1 + cos = 2 cos 2 2 1 - cos = 2sin 2 2 3.12 Korrutise teisendamine summaks 1 sin sin = cos ( - ) - cos ( + ) 2 1 cos cos = cos ( - ) + cos ( + ) 2 1 sin cos = sin ( - ) + sin ( + ) 2 tan + tan tan tan = cot + cot 3.13 Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid (arkusfunktsioonid) 1. arcsin m on absoluutväärtuselt vähim nurk, mille siinus on m: sin ( arcsin m ) = m , kusjuures - arcsin m , 2 2 -1 m 1 . 2. arccos m on vähim mittenegatiivne nurk, mille koosinus on m: cos ( arccos m ) = m , kusjuures
....................................... 14 19. Funktsioonide y=sin x, y=cos x , y=loga x , y=ax tuletiste leidmine. .....................................14 20. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid. Funktsioonide y = tan x , y = cot x tuletiste leidmine. ........................................................................................................................................ 16 21. Eeskiri pöördfunktsiooni tuletise leidmiseks. Funktsioonide y = arcsin x , y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x tuletiste leidmine. .......................................................................................16 22. Kirjeldada logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? Tuua näide. .................................................................................................................................... 17 23. Eeskiri parameetrilisel kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks. ......................
y=logax
määramispiirkond X=(0, ) väärtuste kulk Y=R. Graafik on juhtudel
a>1 ja 0
tan 49)a) sin sin cos cos sin 50)a ) cos sin cos cos sin 51) sin 2 2 sin cos 52)a ) cos 2 cos 2 sin 2 2 tan b) tan 2 1 tan 2 Kirjuta põhivõrrandite lahendivalemid: 53) sin x m, x 1 arcsin m n n 54) cos x m, x arccos m 2n 55) tan x m, x arctan m n 56) Asendused trigonomeetrias sin tan cos sin 2 cos 2 1 cos 2 sin 2 cos 2 a) b) c) d) 1 1 tan 2 cos 2
joonteparve, mille jooned on u¨ksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellu¨kke abil 34. Integraalide tabel. 1. dx = x + C , kuna (x + C)' = 1. 2. xa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a -1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)'= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.dx /x = ln|x| + C. 4. a x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. sinx dx = -cosx + C. 6. cosxdx = sinx + C. 7.dx /cos2 x = tanx + C. 8. dx /sin2 x = -cotx + C. 9. dx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C. Erijuht: dx /1+x2 = arctanx + C. 10.dx / k2-x2= arcsin x/ k + C. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). 1.[f(x) ± g(x)]dx =f(x)dx ±g(x)dx. NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See t¨ahendab, et [f(x)g(x)]dx f(x)dx · g(x)dx ja [f(x) : g(x)]dx f(x)dx : g(x)dx. 2. af(x)dx = a f(x)dx, kus a on konstant. 3. Kui f(x)dx = F(x) + C ja a, b on konstandid, siis f(ax + b)dx = 1/ a * F(ax + b) + C. T~oestame omaduse 3. Selleks me peame n¨aitama, et ( 1 /a * F(ax + b) + C )'= f(ax + b).
--- &8A4= oa*#*d*J* A6d n 4* o@$ *A *.8&e Trigonomeetnilised p6hiv6rrandid sinx=m = *=(-l)' arcsin m+nn, neZ.'2 TE 7n 1-n 2 COSX=m = X=+afCCOSm+2nIE, neZ, 0(arccosru(n JE
cot xdx ln sin x C x x 9. e dx e C ax 10. a x dx ln a C dx 11. 1 x2 arctan x C dx 12. arcsin x C 1 x2 ja integraali omadusi I f x g x dx f x dx g x dx II af x dx a f x dx 1
konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f ( x ) määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x ) dx , s.t. f ( x ) dx = F ( x ) + C . dx = x + C x +1 x dx = +C +1 1 dx = ln x + C x e x dx = e x + C ax a x dx = +C ln a sin xdx = - cos x + C cos xdx = sin x + C 1 dx = tan x + C cos 2 x 1 dx = arcsin x + C 1- x2 1 dx = arctan x + C 1+ x2 Määramata integraali kaks omadust: Af ( x ) dx = A f ( x ) dx , kus A on konstant [ f ( x ) + g ( x ) ] dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx 11. Diferentsiaali märgi alla viimise võte määramata integraali leidmiseks. Ositi integreerimise valem. f ( x ) f ( x ) dx või g [ f ( x ) ] f ( x ) dx . Sel juhul tehakse muutuja vahetus (võetakse uueks muutujaks) t = f ( x ) siis dt = f ( x ) dx ja saame
Vaadeldes joonisel 1.8 l~oigul [- 2 , 2 ] paiknevat siinuse graafiku osa n¨aeme, et suvaline x-teljega paralleelne sirge l~oikab seda maksimaalselt u ¨hes punktis. Seega on funktsioon y = sin x, x [- , ] 2 2 u ¨ks¨ uhene. Selle funktsiooni p¨o¨ordfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja t¨ahistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, (1.3) 10 neist esimene iga x [- 2 , 2 ] korral. Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti u ¨ks¨ uhene kogu arvteljel, p¨o¨oramisel ahendatakse tema m¨a¨aramispiirkond l~oiguks [0, ]. Sellel l~oigul on ta u
ja koosinus- ja tangensfunktsiooni funktsioonid ja tangensfunktsiooni mõistet; vahelduvvool. graafik ning 2) joonestab siinus-, koosinus- ja Tuletise omadused. tangensfunktsiooni graafikuid ning tähendus Mõisted arcsin m, loeb graafikult funktsioonide hetkkiiruse arccos m, arctan omadusi; näitel. Lõiming m. 3) leiab lihtsamate loodusteadust Lihtsamad trigonomeetriliste võrrandite ega trigonomeetrilised üldlahendid ja erilahendid eksponentfunk võrrandid
34. Integraalide tabel. 1. ʃdx = x + C , kuna (x + C)’ = 1. 2. ʃxa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a −1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)’= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.ʃdx /x = ln|x| + C. 4. ʃa x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. ʃsinx dx = −cosx + C. 6. ʃcosxdx = sinx + C. 7.ʃdx /cos2 x = tanx + C. 8.ʃ dx /sin2 x = −cotx + C. 9. ʃdx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C. Erijuht: ʃ dx /1+x2 = arctanx + C. 10.ʃdx /√ k2−x2= arcsin x/ k + C. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). 1.ʃ[f(x) ± g(x)]dx =ʃf(x)dx ±ʃg(x)dx. NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See tähendab, et ʃ [f(x)g(x)]dx ʃ f(x)dx · ʃg(x)dx ja ʃ [f(x) : g(x)]dx ʃf(x)dx : ʃ g(x)dx. 2. ʃaf(x)dx = a ʃf(x)dx, kus a on konstant. 3. Kui ʃf(x)dx = F(x) + C ja a, b on konstandid, siis ʃ f(ax + b)dx = 1/ a * F(ax + b) + C. Tõestame omaduse 3. Selleks me peame näitama, et
x ln a sin x cos x cos x sin x tan x 1 cos 2 x 1 arcsin x 1 arccos x arctan x 1 2 1x 2 1 x2 1 x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid: u x v x u x v x
hulga D rajapunktiks, kui igas punkti P0 -ümbruses leidub nii hulga D punkte kui ka punkte, mis ei kuulu hulka D, s.t > 0 U ( P0 ) D U ( P0 ) D . Hulga raja: Hulga D kõigi rajapunktide hulka nim. hulga D rajaks. Lahtine hulk: Hulka D nim. lahtiseks kui kõik tema punktid on sisepunktid. Kinnine hulk: Hulka D nim. kinniseks kui hulka D kuuluvad ka kõik tema rajapunktid. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x ) ~ x, x 0 mx m k
y ' = lim = lim x 2 lim cos x x 0 x 2 x / 20 x0 2 2 2 = cos x MOTT. 2 Ülesanne (kodus): Leida y = cos x tuletis. Diferentseerimise põhivalemid 1 y = const y' = 0 y = arcsin x y' = 1- x2 y = x y ' = x -1 1 1 y = arccos x y' = - y= x y' = 1- x2 2 x 1 1 1 y = arctan x y' = y= y' = - 2 1+ x2 x x 1
ja graafikud. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon: y = c Astmefunktsioon: y = x , kus on reaalarv. Eksponentfunktsioon: y = a , kus a on ühest erinev positiivne arv. x Logaritmfunktsioon: y = log a x , kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = tan x, y = cos x, y = cot x. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 4. Katkev funktsioon Funktsioon y = f (x) on katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest: 1. f (x) pole määratud kohal a, 2. funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a, lim f ( x ) f ( a ) x a 3. kehtib 1 esimest liiki katkevuspunkt Niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused nimetatakse 1
-x x ax a dx = +C ; x 4. ln a e dx = e +C ; x x 5. 6. sin xdx = -cos x +C 7. cos xdx = sin x +C dx 8. cos x = tan x + C 2 dx 9. sin x = -cot x + C 2 dx 10. 1 -x 2 = arcsin x + C dx 11. x 2 +1 = arctan x + C 2 1 + x2 1 1 x2 Näide 1: dx = x + x dx = x dx + xdx = ln x + +C x 2 dx x -2 1 x3 -3 Näide 2: = x dx = +C = - 2 +C
1 - cos = 2 sin 2 1 + cos = 2 cos 2 2 2 tan Liitmisvalemid ) = sin ) = sin ) = cos ) = cos Korrutise teisendamine summaks Trigonomeetrilised põhivõrrandid x = ( - 1) arcsin m + n n sin x = m, , nZ ± arccos m + 2n cos x = m, x= ,nZ tan x = m, x = arctan m + n , nZ arc cot m + n cot x = m, x= , nZ Võrrandeid: sin x = 1, sin x = - 1, sin x = 0; cos x = 1, cos x = - 1, cos x = 0;
hulga, mille korral kehtib võrdus f(x) = y. Logaritmfunktsioon . Eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus. Määramispiirkond X = (0;) Väärtuste hulk Y=R Graafik Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktsioonid. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. y = arcsin x : X = [-1; 1]; Y = [-/2; /2] ; y = arccos x : X = [-1; 1]; Y = [0; ] ; y = arctan x : X = R; Y = (- /2; /2) ; y = arccot x : X = R; Y = (0; ) 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa: y = (f + g)(x) = f(x) + g(x) Funktsioonide f ja g vahe: y = (f - g)(x) =f(x) - g(x) Funktioonide f ja g korrutis: y = (fg)(x) = f(x)g(x)
pöördfunktsioon puudub, kuna igale muutuja y väärtusele funktsiooni muutumispiirkonnast vastab lõpmata palju argumendi x väärtusi. Küll aga võime leida selle funktsiooni pöördfunktsiooni sel juhul, kui ahendame tema määramispiirkonna lõiguks X = [- / 2; / 2] 10 Näide 1 Kui X = [- / 2 ; / 2] on siinusfunktsiooni pöördfunktsiooniks vastav arkusfunktsioon: x = arcsin y, Y [-1; 1] y 2 NB! Esialgse funktsiooni y = arcsin x muutumispiirkonnast saab 1,5 y= x pöördfunktsiooni 1
Vaadeldes joonisel 1.8 l~oigul [- 2 , 2 ] paiknevat siinuse graafiku osa n¨aeme, et suvaline x-teljega paralleelne sirge l~oikab seda maksimaalselt u ¨hes punktis. Seega on funktsioon y = sin x, x [- , ] 2 2 u ¨ks¨uhene. Selle funktsiooni p¨o¨ordfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja t¨ ahistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, (1.3) 10 neist esimene iga x [- 2 , 2 ] korral. Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti u ¨ks¨ uhene kogu arvteljel, p¨o¨oramisel ahendatakse tema m¨a¨ aramispiirkond l~oiguks [0, ]. Sellel l~oigul on ta u
Näiteks võrrand 2 sin 2 x + cos x - 1 = 0 on trigonomeetriline võrrand, võrrand x sin 1 + x 2 cos = 0 aga ei ole trigonomeetriline võrrand. Võrrandeid sin x = a, | a | 1, tan x = a, cos x = a, | a | 1, cot x = a, nimetatakse trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks. Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine sin x = a, | a | 1 x = (-1) n arcsin a + n , n Z ; cos x = a, | a | 1 x = ± arccos a + 2n , n Z ; tan x = a, x = arctan a + n , n Z ; cot x = a, x = arccot a + n , n Z . Näide Lahendada võrrand tan x = 3. Lahendus Kuna arctan 3 = , 3 siis x = + n ehk x = (3n + 1) , kus n Z . 3 3 Võrdlusmeetod
-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 -0,5 -1 Küll aga võime leida selle funktsiooni pöördfunktsiooni sel juhul, kui -1,5 ahendame tema määramispiirkonna lõiguks X = [ - / 2 ; / 2] ; sel korral on siinusfunktsiooni pöördfunktsiooniks vastav arkusfunktsioon: x = arcsin y, y [-1; 1] Pöördfunktsiooni näited (2) Näide Galilei seadus ütleb, et kõrguselt h vabalt langeva keha kiiruse v määrab valem v 2 = 2 gh. Siit saame v2 kas v = 2 gh või h= . 2g Esimene valem annab lõppkiiruse v, mille keha omandab kõrguselt h langedes. Teine valem annab kõrguse h, millelt keha peab langema, et omandada
x3 - 5x2 + 3x + 9 lim . x3 x3 - 8x2 + 21x - 18 4. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: (1 - x)2 lim . x1 1 - sin x 2 5. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: lim arcsin x cot x . x0 6. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: x 1 lim - . x1 x - 1 ln x 7. Leida funktsiooni f (x) = 6 + 8x3 - x4 kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning lokaalsed ekstreemumid. 8. Leida funktsiooni 3
2 x (a ) = a x x ln a ( ln x ) = 1 ( log a x ) = 1 x x ln a ( sin x ) = cos x ( cos x ) = -sin x ( tan x ) = 12 cos x -1 ( arcsin x ) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1-x 2 1 - x2 1+ x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid: [ u( x ) + v( x ) ] = u( x ) + v ( x ) [ u( x ) - v( x ) ] = u ( x ) - v ( x ) [ c u( x ) ] = c u( x ) ( uv ) = uv + v u u u v - uv = v v2
x a ∫ a x dx = lna + C , kus a>0, a ≠ 1 ∫ sin xdx = - cosx + C ∫ cos xdx = sinx + C dx ∫ cos2 x = tanx + C dx ∫ sin2 x = - cotx + C dx 1 x ∫ k2 + x2 = k arctan k +C dx x ∫ = arcsin k +C √ k 2−x 2 [ f ( x ) ∓ g ( x ) ] dx =¿ ∫¿ ∫ f ( x ) dx ∓ ∫ g ( x ) dx a f ( x ) dx=¿ ∫¿ ∫ a f ( x ) dx , kus a on konstant 1 Kui ∫ f ( x ) dx = F + C ja a,b on konstandid, siis ∫ f ( ax+ b ) dx = a
Funktsiooni m˜oiste Definitsioon 1 Kui on antud eeskiri, mis hulga X R igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Y R, siis ¨oeldakse, et on antud funktsioon hulgal X. Funktsioone t¨ahistatakse matemaatikas f ,g,h,...,',jne. f (x) = avaldis x-ist f (x) = x + 1. Funktsiooni esitusviisid I Tabelina. x 1 3 10 f (x) 2 4 11 f (1) = 2, f (3) = 4 ja f (10) = 11. I Anal¨u¨utiliselt f (x) = valem muutujast x. f (x) = x + 1. Definitsioon 2 Anal¨u¨utilisel kujul esitatud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (x). Lause 1 I Kahe paaris
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0 lim ¿ x o x x x o x o Loetleda diferentsiaali omadused 1. d (u +v )=
Matemaatika 11. klassi praktikumi töö 1. Kirjalik arvutamine m Tehted astmetega (a:b)n = an : bn Tehted juurtega a n n am (ab)n = an * bn a b a b an am = an+m n m a n m a a a an : am = an-m b b n m n*m (a ) = a
S~onastada loigul pidevate funktsioonide omadused. 4)Eksponentfunktsioon y=ax , Lause 1. Lõigul pidev funktsioon on tõkestatud sellel lõigul.Lause 2. Lõigul 5)Trigonomeetrilised funktsioonid y=sin x, y=cos x , y = tan x , y = cot x, , pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul.Lause 3. 6)Arkusfunktsioonid y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x. Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste 7)Hüperboolsed funktsioonid y=sh x, y=ch x, y=th x, y=cth x vahel.Lause 4. Lõigul [a;b] pideva ja rangelt monotoonse funktsiooni f(x) 8)Areafunktsioonid y=arsh x, y=arch x, y=arth x, y=arcth x pöördfunktsioon on pidev lõigul otspunktidega f(a) ja f(b).Lause 5. Lõigul pidev 9. Jada mõiste
Tuletiste tabel 1. (xα ) = αxα−1 c =0 c-konstant, x =1 α = 1, √ 1 ( x) = √ α = 12 , 2 x 1 1 =− α = −1. x x2 2. (sin x) = cos x. 3. (cos x) = − sin x. 1 4. (tan x) = . cos2 x 1 5. (cot x) = − . sin2 x 6. (ax ) = ax ln a a > 0, a = 1. 7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = √ 1 − x2 1 11. (arccos x) = − √ 1 − x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2
3 radiaanid 0 3 6 4 3 2 2 Diferentseerimise valemid y const y' = 0 y arcsin x 1 y'= 1 x2 y xa y' = ax a 1 y arccos x 1 y'=
3 60o 0,5 3 Nullkohad: lahendatakse võrrand f (x) 0 2 90o 1 0 Positiivsus (negatiivsus): lahendatakse võrratus f (x) > 0, f (x) < 0 Ekstreemumkoha tarvilik tingimus: f (x) 0 Trigonomeetrilised võrrandid sin x m x (1)n arcsin m n Kasvamisvahemikud: f (x) > 0, kahanemisvahemikud: f (x) < 0 cos x m x arccos m 2n Puutuja kohal x0 : y y0 f (x0 )(x x0 ) tan x m x arctan m n Tõenäosus m n! n!
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
annaabi.ee 
Ukraina kaitse vajab abi. Tee annetus täna!
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
