Leiame nüüd tuletise ning nüüd tuletise väärtuse kohal 27. Saame Vastus: f ‘(27) = 18 8. Leia funktsiooni y = (x2 – 1)(3x + 2) tuletis. Lahendus: 1) Kasutame korrutise tuletise leidmise valemit. Saame y ‘ = [(x2 – 1)(3x + 2)] ‘ = (x2 – 1)(3x + 2)’ + (3x + 2)(x2 – 1)’ = = (x2 – 1) . 3 + (3x + 2) . 2x = 3x2 – 3 + 6x2 + 4x = = 9x2 + 4x – 3. 2) On olemas ka teine viis seda ülesannet lahendada: avame sulud ja diferentseerime seejärel saadud hulkliiget. Saame y = (x2 – 1)(3x + 2) = 3x3 + 2x2 – 3x – 2 y ‘ = (3x3 + 2x2 – 3x – 2)’ = 3 . 3x3 – 1 + 2 . 2x2 – 1 – 3 . 1 = 9x2 + 4x – 3. 9. Leia funktsiooni y = (x2 + 1)(3x3 – 2) tuletis. Lahendus: 1) Kasutame korrutise tuletise leidmise valemit. Saame y ‘ = [(x2 + 1)(3x3 – 2)] ‘ = (x2 + 1)(3x3 – 2)’ + (3x3 – 2)(x2 + 1)’ = = (x2 + 1) . 3 . 3x2 + (3x + 2) . 2x = 9x4 + 9x2 + 6x4 – 4x =
Olgu meil antud üks joonparv võrranditega: (9.1) . Igale C väärtusele vastab üks parve joon. Def 9.1 Joon L on joonparve (9.1) mähisjoon, kui igas oma punktis see puudutab ühte parve joontest. Olgu joonparve (9.1) mähisjoon. Eeldame, et on pidev ja diferentseeruv. Olgu P(x,y) üks mähisjoone punkt, siis see punkt asub ka ühel parvejoontest, mis on määratud parameetriga C. Järelikult igale punktile mähisjoonel vastab teatud . Joonparve võrrandist (9.1) saame: (9.2) . Nüüd diferentseerime saadud võrdust, leiame Siit (9.3) Joonparve joonel C on const ja seega saame: . See võrdus aga määrab ära y' väärtuse L joone tõusu meie vaadeldavad punktis P(x,y). Et mähisjoon on sama puutuja ja tõus, kui parve joonel, siis (9.3) saame: (9.4) . Kuid mähisjoonel see ei ole konstant ja seega . Järelikult (9.5) . Järelikult on joonparve mähisjoon määratud kahe võrrandiga. (9.6) Kui võrrandisüsteemist õnnestub elimineerida C, siis saame mähisjoone võrrandi või .
( x - 1) 2 1 1 2 - Logaritmime ln y = ln x ( x + 1) ( x - 1) 3 2 3 3 1 1 2 Lihtsustame ln y = ln x + ln( x 2 + 1) - ln x - 1 3 3 3 1 1 1 1 1 2 1 Diferentseerime y' = + 2 ( x 2 + 1) - ( x - 1) y 3 x 3 x +1 3 x -1 1 1 1 1 1 y' = + 2 2x - 2 1 y 3 x x +1 x -1 Avaldame y' 2 = 1 1 + 2 x - 2 3 x( x + 1) 2 1 1 2x y = y + 2 - 3 x x + 1 x - 1 3 x x + 1 x - 1 ( x - 1)
muutub samasuseks, kui selles võrrandis y asendada avaldisega f ( x ) , siis funktsioon y = f ( x ) on võrrandiga F ( x, y ) = 0 määratud ilmutamata funktsioon. Olgu antud argumendi x ilmutamata funktsioon y järgmise võrrandiga: 2x y = y - y - x = 0. Diferentseerime seda x järgi: 6 y y - y - 2 x = 0, millest 6 2 5 6 y - 1 4. Rolle´i teoreem koos geomeetrilise tõlgendusega. Lagrange´i teoreem koos geomeetrilise tõlgendusega. Cauchy teoreem. Rolle´i teoreem: Kui funktsioon f ( x ) on lõigul [ a, b] pidev, selle lõigu igas seesmises
[ f ( x )dx] = [ F ( x ) +C ] = F ( x ) = f ( x ) m.o.t.t. 2. d f ( x ) dx = f ( x ) dx 1 d f ( x ) dx = [ f ( x ) dx] dx =1.om f ( x ) dx m.o.t.t. 3. F ( x ) dx = F ( x ) +C Et f ( x ) dx = F ( x ) +C kus F ( x ) = f ( x ) , siis F ( x ) dx = F ( x ) +C m.o.t.t. 4. kf ( x ) dx = k f ( x ) dx . Diferentseerime paremat poolt [k f ( x ) dx] = k [ f ( x ) dx ] = kf ( x ) (viimane vt omadus nr 1) m.o.t.t. 5. [ f ( x ) + g ( x )] dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx Diferentseerime valemi paremat poolt [ f ( x ) dx + g ( x ) dx] = [ f ( x ) dx] +[ g ( x ) dx] = f ( x ) + g ( x ) m.o.t.t. INTEGREERIMISE PÕHIVALEMID Integreerimise põhivalemid saadakse tuletiste põhivalemite "tagurpidi" rakendamisel (vt tuletiste tabel paremalt vasakule)
otsest sõltuvust x ja y vahel. Näide 1: Argumendi x funktsioon y on antud parameetriliste võrranditega 6. Tuletada funktsiooni y = x R diferentseerimise valem kasutades logaritmilise diferentseerimise võtet. Teoreem: Funktsiooni y = x tuletis on y = x-1 , kus on mistahes reaalarv, s.o. kui y = x, siis on y = x-1 Tõestus: Olgu x > 0 Kasutades logaritmilise diferentseerimise võtet, saame ln y = ln x ; ln y = ln x ; Diferentseerime saadud võrduse mõlemaid pooli x järgi, arvestades, et y on x funktsioon: Asendades y avaldisega x saame lõplikult y = x-1 Valem on õige ka siis, kui x < 0, kui x omab mõtet. Näide: y = x3 Leida y' kasutades logaritmilist diferentseerimist! ln y = ln x3 ln y = 3 ln x y' = 7. Tuletada funktsiooni y = arctanx diferentseerimise valem Eeldame, et on teada tan x ' =
Diferentsiaalvõrrandite süsteemi korral, näiteks 6 MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken dy - az = 0 dx dz + bz + cy = 0 dx elimineerime ühe otsitava funktsiooni, avaldades kõik seosed teise funktsiooni kaudu mille tulemusel saame selle jaoks kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandi. Toodud näites diferentseerime teist võrrandit d 2z dz dy dy +b +c = 0 ning asendame esimesest võrrandist = az . Saame dx 2 dx dz dx d 2z dz 2 +b + acz = 0 . dx dx Mitme muutuja funktsiooni tuletised Olgu funktsioon f ( x, y ) , siis osatuletised on f f ( x + x, y ) - f ( x, y ) = lim , x x 0 x f f ( x, y + y ) - f ( x, y )
• Kasvuhoonegaaside emissioon jäätmekäitlusest Kas akumuleerid prügi oma kodus? väheneb aastaks 2010 rohkem kui teistes majandusvaldkondades: – 44 % Inimesel peab olema õigus asju ära visata! − Me ei tohi välja jõuda jäätmete peitmiseni! − OK, diferentseerime hinna. − Koostöö jäätmetekitaja, KOV, veo ja käitlusfirma vahel! Kokkuvõte: miks me seda teeme? Prügi ladestamine • Muudatused jäätmekäitluses tekitavad võõristust, ometi peame sellega leppima ja kohanema. − jäätmekäitlus ei ole välja mõeldud elanike kiusamiseks. Tänan
log mudeli kirjeldatuse tase on parem) ning lin-log ja lineaarset mudelit (nende võrdluses on parem lineaarne mudel) Ülesanne 5. On antud regressioonimudel ln(Y ) 0 1 X 2 X ; Y on regiooni keskmine palk, X – 2 noorte osakaal regioonis tööjõus. Leida muutuja sõltuva muutuja keskmine elastsuse arvutamise valem. Põhjendada tuletuskäiku. Lahendus. Elastsuse leidmiseks diferentseerime võrrandi mõlemaid pooli dY / Y dX 2 2 XdX dY / Y 1dX 2 2 XdX . Elastsus E 1 1 X 2 2 X 2 . Antud dX / X dX / X juhul palga elastsus elastsus sõltub muutuja X väärtusest (ei ole tegemist konstantse elastsusega mudeliga). Keskmise elastsuse leidmisel asendatakse X konkreetne väärtus tema
, x n , u ) = 0 F u x =- k x k F u k = 1,2,..., n Kahe muutuja parameetriline funktsioon omab kuju x = ( u, v ) y = ( u, v ) (8.6) z = ( u, v ) kus u ja v on parameetrid. z z Leiame osatuletised ja kui liitfunktsiooni tuletised x y z z u z v x = u x + v x z z u z v (8.7) = + y u y v y u ja v osatuletised ei ole teada. Nende leidmiseks diferentseerime kahte esimest võrdust. dy Võtame osatuletised x järgi, lugedes y = const . = 0 dx u v 1 = u x + v x (8.8) 0 = u v + u x v x u v Süsteem (8.7) on kahe tundmatuga lineaarne võrrandisüsteem ja suhtes.
Olulised väärtused (nullkohad, ekstreemumid, t=u(x) -pidev ja diferentseeruv, siis kehtib valem puutujast. käänupunktid) Funktsioon y=f(x) on kumer lõigul (a,b), kui selle funktsiooni graafik asub selles vahemikus allpool Tõestus: diferentseerime võrduse mõlemat poolt temale tõmmatud puutujast. Definitsioon 2 Punkte, kus funktsioon on määratud ja pidev ja milles funktsiooni kumerus muutub nõgususeks või vastupidi nimetatakse 26. Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. käänupunktideks. Teoreem 1 Kui funktsioon y=f(x) on kumer mingis Tuletised on võrdsed
elamentaarfunktsioonide integraale. 36. Integreerimine muutuja vahetusega Vaatleme integraali f ( x )dx ja ühest funktsiooni x = ( t ) , millel on ühene pöördfunktsioon t = ( x ) . Teoreem 1. Kui x = ( t ) on rangelt kasvav (rangelt kahanev) diferentseeruv funktsioon, siis f ( x )dx = f [ ( t )]( t )dt . (1) Tõestus. Kasutame jälle asjaolu, et määramata integraalid on võrdsed, kui on võrdsed nende tuletised. Diferentseerime võrduse mõlemat poolt x järgi ja veendume, et tulemus on sama. Vasaku poole tuletis on punkti 4.1.1 järelduse 1 põhjal 2 ( f ( x )dx ) Parema poole algfunktsioon on muutuja t funktsioon, seega = f (x ) . paremat poolt peame muutuja x järgi diferentseerima kui liitfunktsiooni: integraali tuletis t järgi korda t tuletis x järgi, s.t.
Kiiruse leidmiseks diferentseerime aja järgi koordinaadiga ja punkti liikudes kujutavad need endas kolme ajast sõltuvat võrrandit. Need on liikumisvõrrandid, 2. Mis on täiendusprintsiip
22 sin cosh cos cos A sinh A = - t cosh cosh ja saame A = (sin tanh cos cosA) t Asimuudi muutumise valemi analüütiliseks tuletuseks peab cotA .... valemit diferentseerima muutujate A ja t suhtes. Polaarkolrnnurgast cotA sint = tan cos sin cost. Diferentseerime seda valemit asimuudi ja tunninurga suhtes: sin t dA - cot A cos tdt = sin sin tdt sin A sin t dA = (cot A cos t + sin sin t ) dt sin A dA sin A cos A cos t + sin 2 A sin sin t sin A(cos A cos t + sin A sin sin t ) = = dt sin t sin t
4. Rahastame riiklikult spetsialiseeritud klasside ja koolide tööd eriti andekate võime- tekohaseks õppimiseks. Ametiõpe ja gümnaasiumiharidus 1. Väärtustame võrdselt ametiõpet ja gümnaasiumiharidust. Õpe gümnaasiumiastmel peab olema diferentseeritud, võimaldamaks õpilasel kujundada endale sobiv haridustee. 2. Korrastame haridussüsteemi ja õppekavasid selliselt, et need oleksid paindlikud ja võimaldaksid operatiivselt reageerida tööjõuturu muutustele. 3. Diferentseerime keskhariduse gümnaasiumi- ja üldkeskhariduseks. Integreerime üldkeskhariduse ametiõppega, arvestades tööturu nõudlust ning Eesti majanduse spetsiifikat. 4. Arendame kutsekoolide võrku Eesti Vabariigis, regioonides ja kohtadel vastavalt regionaalsele eripärale ja tööjõuvajaduse prognoosidele. 5. Tõstame otsustavalt ettevõtjate rolli kutsehariduse korraldamisel (tööjõuvajaduse prognoosimine, õppeprotsessi kujundamine, õppekavade konsulteerimine, õppe- ja
(1.1) F ( x) + C Funktsiooni f (x) määramata integraal (1.2) f ( x)dx = F ( x) + C , kus C on määramata konstant © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 40 Ositi integreerimine ja muutuja vahetus (tõestusega). Olgu f (t ) pidev funktsioon, t = u (x) - pidev ja diferentseeruv, siis kehtib valem (25.1) f [u( x)] u' ( x)dx = f (t )dt , kus t = u(x) Tõestus: diferentseerime võrduse mõlemat poolt d dx [ ] f [u ( x)] u ' ( x)dx = f [u ( x)] u ' ( x) d dx [ ] f (t )dt = [ d dt ] f (t )dt dt dx
(1.1) F ( x) + C Funktsiooni f (x) määramata integraal (1.2) f ( x)dx = F ( x) + C , kus C on määramata konstant © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 40 Ositi integreerimine ja muutuja vahetus (tõestusega). Olgu f (t ) pidev funktsioon, t = u (x) - pidev ja diferentseeruv, siis kehtib valem (25.1) f [u( x)] u' ( x)dx = f (t )dt , kus t = u(x) Tõestus: diferentseerime võrduse mõlemat poolt d dx [ ] f [u ( x)] u ' ( x)dx = f [u ( x)] u ' ( x) d dx [ ] f (t )dt = [ d dt ] f (t )dt dt dx
muutujast y (edaspidi eeldame, et ta on diferentseeruv). Valime c(y) nii, et oleks täidetud ka teine pool siin võib konstandi C tuua igalt poolt tuletise märgi ette, seetõttu seosest (6). Selleks diferentseerime võrduse (7) mõlemal poolel olevat avaldist muutuja y järgi ja võrdsustame Lause4. Kui integraalid ∬𝐷 𝑓(𝑃)𝑑𝑆 ja ∬𝐷 𝑔(𝑃)𝑑𝑆 eksisteerivad, siis eksisteerib ka integraal
siooni tuletise leidmise reeglit rakendades. Muutuja y on x funktsioon, seega vasak pool ln y on liitfunktsioon ja selle tuletis avaldub standardsel kujul 1 (ln y) = y . y N¨ aide 1. Leiame funktsiooni y = (x2 + 1)x tuletise. Selleks k~oigepealt loga- ritmime ln y = x ln(x2 + 1) ja siis diferentseerime 1 1 y = ln(x2 + 1) + x 2 2x y x +1 11 ehk 1 2x2 y = ln(x2 + 1) + 2 . y x +1 Korrutades saadud v~orduse m~olemaid pooli suurusega y, saame 2x2
V~orrand F (c) = 0 ongi see, millest meil l~ opuks ~onnestub avaldada Q(x). Kuid selleks on meil vaja eelnevalt leida F (t) tuletis. M¨ arkides, et [ ] f (i) (t) f (i) (t) f (i+1) (t) (x - t)i = - i(x - t)i-1 + (x - t)i , i! i! i! diferentseerime valemit (3.41): f (t) f (t) f (t) F (t) = f (t) - f (t) + (x - t) - 2(x - t) + (x - t)2 1! 2! 2! f (t) f IV (t) - 3(x - t)2 + (x - t)3 - 3! 3!
onnestub avaldada Q(x). Kuid selleks on meil vaja eelnevalt leida F (t) tuletis. M¨ arkides, et f (i) (t) f (i) (t) f (i+1) (t) (x - t)i =- i(x - t)i-1 + (x - t)i , i! i! i! diferentseerime valemit (3.41): f (t) f (t) f (t) F (t) = f (t) - f (t) + (x - t) - 2(x - t) + (x - t)2 1! 2! 2! f (t) f IV (t) - 3(x - t)2 + (x - t)3 - 3! 3!
annaabi.ee 
