Definitsioon 7
Funktsiooni f p¨o¨ordfunktsiooniks f −1 nimetatakse funktsiooni, mis
on defineeritud seosega
Definitsioon 10
P˜ohilisteks elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone
f (x) = C f (x) = x_
f (x) = ax f (x) = loga x
f (x) = sin(x) f (x) = cos(x) f (x) = tan(x) f (x) = cot(x)
f (x) = arcsin(x) f (x) = arccos(x)
f (x) = arctan(x) f (x) = arccot(x).
Definitsioon 11
Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud
p˜ohilistest elementaarfunktsioonidest l˜opliku arvu aritmeetiliste
tehete (so. liitmise, lahutamise korrutamise, jagamise) ja
liitfunktsiooni moodustamise teel.
Jada piirv¨a¨artus
Definitsioon 1
Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on
naturaalarvude hulk N.
{x0,x1,x2,...}{xn}n2N {xn}
Definitsioon 2
Arvu a nimetatakse jada {xn}(l˜oplikuks) piirv¨a¨artuseks, kui iga
_>0 korral leidub N 2N, et iga n >N korral kehtib v˜orratus
|xn −a|
Seega on g f määramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} . Põhilised elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y =cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x- /cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ja y = cos x lõpliku arvu 18 aritmeetiliste tehetega; elementaarfunktsioon y = arcsin (3x) on põhiliste elementaarfunktsioonide y = 3x ja y = arcsin x liitfunktsioon;
ja on ühesed). Kui x ja y väärtusi vaadelda punkti koordinaatidena xy-tasandil, siis igale t väärtusele vastab tasapinna üks punkt. Kui t muutub väärtusest T1 väärtuseni T2 , siis see punkt kujundab mingi joone tasandil. Võrrandeid x=...;y=... nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks, muutujat t nimetatakse parameetriks. Elementaarfunktsiooniks nim funkts, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel.: konstantne, astme-,eksponent-, logaritm-,trigo-,arkus-, hüperbppolsed-, areafunktsioonid. n-astme polünoom e täisratsionaalne funkts: Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...an-1x+an( a00), a-d on const, n-N, x-muutuja Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil on n kompleksset 0-kohta x1.. Ratsionaalfunkts e murdratsionaalseks funkts nim kahe polünoomi jagatisena esitatavat funkts-i f(x)=Qm(x)/Pn(x)
KV-keelte ühesuse probleem pole algoritmiliselt lahenduv Church-Turingi tees: Iga efektiivselt (algoritmiliselt) arvutatav funktsioon on realiseeritav (arvutatav) Turingi masinal. Ehk iga asja, mida saab normaalse aja jooksul välja arvutada, saab arvutada ka Turingi masinal. 18 Lihtrekursiivsed funktsioonid, nende arvutatavus Turingi mõttes. DEF: Lihtrekursiivsed funktsioonid on konstrueeritavad elementaarfunktsioonidest superpositsiooni- ja rekursioonioperaatori abil. Lihtrekursiivsed funktsioonid on kõikjal määratud. nt summa, korrutis, x!, sign Elementaarfunktsioonideks loetakse järgmised funktsioonid: • konstantne funktsioon On : Nn → N, mis iga väärtuste komplekti x1,...,xn ∈ N korral omab väärtust 0. • järgmise naturaalarvu funktsioon s : N → N, mis iga x ∈ N korral annab väärtuse s(x)=x+1; • projektsioonifunktsioon Inm : Nn → N, kus m <= n, mis iga väärtuste komplekti x1,..
Seega on g ◦ f määramispiirkond järgmine: Xg◦f = {x || x ∈ Xf , f(x) ∈ Yg} . Põhilised elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y =cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x− /cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ja y = cos x lõpliku arvu 18 aritmeetiliste tehetega; elementaarfunktsioon y = arcsin (3x) on põhiliste elementaarfunktsioonide y = 3x ja y = arcsin x liitfunktsioon;
g(y) =? y liitfunktsiooni (g f)(x) =sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0,), siis Xgf = {x || sin x [0,)} ={x || 2k x (2k + 1), k Z)}. Põhilised elementaarfunktsioonid: Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon: Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x- ex? cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x lõpliku arvu aritmeetiliste tehetega. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon: Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid
mille korral f(x) asub funktsiooni g MP-s. Ainult siis saame leida f-ni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g f MP selline: Xg f = x x Xf , f(x) Yg Elementaarfunktsiooni mõiste Põhilised neist on: konstantne funktsioon, y = , y = , y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = , y = arcsin x, y = arccos x, y= arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. N-astme polünoom on defineeritud avaldisega: , kus on konstandid ja . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis: 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujad y
asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Def. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: · Eksponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon · Astmefunktsioon · Trigonomeetrilised funktsioonid · Arkusfunktsioonid · Konstantne funktsioon Def. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadus põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste,lahtutamiste,korrutamiste,jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid, n-astme polünoom on defineeritud avaldisega , kus on konstandid ja . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Def
asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Def. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: · Eksponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon · Astmefunktsioon · Trigonomeetrilised funktsioonid · Arkusfunktsioonid · Konstantne funktsioon Def. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadus põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste,lahtutamiste,korrutamiste,jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid, n-astme polünoom on defineeritud avaldisega , kus on konstandid ja . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Def
väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g maaramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruseg[f(x)]. Seega on g f maaramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} Põhilised elementaarfunktsioonid: konstantne, astme, eksponent, trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. Polünoom on hulkliige, mis on moodustatud muutujatest (ehk tundmatutest) liitmise, lahutamise ja/või korrutamise abil n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0.
. 67 7 Algfunktsioon ja määramata integraal 69 7.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2 Algfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 Määramata integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4 Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.5 Tehetega seotud integreerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.6 Muutuja vahetamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.7 Ositi integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.8 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xX korral kehtib võrdus f(-x)=-f(x) Elementaarfunktsiooniks nim funktsiooni, mis on saadud kui lim||=. () põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste Kui eksisteerib lõplik nullit erinev piirväärtus lim (), siis nimetatakse Perioodilised funktsioonid Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline
Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f +g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x). Funktsioonide f ja g liitfunktsiooniks e kompositsiooniks f ◦ g nimetatakse nende funktsioonide järjest rakendamist (f ◦ g)(x) = f (g(x)). 25. Millised funktsioonid kuuluvad põhiliste elementaarfunktsioonide hulka? Mida nimetatakse elementaarfunktsiooniks? (lk 19) Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so. liitmise, lahutamise korrutamise, jagamise) ja liitfunktsiooni moodustamise teel. 26. Defineerida polünoom ja ratsionaalfunktsioon. (lk 20) Polünoom ehk algebraline hulkliige on matemaatikas hulkliige, mis on moodustatud muutujatest (ehk tundmatutest) liitmise, lahutamise ja/või korrutamise abil, näiteks konstantne funktsioon y = C, lineaarne funktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, kuupfunktsioon y = ax3 + bx2 + cx + d on polünoomid
y = (f + g)(x) = f(x) + g(x) y = (f - g)(x) = f(x) - g(x) y = (fg)(x) = f(x)g(x) y = (f/g)(x) = f(x)/g(x) Liitfunktsiooni mõiste. z = (g f)(x) = g[f(x)] Liitfunktsiooni määramispiirkond. Xgf = {x||x Xf, f(x) Yg} Põhilised elementaarfunktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx, y = log a x, y = arcsinx, y = arccosx, y = arctanx ja y = arccotx. Elementaarfunktsiooni definitsioon. funktsioon, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + anxn , kus a0,a1,a2,...,an-1,an on konstandid ja an ei võrdu 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid.
Näide: y = tanx pöördfunktsioon. y = arctanx 6. Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud. Graafikute teisendused (näiteks, kuidas funktsiooni y = f(x) graafikust visandada funktsiooni y = -b f(x+a) graafik, kui a<0, b>0). Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon (tooge näide). Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud. Graafikute teisendused. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioone, mis saadakse põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehte ja liitfunktsiooni moodustamise teel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks. Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon. 7. Funktsioon ilmutamata kujul. Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Näited Funktsioon ilmutamata kujul. Kui võrrandi F(x,y) = 0 on x X korral üks lahend y = f(x), siis öeldakse et see võrrand määrab funktsiooni y = f(x), x X ilmutamata kujul.
defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga . · Liitfunktsiooni määramispiirkond määramispiirkond on: · Põhilised elementaarfunktsioonid konstantne funktsioon, y=xa , y=ax , y=sin x, y=cos x , y = tan x , y = cot x, y =loga x, y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x. · Elementaarfunktsiooni definitsioon Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis onsaadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel. · Polünoom ja ratsionaalfunktsioon i) nastme polünoom on defineeritud avaldisega Kus a0,a1,a2,...,an1,an on konstandid ja an0 ii) Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6) · Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid i) Funktsiooni y=f(X) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib
defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga . · Liitfunktsiooni määramispiirkond määramispiirkond on: · Põhilised elementaarfunktsioonid konstantne funktsioon, y=xa , y=ax , y=sin x, y=cos x , y = tan x , y = cot x, y =loga x, y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x. · Elementaarfunktsiooni definitsioon Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis onsaadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel. · Polünoom ja ratsionaalfunktsioon i) nastme polünoom on defineeritud avaldisega Kus a0,a1,a2,...,an1,an on konstandid ja an0 ii) Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6) · Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid i) Funktsiooni y=f(X) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib
mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Ainult sel juhul saab leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. d. Põhilised elementaarfunktsioonid y=, y=, y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y=, y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx. e. Elementaarfunktsiooni mõiste Elementaarfunktsiooniks nim funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel. f. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. f.i. Polünoom kuulub elementaarfunktsioonide hulka ja on defineeritud avalisega , f.ii. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Hüperboolsete trigonomeetrilistefunktsioonide
funktsiooni g määramispiirkonnas. Seega on g f määramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} . Elementaarfunktsiooni mõiste. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x(2) + . . . + an-1x(n-1) + anx(n) , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) =(a0 + a1x + a2x(2) + . .
Põhilisteks elementaarfunktsioonideks nimetatakse järgmisi funktsioone: 1) konstantne funktsioon y = c; 2) astmefunktsioon y = x ; 3) eksponentfunktsioon y = ax (a > 0); 4) logaritmfunktsioon y = log a x (a > 0, a 1 ); 5) trigonomeetrilised funktsioonid y =sin x, y =cos x, y = tan x, y = cot x; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. Elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone, mis on saadavad põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise operatsioonide teel. §2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS JA PIDEVUS 1. Funktsiooni piirväärtuse definitsioonid Olgu a funktsiooni f määramispiirkonna X kuhjumispunkt, st selle punkti a igas ümbruses U(a)=(a, a+) leidub punkte x X, x a. Definitsioon 1. Arvu a nimetatakse. funktsiooni f piirväärtuseks punktis a (piirprotsessis x a), kui iga arvu > 0 korral leidub = ( ) > 0, nii et
Def. Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse pidevaks punktis A , kui lim f (P ) = f ( A) ning P A pidevaks hulgas D , kui ta on pidev selles hulga igas punktis P D . Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse pidevaks kõikjal, kui ta on pidev hulgas R m . Def. Mitme muutuja funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest rakendades lõpliku arvu aritmeetilisi tehteid ja liitfunktsiooni moodustamisi, nimetatakse mitme muutuja elementaarfunktsiooniks. Väide. Kõik mitme muutuja elementaarfunktsioonid on oma määramispiirkonnas pidevad. Def. Punkti A D D nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks, kui funktsioon pole pidev selles punktis. Punkt A on funktsiooni z = f (P ) katkevuspunkt, kui kehtib üks järgmistest: 1. punkt A ei kuulu funktsiooni määramispiirkonda; 2
Seejuures on rangelt kasvava (rangelt kahaneva) funktsiooni pöördfunktsioon samuti rangelt kasvav (rangelt kahanev). NB!! Seal polnud tõestust Teada teoreemi 4.8 pöördfunktsiooni pidevusest: Olgu funktsioon f : D → R intervallis D rangelt monotoonne ja pidev. Siis tema pöördfunktsioon f−1 on intervallis f (D) pidev. 20. Elementaarfunktsioonid. Piirväärtused (*) Selgitada, mis on elementaarfunktsioonid Funktsioone, mis saadakse põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete rakendamisel ja liitfunktsioonide moodustamisel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks. Teada teoreemi 4.9 elementaarfunktsioonide pidevusest: Iga elementaarfunktsioon on oma määramispiirkonnas pidev. Tõestada, et Lähtume võrratustest (4.3), neist saame, et ehk Kuna koosinusfunktsioon on pidev kohal a = 0, siis ning lause 3.6 kohaselt 4.3 -
Joont polaarkoordinaatides esitatud v~orrandiga = a ( [0, +)) nimetatakse Archimedese spiraaliks. Selle joone u ¨heks parameetriliseks esituseks on x = a cos y = a sin ( [0, +)) . 1.2. Elementaarfunktsioonid Alustame k~oige lihtsamatest ja k~oige rohkem uuritud ning rakendustes enim kasu- tatavatest funktsioonidest, st p~ ohilistest elementaarfunktsioonidest . 1. Konstantne funktsioon y = c. Nendime, et X = R Y = {c}. N¨aide 1. Skitseerime funktsioonide y = -1, y = 2 ja y = 3 graafikud 3 2 y 1 -4 -2 0 2 4
sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0, ), siis Xgf = {x || sin x [0, )} = {x || 2k x (2k + 1), k Z)}. Elementaarfunktsiooni m~ oiste. P~ohilisteks elementaarfunktsioonideks on argmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa , y = ax , y = sin x, y = j¨ cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud p~ohilistest elementaarfunktsioonidest l~opliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahuta- miste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. N¨aiteid elementaarfunktsioonide kohta: ex elementaarfunktsioon y = 5 + 7 tan x - cos x on moodustatud p~ ohilistest elemen- taarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x l~opliku arvu 18 aritmeetiliste tehetega;
sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0, ), siis Xgf = {x || sin x [0, )} = {x || 2k x (2k + 1), k Z)}. Elementaarfunktsiooni m~ oiste. P~ohilisteks elementaarfunktsioonideks on j¨argmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa , y = ax , y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud p~ohilistest elementaarfunktsioonidest l~opliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahuta- miste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. N¨ aiteid elementaarfunktsioonide kohta: ex elementaarfunktsioon y = 5 + 7 tan x - cos x on moodustatud p~ ohilistest elemen- taarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x l~opliku arvu 18 aritmeetiliste tehetega;
annaabi.ee 
