentseeruv vahemikus , . Siis kehtivad järgmised väited: 1
Laboratoorne töö nr. 2 "Mõõtmised topograafilisel kaardil I" 1.1 Kaardilt (mõõtkavas 1:50 000) leida kolm punkti ja tähistada need. Mõõta punktidevaheliste joonte pikkused mõõtesirkli ja põikjoonelise mõõtkava abil. Missugune maastikujoone pikkus vastaks samadele lõikudele 1:10 000, 1:50 000 ja 1:2000 kaardilehel? Joonestada põikjooneline mõõtkava ja näidata sellel mõõtkavas 1:50 000 joonte pikkused. Tulemused kanda tabelisse. Vastused (tabel 1.1): Joon Joone pikkus 1:25 000 (m) 1:10 000 (m) 1:50 000 (m) 1:2000 (m) kaardil (cm) 1-2 2,7 675 270 1350 54 2-3 4,3 1075 430 2150 86 3-1 5,6 1400 560 2800 112 Joonis 1.1 (põikjooneline mõõtkava 1: 50 000 joonte pikkustega) 1.2 On antud kahe punkti vahelise joone horisontaalprojektsiooni pikkus looduses (s).
Laboratoorne töö nr. 2 “Mõõtmised topograafilisel kaardil I” 1.1 Kaardilt (mõõtkavas 1:50 000) leida kolm punkti ja tähistada need. Mõõta punktidevaheliste joonte pikkused mõõtesirkli ja põikjoonelise mõõtkava abil. Missugune maastikujoone pikkus vastaks samadele lõikudele 1:10 000, 1:50 000 ja 1:2000 kaardilehel? Joonestada põikjooneline mõõtkava ja näidata sellel mõõtkavas 1:50 000 joonte pikkused. Tulemused kanda tabelisse. Vastused (tabel 1.1): Joon Joone pikkus 1:25 000 (m) 1:10 000 (m) 1:50 000 (m) 1:2000 (m) kaardil (cm) 1-2 2,7 675 270 1350 54 2-3 4,3 1075 430 2150 86 3-1 5,6 1400 560 2800 112 Joonis 1.1 (põikjooneline mõõtkava 1: 50 000 joonte pikkustega) 1.2 On antud kahe punkti vahelise joone horisontaalprojektsiooni pikkus looduses (s).
Ülesanne II Tihend 13 A(235,185) G B(235,65) Järgnevalt joonestatakse väliskontuuride sirglõigud, ringi kaared ja ringjooned pideva joonega. Samamoodi, nagu seadistasime joonetüübi CENTER, seadistame ka jooneliigiks pideva joone nimega CONTINUOUS, selle vahega, et seda jooneliiki pole vaja joonisesse laadida. Kuna standardid nõuavad, et telgjooned peavad lõikuma kriipsu kohalt, tuleb muuta põhimuutujat LTSCALE, vähendame teda (tuleb lihtsalt proovida!) ↵ (võib sisestada ka 0.4 ↵, s.t. täisosa nulli võib ära jätta, aga kümnendpunkt peab olema) Tulemus: Ülesanne II Tihend 14
sisselülitatust kinnitav teade käsureale < Osnap on >, Kutsume välja käsu PLINE Töö 3 Klamber 7 viime kursori risti punkti D juurde rigjoone ja rõhtjoone DM lõikumise lähedale, kuni lõikumise kohale ilmub väike kaldrist, mis näitab et see asukoht on täpselt leitud {punkt D} ┐ Arvuti teavitab senise kasutusel olnud joone laiuse (nullilise laiusega liitjoon kuvatakse ühe piksli laiusena, kuid joonele võib anda ka väiksemaid matemaatilisi laiusi) ja soovitab sisestada lõigu järgmist punkti või teha mingi muu valik. teeme valiku joone laiuse muurmiseks, selleks sisestame alul W või klõpsama väljal näiteks 2 millimeetriliseks, selleks sisestame 2: NB! Meeles pidada, et liitjoone laiuse muutmisel on vaja sisestada liitjoone lõigule nii alg-
RÜTM > Väljapeetud suured pinnad vahelduvad detailirikaste pidadega. Tundlik värvirütm - heledate-tumedate toonide vaheldumine. DÜNAAMIKA > Staatiline ja rahulik. Vertikaalsed jõujooned. RÜTM > Väljapeetud suured pinnad vahelduvad detailirikaste pidadega. Tundlik värvirütm - heledate-tumedate toonide vaheldumine. KONTRASTID > Maalilise ja joone kontrastsus - tausta ja figuuride harmooniline vastandamine. Värvikontrastsus - tugev kollane, tumesinine ja punane heledal taustal. DÜNAAMIKA > Staatiline ja rahulik. Vertikaalsed jõujooned. RÜTM > Väljapeetud suured pinnad vahelduvad detailirikaste pidadega. Tundlik värvirütm - heledate-tumedate toonide vaheldumine. KONTRASTID > Maalilise ja joone kontrastsus - tausta ja
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
