1. Määramispiirkond ja katkevuskohad (x-id millega saab leida y-it) 2. Kas funktsioon on: a. Paarisfunktsioon; f(-x) = f(x) ; sümeetriline (0,0) suhtes b. Paaritufunktsioon; f(-x) = -f(x) ; sümeetriline y-telje suhtes c. Perioodiline funktsioon; f(x+T)=f(x) T=periood ;siinusfunktsioon 3. Leia X0 ehk nullkohad; f(x)=0 (algneasi=0) 4. Leia X+ ja X- ehk pos-neg piirkond; a. f(x)>0 siis X+ b. f(x)<0 siis X- 5. Leia kasva/kahanemispk X ja X; a. f'(x)>0 siis X b. f'(x)<0 siis X 6. Lokaalsed ekstreemumid; a. f'(x)=0 saad x väärtusi b. f''(x)>0 tuleb Emin y1=fx1 c. f''(x)<0 tuleb Emax y2=fx2 7. Graafiku kumerus/nõgususvahemikud; a. kumerus:y''<0 b. ...
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL INFOTEHNOLOOGIA TEADUSKOND Arvutitehnika instituut Funktsiooni tabulleerimine Juhendaja: Margit Aarna Teadur Tallinn 2011 Autorideklaratsioon Kinnitan, et käesolev töö on minu töö tulemus ja seda ei ole minu ega kellegi teise poolt varem esitatud. 2 Sisukord Ülesande püstitus.......................................
Funktsiooni tuletis Paljude matemaatiliste probleemide lahendamine viib tulemusele, et tuleb võtta funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel 0 st y lim x x 0 Seetõttu on antud sellele piirväärtusele erinimetus ja sümbol. Funktsiooni f(x) muutumise kiirust kohal x0 nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x0 ja tähistatakse f´`(X) y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f `( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentsiaalarvutuse lõid 17. sajandil saksa matemaatik ja filosoof G. W. Leibnitz ning inglise matemaatik ja füüsik I. Newton
Funktsiooni mõiste Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon, mida tähistatakse kujul y = f (x) Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Hulka f(X)={yY: leidub x X nii, et f (x) = y} Nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. ·Olgu meil hulk X, elementidega x1, x2, x3, .... · ja hulk Y, elementidega y1, y2, y3, .... ·Igale elemendile hulgast X seatakse vastavusse üks element hulgast Y Hulk Y Hulk X y2 x2 y2 = f (x2) y3 x3 y1
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL INFOTEHNOLOOGIA TEADUSKOND Arvutitehnika instituut Süsteemitarkvara õppetool 121055IASB IAG0081 Programmeerimine I FUNKTSIOONI TABULLEERIMINE Kodutöö nr.1 Juhendaja: dotsent Vladimir Viies Margit Aarna Koostaja: Peeter Sikk Tallinn 2012 Autorideklaratsioon Kinnitan, et käesolev töö on minu töö tulemus ja seda ei ole minu ega kellegi teise poolt varem esitatud.
Funktsiooni mõiste FUNKTSIOONIKS nimetatakse seost kahe muutuja vahel, kus ühe muutuja x väärtusele seatakse vastavusse ÜKS teise muutuja y mingi väärtus. = () x on sõltumatu muutuja ehk funktsiooni argument, y on sõltuv muutuja ehk funktsiooni väärtus, f on funktsioon ehk arvutusreegel, kuidas muutujast x saab arvutada muutuja y väärtust. Näide: Olgu funktsiooniks () = 5 - 4 . Leiame funktsiooni väärtuse y sellel kohal, kus = 3. (3) = 5 3 - 4 = 11 MÄÄRAMISPIIRKOND on selliste x-de hulk, mille puhul saab funktsiooni väärtused y välja arvutada. Määramispiirkonda vaadatakse joonise x-teljelt. Tähis: X Näide: Funktsiooni y x 1 määramispiirkond on X 1; MUUTUMISPIIRKOND on funktsiooni kõikvõimalike y-i väärtuste hulk. Muutumispiirkonda vaadatakse joonise y-teljelt. Tähis: Y Näide: Funktsiooni y x 1 muutumispiirkond on Y 0 ;
Leia materjale internetist ning vasta küsimustele: 1. Mida tähendavad järgmised mõisted? 2. Milles seisneb mõistepaari erinevus ja milles sarnasus? Vastus anna kujul: ,,Esimene on ... Teine on ... Mõlemad on ..., aga ..." 1. funktsioon ja protseduur: Esimene on alamprogramm, mis tagastab oma töö tulemusena mingi väärtuse. Funktsioonil on tüüp, funktsioon tagastab ainult sellesse tüüpi kuuluvaid väärtusi ja funktsiooni väljakutset võib kasutada avaldises seda tüüpi operandina. Teine on keele konstruktsioon, mille abil võib sooritada programmi osadeks jaotamist ja korduvalt kasutatava tegevuse defineerimist. Mõlemad on alamprogrammid, mõlemaga me taotleme, et programm tuleks võimalikult lühikene ja nad täidavad mõlemad ülesandeid, aga need ülesanded on erinevad. 2. parameeter ja argument: Esimene on ühelaadseid objekte või protsesse iseloomustav suurus (muutuja), mille väärtus
III Pöördvõrdeline sõltuvus a y= graafikuks hüperbool x IV Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c ;a0 graafikuks parabool a) Avaneb kuhu b) nullkohad [ax2 + bx + c=0] c) -b haripunkt XHP= 2a VI Erijuhud Funktsioon ja funktsiooni määramispiirkond a) a lahenda a 0 1 b) a0 a c) K ui ei r j uhud puuduv ad , on l ahen di k s k ogu r eaal ar vud e hul k Funktsiooni nullkohad 0={x1;x2;x3} Positiivsus- ja negatiivsus piirkond a) Positiivsus piirkond + y(x) 0 b) Negatiivsus piirkond - y(x) 0 Paaris- ja paaritu funktsioon
Kirjutada üles kõik, mis võiks vajalik olla, siin on kõik detaiselt välja toodud. 1. Määramispiirkond Kirjutan välja tingimused, arvutan x väärtused, nende põhjal määran piirkonna: o Ruutjuur o Logaritm o Nulliga jagamine X = ... 2. Nullkohad f(x) = 0, leian x väärtused, kui nimetaja ei võrdu nulliga. X0 = ... 3. Paaris või paaritu Paaris, kui f(-x) = f(x). Paaritu, kui f(-x) = -f(x) f(-x) leidmiseks asendada funktsiooni avaldises kõik x --> -x. -f(x) jaoks panna avaldise ette märk paaris / paaritu 4. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad Positiivsuspiirkond on, kui f(x) > 0. Kui murd, siis lugeja/nimetaja>0 lugeja*nimetaja>0. Leian nullkohad, kannan x-teljele. Kui f(x) ees kordaja on positiivne, alustame abijoone tõmbamist ülevalt paremalt, kui negatiivne kordaja, siis korrutada miinusega. Abijoon läbib punkti, kui seda nullkohta on
Algandmed algus pikkus lõpp jaotisi piir arv 0 10 10 10 2 1 Karakteristikud Abs kesk Pind Max Koht F1 5,7002492 F2 2,709888 24,449711 F3 48,192181 16,084425 6 Funktsioonide tabel 20 x F1 F2 F3 15 0 3,0153465 -2,476007 0,5393397 10 1 -1,562584 2,7507686 1,1881845 2 -3,855783 -0,679466 -4,53525 5 3 7,1674429 -6,814591 0,3528518 0 4 -1,288434 -0,695934 -1,984368 0 1 2 3 4 5 5 -8,386551 0,6765877 -7,709964 -5 6 9,2738922 6,8105332 16,084425 -10 7 1,621192...
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL INFOTEHNOLOOGIA TEADUSKOND Arvutitehnika instituut Süsteemitarkvara õppetool IAX0583 Programmeerimine I FUNKTSIOONI TABULLEERIMINE Kodutöö nr.1 Tallinn 2017 Autorideklaratsioon Kinnitan, et käesolev töö on minu töö tulemus ja seda ei ole minu ega kellegi teise poolt varem esitatud. Tallinn 2017 Ülesanne saadi matriklikoodi järgi genereerides. Tingimused: 1) Kõik algandmed on reaalarvulised ning sisestatakse klaviatuurilt. 2) Tulemused väljastatakse tabeli kujul, mille veergudeks on vastavalt
Funktsiooni ekstreemumkohad. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine Õpikust lk 61 Tunni eesmärgid Tänase tunni lõpuks Sa... ... tead mõistete "ekstreemumkoht", "kasvamisvahemik" ja "kahanemisvahemik" sisu ning graafilist tähendust. ... oskad kasutada matemaatilisi sümboleid ekstreemumkohtade ning kasvamis ja kahanemisvahemike välja kirjutamiseks graafiku põhjal. ... oskad määrata ekstreemumi liiki. Funktsiooni kasvamine Funktsiooni y = f(x) nimetatakse kasvavaks vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad. Kui x1 < x2, siis ka f(x1) < f(x2) Funktsiooni kahanemine Funktsiooni y = f(x) nimetatakse kahanevaks vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes funktsiooni vastavad väärtused
Valemid ja Mõisted Funktsiooni f(x) tuletis kohal x: f ( x + x) - f ( x) f ( x) = lim x 0 x Funktsiooni jagatise tuletis u u v - uv = v v2 Funktsiooni summa tuletis (u+v)'=u'+v' Funktsiooni korrutise tuletis (c*u)'=c*u' (u*v)'=c'u+cu' Astmefunktsiooni tuletis (xa)'=axa-1 (x)'=1/(2x) Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Logaritmfunktsiooni tuletised (logax)'=1/(x ln a) (lnx)'=1/x Eksponent funktsiooni tuletised (ax)'=axln a (ex)'=ex Liitfunktsioon F ( x) = f (u ) g ( x) Veel reegleid funktsioonide tuletiste kohta: x = 1 1 1 = 2 x x c = 0 Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Funktsiooni tuletis Funktsiooni tuletiseks nimetatakse funktsioonimuudu ja argumendimuudu suhete piirväärtust argumendi muudu lähenedes nullile. lim x xlim f ( x + x ) - f ( x ) y ' = f ' ( x ) =x 0 = 0 y x Funktsiooni tuletise valemid: ' 1 1 =- 2 x x (x 2 ) ' = 2x x ' =1 c' = 0 [cf ( x)] ' = cf ' ( x ) ( x) ' = 1 2 x
Ekstreemumkoht on argumendi väärtus, mille korral on funkts. Suurim vi vähim väärtus Ekstreemumpunkt On graafiku punkt, kus funktsioonil on kas suurim või vähim väärtus Kasvamispk nim. Argumendi väärtuste hulka, mille korral suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funkts. Väärtus (selles piirkonnas on funkts. Graafik tõusev) Kahanemispk on argumendi väärtuste hulk, mille korral suuremale väärtusele vastab väiksem funkts. Väärtus (graafik langev) Käänupkt- punkt, millest läbiminekul joon muutub kumerast või nõgusast kumeraks. Kumeruspk argumendi väärtuste hulk, kus graafik on kumer Nõgususpk - argumendi väärtuste hulk, kus graafik on nõgus Paarisfunk graafik on sümeetriline y-telje suhtes Paaritufunk graafik on sümeetriline kordinaatide alguspunkti suhtes Funktsioon-eeskiri, mille järgi sõltumatu muutuja igale väärtusele seatakse vastavusse sõltuvamuutuja üks kindel väärtus. Funk määrpk- sõltumatu muutuja väärtuste hulk...
Algandmed Algus Pikkus Lõpp Jaotisi 0 10 10 10 Nullkohad F2 x F1 F2 3,7886 0 1,6094 -2,2774 4,5000 1 0,4985 -1,7226 8,7814 2 0,0912 -2,2774 3 -0,2277 -1,7226 4 -1,5120 0,4616 5 -3,4012 -0,4616 6 -3,9554 -5,5786 7 -1,8205 ...
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Üliõpilane Õppejõud Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Funktsiooni uurimine Tõnis Liiber Õppemärkmik 112118 Kristina Murtazin Õpperühm AAVB21 Algandmed Algus Pikkus Lõpp Jaotisi Piir 2 10 3 10 1 Nullkohad P suuremad F1 F3 x F1 F2 3,4916 2 1,7321 -4,8457
Rakendus "Arvutite müük" Ülesanne 3 Tabelid vutite müük" Sisukord Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Puidu müük. Variandid Töötajad. Uldine nimekiri Rakendus "Puidu müük". Puidu hinnad Rakendus "Funktsiooni uurimine".Ülesande püstitus Funktsioonide variandid Karakteristikute variandid Variandid Hinnad Tööötajad Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Koostada rakendus, mis võimaldab teha puidu müümise arvestust. Rakenduse andmemudel on toodud skeemil. Rakenduses kasutada nimesid!!! Müüjate andmed eraldada eraldi töölehele tabelisse M_töötajad vastavalt variandile (kolm valda) tabelist Töötajad, kasutades arendatud filtrit
Juhendaja Kood VBA - FUNKTSIO VARIANT 1 Argumendi ja funktsioonide väärtused kirjutatakse otse töölehele ning nende al VARIANT 2 Argumendi ja funktsioonide väärtused salvestatakse ühemõõtmeliste massiivide VARIANT 3 Argumendi ja funktsioonide väärtused salvestatakse kahemõõtmelisse massiivi A II VBA - FUNKTSIOONI UURMINE sed kirjutatakse otse töölehele ning nende alusel leitakse vajalikud karakteristikud ja tehakse graafikud sed salvestatakse ühemõõtmeliste massiividesse ning sealt töölehele. Karakteristikud leitakse massiivides olevate väärtuste al sed salvestatakse kahemõõtmelisse massiivi ning sealt töölehele. Karakteristikud leitakse massiivis olevate väärtuste alusel - FUNKTSIOONI UURMINE ehele ning nende alusel leitakse vajalikud karakteristikud ja tehakse graafikud
Algus Pikkus Lõpp Jaotisi 8 18 18 50 F1 F2 F3 Neg keskmine -0,80857 -3,45799 Integraal 0,51547 0,99198 Abs Max -1,84887 Abs Max asukoht 15,200 10,0000 5,0000 0,0000 F 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 F -5,0000 F -10,0000 -15,0000 X F1 F2 F3 F3 Nullkohad: 8,0000 0,5510 0,0380 0,5891 9,0298 8,3600 0,6566 5,5514 6,2...
Algus Pikkus Lõpp Jaotisi 10 18 28 50 F1 F2 F3 Keskmine 0,05094 0,00684 Pindala 69,73071 47,58876 Abs Max 4,25119 Abs Max asukoht 11,80000 X F1 F2 F3 10,0000 -2,4019 -2,0000 -4,4019 10,3600 -3,3545 -1,1520 -4,5066 10,7200 -3,4628 0,4407 -3,0221 11,0800 -2,1852 2,4322 0,2470 11,4400 0,4215 3,9092 4,3307 11,8000 3,5351 4,2512 7,7863 12,1600 5,8295 3,6719 9,5014 12,5200 6,0813 ...
Algandmed Algus Pikkus Lõpp Jaotisi -13 10 5 10 Nullkohad F3 x F1 F2 -13 -14,65392 2,405652 -12 -15,84888 3,763043 -11 -14,43961 5,031824 -10 -12,95905 5,746952 -9 -14,0093 5,606714 -8 -12,8664 4,590247 -7 -10,82726 2,971434 -6 -11,49347 1,223403 -5 -10,51338 -0,150627 -4 -...
Algandmed algus pikkus lõpp jaotisi piir arv -7 20 13 10 2 1 x F1 F2 F3 -7 9 -1,14711 7,85289 -5 1 2,341576 3,341576 -3 9 -0,809362 8,190638 -1 1 2,942863 3,942863 1 1,535534 -0,423021 1,112513 3 -5,535534 2,556522 -2,979011 5 -5,535534 -1,024308 -6,559842 7 1,535534 2,218774 3,754308 9 1,535534 -1,226271 0,309263 11 -5,535534 2,084014 -3,45152 13 -5,535534 -1,323314 -6,858848 pos kesk Pindala abs max koht F1 78,9619 F2 2,4287 F3 4,6991 81,9948 8,1906 -3 10 8 6 4 2 0 -7 -5 -3 ...
FUNKTSIOON Järgnevas on muutuv suurus selline suurus, mis võib omandada mitmesuguseid reaalarvulisi väärtusi. Nende väärtuste hulka nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsioon f on eeskiri, mis seab ühe muutuva suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast X vastavusse teise muutuva suuruse y kindla väärtuse selle muutumispiirkonnast Y. Arvu x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja hulka X funktsiooni f määramispiirkonnaks, arvu y nimetatakse funktsiooni väärtuseks ehk sõltuvaks muutujaks ja hulka Y funktsiooni väärtuste hulgaks. Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ;
FUNKTSIOONIDE TULETISED Funktsiooni y=f(x)tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f ( x + x)- f ( x) f ' ( x)= lim ¿ x 0 x Funktsiooni summa ja vahe tuletis [f (x) + g (x) ]' = f ' (x) + g ' (x) [f (x) - g (x) ]' = f ' (x) - g ' (x) Funktsiooni korrutise tuletis [f (x) * g (x) ]'= f ' (x) *g (x) + f (x) * g ' (x) Funktsiooni jagatise tuletis [ ] f (x) g(x) '= f ' ( x)g (x )- f ( x )g ' ( x) [ g ( x) ] 2 TULETISTE VÄÄRTUSED: (x a )' = a * x a-1 ( a x )' = a x * ln a (e x )' = e x 1 -1 ( )' = 2 x x 1 (log a x)' = xln a 1 (ln x )' = x (sin x)' = cos x (cos x)' = - sind x 1 (tan x)' = cos 2 x 1 x=
#include
Kui eksist piirväärtus limxi0xiu/xi, siis nim seda funkt-i u=f(x1,...,xn) osatuletiseks punktis P(x1,...,xn) muutuja xi (1in) järgi ja tähistatakse f(x1,...,xn)/xi, st f(x1,...,xn)/xi=limxi0xiu/xi . Osatuletise võtmisel mitme muutuja funktsioonist f muutuja xi järgi võetakse selle muutuja järgi tavaline tuletis, kusjuures teisi muutujaid käsitletakse kui konstante. Funkts-i f(x,y) nim diferentseeruvaks punktis A(a,b), kui argumendi muudule (x,y) vastav funktsiooni muut on f=f/x(a,b)x+ f/y(a,b)y+(x,y), kus (x,y) on vektori (x,y) pikkuse suhtes lõpmata väike suurus piirprotsessis (x,y)(0,0) Funkts-i u=(f(x1,...,xn) nim diferentseeruvaks punktis A(a1,...,an), kui argumendi muudule x=(x1,...,xn) vastav funkts-i muut on u=f/x1(A)x1+...+ f/xn(A)xn+(x), kus (x) on vektori x pikkuse suhtes kõrgemat järku lõpmata väike suurus piirprotsessis x(0,...,0) Suurust df=f(x,y)/x dx+f(x,y)/y dy, kus dx=x ja dy=y, nim funkts-i f(x,y) täisdiferentsiaaliks.
ÜLESANNE 3 FUNKTSIOONI TEISENDAMINE Teisenda funktsioon f(x) järgmistele kujudele ja tee igaühe kohta graafik. y=6x^2+5x-4 a=2 1. f(x)= 6*x^2+5*x-4 2. f(-x)=6*((-x)^2)+5*(-x)-4 3. -f(x)=-(6*x^2)-(5*x)+4
Selliseks funktsiooniks on 1 näiteks y= x 2 -4 , mille määramispiirkond X = ( - ;-2 ) ( 2; ) , ja y = , mille x määramispiirkond X = ( - ;0) ( 0; ) . Joonestame ka nende graafikud. 9 x 2 -1 Näide 1. Vaatleme funktsiooni y = . Antud funktsiooni määramispiirkonnaks x -1 on kogu reaalarvude hulk, välja arvatud arv 1, sest x = 1 korral puudub funktsiooni väärtus. Seega funktsiooni graafikul on iga x 1 korral punkt olemas, puudub aga väärtusel x = 1. Koostame selle funktsiooni väärtuste tabeli ja joonestame graafiku. x -3 -2 -1 0 0,9 1 1,1 2 3
Funktsiooni uurimine Funktsiooni kasvamine ja kahanemine Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A kasvavaks, kui a < b f (a) < f (b); kahanevaks, kui a < b f (a) > f (b); iga a, b A korral. f (b) funktsioon kasvab funktsioon kahaneb f (a) f (a) f (b) a b a b Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A monotoonselt kasvavaks, kui a < b f (a) f (b); monotoonselt kahanevaks, kui a < b f (a) f (b); iga a, b A korral. 2 Joone puutuja Monotoonselt kasvav funktsioon y y=f (x) 0 x - teravnurk
Funktsiooni tuletis Rühmatöö Sirgjoonelise liikumise teepikkus s (meetites) sõltub liikumise ajast t (sekundites) järgmiselt: s = 0,3t 2 + t Leida funktsiooni muut. Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada ajavahemikul 3 t 5 läbitud teepikkus. Leida funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe. Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada keskmine kiirus lõigus 3 t 5 s Leida piirväärtus lim Mida võimaldab see valem arvutada? t 0 t Leitud valemi abil arvutada hetkeline kiirus momendil t = 5 2 Diferentsiaalarvutuse rajajad Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz 1643-1727 1646-1716
FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS Funktsiooni piirväärtuse mõiste, tehetega seotud omadused, ühepoolsed piirväärtused Piirväärtuse mõiste · Arvu A nim funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks kohal a ja kirjutatakse lim () = , kui f(x)A niipea kui xa. (loe: kui f(x) läheneb A-le niipea kui x läheneb a-le) · Piltlikult öeldes on arv A funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks kohal a, kui funktsiooni y = f(x) väärtused tulevad arvule A kuitahes lähedale, kui argumendi x väärtused on arvule a küllalt lähedal. 2 Piirväärtuse mõiste · Näiteks on f(x) = x + 1 piirväärtus kohal 3 võrdne neljaga, sest kui argumendi x väärtus läheneb arvule 3, siis funktsiooni väärtused f(x) hakkavad lähenema arvule 4. · Sümbol lim on lühend ladinakeelsest sõnast limes ja tähendab piiri.
Funktsioonid I Funktsiooni tuletis Tuletiste tabel: 1 1 c 0 x 1 x x2
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10
Funktsiooni graafiku teisendused Heldena Taperson www.welovemath.ee y f (x) ....graafik saadakse funktsiooni y=f(x) graafiku peegeldamisel x- telje suhtes. y 3x 4 y (3 x 4) 3 x 4 y f ( x) ....graafik saadakse funktsiooni y=f(x) graafiku peegeldamisel y- telje suhtes. y 3x 4 y 3 x 4 y b f (x) ....graafiku saame kui funktsiooni y = f(x) graafiku iga punkti ordinaati korrutame arvuga b. y 3x 4 y 2(3 x 4) 6 x 8 y f (k x) ... graafiku joonestamiseks vajalikud punktid
Kordamisküsimused eksamiks. 1) Uurimistasandid morfoloogias organism, organsüsteemid, organid, koed, rakud, rakuorganellid 2) Struktuuri ja funktsiooni seos struktuur tagab funktsiooni ; funktsioon kujundab ja arendab funktsiooni, kutsudes selles esile ümberkorraldusi vastavalt funktsiooni eripärale 3) Kuidas struktuuri muutus kujundab funktsiooni (ja vastupidi)? eelmises 4) Erinevused prokarüootse ja eukarüootse raku vahel. - prokarüootsetel puudub rakutuum ja rakuorganellid nt bakterid, eukarüootsed teised elusorganismid 5) Rakuorganellid, nende ülesanded Tuumake ribosoomide süntees; mitokondrid ATP süntees; Endoplasmaatiline retiikulum membraanide süsteem rakus, osaleb näiteks valgusünteesis ja transpordis, rasvade ainevahetuses, steroidide sünteesis; Golgi kompleksraku
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL INFOTEHNOLOOGIA TEADUSKOND Arvutitehnika instituut Süsteemitarkvara õppetool Eesnimi Perekonnanimi 000000IASB IAG0581 Programmeerimine I FUNKTSIOONI TABULLEERIMINE Kodutöö nr.1 Juhendaja: dotsent Vladimir Viies Tallinn 2011 Autorideklaratsioon Kinnitan, et käesolev töö on minu töö tulemus ja seda ei ole minu ega kellegi teise poolt varem esitatud. Eesnimi Perekonnanimi Sisukord Argument | Funktsioon................................................................
Funktsiooni määramispiirkonnaks nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral saab leida f-ni väärtust. Funktsiooni muutumispiirkonnaks nim. funktsiooni väärtuste hulka. Paaris funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Funktsiooni nullkohaks nim. argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus võrdub 0-ga. y = 0 Funktsiooni positiivsuspiirk. nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtused on positiivsed. y > 0 Funktsiooni negatiivsuspiirk. nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooniväärtused on negatiivsed. y < 0 ____________________________________________________________________________________________ Funktsiooni pöördfunktsiooni leidmiseks tuleb a.) vahetada muutujad x ja y b.) saadud avaldisest avaldada y
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Funktsiooni piirväärtus Piirväärtuse arvutamine: lim 1 = x 0 x2 lim 1 =0 x x lim C =C x a lim [ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) x a x a x a lim [ f ( x) - g ( x)] = lim f ( x) - lim g ( x) x a x a x a lim [ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) x a x a x a lim f ( x) lim f ( x ) = xa
Leia järgmiste funktsioonide tuletised:
docstxt/136009269097.txt
Andmete Funktsiooni väärtuse sisestus arvutamise koht. A= x1= B= x2= S= x3= L= x4= x5= x6= x7= x8= x9= x10= x11= x12= x13= x14= x15= x16= x17= x18= x19= x20= Funktsiooni väärtus Vastus: Arvuta kohal x. y1= y2= y3= y4= Graafik y5= y6= 12 y7= y8= 10 y9= y10= 8 y11= y12= 6 y13= y14= 4 y15= y16= 2 y17= y18= 0 y19= y20= fik
2. Kas funktsioon on paaris- d X või ja X paaritu? 8. Käänukohad Xk 3. Perioodilisus 9. Kumerus- ja 4. Nullkohad Xo nõgususvahemikud X ja X 5. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad 10. Asümptoodid X ja X + - 11. Toetudes andmetele 6. Ekstreemumkohad skitseerime graafiku Xe Funktsiooni määramispiirkonnaks on kõikide selliste muutuja x väärtuste hulk, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada Tavaliselt reaalarvude hulk Erandid: x murrujoone all ei sobi x väärtused, kus tekib jagamine 0- ga x paarisarvulise juurijaga juuremärgi all ei sobi x väärtused, mis muudavad juuritava negatiivseks x logaritmitavas - ei sobi x väärtused, mis muudavad logaritmitava mittepositiivseks
docstxt/13646410661801.txt
docstxt/125491603676732.txt
Funktsioone saab esitada valemi, tabeli graafikuga ja sõnaliselt.
Funktsioon e kujutius- seos, mis seob ühe hulga iga elemendi üheselt määratud elemendiga teiste
hulgast.
Lineaarfunktsioon- funktsioon, mida saab esitada kujul y=ax+b.
Ruutfunktsioon- funktsioon, mis on esitatud ruutavaldisega.
Funktsiooni määramispiirikond- valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk,
mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada.
Funktsiooni muutumispiirkond- funktsiooni väärtuste hulk ehk selle määramispiirkonna kujutis.
Kasvavaks nimetatakse funktsiooni y=f(x) vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi
väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad: kui x1
#include
Def.7' Arvu nim funi w=F(P) piirväärtuseks kohal A kui iga E>0 korral leidub arv >0 nii, et |f(P)-|
Avaliku sektori institutsioonidele kehtestati sisekontrolli ja siseauditi alusnõuded Vabariigi Valitsuse määrusega 2000 a. Seega on Eestis sisek ja siseauditi funktsioone käsitletud erinevates õigusaktides, kuid täielik regulatsioon erasektori osas oli senini lünklik. Erasektoris ei olnud siseaud funktsioone täpselt määratletud ning seetõttu lahendasid selle valdkonna probleeme ettevõtte juhid. Tegelikkuses tekkis seetõttu teatavaid probleeme, sest oli raske tagada siseaudiitori funktsiooni sõltumatust ettevõtte juhtidest. Siseaudiitor vastutab selle eest, et välja tuua ettevõtet ohustavad riskid ja vastavalt sellele kujundada enda tegevus ning anda omanikele ja juhtidele kindlustunne, et ettevõtte püstitatud eesmargid saavutatakse. Seega tuleb siseaudiitoril tegutseda keskkonnas, kus siseauditi tegevus on suunatud pidevalt ettevõtte funktsioone, protsesse või tooteid ohustavate riskide väljaselgitamisele. Seega on tegevuse aluseks riskipõhine tegutsemine
docstxt/13694347613347.txt
annaabi.ee 
