Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Diskreetne matemaatika II kodutöö". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
sümmeetriline, ühisosa, diskreetne, matemaatika, numbrid, tehte, jagub, ühendiks, naturaalarvu, värvida, kombinatsiooniDiskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 1 Olga Dalton 104493 IAPB21 1. (a) Kuna A on positiivsete täisarvude hulk, mille viimane number on 3, siis sisaldab hulk A arve 1,2,3, nendest paarisarv on 2. Seega on hulkade A ja B ühisosa {2} VV { { (b) 5-ga jagub iga arv, mis lõpeb kas 5 või 0-ga. Nendest arvudest on 5-ga lõppevad paaritud ja 0-ga lõppevad paarisarvud. Seega kuuluvad hulkade A ja B ühisosasse 0-ga lõppevad ja 5-ga jaguvad täisarvud, st 10-ga jaguvad täisarvud(arvud, mis annavad 10-ga jagamisel jäägi 0): VV {YÉY X { 2. Kujutan Venni diagrammil C = A B Et A C = (AC) (CA), siis
lahenduvust/ mittelahenduvust. *Võrdsed hulgad- Kahte hulka loeme võrdseks, kui nad koosnevad täpselt samadest elementidest. Elementide järjekord hulgas ei ole oluline. *Alamhulk/ülemhulk- Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks (e. osahulgaks), kui kõik hulga A elemendid sisalduvad ka hulga B koossesisus. Sellisel juhul on hulk B ka muuseas hulga A ülemhulk. Tähistaktakse: ning . Tehted: Hulkade ühend- Kahe hulga ühendiks on ,,kõik hulga A elemendid + kõik hulga B elemendid". (Tähistatakse ) Hulkade ühisosa- Kahe hulga ühisosaks on ,,kõik elemendid, mis sisalduvad samaaegselt nii hulgas A kui ka hulgas B". (Tähistatakse ) Hulkade vahe- Kahe hulga vahe A/B on defineeritud kui ,,hulk, mis koosneb kõigist niisugustest elementidest, mis kuuluvad hulka A ent ei kuulu hulka B" (Tähistatakse /) Hulkade sümmeetriline vahe- Kahe hulga sümmeetriliseks vaheks on ,,kõik hulga A
c) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c liitmise assotsiatiivsus(ühenduvusseadus) d) a (b c) = (a b) c a, b, c korrutamise assotsiatiivsus e) a (b + c) = ab + ac a, b, c korrutamise distributiivsus 2) - hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 4. Algarvud. 1) Algarvuks nimetatakse 1-st suuremat naturaalarvu, mis jagub ainult iseenda ja 1-ga. 2) Eratosthenese sõel. a) Nimekiri arvudest 2..N. b) Nimekirjast tõmmatakse maha need arvud, mis on mingi algarvu kordsed. 5. Algarvud. 1) Eukleidese teoreem. a) Teoreem : algarvude hulk on lõpmatu. b) Tõestus : Tähistame p1=2, p2=3, p3=5, ... Oletame vastuväiteliselt, et leidub suurim algarv pn.
Lausearvutus 1) a. Lausearvutuse lausetele esitatavad tingimused: a.i. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. a.ii. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause ei saa olla nii tõene kui ka väär. a.iii. Tehteid võib teostada ükskõik milliste lausetega. a.iv. Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2) a. Eitus (märk ¬). Lause mittekehtimine. b. Konjunktsioon (märk &) tähendab seost ,,ja". c. Disjunktsioon (märk ) väljendab seost ,,või". Siin on kasutusel mittevälistav ,,või". d. Implikatsioon (märk ) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni ,,kui ..., siis ...". e
leitakse järgmiste reeglite abil: 1. Kui F = ¬G, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0. 2. Kui F = G & H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 ja H = 1. 3. Kui F = G V H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 või H = 1. 4. Kui F = G -> H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0 või H = 1. 5. Kui F = G <->H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 ja H = 1 6. või G = 0 ja H = 0. Tõeväärtustabeli vasakus pooled on muutujate kõik väärtused. Paremas pooles on tehte tulemus kirjutatud vastava tehte veergu. Samaselt tõene valem lausearvutuse valemit F nimetatakse samaselt tõeseks, kui ta on igal väärtusel tõene. Samaselt väär valem lausearvutuse valemit F nimetatakse samaselt vääraks, kui ta on igal väärtusel väär. Kehtestatav valem lausearvutuse valemit F nimetatakse kehtestatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtusel tõene. · Iga samaselt tõene valem on kehtestatav
bcd ja abcd tähistavad poisside arvu, kellele meeldib kolm ja abcd puhul kõik neli tegevust. Olgu näiteks antud klass, kus õpib 30 poissi. Nende seas 10, kellele meeldib male(a), 7, kellele jalgpall(b), 18, kellele meeldib jalgrattasõit(c), 9, kellele meeldib matkata(d). Nii male kui jalgrattasõit meeldib 3 inimesele(x), male ja jalgpall 4-le(y), male ja matkamine 3-le(z), jalgpall ja rattasõit 5-le(u), jalgpall ja matkamine 4-le(v) ning jalgrattasõit ja matkamine 3-le(w). Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 2 Olga Dalton 104493 IAPB21 Liites kokku poisside arvu, kellele meeldib ainult üks tegevus, ja lahutades maha poisside arvu, kellele meeldib kaks tegevust, saan poisside arvuks:
väidavad, kusjuures sellel väitel on olemas ühene tõeväärtus. o . Välistatud kolmanda seaduse nõudel jäävad kõrvale kõik küsilaused ja paljud hüüdlaused, samuti kõik käsud ning mõttetud sõnaühendid. Mitte-vasturääkivuse seadus välistab mitmesugused paradoksid, näiteks „See lause siin on väär“, ja muud taolised väited, mille tõeväärtust pole võimalik üheselt määrata. o Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2. Lausearvutuse tehted. Tehete järjekord. Lausearvutuse valem. [1] Tehted o Eitus (märk ¬). Igapäevakeeles väljendab eitus lause mittekehtimist, näiteks „Lehis ei ole okaspuu“. Selle lause võib kirja panna valemiga ¬A, kus A = „Lehis on okaspuu“. o Konjunktsioon (märk &) tähendab seost „ja“. Näiteks „Puhub tuul ja sajab vihma“ on valemkujul A & B.
Näide: Kui nurgad on kõrvunurgad, siis nende summa on 180o. Teoreemi tõestamine tähendab selle näitamist, et eeldusest A järeldub väide B. Tõestamisel lähtutakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Vahetades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite, saame lause ,,Kui B, siis A". Seda lauset nimetatakse antud lause pöördlauseks. Kui lause kehtib, siis selle lause pöördlause ei pruugi kehtida. Näide: Lause: ,,Kui arv lõpeb nulliga, siis ta jagub viiega" (kehtib). Pöördlause: ,,Kui arv jagub viiega, siis ta lõpeb nulliga" (ei kehti). Näide: Lause: ,,Kui kolmnurga küljed on võrdsed, siis on ta nurgad võrdsed"(kehtib). Pöördlause: ,,Kui kolmnurga nurgad on võrdsed, siis ta küljed on võrdsed" (kehtib). Kui pöördlause juhtub olema tõene, siis nimetatakse seda pöördteoreemiks. Asendades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite nende eitustega (sümbolid ¬A ja ¬B), saame lause ,,Kui ¬A, siis ¬B"
Naturaalarve saab järjestada 0 1 2 3 4 1. a = b; 2. a > b; 3. a < b Naturaalarvude hulk on lõpmatu Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise tehete suhtes Naturaalarvude hulk ei ole lahutamise ega jagamise tehete suhtes kinnine Naturaalarvud Paaris- ja paaritu arvud arvuga 2 jaguvuse alusel Algarvud ja kordarvud - arvude jaguvuse alusel Algarv ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarvud kõiki ülejäänud ühest suuremaid naturaalarve NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega kordarvud Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega. Antud arvude suurimaks ühisteguriks (SÜT) nimetatakse suurimat arvu, millega jaguvad kõik antud arvud.
Elementaarmatemaatika 1. Teooria Mõistete definitsioonid; selgitavad joonised, tekstid 1. Arvuhulga järjestatus- Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a > b , a = b või a tehte suhtes- Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus 4. Arvuhulga pidevus- Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev 5. Vastandarv- Naturaalarvu n vastandarvuks nimetatakse sellist arvu -n, mis
2 2 * a * n + ( n - 1 )* r * n + 2 * a + 2 * n * r 2 * a * ( n + 1 ) + n * r * ( n + 1 ) S( n + 1 ) = = = 2 2 n +1 = [ 2 * a + nr ] 2 S eega S (n+ 1) korral kehtib Ü les anne3: Tões tada, et kõigi täis arvude n>= 1 korral jagub avaldis 22 n - 1 kolmega. a) tões ta me, et kehtib n= 1 korral 22*1 - 1 = 2 2 - 1 = 4 - 1 = 3 S (1) on tõene. b)eelda me, et kehtib S (n) korral S ( n ) = 22 n -1 jagub kol mega c)tões tame, et kehtib S (n+ 1)korral S ( n +1 ) = 2 2( n +1 ) -1 = 2 2* n +2 -1 = 2 2* n * 2 2 -1 = 22* n * 4 -1 = 2 2* n * ( 1 + 3 ) -1 = = 2 2* n * 1 + 2 2* n * 3 -1 = 2 2* n -1 + 2 2* n * 3 = S ( n ) + 22* n * 3 S (n+ 1) j agub kolmega, kuna S (n) j agub 3-ga ja teis es liikmes on 3 kordaj aks .
Mis on Diskreetne Matemaatika ? Termineid: — verbaalne esitus on mistahes info esitamine lingvistilise keele abil. " diskreetne " ≡ " mitte pidev " ehk " astmeline " — formaalne esitus on mistahes info esitamine ilma lingvistilise keele abita ehk kokkulepitud sümbolite abil. vs. " Diskreetne Matemaatika " ↔ " Pidev Matemaatika " NB!
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4
n S ( n ) a n * r 2 * a ( n 1 )r a n * r 2 2 * a * n ( n 1 )* r * n 2 * a 2 * n * r 2 * a * ( n 1 ) n * r * ( n 1 ) S( n 1 ) 2 2 n 1 2 * a nr 2 S eega S (n+ 1) korral kehtib Ü les anne3: Tões tada, et kõigi täis arvude n> = 1 korral jagub avaldis 2 2 n 1 kolmega. a) tões ta me, et kehtib n= 1 korral 2 2*1 1 22 1 4 1 3 S (1) on tõene. b)eelda me, et kehtib S (n) korral S ( n ) 2 2 n 1 j agub kolmeg a c)tões tame, et kehtib S (n+ 1)korral S ( n 1 ) 2 2( n 1 ) 1 2 2* n 2 1 2 2* n * 2 2 1 2 2* n * 4 1 2 2* n * ( 1 3 ) 1 2 2* n * 1 2 2* n * 3 1 22* n 1 2 2* n * 3 S ( n ) 2 2* n * 3 S (n+ 1) j agub kolmeg a, kuna S (n) j agub 3-ga j a teis es liik mes on 3 kordaj aks .
selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0 1 2 3 … }. Iga lõplik hulk on alati loenduv. Täisarvud Z lõpmatu/loenduv, reaalarvud R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe ∆. Kui 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu. Duaalsetes hulgaavaldistes asenduvad ∩/∪, ∪/∩, ∅/𝐼, 𝐼/∅ nt 𝐴̅ ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) ja 𝐴̅ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶). Hulgaavaldise Cantori normaalkuju (CNK) on ühendite ühisosa või ühisosade ühend. Täielik Cantori
3.ptk Defineerimine ja tõestamine 8.klass Õpitulemused Näited 1.Hulkade ühisosa - ühised elemendid; Ül.564 tähis ; NB tehe hulkadega 2.Hulkade ühend - hulk, millesse kuuluvad Ül.567 ühe hulga kõik elemendid ja teise hulga need elemendid, mis esimesse hulka ei kuulunud; tähis ; NB tehe hulkadega 3.Matemaatilised sümbolid - hulkade ühisosa matemaatikale iseloomulik hulkade ühend nn.kokkuleppeline keel, et teksti lühidalt element kuulub hulka kirja panna (võit ajas ja ruumis) element ei kuulu hulka sidesõna "ja" sidesõna "või" hulga osahulk, "ei ole osahulk" kriipsutatakse sama tähis läbi
ka lahendeid (0;0;0;7) ja (0;7;0;0) jne, st lahendid erinevad üksteisest elementide järjestuse poolest ning et esinesid eelpool mainitud kordumised, siis tuleb erinevate lahendite leidmiseks kasutada kordumistega permutatsioone, nimelt 3 P4(3) + 7 P4(2) + P4 = ... = 120 lahendit. Vastus: Sellel määramata võrrandil on 120 erinevat mittenegatiivset täisarvulist lahendit. Harjutusülesanded 1. Mitu erinevat 11-tähelist sõna on võimalik moodustada tähtede ümberpaigutamisega sõnas matemaatika? 2. Kui mitmel erineval viisil saab nimes TEELE tähti selliselt ümber paigutada, et kolm tähte E ei satuks kõrvuti? 3. Mitu erinevat neljakohalist arvu saab koostada numbritest 0, 1, 3, 6, 8 ja 9, kui numbrid arvus ei tarvitse olla erinevad (arvu 0363 loeme kolme-, mitte neljakohaliseks)? 4. Auto registreerimisnumber koosnev kolmekohalisest arvust ja kolmetähelisest sõnast (ka arvu 031 loetakse kolmekohaliseks). Mitu
hulga A astmehulgaks 2𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0 1 2 3…}. Iga lõplik hulk on alati loenduv. Täisarvud Z lõpmatu/loenduv, reaalarvud R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe Δ. Kui 𝐴∩𝐵=∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu. Duaalsetes hulgaavaldistes asenduvad ∩/∪, ∪/∩, ∅/𝐼, 𝐼/∅ nt 𝐴̅∩(𝐵∪𝐶) ja 𝐴̅∪(𝐵∩𝐶). Hulgaavaldise Cantori normaalkuju (CNK) on ühendite ühisosa või ühisosade ühend.
Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1.
Arv koosneb numbritest. 10. Kuidas avaldub arvu väärtus? Arvu väärtus avaldub järgneva korrutiste summana: , kus a on järk ja p on arvusüsteemi alus. 11. Millise numbri lisamine täisosa ette või murdosa lõppu ei muuda arvu väärtust? Nulli lisamine täisosa ette või murdosa lõppu ei muuda arvu väärtust. 12. Mis on arvu tüvenumbrid? Tüvenumbrid on arvu numbrid alates madalaimast mittenullisest numbrist kuni kõrgeima mittenullise numbrini. 13. Millist teisendust nimetame ka arvu „väärtuse leidmiseks“? Väärtuse leidmise all mõeldakse kümnendsüsteemi teisendamist. 14. Mida näitab arvu järel olev indeks? Arvu järel olev indeks näitab kasutatavat arvusüsteemi. 15. Milline on lihtsaim võimalik arvusüsteem? Lihtsaim arvusüsteem on kahendsüsteem. 16. Kuidas on määratud arvujärkude kaalud kahendsüsteemis
Paari (,)× korral öeldakse, et elemendid ja on seoses ning tähistatakse ka . Mõnikord öeldakse osahulga kohta, et see on seose graafik. Kui =, ehk kui ×, siis räägitakse seosest hulgal . Näide 1. Olgu ={2,3} ja ={1,2,3,4,5,6}. Siis 1={(2,2),(2,3),(3,1), (3,5)} on binaarne seos hulkade ja vahel. Samade hulkade ja korral võime vaadelda veel palju teisi seoseid, näiteks seost 2, mis on antud tingimusega, et see koosneb paaridest (,), millede korral jagub arvuga . Siis 2={(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6)}. Näide 2. Olgu hulgaks kõigi naturaalarvude hulk ning seoseks osahulk hulgas ×, mis koosneb kõikidest paaridest (,), mille korral arv on arvu jagaja. Seega ={(,) ,, | }. Seda seost nimetatakse jaguvusseoseks. Näide 3. Olgu mistahes hulk ja ={(,) | }. Mistahes elementide , korral (,) parajasti siis, kui =. Seda seost nimetatakse võrdusseoseks hulga elementide vahel. Ülesanne 1
Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend C = {x | x kuulub A && x kuulub B} Hulkade lõige e ühisosa C = {x | x kuulub A OR x kuulub B} Hulkade vahe C = {x | x kuuulub A XOR x kuulub B} Hulga A täiend A* = {x | x kuulub universaalhulka AND x ei kuulu A} A x B hulkade ristkorrutis e otsekorrutis e Descartes' korrutis A x B = {(a,b) | a kuulub A, b kuulub B} Paradoksid: Russelli ehk habemeajaja paradoks (hulga esitamine predikaadi abil): P(X) = true, kui argumendina esitatud hulk pole iseenda elemendiks. P(X) = false, kui argumendina esitet hulk on iseenda elemendiks. Kontrollime hulka
=4096; jne) Kuueteistkümnendarvude kohakaaludeks on arvud 16 n (160 =1; 161 =16; 162 =256; 163 =4096 jne) Näited: Teisendada 571(10) kahendarvuks. 2.7 Kümnendarvu murdosa teisendamine teistesse arvsüsteemidesse. p-ndsüsteemi lihtmurru a tähistuse leidmisel q-ndsüsteemis tuleb arv a (järgmistel sammudel korrutise murdosa) korrutada arvuga q. Korrutise täisosad annavad arvu a q-ndsüsteemi tähise numbrid samas järjekorras. Arvutatakse üks koht nõutust rohkem ja ümardatakse. Näited: 2.8 Ülesanne 1c Leida järgmiste kümnendarvude tähised kahend-, kaheksand- ja kuueteistkümnendsüsteemis. a) 491 d) 6789 g) 0,916 n) 712,483 q) 29760,3563 b) 528 e) 0,387 h) 0,745 o) 4906,727 r) 65148,8927 c) 8192 f) 0,826 i) 698,926 p) 5794,816 s) 11,00011 2
Matemaatika eksami teooria Reaalarvud 1.1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud · Naturaalarvude hulk N (ainult positiivsed täisarvud) · Naturaalarvu n vastandarv -n defineeritakse selliselt, et n+(-n)=0 · Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q. Ratsionaalarv on arv, mis avaldub jagatisena a/b, kus a Z, b Z ja b 0.
mis kuulub terminaalide tähestikku ja on produtseeritav lähtesümbolist). DEF: Sõnede hulk L on KV keel, kui leidub KV grammatika G, nii et L=L(G). DEF: KV-grammatika G on ühene, kui iga sõne x ∈ L(G) korral leidub ainult 1 tuletuspuu (1 vasaktuletus). DEF: KV-keel L on ühene, kui kui leidub ühene KV-grammatika G , nii et L = L(G). Teoreem: Olgu L1 ja L2 ühesed keeled. Kui L1 ∩ L2 = ∅, siis on keel L1 ∪ L2 samuti ühene. T: Oletame, et L1-l ja L2-l on ühisosa. Keeled L2 = {anbncm | n,m > 0} ja L3 = {ambncn | n, m > 0} on ühesed, grammatikad on {S→AB, A→aAb, A→ab, B →cB, B →c} ja {S →AB, A→aA, A→a, B →bBc, B →bc}. Keel L = {anbncm | n,m > 0} ∪ {ambncn | n,m > 0} on mitmene, sest saab mitu tuletuspuud teha. 9 KV grammatika Chomsky normaalkuju. DEF: KV gramaatika G = (N,Σ,P,S) on Chomsky normaalkujul, kui tema produktsioonid on ühel kujudest: A→BC; A→a(terminaal); S(lähtesümbol)→ε.
6.ptk Ruutvõrrand 8.klass Õpitulemused Näited 1.Arvu ruut - kahe võrdse teguri korrutis Ül.1262,1263 2 a a=a ; mistahes ratsionaalarvu ruut on Leida arvu ruut taskuarvuti abil. mittenegatiivne 2 2 2 2 15 =225; 28 =784; 41 =1681; 57 =3249 Lihtsustada avaldis ja arvutada. 2 2 2 2 2,4 2 =(2,4 2) =4,8 =23,04 NB ruutjuure pöördtehe; saab kasutada 2 näiteks ruudu ja ringi pindala arvutamisel =3,5 =12,25 2 2 2 2 2 (-4,5) 4 -8 (-1,5) =(-4,5 4) -(-8
on [(a, b)] vastandelement. Korrutamise suhtes on [(2, 1)] ühikelement. Defineerime ka [(a, b)] < [(c, d)], kui a + d < b + c. ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 13 Vahetu kontroll näitab, et kehtib järgmine lause. Lause 1.6 Täisarvude hulk on järjestatud ring, s.t. ring, kus on defineeritud tehetega kooskõlas olev järjestusseos. Iga naturaalarvu n samastame täisarvuga [(S(n), 1)]. Kontroll näitab, et see samastamine on koos- kõlas tehete ja järjestusega. Niisiis N ⊆ Z. Järgnevalt koostame ratsionaalarvude hulga (rational numbers, рациональные числа). Selleks defineerime hulgas Z × N järgmise seose: (a, b) ∼= (c, d) ⇔ ad = bc. Kontroll näitab, et seos ∼ = on ekvivalentsusseos; faktorhulka Z × N/ ∼
a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine arvu 10 aste, siis öeldakse, et arv on kirjutatud standardkujul. N: 20000 = 2 *10 4 5000000000 = 5 * 10 9 9.Ligikaudse arvu tüvenumbrid Ligikaudse täisarvu tüvenumbriteks loetakse selle arvu kõik numbrid, välja arvatud lõpus olevad nullid. N: 1234 = 1,234*10 3 12,34 = 1,234*10 1 10.Ligikaudsete arvude summa ja vahe. Ligikaudsete arvude summa ja vahes säilitatakse kõige madalam järk, mis on kõigis lähteandmetes teada. N: 23,4 + 123 = 146,4 146 1999 + 2,989 = 2001,989 2002 11.Ligikaudsete arvude korrutis ja jagatis Ligikaudsete arvude korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui neid on vähima tüvenumbritega arvuga lähteandmetes. N: 234*23
Kollokvium 1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas hulka A, hulka B või mõlemasse kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühendit tähistatakse * Hulkade A ja B ühisosaks ehk korrutiseks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik üheaegselt nii hulka A kui ka hulka B kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühisosa tähistatakse * Hulkade A ja B vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid ei kuulu hulka B. Hulkade A ja B vahet tähistatakse AB,
3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad Def: Hulk QcR2 on kumer, kui kõikide punktipaaride x1,x2 jaoks kogu neid punkte ühendav sirglõik kuulub sellesse hulka. Teoreem: Kumerate hulkade Q1...Qk ühisosa on kumerhulk. Tõestus: =!!!! ! Võtame 2 mistahes punkti x1,x2 Q ja moodustame: x= x1+x2Q. Kuna kõik Qi on kumerad, siis x1,x2 kuuluvad igasse Qi-sse. Kumerte hulkade ühisosa võib olla ka tühihulk, mis omakorda on kumer hulk, kuna ei sisalda ühtegi elementi. 5. Lineaarsete võrratuste süsteemid, vastuoluline süsteem !! ... !! ! ! Axb, kus = ... ... ... ,= ... ,= ... . !! ... !" ! !
kasu valmistumisel kontrolltööks ja eksamiks. Margus Kruus HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid · Hulkade ühend AB={x |(xA)V (xB)} · Hulkade ühisosa (lõige) AB={x |(xA)& (xB) · Hulga täiend A = { x | ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. · Hulkade vahe AB={x |(xA)& (xB)} · Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x | (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused · Kommutatiivsusseadused AB=B A B = B · Assotsiatiivsusseadused A(BC)=(AB)C 1 A(BC)=(AB)C
HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid Hulkade ühend A B = { x ( x A) V ( x B ) } Hulkade ühisosa (lõige) A B = { x ( x A) & ( x B ) Hulga täiend A = { x ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. Hulkade vahe A B = { x ( x A) & ( x B ) } Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused Kommutatiivsusseadused A B = B A B = B
annaabi.ee 
