Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Aritmeetiline jada". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
naabrite, jadad, jagatisy=x+2 xe{1;2;3;...} Aritmeetilise jada omadus: Iga liige alates teisest on võrdne oma naaberliigete aritmeetilise keskmisega. a2=(a1+a3)/2 Aritmeetilise jada üldliikme valem an=a1+(n-1)d Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa: esimesed n-liiget ehk jada lõige: a1;a2;a3;...;an Sn- esimese n-liikme summa ehk jada lõike summa Sn=a1+an n 2 Sn=2a1+(n-1)d n 2 Geomeetriline jada Geomeetriline jada on jada, mille teisest liikmest alates iga liikme ja talle eelneva liikme jagatis on jääv. Geomeetriline jada on jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja jääva arvu korrutisega. Geomeetriline keskmine a2=a1a3 Geomeetrilise jada üldliikme valem: an=a1qn-1 Geomeetrilise jada esimesed n liiget ja nende summa valem: a1;a2;a3;...;an geomeetrilise jada lõige ehk esimesed n liiget. Sn=a1+a2+...+an Sn=a1(qn-1) q-1 qn-1q=qn Lõpmatult kahanev geomeetriline jada(hääbuv geomeetriline jada):
JADAD 11. klass Aili Hollak Arvuti koolis lõputöö Koolitaja E. Tarro, 5. kursus JADAD Jada teatud reegli järgi saadud arvude hulk, kus igale naturaalarvule n (alates 1-st) seatakse vastavusse üks kindel arv n. Jada liikmed - 1, 2, ..., n, ... Jada üldliige - n Jada üldliikme valem - n= f(n) Näiteid jadadest Ruudu 1 2 3 4 5 6 nr. Pindala 1 4 9 16 25 36 Nii võib jätkata ruutude joonistamist ja leida ka igal sammul vastava ruudu pindala. Näiteks 11. ruudu pindala on 121, 30
Jadad Aritmeetiline jada Aritmeetilise jada üldliikme valem on an = a1 + d(n – 1), kus d on jada vahe ja n jada liikmete arv. Aritmeetilise jada esimese n liikme summa valem on . a1 a n Sn n 2 Teades, et an = a1 + d(n – 1), võime eelnevale valemile anda ka teise kuju: . 2a 1 n 1 d Sn n 2 Viimane valem võimaldab arvutada esimese n liikme summat vaid jada esimese liikme ja jada vahe järgi.
Aritmeetiline jada Koostas: Margit Nuija Kool: Viljandi Paalalinna Gümnaasium Maakond: Viljandi Õppeaine: matemaatika Töö teema: aritmeetiline jada Klass: IV kooliaste, 11. klass Juhendas: Toomas Rähn Aritmeetilise jada mõiste Def. Aritmeetiliseks jadaks nim. arvujada, mille iga liige (alates teisest) võrdub eelneva liikme ja ühe jääva liidetava summaga. NB! Jääv liidetav (jada vahe) - d Esimene liige - a1 Liikmete arv - n Näide: On antud jada 5, 8, 11, 14, 17, 20. a1 = 5 d=3 n=6 Üldliikme valem Jada definitsioonist järeldub,et a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d =(a1 + 2d) + d = a1 + 3d ............................................ an = an-1 + d = .............a1 + (n-1) d an = a1 + (n-1)d Jada vahe · Kui d > 0, siis aritmeetiline jada on kasvav · Kui d < 0, siis aritmeetiline jada on kahan
Aritmeetiline jada Koostas: Margit Nuija Kool: Viljandi Paalalinna Gümnaasium Maakond: Viljandi Õppeaine: matemaatika Töö teema: aritmeetiline jada Klass: IV kooliaste, 11. klass Juhendas: Toomas Rähn Aritmeetilise jada mõiste Def. Aritmeetiliseks jadaks nim. arvujada, mille iga liige (alates teisest) võrdub eelneva liikme ja ühe jääva liidetava summaga. NB! Jääv liidetav (jada vahe) - d Esimene liige - a1 Liikmete arv - n Näide: On antud jada 5, 8, 11, 14, 17, 20. a1 = 5 d=3 n=6 Üldliikme valem Jada definitsioonist järeldub,et a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d =(a1 + 2d) + d = a1 + 3d ............................................ an = an-1 + d = .............a1 + (n-1) d an = a1 + (n-1)d Jada vahe · Kui d > 0, siis aritmeetiline jada on kasvav · Kui d < 0, siis aritmeetiline jada on kahan
Aritmeetiline jada ------------------------------------------------------- Aritmeetilise jada üldliikme valem a n = a1 + n - 1 d ( ) Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valem a + an 2a + ( n - 1) d Sn = 1 n Sn = 1 n 2 2 ------------------------------------------------------- 1. Leia aritmeetilise jada 2; 9; 16; ... kaheteistkümnes liige. Lahendus: Antud on a1 = 2; a2 = 9, millest järeldub, et vahe on d = 9 2 = 7; n = 12. Leiame a12 ( ) Kasutades aritmeetilise jada üldliikme valemit a n = a1 + n - 1 d , saame a12 = 2 + (12 - 1) 7 = 2 + 11 7 = 79 2. Arvuta aritmeetilise jada n-is liige. a) a1 = 2; d = -2; n = 12; a12 = ??? ( ) L
Geomeetriline jada Geomeetriliseks jadaks nimetatakse arvujada, milles iga järgnev ja temale eelneva liikme jagatis on jääv, alates 2. liikmest. Jäävat jagatist nimetatakse jadateguriks ja tähistatakse q-ga |q|<1 Hääbuv jada Geomeetrilise jada üldliikme tuletamine a2=a1q a3=a2q a4=a3q a2*a3*a4*...*an=a1q*a2q*a3q*...*an-1q an=a1*qn-1 Geomeetrilise jada n esimese liikme summa valem Sn=a1+a2+a3+...+an q*Sn=a1q+a1q2+a1q3+...+a1qn - Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-1 qSn-Sn=a1qn-a1 (q-1)Sn=a1(qn-1) Hääbuva geomeetrilise jada summa valemi tuletamine Pedak
Jadad Geomeetriline jada Geomeetrilise jada üldliige avaldub kujul an = a1qn 1 , kus a1 on geomeetrilise jada esimene liige ja q jada tegur. Geomeetrilise jada esimese n liikme summa valem on kujul a ( q n - 1) Sn = 1 .
Sagedusjaotustabel (suhteline sagedus f /n) Jaotustabel absoluutse sageduse rida puudub Andmestiku karakteristikud Keskmised: · Mood on vaadeldava suuruse kõige sagedamini esinev väärtus (Mo) · Mediaan variatsiooni rea keskel asuv väärtus, kuid neid arve on paaritu arv ja kahe keskmise väärtuse aritmeetiline keskmine, kui neid arve on paaris arv (Me) · Aritmeetiline keskmine Suuruse kõigi väärtuste summa ja rea mahu jagatis Hajvusmöödud: · Minimaalne ja maksimaalne element · Variatsioonirea ulatus · Hälve e lemendi erinevus aritmeetiliselst keskmisest (d=|x-x|) · Keskmine hälve kõigi hälvete summa ja reamahu jagatis · Dispersioon hälvete ruutude keskmine · Standard hälve ruutjuur dispersioonist Sirge tõus on tõusunurga tangens. Siis kui x kordaja on +, siis sirge tõuseb. x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1 x-x1/v1=y-y1/y2
3. Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul an = a1 + d (n 1), kus a 1 on aritmeetilise jada esimene liige, d on jada vahe ning n on liikmete arv jadas. 4. Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul Sn = (a1 + an) / 2 · n, kus a1 on aritmeetilise jada esimene liige, an on jada üldliige ning n on liikmete arv jadas. 5. Geomeetriline jada jada, milles teisest liikmest alates on iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis konstantne. *Geomeetriline jada on hääbuv, kui 0 < q < 1. 6. Geomeetrilise jada üldliige avaldub kujul an = a1q(n - 1), kus a1 on geomeetrilise jada esimene liige, q on alates teisest liikmest liikme ja sellele eelneva liikme jagatis ning n on liikmete arv jadas. 7. Geomeetrilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul Sn = (a1 [q(n - 1) - 1]) / (q 1), kus a1 on geomeetrilise jada esimene liige, q on alates teisest liikmest liikme ja
JADAD Aritmeetiline jada Olgu antud lineaarfunktsioon y=f(x)=ax+b Aritmeetilised jadad on näiteks: 1,3,5,7...2n-1 Selle aritmeetilise jada üldvalem 7,11,13,15,19...4n+3 Selle aritmeetilise jada üldvalem d=3-1=5-3=7-5=...=2 d-aritmeetilise jada vahe 1+5 3+ 7 Omadus: =3 ; =5 2 2 d=11-7=15-11=19-15=...-4 7 +15 11 +19 Omadus: =11 ; =15 2 2 Üldiselt avaldub aritmeetiline jada: a1 , a2, a3 … an −1, a n , a n+1 , …
Ande Andekas Matemaatika Geomeetriline jada Jada, milles iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis on konstantne nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Kui leiduvad arvud a ja b nii, et jada liikmed an asuvad iga n korral lõigus [a;b] siis nimetatakse jada (a n) tõkestatud jadaks. Jada nimetatakse hääbuvaks ehk nullile lähenevaks, kui jadast järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad nullist kuitahes vähe. Selliselt juhul on |q| < 1 või |q| > -1. an = aa * qn-1 Sn = a1 (qn 1)/q 1 S = a1/1 q a jada liige n liime arv q jada tegur
a1 +a n 61) - summa valem : S= ∗n 2 an−1+ an+1 62) - liikmete omadus alates teisest liikmest: an = iga arv alates 2 teisest on oma naabrite aritmeetiline keskmine. Kirjuta geomeetrilise jada n−1 63) - üldliikme valem : an =a1 q a1 (qn−1) a n q−a 1 64) - summa valem : s n= , kus q ≠ 1→ s n= q≠1 q−1 q−1 , kus
korral rangelt kahanev. 15. Aritmeetiline jada: Mõiste: Jada, mille iga liikme ja temale vahetult eelneva liikme vahe on konstantne, nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Liikmete leidmine: Üldliikme valem: an=a1+(n-1)d an-viimane liige või ka n-es liige a1-esimene liige n-liikmete arv d-liikmete vahe Summa valem: Sn=an+a1/2 ·n 16. Geomeetriline jada: Mõiste: Jada, milles iga liikme ja temale vahetult eelneva liikme jagatis on jääv, nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Liigid: 1. Hajuv jada (liikmed kasvavad). 2. Hääbuv jada (liikmed järjest vähenevad). Liikmete leidmine: Liikmete leidmiseks tuleb eelnev liige korrutada q-ga ja eelnevate liikmete leidmiseks tuleb järgnev liige jagada q-ga. Üldliikme valem: an=a1q a1=an/q q=an/a1 Summa valem(hajuv jada): Sn=a1(1-q ) / 1-q q=an / a1 Summa valem(hääbuv jada): Sn=a1 / 1-q 18. Astendamine:
Siit saab välja kirjutada võrratuse lahendipiirkonnad x=]-;-1[ U ]3;[ Otspunkte ei võta kaasa, sest meil on range võrratus. Intervallmeetodi puhul tuleb meeles pidada, et kui teguri aste on paarisarv, näiteks (x+1)2, siis joon põrkab, mitte ei läbi intervalli. Murdvõrratus Murdvõrratusi on kõige kergem lahendada, saades aru, et kui kahe arvu korrutis on positiivne, on ka nende jagatis positiivne ning vastupidi. Tänu sellele võib jagatise asendada korrutisega ning kasutada samuti intervallmeetodit. Enne seda tuleb aga kõik liikmed viia vasakule poole ning viia ühisele nimetajale. Mitterange võrratuse puhul tuleb kindlasti juurde mainida, et ei tohi lubada argumendi väärtusi, mille korral nimetaja väärtus oleks võrdne nulliga. Näide:
Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) läheneb nullile. n Piirväärtust
Aritmeetiline jada: an = a1+(n-1)d d = an-an-1 Sn = Geomeetriline jada: an = a1qn-1 Sn = Hääbuv jada: S = Trigonomeetria: sin 2 2 2 = sin +cos = 1 1+tan = sin2 = 2cossin cos2 = 2cos2-1 tan2 = siinusteoreem: (ümberringjoone raadius) koosinusteoreem: a2=b2+c2-bccos erikülgne kolmnurk: S= n Põhivõrrandid: sinx= a x=(-1) +180n, n Z cox= a x=+360n, n Z tanx= a x= +180n, n Z Kaare pikkus: l= Sektori pindala: S= n Liitintress: c= a(1) a-algväärtus Vektorid: pikkus paralleelsus || ristseis X1X2+Y1Y2= 0 nurk vektorite vahel cos = Sirge võrrand: kahe punktiga tõusu ja algkoordinaadiga y= kx+b (lp y-teljega) tõusu ja punktiga y-y1=k(x-x1) Kahe sirge vastastikused asendid: paralleelsed A||B k1=k2 risti AB k1k2 = -1 s1+s2 =
jada. Leia kolmnurga pindala. (4 cm 2 ) 6 20. Tööline teenindab 16 kudumismasinat, mis töötavad automaatselt. Kudumismasina jõudlus on a meetrit tunnis.Kangur laseb esimese masina tööle kell 8, iga järgmise aga 5 minutit hiljem eelmisest. Kui palju riiet toodetakse kahe esimese tunni jooksul? (22a meetrit) 21. Leia kõikvõimalikud arimeetilised jadad, mille esimeseks liikmeks on 5, mille vaheks on täisarv, mille liikmete hulgas on arvud 57 ja 113. ( d =1;d =2;d=4 ) 22. Kui kõik töölised oleksid asunud tööle üheaegselt oleksid nad sooritanud ettenähtud töö 7 tunniga. Nad asusid tööle üksteise järel võrdsete ajavahemike järel ja töötasid siis kõik kuni töö lõpetamiseni. Esimesena tööle asunud tööline töötas 10 tundi. Mitu korda töötas ta kauem viimasena tööle asunud töölisest? (2,5 korda)
on 21 toru. ( 3m 3 2)d m2 m 1) a) l = md; b) h ; c) ; 2) 220 cm 2 2 24. (2007) Külmas toas, kus temperatuur oli 0º, lülitati sisse radiaator ning toa tempera-tuur hakkas tõusma. Esimese tunniga tõusis temperatuur 5 kraadini. Alates teisest tunnist oli iga tunni ja sellele vahetult eelneva tunni jooksul toimunud temperatuuri-muutuste jagatis jääv suurus q. Kolmanda tunnu lõpuks oli toas 10 kraadi sooja. 1 5 1) Arvutage konstant q. q 0,618 2 2) Kui soojaks läheb see tuba tundide arvu tõkestamatul kasvamisel?
Matemaatika 11. klassi valemid Astendamise abivalemid am n a an a a =a m n m +n (a m ) n = a mn ( ab) n = a n b n n = a m -n = n a b b n p Liitprotsendiline kasvamine (kahanemine): L = A 1 + , kus L on 100 lõppväärtus, A - algväärtus, p - kasvamise protsent, n - kasvutsüklite arv. Logaritmide omadused: log a c = b a b = c a loga c = x lo
1.6 Võrratused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6.1 Aritmeetiliste keskmiste ja geomeetriliste keskmiste võrdlemine . . . . . . . . 27 1.6.2 Hölderi ja Minkowski võrratus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Arvjadad 30 2.1 Koonduvad jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Koonduvate jadade üldised omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2 Koonduvate jadade järjestusega seotud omadused . . . . . . . . . . . 32 2.1.3 Koonduvate jadade tehetega seotud omadused . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.4 Tähtsad piirväärtused .
Kordamisülesanded 1. Geomeetrilise jada esimene liige on 96 ja kuues on -3. Leia jaga tegur. 2. Kas antud jada on geomeetriline jada? Kui on leia tegur, üldliikme valem ja kaks järgnevat liiget: a) 3;6;12;24;... b) 2;4;6;8;.... c) 8;-4;2;-1;... d) c 6 ; c 4 ; c 2 ; c 0 ;.. e) a; a 2 b; a 3b 2 ; a 4 b 3 ;... f) 1; 2 ;2;2 2 ;... 3. Geomeetrilise jada esimene liige on 3, jada tegur on 2. Leia jada kümnes liige ja kümne liikme summa. [ a10 = 1536; S10 = 3069] 4. Leia geomeetriline jada, mille kolmas liige on 12 ja kolme liikme summa on 21. a1 + a1q + 12 = 21 [3,6,12,.... ja 27,-18,12,...] Vihje: 2 12 Asenda teine esimesse. 1a q = 12 a1 = q2 5. Paiguta arvude 2 ja 162 vahele kolm arvu nii, et need
1. Reaalarvud ja avaldised a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a = - a, kui a < 0 · Astme mõiste ja omadused a 0 = 1, kui a 0 a1 = a a n = a a a a, kui n N 2 1 a-k = , kui a 0 ja k Z või ak kui a > 0 ja k Q m n a m , kui a > 0, m Z ja n N a = n 2 0, kui a = 0, m N 1 ja n N1
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus..................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus.
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus..................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus.
kontantne. Jada vahe: d = an - an -1 = an +1 - an . Üldliige: an = a1 + ( n - 1) d . a1 + an 2a + ( n - 1) d Esimese n liikme summa: S n = n või S n = 1 n. 2 2 2.16 Geomeetriline jada Geomeetiline jada on arvude jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme jagatis on kontantne. an a Jada tegur: q = = n +1 . an -1 an n -1 Üldliige: an = a1q . a1 ( q n - 1) an q - a1 Esimese n liikme summa: S n = ehk S n = ( q 1) . q -1 q -1 2.17 Lõpmatult kahanev (hääbuv) geomeetriline jada
kontantne. Jada vahe: d an an 1 an 1 an . Üldliige: an a1 n 1 d . a a 2a n 1 d Esimese n liikme summa: Sn 1 n n või S n 1 n. 2 2 2.16 Geomeetriline jada Geomeetiline jada on arvude jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme jagatis on kontantne. an a Jada tegur: q n 1 . an 1 an Üldliige: an a1q n 1 . a1 q n 1 an q a1 Esimese n liikme summa: S n ehk S n q 1 . q 1 q 1 2.17 Lõpmatult kahanev (hääbuv) geomeetriline jada
y=cosx 91. Piirväärtus lõpmatuse kohal 80. Tangensf-n, selle graafik ja omadused y=tanx 81. Kootangesf-n ja selle graafik y=cotx 82. Trigonomeetrilised põhivõrrandid 83. Võrrand sinx=m x = ( - 1) arcsin m + n , n Z n 84. Võrrand cosx=m x = ± arccos m + 2n , n Z 85. Võrrand tanx=m ja cotx=m x = arctan m + n , n Z x = arc cot m + n , n Z 86. Homogeensed trig.võrrandid 87. Jadad 88. Aritmeetiline jada a n = a1 + ( n - 1) d a1 + a n 2a1 + ( n - 1) d Sn = n Sn = n 2 Arit.jada iga liige(v.a esimene) on tema 2 lim y = 0 lim f ( x) = lim f ( x) = f (a) x 0 x a + x a- naaberliikmete arit.keskmine 89. Geomeetriline jada
Matemaatika Riiklik õppekava: https://www.riigiteataja.ee/aktilisa/1140/1201/1002/VV2_lisa3.pdf# Gümnaasium matemaatika 1.-5 kursus Õppeaine: Matemaatika (lai kursus) Klass: 10. klass 1. Õppekirjandus: l.Lepmann, T.Lepmann, K.Velsker Matemaatika 10.klassile 2. Õppeaine ajaline maht: 5 kursust (175 tundi) 3. Õppeaine eesmärgid:õpilane 1) saab aru matemaatika keeles esitatud teabest; 2) tõlgendab erinevaid matemaatilise informatsiooni esituse viise; 3) kasutab matemaatikat igapäevaelus esinevates olukordades; 4) väärtustab matemaatikat, tunneb rõõmu matemaatikaga tegelemisest; 5) arendab oma intuitsiooni, arutleb loogiliselt ja loovalt; 6) kasutab matemaatilises tegevuses erinevaid teabeallikaid; 7) kasutab arvutiprogramme matemaatika õppimisel. Õppeaine sisu: Käsitlevad teemad Käsitlevad Õpitulemused
1. Kahekordne integraal: põhjalik selgitus (vastava piirkonna jaotus, integraalsumma definitsioon jne). Vaatleme xy-tasandil joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jaotame piirkonna D mingite joontega n osaks: s1, s2, s3,..., sn, mida nim. osapiirkondadeks. Uute sümbolite kasutuselevõtmise vältimiseks mõistame s1,... ,sn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende pindasid. Võtame igas osapiirkonnas s1 (selle sees või rajajoonel) mingi punkti P1, saades nii n punkti: P1, P2, P3,..., Pn. Tähistame antud funktsiooni z=f(x,y) väärtusi valitud punktides sümbolitega f(P 1),...,f(Pn) ja moodustame korrutiste summa, mille liikmeteks on f(P1)s1: Summat nim. funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Kui piirkonna D igas punktis f0, siis saab iga liidetavat f(Pi)si
1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja geomeetriline sisu. · Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon. Jaotame piirkonna D n tükiks S1,S2,...,Sn.Tähistagu Si samaaegselt nii i-ndat tükki kui ka i-nda tüki pindala.Valime igalt tükilt ühe punkti P ja moodustame järgmise summa: Vn= (P1) S1 + (P2) S2+...+ (Pn) Sn Seda summat Vn nim funktsiooni integraalsummaks piirkonnas D · Olgu (x,y) 0. siis saab integraalsummas olevat korrutist (P i) Si tõlgendada kui silindri ruumala, mille põhi on S i ja kõrgus (Pi) Selline silinder tähistatakse Zi-ga. IntegraalsummaVn on järelikult silindrite ühendi Z=Z1 U Z2 U...U Zn ruumala. Silindrite ühend Z on treppkeha, mille ülemine pind on tükiti tasapinnalineomades hüppeid erinevate kõrgustega naaber silindrite liitekohtades. 2. Kahekordse integraali mõiste j
1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et
1 1 korral ak≠0(k>n) leidub lõplik või lõpmatu piirväärtus lim 𝑘 , siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujul 𝑅 = lim 𝑘 . 14. Fourier’ teisenduse omadusi. Fourier’ teisenduse rakendusi.
annaabi.ee 
