Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Jadad". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
lahend, esimesest, tähega, jadad, teades, summat, geomeetriline, jadaga, lahendame, sulgude, jagame, teisega, lahendidJadad Geomeetriline jada Geomeetrilise jada üldliige avaldub kujul an = a1qn 1 , kus a1 on geomeetrilise jada esimene liige ja q jada tegur. Geomeetrilise jada esimese n liikme summa valem on kujul a ( q n - 1) Sn = 1 . q -1 Hääbuva geomeetrilise jada summa valem on
JADAD 11. klass Aili Hollak Arvuti koolis lõputöö Koolitaja E. Tarro, 5. kursus JADAD Jada teatud reegli järgi saadud arvude hulk, kus igale naturaalarvule n (alates 1-st) seatakse vastavusse üks kindel arv n. Jada liikmed - 1, 2, ..., n, ... Jada üldliige - n Jada üldliikme valem - n= f(n) Näiteid jadadest Ruudu 1 2 3 4 5 6 nr. Pindala 1 4 9 16 25 36 Nii võib jätkata ruutude joonistamist ja leida ka igal sammul vastava ruudu pindala. Näiteks 11. ruudu pindala on 121, 30
Geomeetriline jada on jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja jääva arvu korrutisega.
Geomeetriline keskmine a2=a1a3
Geomeetrilise jada üldliikme valem:
an=a1qn-1
Geomeetrilise jada esimesed n liiget ja nende summa valem:
a1;a2;a3;...;an geomeetrilise jada lõige ehk esimesed n liiget.
Sn=a1+a2+...+an
Sn=a1(qn-1)
q-1
qn-1q=qn
Lõpmatult kahanev geomeetriline jada(hääbuv geomeetriline jada):
Geomeetrilise jada tegur peab olema vahemikus -1'st 1'ni
|q|<1 = -1
*Jada nimetatakse hääbuvaks ehk nullile lähenevaks, kui jadas järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad arvust 0 kui tahes vähe. 3. Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul an = a1 + d (n 1), kus a 1 on aritmeetilise jada esimene liige, d on jada vahe ning n on liikmete arv jadas. 4. Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul Sn = (a1 + an) / 2 · n, kus a1 on aritmeetilise jada esimene liige, an on jada üldliige ning n on liikmete arv jadas. 5. Geomeetriline jada jada, milles teisest liikmest alates on iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis konstantne. *Geomeetriline jada on hääbuv, kui 0 < q < 1. 6. Geomeetrilise jada üldliige avaldub kujul an = a1q(n - 1), kus a1 on geomeetrilise jada esimene liige, q on alates teisest liikmest liikme ja sellele eelneva liikme jagatis ning n on liikmete arv jadas. 7. Geomeetrilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul Sn = (a1 [q(n - 1) - 1])
7. Geomeetrilise jada esimene liige on 61 ja neljas liige on 1647. Leia selle jada seitsmes liige. 44469 8. Leia neli arvu, mis moodustavad geomeetrilise jada, kui äärmiste liikmete summa on - 49 ja keskmiste liikmete summa on 14. 7;-14;28:-56 9. Geomeetrilise jada kolmas liige on 24 ja kuues liige on -3. Mitme selle jada liikme summa, alates esimesest, oleks 64,5? 7 10. Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada teine liige on 3 ning summa 16. Leia jada esimene liige ja tegur. a1 = 4; q = 0,75 või a1 = 12; q = 0,25 11. Leida hääbuva geomeetrilise jada esimene liige, kui nelja liikme summa on 33,75 ja jada summa on 36. 18 või 54 12. Elanike arv linnas kasvab igal aastal 25% võrra
Saame 99 + 3 S 33 = 33 = 1683 2 Vastus: kõigi sajast väiksemate kolmega jaguvate positiivsete arvude summa on 1683. 7. Aritmeetilise jada kolmas liige on 8 ja seitsmes liige 18. Leia esimese üheteistkümne liikme summa. Lahendus: Antud on a3 = 8 ja a7 = 18. Teame, et a3 = a1 + 2d ja a7 = a1 + 6d. Saame moodustada võrrandisüsteemi: a1 + 2d = 8 a1 + 6d = 18 . Lahendame selle süsteemi. Kasutame liitmisvõtet. Enne aga tuleb teine võrrand korrutada -1-ga. Saame a1 + 2d = 8 a1 + 2d = 8 - a1 - 6d = -18 a1 + 6d = 18 ( - 1) - 4d = -10 d = 2,5 Asendame nüüd d = 2,5 esimesse võrrandisse. Saame a1 + 2 . 2,5 = 8; a1 = 3. Saime, et a1 = 3 ja d = 2,5.
teisele poole ning seejärel tõstetakse mõlemad pooled ruutu. Näide: Ruututõstmist võib kasutada mitu korda, kui seda on juurtest lahtisaamiseks vaja. Edasi lahendatakse võrrandit nagu tavalist ruutvõrrandit. Antud näites -> Viime võrrandi ruutvõrrandi tavakujule, kust saame lahenditeks x1 = 3 ja x2 = 6, kuid kontrolli käigus selgub, et 6 ei ole sobiv lahend, seega on juurvõrrand lahendiks 3. JUURVÕRRANDIT TULEB ALATI KONTROLLIDA! Absoluutväärtus Absoluutväärtusega võrrandites on muutuja absoluutväärtuste vahel. Neid võrrandeid saab lahendada mitut moodi vastavalt sellele, kas absoluutväärtuseid on üks või mitu. 1) Kui absoluutväärtusi on võrrandis üks: Kõige lihtsam on sel juhul võrrandit lahendada, kasutades absoluutväärtuse
Selle alglähendi (nn lähislahendi) x0 võime näiteks saada skitseerides funktsiooni f (x) graafiku. Olgu xn+1 = g (xn) (n N {0}). (1.24.3) Algoritmiga (1.24.3) oleme määranud võrrandi (1.24.1) lahendi x* lähendite jada {xn} . Teatud eeldustel funktsiooni g(x) kohta jada {xn} koondub täpseks lahendiks x , st 4 Kui x on võrrandi (1.24.1) täpne lahend, siis x* = g (x* ) . (1.24.4) Seostest (1.24.3) ja (1.24.4) järeldub, et iga n N {0} korral xn+1 - x* = g(xn) - g (x*) siis seoste (1.24.5) ja (1.24.6) põhjal saame |xn+1 - x | q |xn - x | . 5 Seega |xn - x | q |xn-1 - x | q2 |xn - x | . . . qn |x0 - x | ,
x + Cf(x) = x. Tähistame g(x) = x + Cf(x) ning saamegi vajaliku kuju x = g(x) Hariliku iteratsioonimeetodi korral arvutatakse lahendid järgmise eeskirja põhjal: xn = g(xn-1), (2) st x1 = g(x0), x2 = g(x1), jne. Harilik iteratsioonimeetod on ühesammuline meetod. Uurime meetodi viga: Olgu x* võrrandi (1) täpne lahend, st x* = g(x*). Lähendi xn tõeline viga on |xn – x*|. Kui Limn→∞|xn – x*| = 0, Siis koondub lähend xn täpseks lahendiks x*, st xn → x*. Oluline tingimus sellise koondumies jaoks on: |g’(x)| ≤ q ≤ 1. (3) Teoreem: Leidugu võrrandi (1) lahendit x* sisaldav vahemik (a, b), milles on täidetud võrratus (3). Olgu funktsioon g(x) selline, et ∀x ∈ (a, b) korral g(x) ∈ (a, b). Olgu x0 ∈ (a, b)
Sündmuste liigid. liike ja omadusi; Klassikaline 2) selgitab permutatsioonide, tõenäosus. kombinatsioonide ja Suhteline sagedus, variatsioonide tähendust ning statistiline leiab nende arvu; tõenäosus. 3) selgitab sõltuvate ja Geomeetriline sõltumatute sündmuste korrutise tõenäosus. ning välistavate ja Sündmuste liigid: mittevälistavate sündmuste sõltuvad ja summa tähendust; sõltumatud, 4) arvutab erinevate, ka reaalse välistavad ja eluga seotud sündmuste mittevälistavad. tõenäosusi; Tõenäosuste 5) selgitab juhusliku suuruse liitmine ja jaotuse olemust ning juhusliku korrutamine
Näide 7 Leida esimese 15 paaritu arvu summa Jada on 1; 3; 5, ... a1 = 1 d=2 n = 15 2 1 + (15 - 1) 2 2 + 28 Sn = 15 = 15 = 15 15 = 225 2 2 Vastus: Esimese 15 paaritu arvu summa on 225. Näide 8 Teadaolev vanim ülesanne jadadest, mis on pärit umbes aastast 3000 eKr ja leitud Ahmese papüüruselt. Sada mõõtu vilja tuleb jaotada viie inimese vahel nii, et teine saaks niipalju rohkem esimesest, kui palju kolmas saab rohkem teisest, neljas rohkem kolmandast ja viies rohkem neljandast. Peale selle peavad kaks esimest saama 7 korda vähem kolmest ülejäänust. Kui palju vilja tuleb anda igaühele? Kas sa saad selle ülesande lahendamisega hakkama? Vastus: Vili tuleb jaotada järgmiselt: 2 5 1 1 1 ; 10 ; 20; 29 ; 38 3 6 6 3 Aritmeetilise jada liikmete esimene omadus Aritmeetilise jada iga liige (väljaarvatud esimene) on tema
Näide 7 Leida esimese 15 paaritu arvu summa Jada on 1; 3; 5, ... a1 = 1 d=2 n = 15 2 1 + (15 - 1) 2 2 + 28 Sn = 15 = 15 = 15 15 = 225 2 2 Vastus: Esimese 15 paaritu arvu summa on 225. Näide 8 Teadaolev vanim ülesanne jadadest, mis on pärit umbes aastast 3000 eKr ja leitud Ahmese papüüruselt. Sada mõõtu vilja tuleb jaotada viie inimese vahel nii, et teine saaks niipalju rohkem esimesest, kui palju kolmas saab rohkem teisest, neljas rohkem kolmandast ja viies rohkem neljandast. Peale selle peavad kaks esimest saama 7 korda vähem kolmest ülejäänust. Kui palju vilja tuleb anda igaühele? Kas sa saad selle ülesande lahendamisega hakkama? Vastus: Vili tuleb jaotada järgmiselt: 2 5 1 1 1 ; 10 ; 20; 29 ; 38 3 6 6 3 Aritmeetilise jada liikmete esimene omadus Aritmeetilise jada iga liige (väljaarvatud esimene) on tema
I Urnis on 10 kollast ja 6 rohelist kuuli. Leidke tõenäosus, et urnist 1) juhuslikult võetud kuul on roheline; 2) juhuslikult korraga võetud kaks kuuli on mõlemad rohelised. II Karbis on 9 valget ja 7 musta palli. Leidke tõenäosus, et karbist 1) juhuslikult võetud pall on valge; 2) juhuslikult korraga võetud kaks palli on mõlemad valged. III Esimeses urnis on 5 punast ja 3 sinist kuuli, teises 4 punast ja 3 sinist kuuli. Leidke tõenäosus, et 1) esimesest urnist juhuslikult võetud kuul on sinine; 2) võttes kummastki urnist juhuslikult ühe kuuli, on mõlemad kuulid sinised. Vastused 3 1 9 3 3 9 I 1) ; 2) . II 1) ; 2) . III 1) ; 2) . 8 8 16 10 8 56 Näpunäited Esimeses alaülesandes on tegemist lihtsündmusega. Lihtsündmuse tõenäosus on määratud soodsate
rohkem. Leia raketi lõppkiirus, kui ta saavutab selle 26. sekundi lõpuks. ( 7042 m/s ) 15. Vabalt langev keha läbib esimeses sekundis 4,9 m ja igas järgmises sekundis 9,8 m võrra rohkem kui eelnevas. Leia 1)kui pika tee läbib keha 21 sekundiga; 2)mitu sekundit langeb keha 500 m kõrguselt? (2160,9m; 10,1sek.) 16. Kinosaali esimeses reas on 16 kohta, igas järgnevas reas on aga kahe koha võrra rohkem. Teades, et viimases reas on 48 kohta, arvuta kinosaali kohtade arv. ( 544 kohta ) 17. Maanteel liiguvad teineteisele vastu kaks autot, mille vahemaa on teatud hetkel 200m. Esimese auto kiirus on sellel hetkel 12m/s ja teisel 20m/s. Pidurdamise tõttu vähenes teise auto kiirus igas sekundis 2m/s võrra. Mitme sekundi pärast autod kohtuvad? (8sekundi pärast ) 18. Aritmeetilise jada kahe esimese liikme ruutude summa on 10. Jada kolmas liige on -1. Leia
Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q
14) a) Astme tuletis ( xn)´= n*xn-1 b) tuletis (ax)´= a lna 1 1 15)a) ( ln x)´= x b) (logax)´= xlna 16) (sinx)´= cos x 1 17) a) (cosx)´= -sin x b) (tanx)´= cos2 x 18) (ex)´= ex 19) Kirjuta sirge võrrand teades tõusu k ja punkti A(x 1; y1) : y-y1=k(x-x1) 20) Kirjuta joone y =f(x) puutuja võrrand, kui puutepunkt on A(x 1; y1), millega võrdub sel juhul tõus, kirjuta täpselt tuletise kaudu: y-y1=f’(x1)(x-x1) 21) Kirjuta sirgete paralleelsuse tunnus: k1=k2 22) Kirjuta sirgete ristumise tunnus: k1*k2 = -1 23) Kirjuta x-telje võrrand : y = 0 24) Kirjuta y-telje võrrand : x = 0 25) Kirjuta f-ni y = f(x) maksimumkoha ja miinimumkoha tingimused : ' f ' ' ( x ) <0( max)❑ f ( x )=0
Üks neist tõestada............................................................ 15 16. Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) ja koosinusteisendus (DCT). Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv.
Üks neist tõestada............................................................ 15 16. Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) ja koosinusteisendus (DCT). Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv.
x-x1/v1=y-y1/y2 y=ax+b (a sirge tõus; b algordinaat) y-y1=a(x-x1) Ax+By+C=0 üldvõrrand Sirged kattuvad s=t (võrrandid on samad) A1/A2=B1/B=C1/C2 Sirged on paralleelsed s||t (tõusud on võrdsed) A1/A2=B1/BC1/C2 Sirged lõikuvad (tõusud erinevad, risti on kui tõusude korrutis on 1) a1a2 Vektor on suunaga lõik, millel on alguspunkt (rakenduspunkt) ja lõpppunkt. Igal sihil on kaks suunda. Paralleelsetel sirgetel on sama siht. Vektoreid tähistatakse kas 2 suure tähega või 1 väikse tähega. AB vastandvektor on BA; v vastandvektor on v Vektorid on võrdsed kui nendel on sama pikkus ja suund. Sama sihiga ehk samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks. Vektorid on kollineaarsed siis, kui nende koordinaadid on võrdelised (s.t. vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed). Vektori lahutamisel asendame lahutamise vastandvektori liitmisega. Vektori liitmisel liidame vastavad koordinaadid, lahutamisel lahutame.
1. Ristkülik Mõiste: Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Pindala: S=ab Ümbermõõt: Ü=2(a+b) Omadused: 1. Ristkülikul on kõik rööpküliku omadused. 2. Kõik nurgad on täisnurgad 3. Diagonaalid on võrdsed 4. Ristkülikul on ümberringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiuseks pool diagonaali. 5. Ristkülikul on kaks sümmeetriatelge ja sümmeetriakeskpunkt. Ruut: Mõiste: Ruutu võib defineerida, kui a) ristkülikut, mille lähisküljed on võrdsed b) rombi, mille üks nurk on täisnurk c) rööpkülikut, mille lähisküljedon võrdsed ja üks nurk on täisnurk. Pindala: S=a² Ümbermõõt: Ü=4a Omadused: 1. Ruudul on nii ristküliku kui ka rombi omadused 2. Ruudu küljed on võrdsed 3. Ruudu nurgad on täisnurgad 4. Ruut on korrapärane nelinurk 5. Ruudul on siseringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiusekspool külje pik
1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv.
37. Leia täisnurkse kolmnurga küljed, kui ta siseringjoone raadius r = 5 cm ja üks kaatet onteisest pikem 5 cm võrra. 38. Kahe linna vahemaa on 400 km. Mitme protsendi võrra väheneks autol selle vahemaa läbimiseks kuluv aeg, kui ta a) suurendaks kiirust 60% võrra? b) lisaks kiiruse suurendamisele 60% võrra swõidaks 10% võrra lühemat teed? 39. Leia milliste a parameetri a väärtuste korral on võrrandil 4 5 = positiivne lahend. 3 x - a ax - 2 40. Võrdhaarne kolmnurk haaraga 10 cm ja alusnurgaga 30º pöörleb ümber telje, mis läbib tippu ja on paralleelne alusega. Leia pöördkeha ruumala. 41. Ringi raadiusega 15 cm on joonestatud korrapärane viisnurk. Mitu protsentiringi pindalast jääb viisnuragast väljaspoole? t -5 t -1 42. Kas leidub muutuja t selline väärtus, mille korral murdude ja summa
Võrrandite lahendamine on sundinud matemaatikuid võtma kasutusele uusi arvuhulki. Näiteks võrrandil 8 + x = 3 ei ole naturaalarvulisi lahendeid. Sellel võrrandil on aga Näide 1. Kontrollime, kas arvude 4 - 5i, -3i + 2, -6i + 4 ja 2 - 3i seas on võrdseid. Esimese ja kolmanda arvu reaalosa 4 (seega võrdsed), kuid nende arvude olemas lahend täisarvude hulgas Ä. Täisarvude hulgas ei ole lahendeid näiteks imaginaarosad (-5i ja -6i) pole võrdsed. Seega pole ka arvud omavahel võrdsed. võrrandil 2x = 3. Ratsionaalarvude hulgas  on sellel võrrandil lahend olemas. Teisel ja neljandal kompleksarvul on võrdsed nii reaalosa kui ka imaginaarosa
1.6 Võrratused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6.1 Aritmeetiliste keskmiste ja geomeetriliste keskmiste võrdlemine . . . . . . . . 27 1.6.2 Hölderi ja Minkowski võrratus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Arvjadad 30 2.1 Koonduvad jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Koonduvate jadade üldised omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2 Koonduvate jadade järjestusega seotud omadused . . . . . . . . . . . 32 2.1.3 Koonduvate jadade tehetega seotud omadused . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.4 Tähtsad piirväärtused .
a+b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine: a + ( b + c) = a + b + c a - ( b + c) = a - b - c a + ( b - c) = a + b - c a - ( b - c) = a - b + c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent ( 1 % ) on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill ( 1 ) on üks tuhandik osa tervikust (arvust). a Arvude a ja b suhe protsentides on 100 % . b Kui p % arvust a on m, siis
e) 8sin2x -2cosx = 5
3
x1 2n ; x2 arccos 2n n z
3 4
x
f) tan 2 6 = 0 Vastus : x = 3 (6k - 1), k
g) Lahendage võrrand 2cos2x + 4sin2 x = a , kui võrrandi üks lahend on 450 ja
-3600
ning k-permutatsioone Kombinatsioonid- k-kombinatsiooniks nimetatakse hulga A igat k-elemendilist alamhulka. (Nt. hulk[3] 2-kombinatsioonid: {12,13,23}). *Arvutada saab: [4]. Binoomi valem. Pascali kolmnurk. *Kombinatsioonide arvu tähist nimetatakse sageli ka binoomkordajaks. See tulenebgi aga (Newtoni) binoomivalemist. Binoomi valem-Valem, mis esitub kujul , ning sisuliselt kujutab ta endast ,,summa ruudu valemit" astmel n. Selgub aga, et binoomivalemi sulgude avamisega saame sellise üksliikmete summa, kus iga liikme kordaja e. binoomkordaja vastab sisuliselt kombinatsioonide arvule , kus k on konkreetse üksliikme x'i aste ning n on algse sulgavaldise aste. Näiteks: Toetused aga multinoomvalemile, saaksime binoom-koefitsente välja arvutada ka valemi abil, kus k1 on üksliikme esimese kordaja aste, k2 aga teise kordaja aste. Omadusi: *Binoomkordajad on sümmeetrilised alumise indeksi suhtes:
Vastus: 17297280 b) Martinil on taskus viis viiekroonist ja neli kümnekroonist rahatähte. Kui suur on tõenäosus, et kahe kupüüri juhuslikul võtmisel on mõlemad viiekroonised? Vastus: 20/72 c) Tõenäosus leida pliiats kirjutuslaua esimesest sahtlist on 0,5, teisest sahtlist 0,7 ja kolmandast 0,4. Kui suur on tõenäosus , et pliiats on olemas a) täpselt ühes sahtlis b) vähemalt ühes sahtlis c) mitte üheski sahtlis Vastus: a)0,36 b)0,91 c)0,09 d) Lapsel on 3 kaarti, millele on kirjutatud kolm tähte I ; S ; A. Kui suur on tõenäosus, et kaarte juhuslikult üksteise
ab ba a b c b c a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a b c a b c a bc ab c Jaotuvus ehk distributiivsus: a b c ab ac a b c ab ac Sulgude avamine: a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent 1 % on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill 1 ‰ on üks tuhandik osa tervikust (arvust). a Arvude a ja b suhe protsentides on 100 % .
väärtuse vahel
dispersioon, - Dispersioon on hälbe ruudu keskväärtus. DX = D(X) = E(X-EX) 2=
standardhälve - Standardhälve on ruutjuur dispersioonist
7. Jaotusfunktsioon. - Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on funktsioon, mis seob väärtusega
x vastavusse tõenäosuse, et Xx. Tähistame F-ga
F(x )=P(Xx ) tõenäosus, et JS kuulub paljude väärtuste korral
0 0
teatavasse piirkonda P(a
Fourier’ teisenduse omadusi: • F f(t + Abeli teoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega. ∑∞𝒌=𝟏 𝒂𝒌 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 +. . . +𝒂𝒌 +. .. , kus 𝒂𝒌 (𝒌 ∈ 𝑵) on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese 𝒏liikme summat 𝑺𝒏 Kui astmerida ∑∞ 𝑘 t0) = e i ωt0 fb(ω) • F f(αt) = 1 /α fb( ω/ α ) , α > 0, • F f (r) (t) = (iω)r fb(ω)
EKSAMIKÜSIMUSED 2009 1. Infoedastussüsteemi struktuurskeemid. Üksikute osade: infoallikas, kooder, edastuskanal jne ühtsed kirjeldused. Infoedastuse põhiseadused. (Slaididelt: paragrahv 1) Struktuurskeem: info allikas -> kodeerimine -> edastuskanal -> dekodeerimine -> info tarbija Info allikas edastamisele kuuluvad teatud sõnumid ajalise järjestikuse jadana, siia lisandub ideaalne vaatleja, kes saab sõnumis aru; info allikad on pidevad (elektrilised signaalid) ja diskreetsed (lõplik arv teateid, diskreetsed allikad võivad olla lihtallikad ja kahendallikad); diskreetsed lihtallikad võivad olla mäluta (üksteiele järgnevad sümbolid on teineteisest statistiliselt sõltumatud) või mäluga (sümbolid on stat. sõltuvad); diskreetsel kahendallikal on kaks võimalikku väljundsümbolit null ja üks; Kodeerimine kooder on sobituste kogu; Edastuskanal edastuskanalil on välismõjud; edastuskanal on tehniliste vahendite kogum, toimib teatud reaalses füüsikalises
(Q1) suvaliste a,b,c € R puhul kehtib parajasti üks tingimustest a = b, a < b, b < a (trihhotoomia reegel) (Q2) kui a < b ja b < c, siis a < c (transitiivsus) (Q3) kui a < b, siis a + c < b + c (liitmise monotoonsus) (Q4) kui a < b ja c > 0, siis ac < bc (korrutamise monotoonsus) 3) Kehtib pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 4) Geomeetriline mudel – arvsirge (üksühene vastavus reaalarvude ja arvsirge punktide vahel) – Arvsirge on reaalarvude hea geomeetriline mudel. Positiivsele arvule a seame arvsirge positiivsel poolel vastavusse punkti, mille kaugus nullpunktist on a, negatiivse a puhul fikseerime arvtelje negatiivsel poolel punkti kaugusel −a. Pidevuse aksioom (P) garanteerib selle, et igale arvsirge punktile vastab mingi üheselt määratud reaalarv.
annaabi.ee 
