Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "10. klassi trigonomeetria valemid". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
täisnurkse, teravnurga, siinus, trigonomeetria, ruutude, koosinus, pythagorase, teoreem, ruuduga, tangensValem sõnades: täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga. koosinusteoreem Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuht täisnurksete kolmnurkade jaoks. Siinusteoreem on seos kolmnurga külgede ja nurkade vahel. Selle järgi on kolmnurga suurima külje vastas ka suurim nurk. Täpsemalt öeldes on kolmnurga kõigi külgede suhe vastasnurga siinusesse konstantne ning selle kaudu saab leida kolmnurga ümberringjoone raadiuse R. Siinusteoreemi kasutatakse kolmnurga arvutamiseks, kui on teada üks külg, selle vastasnurk ja veel kas üks külg või üks nurk
Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c = = = 2R . sin sin sin Koosinusteoreem: kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede kahekordne korrutis samade külgede vahelise nurga koosinusega ehk a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos , b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos , c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos . Kolmnurga pindala arvutamise valemid: ah 1) S = ( h on kolmnurga küljele a tõmmatud kõrgus); 2 1 2) S = ab sin ; 2
Matemaatika Trigonomeetria: täisnurkse kolmnurga lahendamine. a,b= kaatetid c= hüpotenuus +=90° =90°- või =90°- c2=a2+b2 c=a2+b2 a=c2-b2 b=c2-a2 Kolmnurga pindala: S=a*b/2 Teravnurga siinus on vastaskaateti ja Trigonomeetrilised funktsioonid: hüpotenuusi suhe(jagatis) sin=a/c sin=b/c Teravnurga kosinus on lähiskaateti ja cos=b/c cos=a/c hüpotenuusi suhe(jagatis) tan=a/c tan=b/a Teravnurga tangens on vastaskaateti ja lähiskaateti suhe(jagatis) Nurki mõõdame kraadides: 1°
lugejaks murdude lugejate summa. (Näide1) 2.Harilike murdude korrutis on murd,mille lugejaks on nende murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis.(Näide2) Harilike murdude jagatis on murd,mis saadakse esimese murru korrutamisel teise murru pöördarvuga.(Näide3) 3,4-kümnendmurrud.(Näide4) 5.negatiivsed ja erimärgilised arvud.(Näide5) 6.sulud,astendamine,korrutamine,jagamine,liitmine,lahutamine 7. 35=3*3*3*3*3=243.(Näide6) 8.(Näide8) Ruutude vahe valem: a² - b² = (a+b)(a-b) Vaheruudu valem: (a - b)² = a² - 2ab + b² Summaruudu valem: (a + b)² = a² + 2ab + b² Kuupide summa valem: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) Kuupide vahe valem: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) Summakuubi valem: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Vahekuubi valem: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 9.arvu ruutjuureks nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu , mille ruut on antud arv a. (Näide9) 10
PLANIMEETRIA KORDAMINE NELINURGAD RÖÖPKÜLIK Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad, Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h
Nurgad on samuti erinevad. 15. Kolmnurk on tasapinnaline geomeetriline kujund. 16. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed 17. Võrdkülgse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk on võrdsed. 18. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka tipunurgaks. 19. Kolmnurga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. 20. Thalese teoreemi kohaselt on ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk alati täisnurk. 21. Thalese pöördteoreem - Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on ühtlasi selle kolmnurga ümberringjoone diameetriks. Kui kombineerida Thalese teoreem ja tema pöördteoreem, siis saame järgmise tõese lause: Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub ühel kolmnurga külgedest siis ja ainult siis, kui see kolmnurk on täisnurkne. 22. Kolmnurga alus - Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse. 23
Nurgad on samuti erinevad. 15. Kolmnurk on tasapinnaline geomeetriline kujund. 16. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed 17. Võrdkülgse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk on võrdsed. 18. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka tipunurgaks. 19. Kolmnurga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. 20. Thalese teoreemi kohaselt on ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk alati täisnurk. 21. Thalese pöördteoreem - Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on ühtlasi selle kolmnurga ümberringjoone diameetriks. Kui kombineerida Thalese teoreem ja tema pöördteoreem, siis saame järgmise tõese lause: Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub ühel kolmnurga külgedest siis ja ainult siis, kui see kolmnurk on täisnurkne. 22. Kolmnurga alus - Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse. 23
PLANIMEETRIA III 1.Leida täisnurkse kolmnurga küljed, kui kolmnurga ümbermõõt on 12 cm ja kaatetite vahe on 1 cm. 2. Arvutada täisnurkse kolmnurga kaatetid, kui täisnurga poolitaja jaotab hüpotenuusi lõikudeks, mille pikkusedon 15 cm ja 20 cm. 3.Täisnurkse kolmnurga kaatetid suhtuvad nagu 5:6 ja hüpotenuus on 122 cm. Arvuta lõigud, milleks kõrgus jaotab hüpotenuusi. 4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 8 cm ja 6 cm. Täisnurga tipust on tõmmatud ristlõik hüpotenuusile, leia selle pikkus. 5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 16 cm ja 12 cm. Arvutada sise- ja ümberringjoone raadius. 6. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 15 dm ja 20 dm. Arvutada siseringjoone keskpunkti kaugus hüpotenuusioe joonestatud kõrgusest. 7. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 15 cm ja siseringjoone raadius 3 cm. Leia selle kolmnurga pindala. 8
1.1. Kolmnurga nurgad Igas kolmest tipust moodustuvad kaks sirglõiku nurga. Vähemalt kaks neist on teravnurgad. Kui kolmas on ka teravnurk, nimetatakse kolmnurka teravnurkseks kolmnurgaks. Kuid üks nurk võib olla ka täisnurk või nürinurk. Kolmnurka nimetatakse siis vastavalt täisnurkseks või nürinurkseks kolmnurgaks. Kolmnurga sisenurkade summa on alati 180 kraadi (180°) ehk radiaani ( rad). Kolmnurga nurki tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega , ja . Kui tegemist on täisnurkse kolmnurgaga, on tähistatakse täisnurka tavaliselt tähega ning teravnurki tähtedega ja . 5 1.2. Kolmnurga küljed Kolmnurga küljed on kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud, mis üksteisega moodustavad nurki. Kolmnurga kahe suvalise külje pikkuste summa on alati suurem kolmanda külje pikkusest. Kolmnurga külgi tähistatakse tavaliselt tähtedega a, b ja c. 6 2. Täisnurkne kolmnurk
Hüpotenuusile joonestatud kõrgus jaotab hüpotenuusi kaheks osaks, mida nimetatakse kaatetite projektsioonideks hüpotenuusil C f kaateti a projektsioon g kaateti b projektsioon a h b f g B A D c Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile tõmmatud kõrgus on kaatetite projektsioonide geomeetriline keskmine C h fg a h b ehk h fg 2 f g B A D
Albu Põhikool Pythagorase teoreem Koostas:Merilin Talimaa Juhendaja: Ivi Madison Albu 2011 Pythagorase teoreem SISSEJUHATUS Pythagoras on usutavasti kuulsaim Sokratese-eelne filosoof, kuid tema isik on ümbritsetud nii suurest hulgast legendidest, et ajaloolist tõde on raske eritleda. Kindel pole seegi, kas ta ise midagi kirja pani, kõik teadmised Pythagorase isiku ja õpetuste kohta pärinevad hilisemast ajajärgust, peamiselt meie aja esimestest sajanditest. Tema kaasaegsed, Platon ja Aristoteles näiteks, mainivad teda oma kirjutistes vaid mõnel korral. Andmed Pythagorase kohta on ka küllaltki vastukäivad. Herakleitos (ca. 544-483 eKr) kirjutas: ``palju teadmine ei tee targaks, muidu oleks ta targaks teinud .. Pythagorase``. Kreeka ajaloolane ja luuletaja Herodotos (ca. 484-425 eKr) seevastu
17. Biruutvõrrand neljanda astme võrrand kujul ax4+bx2+c=0. 18. Diagonaal hulknurga kaht mitte ühele küljele kuuluvat tippu ühendav lõik või sirge. Hulknurga kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu ühendav lõik. 19. Diameeter ringjoone keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Sfääri keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab sfääri kaht punkti. 20. Diskriminant avaldis, mis on ruutvõrrandi lahendivalemis juuremärgi all. 21. Eukleidese teoreem täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega : a2=fc ja b2=gc 22. Geomeetriline keskmine ruutjuur kahe positiivse arvu korrutisest. 23. Harmooniline keskmine kahe arvu a ja b kahekordse korrutise jagatis nende arvude summaga . 24. Hektar pindalaühik 1ha = 10 000m2. 25. Hulkliige üksliikmete summa . 26. Hulktahukas e. polüeeder hulkadega piiratud geomeetriline keha. 27
Pytharoras Pythagoras elas aastatel 580 eKr 500 eKr.Ta oli Vana-Kreeka filosoof ja matemaatik, pütagoorlaste koolkonna rajaja.Pythagoras määras helide arvsuhteid monokordi abil.Pythagoras oli antiikolümpiamängude kahekordne rusikavõitluse võitja.Ta ema oli Pythais Samoselt ja isa Mnesarchos, foiniikia kaupmees Tüürosest. Talle on omistatud Pythagorase teoreemi tõestamine, kuid peetakse tõenäoliseks, et selle teoreemi tõestas tegelikult mõni hilisem pütaagorlane.Teoreem ise täisnurkse kolmnurga kaatetitele ehitatud ruutude pindalade summa võrdub hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalaga oli tuntud juba ammu enne teda babüloonia ja egiptuse matemaatikas. Ta oli arvatavasti Pherekydese õpilane ja sai mõjutusi Anaximandroselt. Ta lahkus Samoselt, sest talle oli vastuvõetamatu türann Polykratese valitsus, ning
· Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse otsitavaks e tundmatuks. · Võrrandi lahenditeks nimetatakse tundmatute selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse. · Võrrandi f(x)=g(x) määramispiirkonnaks nimetatakse tundmatu x nende väärtuste hulka, mille korral nii avaldise f(x) kui ka avaldise g(x) väärtus on määratud (ehk arvutatav). Viete'i teoreem. Kui x1 ja x2 on ruutvõrrandi x2+px+q=0 lahendid, siis x1+x2=-p ja x1x2=q 3.2 Võrrandite samaväärsus Ühtseid ja samu tundmatuid sisaldavaid võrrandeid, mille lahendihulgad on võrdsed, nimetatakse samaväärseteks võrranditeks. · Võrrandi pooli võib vahetada · Võrrandi pooltele võib liita (lahutada) ühe ja sama arvu või tundmatuid sisaldava avaldise, millel on mõte võrrandi kogu määramispiirkonnas
.................................................................12 Võrrandi samaväärsus.............................................................................................................13 Lineaarvõrrand........................................................................................................................13 Ruutvõrrand............................................................................................................................13 Viete teoreem......................................................................................................................14 Biruutvõrrand..........................................................................................................................14 Murdvõrrand...........................................................................................................................14 Parameetreid sisaldav võrrand................................................................
............võrdhaarne.................................... 0,1 dm, 1cm ja 10 mm ........................võrdhaarne......................... 2 m, 6 km ja 6 km .........................võrdhaarne........................ ÜLESANDEID TÄISNURKSE KOLMNURGA KÜLGEDE JA NURKADE LEIDMISELE 1. Milline on täisnurkse kolmnurga nurkade summa? ....................180*........... 2. Milline on täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa? .......90*........................ 4. Arvuta täisnurkse kolmnurga teine 3. Täisnurkse kolmnurga mõlemad teravnurk, kui üks teravnurkadest on kaatetid on 5 cm. Joonesta see kolmnurk ja mõõda hüpotenuus ning teravnurgad. * 20º ...........70*..............
1. Pythagorase teoreem Pythagorase teoreemi sõnastus: täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga. c²=a²+b² 1.1 Pythagorase ''püksid'' Pythagorase teoreemi väljendavas võrduses võib vaadelda suurusi a², b², c² kui selliste ruutude pindalasid, mille kylgedeks on a, b ja c. Seoses sellega võib pythagorase teoreemi sõnastada ka järgmiselt: täisnurkse kolmnurga kaatetitele joonestatud ruutude pindala summa on võrdne hüpotenuusile joonestatud ruudu pindalaga. 1.2 Kasutamine 1.2.1 Täisnurkne kolmnurk c²=a²+b² c= a2+b2 a²=c²-b² a= c ²-b ² b²=c²-a² b= c ²-a ² 1.2.2 Ruut d²=a²+a²=2a² d= 2 a2 a²+a²=d² 2a²=d² | :2 2 a²= d 2 a= d 2 2 1.2.3 Ristkülik d²=a²+b² d= a2+b2 b²=d²-a² b= d ²-a² a²=d²-b² a= d ²-b ² 1.2.4 Võrdhaarne kolmnurk 2 b²=h²+ ( a ) 2
Kui summeerimisrajad selguvad kontekstist, siis kirjutatakse a . i i Kasutatakse ka tähistust a , kus A on summeerimisindeksi muutumispiirkond. iA i 3. TRIGONOMEETRIA 16 3.1 Nurga mõõtmine 1 1° (kraad) on täispöördest. 360 1 rad (radiaan) on kesknurk, millele vastava kaare pikkus on võrdne raadiuse pikkusega. 360o = 2 rad ; 180o = rad ; 1o = rad ;
nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1
nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1
a * b = |a|* |b| * cos 20. Skalaarkorrutis koordinaatides: skalaarkorrutis koordinaatides võrdub vastavate koordinaatide korrutiste summaga. a * b = x1 * x2 + y1 * y2 21. = a * b = 0 22. a || b = x1/x2 = y1/y2 23. Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega. 24. Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega: a/sin = b/sin = c/sin 25. Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. a2= b2+c2 2bc*cos b2= a2+c2 2ac*cos c2= a2+b2 2ab*cos 26. ja 27. sin ( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin tan ± tan tan ( ± ) = 1 tan tan sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 - sin 2 = 1 - 2 sin 2 = 2 cos 2 - 1 2 tan tan 2 = 1 - tan 2
sin sin sin Koo sin usteoreem a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 a 2 c 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos Täisnurkne kolmnurk Pythagorase teoreem a 2 b 2 c 2 Eukleidese teoreem a 2 fc, b 2 gc Teoreem kõrgusest h 2 fc ab ch S 2 2 f c 90 0
GEOMEETRIA Eksam 9.klass 1. (1996) Võrdhaarse kolmnurga haar on 1,3 dm ja alusele tõmmatud kõrgus 0,5 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. 2. (1996) Täisnurkse trapetsi teravnurk on 71° ning alused 35 cm ja 28 cm. Arvuta trapetsi pindala. 3. (1997) Ristküliku diagonaal on 25 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 650. Arvuta ristküliku ümbermõõt. 4. (1997) Ristküliku diagonaal on 15 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 350. Arvuta ristküliku pindala. 5. (1997) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 2,4 cm ja 3,2 cm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 6
Korrapärase nelinurkse püramiidi täispindala Pythagorase teoreemi abil Alustuseks selgitan mis asi üldse on Pythagorase teoreem: Pythagorase teoreemi põhimõte kehtib vaid täisnurkse kolmnurga juhul. Sõnastus on lihtne: hüpotenuus võrdub kaatetite ruutude summa ruutjuurega, seega hüpotenuusi ruut võrdub kaatetite ruutude summaga (a ruudus+b ruudus=c ruudus). Näiteks, kui täisnurkse kolmnurga kaatetid (kaks lühemat külge) on 3 ja 4 siis peab hüpotenuus võrduma 5-ga. 0 Vaja on vaid aluskülge ja püramiidi kõrgust. 0 Olgu aluskülg a ja kõrgus H. 0 Arvutame põhja pindala (a ruudus (näiteks 4cm ruudus võrdub 16 ruutsentimeetrit)) 0 Arvutame külgpindala Pythagorase teoreemi abiga. (Sk=m*P, P=4a), sest nurk m-i ja H vahel on täisnurkne (m on põhikülje keskpunkti kaugus püramiidi tipust). 0 Pythagorase teoreem: H ruudus+a ruudus=m ruudus.
1074 kahe kõõlu vaheline nurk; toetub kaarele, mis Arvuta piirdenurk, mis toetub kaarele 100°. jääb kõõlude teiste otspunktide vahele; 100°:2=50° suurus=kaar kraadides:2 või samale kaarele Kui suur on kaar, millele toetub piirdenurk toetuv kesknurk:2; kõik samale kaarele 80°? toetuvad piirdenurgad (tipp asub erinevalt) on 2 80°=160° võrdsed vaata lk.177 NB piirdenurga 90° kohta kehtib Thalese teoreem 4.Piirdenurga omadus - teoreem: piirdenurk Ül.1078 on pool temaga samale kaarele toetuvast 1.joonis kesknurgast; tõestus tuleb esitada kolmes antud: piirdenurk kui võrdhaarse kolmnurga osas vastavalt sellele, kas ringi keskpunkt on alusnurk 70°, leida nurgad n,p,q,r o piirdenurga ühel haaral, piirdenurga sees või n=70 võrdhaarse kolmnurga alusnurk o o o
Kui summeerimisrajad selguvad kontekstist, siis kirjutatakse a . i i Kasutatakse ka tähistust a , kus A on summeerimisindeksi muutumispiirkond. iA i 3. TRIGONOMEETRIA 3.1 Nurga mõõtmine 16 1 1 (kraad) on täispöördest. 360 1 rad (radiaan) on kesknurk, millele vastava kaare pikkus on võrdne raadiuse pikkusega. 360o 2 rad ; 180o rad ; 1o rad ;
Selle võrrandi lahend on x = 6. 11. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi lahendamine (Graafiline, liitmisvõte, asendusvõte) 12. Tekstülesannete lahendamine lineaarvõrrandsüsteemi abil. 13. Defineerimine ja algmõisted. Definitsioon on mõiste lühike ja täpne seletus. Mõisted, mida ei saa seletada nimetatakse algmõisteteks. Algmõisteid ei defineerita, vaid neile antakse nii täpne kirjeldus, kui see võimalik on ja tuuakse selgituseks näiteid 14. Teoreem ja aksioom. Eeldus ja väide. Pöördteoreem. Põhitõdesid, mida ei saa tõestada, nimetatakse aksioomideks. Teoreem on lause, mille õigsust tõestatakse arutluse abil. Teoreem koosned eeldusest ja väitest. Kui vahetame ära eeldus ja väite, saame pöördlause: v => e Antud lause pöördlause võib olla nii tõene kui ka väär. Kui pöördlause on tõene, siis nimetame seda pöördteoreemiks. 15. Kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekkivad nurgad.
Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ja võrdeteguriks a b c Siinusteoreem 2R on ümberringjoone diameeter. sin sin sin Koosinusteoreem a² b² c² 2bc cos Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude b² a² c² 2ac cos summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. c² a² b² 2ab cos ah Kolmnurga pindala S 2
Lihtsamad süsteemide lahendamisel es). murdvõrratused. rakendatavaid samasusteisendusi; Võrratusesüsteemi 3) lahendab lineaar-, ruut- ja d. murdvõrratusi ning lihtsamaid võrratusesüsteeme; 4) kasutab arvutit, lahendades Teravnurga siinus, võrratusi ja võrratusesüsteeme; koosinus ja 5) leiab taskuarvutil teravnurga tangens. trigonomeetriliste funktsioonide Täiendusnurga väärtused ning nende väärtuste trigonomeetrilised järgi nurga suuruse; funktsioonid. 6) lahendab täisnurkse Trigonomeetrilised kolmnurga;
5)iga kahe punkti A ja B korral AB=BA 6)väljaspool sirget olevat punkti läbib ainult üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega (paralleelide aksioom) 9.Teoreem - lause, mille tõesust saab Ül.596 põhjendada varem teada olevate tõdede Teoreem (kõrvunurkade omadus). abil Kõrvunurkade summa on 180°. Teoreem (tippnurkade omadus). NB kasutatakse teiste teoreemide Tippnurgad on võrdsed. tõestamisel Teoreem (3-ga jaguvuse tunnus). Arv jagub 3-ga parajasti siis, kui tema ristsumma jagub 3-ga.
poolega sellest küljest. EELDUS: DE on kolmnurga kesklõik ( millest saame, et AD = DC ja CE = EB) VÄIDE: 1) 2) 1) DE = EF , CE =EB, , (tunnus KNK) BF = DC BF = DC ja DC = AD BF =AD. põiknurgad võime väita, et nelinurk ABFD on rööpkülik. ABFD on rööpkülik, siis on 2) DF = AB (rööpkülik) Järelikult on siis Eukleidese teoreem Täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Peame näitama, et ja , kus f ja g on siis nende kaatetite ristprojektsioonid. , sest mõlemad on . Analoogsel põhjusel on Kolmnurga sisenurkade summa on 180°
Leia risttahuka mõõtmed. 2. Urnis on 5 musta, 7 kollast ja 4 punast palli. Leia tõenäosus, et juhuslikult võetud kolme palli hulgas on. 1) vähemalt 2 kollast palli; 2) Kõik erinevat värvi pallid; 3) kõik ühtevärvi pallid. 3. Leia kõik reaalarvude paarid (x;y), mis rahuldavad võrrandit 2 x +1 = 4 y 2 +1 ja võrratust 2 x 2 y . 4. Kahe positiivse arvu vahe moodustab 1/19 nende kuupide vahest, nend4e korrutis on aga ½ võrra väiksem nende ruutude poolsummast. Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veiniklaasi kõrgus on h. Mitu protsenti klaasi ruumalast on täidetud, kui klaasi fvalatakse veini poole kõrguseni? 8
p= 2 a 2. Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega. ab sin ac sin bc sin S= 2 = 2 = 2 3. Siinusteoreem: a b c sin = sin = sin 4. Koosinusteoreem: Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. a2 = b2 + c2 2bc cos b2 = a2 + c2 2ac cos c2 = a2 + b2 2ab cos 5. Pea Meeles! Kui kolmnurga lahendamisel on tarvis leida kaks või kolm nurka, siis tuleb esmalt arvutada kõige väiksem, siis suuruselt järgmine ja lõpuks kõige suurem (kõige väiksem nurk asub kõige väiksema külje vastas, kõige suurem nurk asub kõige suurema külje vastas). 6
annaabi.ee 
