Tehted maatriksitega · kaks samadimensionaalset maatriksit on võrdsed, kui vastavad elemendid on võrdsed · maatriksi korrutamisel arvuga saadakse sama dimensiooniga maatriks, mille kõik elemendid on korrutatud selle arvuga · nullmaatriks · vastandmaatriks · kahe sama dimensiooniga maatriksi summa on vastava dimensiooniga maatriks, mille elemendid võrduvad liidetavate elementide summaga · maatriksi ja sama dimensiooniga nullmaatrik- si summa võrdub liidetava maatriksiga · maatriksi ja tema vastandmaatriksi summa võrdub nullmaatriksiga Korrutada saab kaht maatriksit, millest esimese teguri veergude arv võrdub teise teguri ridade arvuga. Maatriksite korrutise iga element on esimese teguri mingi reavektori skalaarkorrutis teise teguri mingi veeruvektoriga. Tegurite järjekorra muutmisel ei pruugi korrutis eksisteerida või on korrutis erinev. aijT = a ji aijT AT ...
TEHTED RATSIONAALARVUDEGA Kadi Jõela 7.a klass Antsla 2013 LIITMINE - (-) = + N. - (-3) = +3 + (-) = - N. + (-2,3) = - 2,3 - (+) = - N. - (+ 78,6) = -78,6 + (+) = + N. + ( 234) = + 234 LIITMINE Kahe negatiivse arvu liitmine - liidan absoluutväärtused -Vastuse ette kirjutan miinusmärgi N. -1 + (-2) = -2 = -3 Kahe erimärgilise arvu liitmine - Lahutan suurema absoluutväärtusega arvust väiksema absoluutväärtusega arvu Vastandarvude summad - Ette kirjutan suurema absoluutväärtusega arvu märgi N. -4 + 5 = +1 KORRUTAMINE JA JAGAMINE Korrutan tegurite absoluutväärtused ja määran korrutise märgi (+) * (+) = (+) : (+) = + (-) * (-) = + (-) : (-) = + (+) * (-) = - (+) : (-) = - (-) * (+) = - (-) : (+) = - TÄNAN TÄHELEPANU EEST!
KOKKUVÕTE: TEHTED VEKTORITEGA On antud vektorid a = (x1; y1) ja b = (x2; y2 ) , siis Vektorite summa a + b = (x1 + x2; y1 + y2 ) Vektorite vahe a - b = (x1 - x2; y1 - y2 ) Vektori korrutis arvuga k a = (k x1; k y1) x1 y Vektorite kollineaarsus = 1 x2 y2 Vektori pikkus a = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Vektorite skalaarkorrutis a b = x1 x2 + y1 y2 a b Nurk vektorite vahel = arccos a b Märkus. Sümbol arccos a tähendab seda, et leiame vähima mittenegatiivse nurga x, mille koosinus on a. Ülesannete lahendamisel leiame nurga tavaliselt arvuti abil, ...
Lausearvutuse tehted, 3. KT Eitus ¬p Konjunktsioon p & q. (korrutustehe) Loomulikus keeles on konjunktsiooni indikaatoriteks ja, ning, ent, kuid, aga, nii...kui ka...; vahel võib konjunktsiooni tähistada ka punkt või koma. Disjunktsioon p ∨q. Või (liitlause) Lause on tõene parajasti siis, kui vähemalt üks lausetest p ja q on tõene. Lause on väär vaid siis, kui mõlemad p ja q on väärad (0). Implikatsioon p →q. Lause on väär ainult siis, kui p on tõene ja q on väär. Implikatsioon on tõene parajasti siis, kui tehte esimeselt komponendilt teisele liikudes ei teki tõekadu. Lühemalt: lausearvutuses on kasutusel materiaalne implikatsioon, mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär. Ekvivalents p↔q. Loomulikus keeles on ekvivalentsi indikaatoriteks väljendid … siis ja ainult siis, kui … ; … parajasti siis, kui … ; tarvilik ja piisav tingimus; ühekorraga. Lause on tõene ...
Tehted ratsionaalarvudega © T. Lepikult, 2010 Ratsionaalarvud Harilikke murde, nende vastandarve ja arvu 0 nimetatakse ühiselt ratsionaalarvudeks. Ratsionaalarve tähistatakse sümboliga Q. Ratsionaalarve võib ka defineerida kahe täisarvu jagatisena (sealjuures ei või jagaja muidugi null olla). Näited : 2 6 0 Q; 12 Q; - 1 Q; - Q; 4 Q. 11 13 Aga 2 Q, Q, kuna need arvud ei ole esitatavad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvu esitamine kümnendmurruna Iga ratsionaalarv esitub kas lõpliku või (lõpmatu) perioodilise kümnendmurruna Näiteks: 2 = 2, (0); 1 - = -0,25; 4 2 - = -0,181818... = -0, (18). 11 Kümnendmurrud Kümnendmurd on kümnendsüsteemis koma abil kir...
TEHTED ASTMETEGA Astmete korrutamine a2 a3 = a 2 + 3 = a 5 4-2 45 = 4 -2 + 5 = = 43 = 4 4 4 = 64 Üksliikmete korrutamine -2ab3 3ab4c2 = -2 3 a1+1 b3+4 c2 = = -6a2b7c2 Korrutise astendamine ( -2ab)3 = (-2)3a3b3 = -8a3b3 Astme astendamine (a3)2 = (a3) (a3) = a6 VÕI (a3)2 = a32 = a6 Üksliikme astendamine (-6a3b)2 = -6a3b(-6a3b) = 36a6b2 VÕI (-6a3b)2 = (-6)2 (a3)2 b2 = 36 a32 b2 = 36a6b2 Astmete jagamine a5 : a3 = a5-3 =a2 75 : 73 = 75-3 = 72 = = 7 7 = 49 a5 3 = a 5-3 = a 2 a Üksli...
TEHTED MURDUDEGA KÜMNENDMURRUD: 1. Liitmine/lahutamine: 1) Paigutame koma alla koma. Näide: 174,6 48,328 = 174,600 2) Lisame nullid. 48,328 126,272 2. Korrutamine: 1) Jätame tegurites komad esialgu tähele panemata Näide: 64,5 - 1 koht ja korrutame neid nagu naturaalarve; · 5,6 - 1 koht 2) Loeme, mitu kohta on pärast koma mõlemas teguris kokku. 3870 3) Nõnda saame teada, mitu kohta 3225 peame vastuses komaga eraldama. 361,20 - 2 kohta Vastuses hakkame kohti lugema arvu lõpust! 3. Korrutamine/jagamine järguühikutega: 1) 0,427 · 100 = 42,7 2) 0,1 · 34,67 = ...
MATEMAATIKA Ratsionaalarvudega tehted. Harilikke murde, nende vastandarve ja arvu 0 nimetatakse ratsionaalarvudeks. Ratsionaalarvu tähistatakse sümboliga Q. Absoluutväärtuselt võrdseid, kuid erineva märgiga arve nimetatakse vastandarvudeks. Negatiivsete arvude liitmisel liidame nende absoluutväärtused ja tulemuse ette kirjutame miinusmärgi. Nt: -a-b= -(a+b) ehk -3-5= -(3+5) = -8 Positiivse ratsionaalarvu lahutamise võib asendada selle vastandarvu liitmisega. Nt: a-b= a+(-b) ehk 5-6 = 5+(-6) = -1 Negatiivse arvu lahutamise asemel liidame vastandarvu, st positiivse arvu. 3- (-8) = 3+8 = 11 + ja + = + + ja - =- -ja - = + - ja + = - Erimärgiliste arvude korrutis on negatiivne arv, mille absoluutväärtus on võrdne tegurite absoluutväärtuse korrutisega. Korrutamisel kehtib sama reegel : + ja - =- -ja - = + - ja + = - Kahe ratsionaalarvu jagatis on ratsionaalarv, mille saamiseks 1) J...
1) Koonda sarnased liikmed a) 2a - 5a + 8a - 7a = ................... f) 7x - 9x -2 + 3 = ................................... b) 5x + 3x + 6x - 2x = ................... g) 15x + y - 3x - 7y - 3 = ........................... c) 11y - 5y + 6y - 7y = ..................______ h) 2x - 5xy - 3y - 3x + 2xy = ...................... d) 22c - 13c + 8c - 7c = ................ i) 11 - 3a + 7b - 2a + 4b = ........................ e) 3a - 5b + 9a - 7b = ...................._____ j) 13u + 7v + 8u - 8u - 11v + 21 = ............. 1. Lahenda järgmised võrrandid: a) 5 - 4x + 9 = 2x - 10 ....................... e) 24x = 17 + 9x + 42 + 1 .................. ................................................... ................................................... ................................................... ................................................... b) 5 - 8y = - 23 ...
Matemaatika 6.klassile 1.Arvuta. 54 310+23 690=78000 450 760+1 564 768=2015528 86,315+4,085=90,400 478,23+56,09=534,32 2.Arvuta komadega. 3,0906:3=1,0302 0,24:8=0,03 8,642:2=4,321 0,7:7=0,1 0,105:5=0,021 12,444:4=3,111 0,14:4=0,035 60,12:3=20,04 3.Kirjutan lünka sellise arvu,et tekiks tõeline võrdus. 200cm=2m 40000mm=40m 3000cm=300dm 70000dm=7km 25000cm=250m 150000cm=1500m 400dm=40m 26000m=26km 900mm=9dm 2000mm=20dm 8000dm=800m 40000dm=4km 4.Pohla pere käis pühapäeval jõhvikal.Mitu kilogrammi jõhvikaid korjas Pohla pere kokku? Marju ja Mait 14kg,Ema 16kg,Isa 16kg. 1)Ema ja isa korjasid kokku 2*16 kg jõhvikaid. 2)Pohla pere korjas 14+2*16=46 kg jõhvikaid.
Ats Pedak LABORI ARUANNE ARUANNE Õppeaines: MATERJALI ÕP. Ehitusteaduskond Õpperühm: KEI 12 Tallinn 2011 1 KATSE Korrapärase kujuga materjali tiheduse määramine Ehitusmaterjalide tiheduse yo määratakse keha massi ja mahu suhtena [ kus: G - proovikeha mass õhus [g] V - proovikeha maht [cm3] Korrapärase kujuga keha maht Vo arvutatakse keha geomeetrilistest mõõtmetest lähtudes. Mõõtmistäpsuseks olgu 0,1 mm. Proovikeha mass õhus [G] määratakse kaalumise teel. Tabel nr1 Proovi Proovike Proovik Tihedus P Proovi- Materjali keha ha maht eha 3 keha nr. nimetus a b h [ ] [kg/m ] ...
Tehted harilike murdudega © T. Lepikult, 2010 Hariliku murru mõiste Harilikuks murruks nimetatakse kahe naturaalarvu a ja b jagatist kujul a , b kus b 0. murru lugeja a Harilik murd: murrujoon b murru nimetaja Murrujoonel on jagamismärgi tähendus. Horisontaaljoone asemel kasutatakse murrujoonena ka kaldkriipsu. 1 Näited = 1/ 2 = 1: 2 = 0,5 Loe: "kaks koma kolm perioodis" 2 7 = 7 / 3 = 7 : 3 = 2,333... = 2, (3) 3 Liht- ja liigmurd Kui murru nimetaja on suurem lugejast ( b > a, ehk a / b < 1 ), siis nimetame murdu lihtmurruks, vastupidisel ( b a, ehk a / b 1 ) juhul...
TEHTED ALGEBRALISTE MURDUDEGA TEGURDAMINE - esita hulkliige korrutisena I ühise teguri sulu ette toomine 2a + 6abc = 2a(1 + 3bc) NB! „ -1” ette: a -1 = - (-a + 1)= -(1 – a); -a – 1= - (a + 1); a + 1= - (-a – 1) II valemid: 1. a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või – märke) 2 – a = ( 2 – a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisar...
Vektor Tehted vektoritega Vektori mõiste Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks Vektor Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektorite tähistamisest B a AB b a A L B LK A BA K Vektorite võrdsus Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed samasihilisi vektoreid nimetatakse kollin...
TEHTED ALGEBRALISTE MURDUDEGA TEGURDAMINE - esita hulkliige korrutisena I ühise teguri sulu ette toomine 2a + 6abc = 2a(1 + 3bc) NB! ,, -1" ette: a -1 = - (-a + 1)= -(1 a); -a 1= - (a + 1); a + 1= - (-a 1) II valemid: 1. a 2 b 2 = (a b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või märke) 2 a = ( 2 a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisarvud, ük...
Confidential Page 1 23.08.2004 Created by Allar Veelmaa Kodune kontrolltöö nr 1. Arvutamine. Tehted astmetega 1. Leia avaldise täpne väärtus ⎛ 1 2⎞ ⎛ 1⎞ a) ⎜ 4 − 1 : 2 ⎟ ⋅ 3,5 b) ⎜ 2,8 − 1,6 : 1 ⎟ : 1,05 ⎝ 3 3⎠ ⎝ 5⎠ 2. Kui mitu protsenti moodustab arv A arvust B, kui −2 −1 ⎛ 3⎞ ⎛ 16 ⎞ A = ⎜ 0,25 + 1 ⎟ +5 0 ja B = ⎜⎜ − 0,25 ⎟⎟ . ⎝ 4⎠ ...
• Lugeja- murrujoone üleval olev arv • Nimetaja- murrujoone all olev arv • Jagatav- arv, mida jagatakse • Jagaja- arv, millega jagatakse
Tehted negatiivsete arvudega. Arvud -1; -3; -7; -0,5 jne. on negatiivsed arvud. Liitmine ja lahutamine: Kahe negatiivse arvu liitmisel, liidetakse need arvud ja vastusele tuleb ette miinus märk: -5 +(-8) = - 13 Positiivse ja negatiivse arvu korral, lahutatakse suuremast arvust väiksem, vastusele ette see märk, mida on rohkem. -5 + 8= 3 (8-5=3) -8+5= - 3 (8-5=3 aga kuna ülesandes on rohkem miinuseid, siis on vastusel ka miinus märk) Näide 1. Arvuta 5 - 9= …………………………………. 17 – 19= ……………………………………… -19 + 20=…………………………………. -25 + 5= ………………………………….. Korrutamisel ja jagamisel: (+)(+)=(+) (-)(-)=(+) (+)(-)=(-) (-)(+)=(-) Näide 2. Arvuta 25 : (-5)= ………… -36 : (-6)=………… -15 ∙ 2 = ……………… 2 ∙ 14 = ⋯ … … … … …. -7 ∙ (-8) = ……………… Ülesanded: 1. Arvuta. a) 17 + 18 = ....... b) - (70 - 18) = ....... c) 60 + 4 - 64 = ....... d) 17 · 3 - 38 = ....... e) 20 · 5 - 13 = ....... f) 16 : 4 + 25 : 5 = ....... g) - (20 : 0,5 - 4 · 5) = ....... h) 45 : 9 -...
POLAARKOORDINAADID, KOMPLEKSARVU TRIGONOMEETRILINE KUJU Tasandi punktide kirjeldamiseks võib kasutada lisaks komplekstasandile ka polaarkoordinaate. Selleks fikseerida tasandile punktist O väljuv kiir. Tasandi punkti X kirjeldamiseks saab samuti kasutada kahe reaalarvu: ρ – punktide O ja X vaheline kaugus – polaarraadius – moodul ρ=| z|=√ z ´z = √ x + y 2 2 φ – nurk kiire ja sirglõigu OX vahel – polaarnurk – argument Tähistatakse φ=Arg (z ) Arg ( z )=arg ( z ) +2 kπ , kus k ∈Z Argumendi peaväärtus ...
KOMPLEKSARVU JUURIMINE Kompleksarvu z n -astme juureks (n ∈ N ) nimetatakse kompleksarvu ω , mille korral ω n=z , s.o. √n z=w ⟺ w n=z cos φ 1+isin φ 1 Olgu z=ρ ( cosφ+isinφ ) ω=ρ1 ¿ z=ρ ( cosφ+isinφ )=ρn1 ( cos ( n φ1 ) +isin ( n φ 1) )=ωn Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui kompleksarvude moodulid on võrdsed ρn1= ρ , n φ1−φ=2 kπ , kus k ∈Z n φ+ 2 kπ kompleksarvude argumentide vahe on 2π kordne ρ 1=√ ρ , φ1 = , ...
harilikmurd liigmurd segaarv 3 murru lugeja 6 7 1 - murru joon - - = 2- 4 murru nimetaja 5 3 3 MURRUD LIITMINE Ühenimeliste murdude liitmisel liidetakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. Näited LAHUTAMINE Ühenimeliste murdude lahutamisel lahutatakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. Näited KORRUTAMINE Kahe hariliku murru korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks nimetajate korrutis. Näited JAGAMINE Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga, tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. Näited ERINIMELISED MURRUD LIITMINE Erinimeliste murdude li...
1 1. õppetükk Kontrolltöö I tase 1) Kujuta ühel ja samal arvteljel hulgad A 3; 2 ja B 1; 4 Leia hulgad A B ja A B . 4 2) Arvuta kalkulaatorit kasutamata avaldise 0,2 0,04 2 0, 5 8 4 1,5 täpne väärtus. 3 3) Arvuta a) 4 7 4 7 b) 4 7 33 ...
Tehted astmete ja juurtega. Täisarvulise astendajaga aste 1. Arvuta. 1) 52 2) ( 5)2 5) 32 2 7) - 3 1 9) - 4 11) (3 ) ...
Kordamisküsimused 1) Kompleksarvu mõiste. Kompleksarvu algebraline kuju ja tehted algebralisel kujul. DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b-imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k- arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= z 1 ( a1 +b 1 i ) (a 2+b 2 i) (a1+b1i)*(a2+b2), = z 2 ( a2 +b 2 i ) (a 2+b 2 i) 2) Kompleksarvu trigonomeetriline kuju ja tehted trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X-telg k-arvu reaal telg ja Y- telg imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy ...
Tehted harilike ja kümnendmurdudega © T. Lepikult, 2010 Harilikke ja kümnendmurde sisaldava arvavaldise väärtuse arvutamine Kui arvavaldis sisaldab nii harilikke kui ka kümnendmurde ja nõutakse selle avaldise täpse väärtuse arvutamist, siis tuleb reeglina teisendada kümnendmurrud harilikeks murdudeks. Kui tehte mõlemad liikmed on kümnendmurrud, siis võib selle tehte sooritada ka kümnendmurdudega. Näide 1 3 Arvutame avaldise 1 + 0,45 täpse väärtuse. 8 9 Lahendus 45 9 1) teisendame kümnendmurru 0,45 harilikuks murruks: 0,45 = = . 100 20 2) teostame liitmistehte 20 3 5 9 2 15 + 18 33 1 ...
HULGAD Hulgaaritmeetilised tehted I Ü Hulgaalgebra T T A B . . . . Hulk on koosvaadeldavate hulgaelementide kogum . . . . ( hulk koosneb elementidest ) Hulkade jaoks on defineeritud 5 hulgaaritmeetilist tehet : tehte NIMI formaalne tähistus AB a hulkade ühend k __ i hulga täiend ...
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste: Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui nende imaginaarosad ja reaalosad on vastavalt võrdsed a + bi = c + di <=> a = c ja b = d Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Näiteks 5+2i ja 5-2i. Kompleksarvu a + bi vastandarvuks nimetatakse kompleksarvu -a bi. Näiteks 7+5i ja -7- 5i. Tehted kompleksarvudega: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (5 -3i)+(2 + 7i) = (5+2) + (-3+7)i = 7 + 4i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b d)i (5-3i)-(2+7i) = (5-2) +(-3-7)i = 3 - 10i (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i (5-3i)(2+7i) = (52 - (-3)7) + (57 +(-...
Kutseeksam 1. Raamatupidamiskohustlane on: a) Ettevõtte juht; b) Raamatupidamisosakond; c) Registreeritud juriidiline isik; d) Ettevõtte pearaamatupidaja; e) Kõik eelpooltoodud; f) Ainult b ja c 2. Raamatupidamise põhivõrrand on: a) VARA = KOHUSTUSED OMAKAPITAL; b) VARA + KOHUSTUSED = OMAKAPITAL c) VARA = KOHUSTUSED + OMAKAPITAL d) Mitte ükski eeltoodud pole õige 3. Kreditoorse lühivõla hulka kuuluvad: a) Ettemaksed tarnijale; b) Maksuvõlad; c) Arendusväljaminekud; d) Tulevaste perioodide ettemakstud kulud 4. Rahasumma on hoiustatud kuueks aastaks, intressimääraga 8%. Kui intresse arvutatakse kvartaalselt, siis teguri tabeliväärtus leitakse, kasutades: a) 8% ja 6 perioodi; b) 2% ja 6 perioodi; c) 2% ja 24 perioodi; d) 8% ja 24 perioodi; e) Mitte ükski eeltoodud vastus pole õige. 5. Ettevõttes ...
MA1 - Reaalarvud. Võrrandid 1. Teemad Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused. Reaalarvude piirkonnad arvteljel. Reaalarvu absoluutväärtus. Protsentülesanded. Astme mõiste üldistamine: täisarvulise ja ratsionaalarvulise astendajaga aste. N- es juur. Tehted astmete ja juurtega. Ratsionaal- ja irratsionaalavaldiste lihtsustamine. Irratsionaalsusest vabanemine. Lineaar-, ruut-, murd- ja juurvõrrandid. Võrrandite koostamine. Lihtsamate tekstülesannete lahendamine. 2. Tarkuseterad 2.1 Arvuhulgad Loendamisel kasutatavad arvud Arv 0 Kas 0N? Naturaalarvud N Järjestatav, vähim arv 1, lõpmatu Liitmine, korrutamine Jäägiga jagamine, algarv, SÜT, VÜK Nat. arvude vastandarvud Täisa...
MATEMAATIKA GÜMNAASIUMILE valemid TRIGONOMEETRIA Sin x Cos Tan x x 0o 0 1 0 30o 0,5 45o 1 60o 0,5 90o 1 0 puudub VIETE'I TEOREEM ARITMEETILINE JADA kui a = 1, siis an = a1 + (n-1)d x1 + x2 = - b x1 * x2 = c TULETISED (u±v)'=u' ± v' GEOMEETRILINE n1 JADA (uv)' u'v + uv' an = a1q Hääbuv geomeetriline jada [u(v[x])]'=u'(v[x])v'[x] NEWTONI BINOOMVALEM VEKTORID KOMBINATOORIKA Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis Permutatsioonide arv Vektor =(x2-x1;y2-y1) Vektori pikkus: Kombinatsioonide arv . Skalaarkorrutis: . Kui kaks ...
Maatriks arvutus Def 1 : (mxn) m korda n järku arv maatriks A nim mn arvust moodustatud tabelit, milles on m rida ja n veergu. NT filmilint, male- ja kaberuudud. Maatrikselemendid on elemendid, millest maatriks koosneb. Ai-reaindeksj- veeruindeks I= 1, 2, .....m j= 1, 2, ......n A=( a11 a12 a13 ....a1n) ( a21 a22 a23....a2n) ( a31 a32 a33 ....a3n) m=n (ruutmaatriks) nxn n2- maatriks mn (ristkülikmaatriks) Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a11 ; a22 ; a33 ..... akk nimetatakse maatriksi peadiagonaaliks. Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a1n ; a2n-1 ; a3n-2 .... akn(k-1) nimetatakse maatriksi kõrvaldiagonaaliks. a11 priviligeeritud element. Tehted maatriksiga Def 2 : maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad on sama järku ( ühepalju ridu ja veerge) ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed . A: (pxq) B: (rxs) p=r q=s Def 3 : (mxn) järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku numbrite A + B, mil...
Lihtsusta 0 -{2/3}*(-6s)*({1/4}t)*u Koonda sarnased liikmed 5 7a+a Koonda sarnased liikmed 5 9-2x+4+3x-12+2x Koonda sarnased liikmed 5 3a-7b+a-3a+2b+4a-2b Koonda 5 9ab^{2}-7a^{2}b+2ab-5ab^{2}+3a^{2}b-2ab Koonda 5 12x^{2}yz+5xy^{2}z-8x^{2}yz-3xyz^{3}-5xy^{2}z-2xyz^{3} Koonda 5 9m-3n+2m-5n-m+8n Koonda 5 2xyx-3x^{2}y+xxy Teosta tehted 0 (2x+5y)+(4x-2y) Teosta tehted 0 (3m-2n+7)-(5m-2n+9) Teosta tehted 0 (7u-9v+3)-(2u+3v-5)+(5u+12v-3) Teosta tehted 0 m^{-2}*m^{3}*m^{5} Teosta tehted 0 y^{5}:y^{-3}:y Teosta tehted 0 u^{12}:u*u^{3} Teosta tehted 0 (m*n)^{3} Teosta tehted 0 (3xy)^{2} Teosta tehted 0 (m^{2})^{4} Teosta tehted 0 (-n)^{3} Teosta tehted 0 (-m)^{4} Teosta tehted 0 (xy)^{0} Teosta tehted 0 u^{7}*u^{2}:u^{9} Teosta tehted 0 (-10xyz)^{4} Teosta tehted ksliikmetega 0 3x^{2}y*2xy^{3} Teosta tehted ksliikmetega 0 -4m^{2}np^{3}*5m^{3}n^{4}p^{2} Teosta tehted ksliikmetega 0 16m^{3}n^{5}:(8m^{2}n^{3}) Teosta tehted...
Füüsikalised mudelid 1) Füüsikalised objektid saavad olla: MTTE AINELISED- ei saa käega katsuda, need on väljad. Näiteks: elektriväli, gravitatsiooniväli, energiaväli. AINELISED- katsun käega. Näiteks: inimene Mis vahe on ainel ja väljal ? 1. Aine: Mõõtmed, ehk mingi keha Üks keha ainult ühel kohal Iseloomulik suurus-mass Tunneme meeltega Aine võib muutuda väljaks ja vastupidi, liigub tohutu suurel kiirusel 2. Väli: Mõõtmed puuduvad Ühes kohas saab olla mitu välja Isemoomustab-energia Ei tunne meeltega Nähtus Nähtused on füüsikaliste objektidega toimuvad muutused Näiteks: päike paistab, maa väriseb, tuba soojeneb Nähtusi kirjeldame: 1. Tabel (n:kummipaela venimine) 2.graafik (n:kliima muutus) 3.Valem (Sellel on kaks varjanti. Esiteks pöördvõrdeline seos, st. Kui näiteks sai läheb kallimaks siis ostjaid on vähem. Teiseks ruutsõltuvus mille graafikuks on parabool.) Füüsikalised suurused Saame nähtusi või omadusi kirjeldada või ise...
KODUTÖÖ õppeaines Kulude arvestus Lahendada ülesanded! 1. AS Teine tegeleb ülikondade tootmisega. Järgnevas tabelis on toodud kulud kroonides, kui kuus toodetakse 440 ülikonda: Kulu Ülikondade arv 440 550 Summaarsed püsikulud 224 000 A Summaarsed muutuvkulud 418 000 B Summaarsed kulud kokku 642 000 C Ühiku püsikulud D E Ühiku muutuvkulud F G Ühiku kulud kokku H I Arvutada tähtede asemele arvud. Kõik arvutused esitada kirjalikult! A- jääb samaks nagu 440tk korral 224 000.- B- 950 x 550 = 522500.- C- 224000 + 522500 = 746500.- D- 224000/440 = 509,09.- E- 224000/550 = 407,27 F- 418000/440 = 950.- G- 224000/550=950.- H- 407,27+950=1357,27 2. AS PUIT on s...
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega ⎧a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn ⎪ a>0 d = 2r r= a = a = ⎨ - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn ...
Astendamine Naturaalarvuline astendaja 2³=222=8 00= - a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0). Näide:11²=121 , 12²=144,1 3²=169 1³=1 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 10³=1000 20=1 21=2 22=24 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 Tehted astmetega 1) am an = a m + n Näiteks: 2² 2³ = 22+3 = 25 = 32 Võrdsete alustega astmete korrutamisel võime astendajad liita ning saadud tulemusega astendada antud alust. 2) am : an = a m-n Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9 Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust. 3) (a b)n = an bn Näiteks: (2 4)² = 2² 4...
Proovieksam matemaatikas E Variant F Variant 1) Teosta tehted ligikaudsete arvudega ja 1) Teosta tehted ligikaudsete arvudega ja arvuta arvuta tulemusega viga. tulemusega viga. 1.1. 3500(±0,8%) + 240(±0,5%) = 1.1 1,87(±0,5%) - 0,39(±0,1%) = 1.2. 2,48(±0,7%) 0,54( ±1,3%) = 1.2. 163(±0,4%) : 0,82(±0,6%) = 2) Arvuta taskuarvutiga ja kirjuta 2) Arvuta taskuarvutiga ja kirujta sõrmeprogramm. sõrmeprogramm. 3,47 1015 + 2,15 10 3 = 1,23 10 -25 + 3,8 10 -26 7 ,95 10 14 + 11, 25 10 3 = 2.1. 2.1. 4,983 10 - 24 2.2. 0,587 tan 78 32' = ...
Arvu absoluutväärtus. Reaalarvude järjestus ja tehted reaalarvudega © T. Lepikult, 2010 Arvu absoluutväärtuse mõiste Reaalarvu x absoluutväärtuseks (ehk mooduliks, tähistatakse |x| ) nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi |x| = x, kui x 0, |x| = -x, kui x < 0. Geomeetriliselt tõlgendades tähendab arvu absoluutväärtus seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugust nullpunktist. 3 3 2 1,5 x -3 -2 -1 0 1 1,5 2 3 |3| = 3 |-3| = -(-3) = 3 |-2| = -(-2) = 2 |1,5| = 1,5 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp...
Crameri peajuhtumi korral Maatriksite jagamisest ei saa on suunatud lõik. Tehted avalduvad lin. Võrrandi süsteemi rääkida! vektoritega: Summa, vahe, tundmatud murdudena, mille 1. Maatriksi astak, selle korrutamine skalaariga (arvuga) nimetajates on süsteemi maatriks leidmine. Näide Koordinaatidega antud vektorid, determinant , lugejas maatriks kus Kui maatriksis leidub vähemalt tehted nendega Olgu antud tundmatute veerg on asendatud üks nullist erinev r –järku miinor, vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vabaliikmetega, determinant. kuid mitte ühtegi nullist Erinevat vektorit b kujul b _ a1a1 _ a2a2 Determinantide omadused, kõrgemat järku miinorit, siis _. . ._akak, kus a1, a2, . . . , ak on determinandi arendus rea (veeru) ...
Üldkuju 7.klassis matemaatikas õpid erinevate seoste üldkujusid: Võrdelise seose üldkuju, lineaarfunktsiooni üldkuju, pöördvõrdelise seose üldkuju ning arvu üldkuju. Võrdelist seost esitatakse tavaliselt kujul y=ax .Selle kohta siis mõned näited : y=-5x ; y=10x ; y=1/5x ; y=-2/5x .Lineaarfunktsiooni kirjutame tavaliselt kujul y=ax+b . See on tulnud võrdelisest seosest kuid sellel on juures vabaliige ehk b . Lineaarfunktsiooni üldkujust näiteid : y=2x-3 ; y=2/5x+10 ; y=- 5x+9 ; Pöördvõrdelise seose põhikuju on y=a/x . Näited : -8/x ; 25/x ;6/x . Kahekohalise arvu üldkuju võib kirjutada: a · 10 + b kui ka 10a+b . Samamoodi kolmekohalise arvu üldkuju: a · 102 + b · + c ehk 100a+10b+c . Neljakohalise arvu üldkuju: a · 103 + b · + c · + d ehk 1000a+100b+10c+d . Viiekohalise arvu üldkuju: a · 104 + b · + c · + d · + e ehk 10 000a+1000b+100c+10d+e jne. Sulud M...
Hulgaavaldise üleviimiseks tema duaalsele kujule tuleb selles avaldises: Kõik UNIVERSAALHULGAD asendada TÜHJA hulgaga Kõik tehted ÜHEND asendada tehtega ÜHISOSA Kõik TÜHJAD hulgad asendada UNIVERSAALHULGAGA Kõik tehted ÜHISOSA asendada tehtega ÜHEND Kõik TÄIENDID jäävad asendamata Esimene võrdub 5. parempoolses Teine võrdub 8. parempoolses Kolmas võrdub 9. parempoolses Neljas võrdub 2. parempoolses Viies võrdub 4. parempoolses Kuues võrdub 1. parempoolses Seitsmes võrdub 6. parempoolses Kaheksas võrdub 7. parempoolses Üheksas võrdub 3. parempoolses Millised nimed on järgnevatel hulgaalgebra põhiseostel? Esimene põhiseos on neeldumine Teine põhiseos on sulgude lahtiliitimine Kolmas põhiseos on DeMorgani seadus Neljas põhiseos on kleepimine Mitme hulga diagramm on suurim Venni diagramm, mis osutub piisavalt ülevaatlikuks ja kasutuskõlblikuks? 4 Millised järgnevad võrdused on korrektsed Grassmanni valemid? Kolmas (3) Neljas (4) Mi...
Astmed ja juured Astme mõiste. Definitsioon Ühest suurema naturaalarvu n korral nimetatakse astmeks an korrutist, milles on n võrdset tegurit a, s.t. a n a a ... a. n tegurit Näited 32 3 3 9; 10 4 10 10 10 10 10000 3 1 1 1 1 1 (2) (2) (2) (2) 8 3 4 4 4 4 64 (0,5) 4 (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) 0,0625 1 kilobait = 2 baiti 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 baiti 1024 baiti; 10 Astendajad 0 ja 1 Astme an leidmist nimetatakse...
Küsimus 1 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millised järgnevad võrdused on korrektsed Grassmanni valemid ? Vali üks või enam: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Küsimus 2 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Misnimelise reegli/seaduse abil saab mittetäieliku Cantori normaalkuju teisendada täielikuks Cantori normaalkujuks ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: kleepimisseadus Küsimus 3 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Mitme hulga diagramm on suurim Venni diagramm, mis osutub piisavalt ülevaatlikuks ja kasutuskõlblikuks ? ( sisesta number või sõna ) Vastus: 4 Küsimus 4 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kui sulgudega pole määratud teisiti, siis milline on hulgatehete prioriteet avaldises ? kõigepealt teostatakse hulgaavaldises TÄIEND ...seejärel teostatakse tehe ÜHISOSA ...kolmandana tehe ÜHEND Küsimus 5 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 sea võrdsed hulgaavaldised omavahel vastavaks: 9. vasakp...
Valemid ruut Tehted harilike murdudega P= 4a S= a² d = a ∙ √2 a m a ∘n : = b n b ∘m ristkülik P= 2(a+b) S= a · b Täisarvulise astendajaga aste an = a · a · ... · a ...
Teist ja kolmandat j¨arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud Tartu 2016 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Sarruse (kolmnurga) reegel 3. j¨arku determinantide arvutamiseks Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Arvutage determinandid 1 2 4 2 4 0 −1 3 3 1 3 −2 5 −6 4 2 1 0 2 5 6 −4 −3 4 1 2 5 1 3 2 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl LVS lahendamine Crameri valem...
Astmed ja juured © T. Lepikult, 2010 Astme mõiste. Definitsioon Ühest suurema naturaalarvu n korral nimetatakse astmeks an korrutist, milles on n võrdset tegurit a, s.t. a n a a ... a. n tegurit Näited 32 3 3 9. 104 10 10 10 10 10000. 3 1 1 1 1 1 . 4 4 4 4 64 1 kilobait = 210 baiti = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 baiti 1024 baiti. = algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Negatiivse arvu astendamine Näited (2)3 (2) (2) (2) 8. (0,5) 4 (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) 0,0625. Järeldus viimastest näidetest: Kui negatiivset arvu astendada paarisarvulise astendajaga, on tulemus positiivne, kui paari...
Veeb ÕIS Moodle E-mail Töölaud / Minu kursused / IAX0010 Diskreetne matemaatika / HULGAD / HULGAD II — kontrollküsimustega test Alustatud esmaspäev, 21. detsember 2020, 13.53 Olek Lõpetatud Lõpetatud esmaspäev, 21. detsember 2020, 14.03 Aega kulus 10 min 45 sekundit Hindepunktid 13,00/13,00 Hinne 100,00, maksimaalne 100,00 Küsimus 1 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Misnimelise reegli/seaduse abil saab mittetäieliku Cantori normaalkuju teisendada täielikuks Cantori normaalkujuks ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: kleepimisseadus Küsimus 2 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millise hulgatehte tulemus on hulgaelementide järje...
Alustatud Monday, 30. September 2013, 19:12 Olek Valmis Lõpetatud Monday, 30. September 2013, 19:14 Aega kulus 1 minut 57 sekundit Punktid 14/14 Hinne 100 maksimumist 100 Tagasiside Suurepärane, positiivne tulemus on käes! Küsimus 1 Õige Hinne 1 / 1 Märgista küsimus Küsimuse tekst Milline variant on korrektne, kui 75le tuleb juurde arvutada 35%? Vali üks: =75*1,35 Õige! Osa juurdearvutamiseks tervikule tuleb arv 75 korrutada kas 1,35 või 135%. =75*35 =75/1,35 =75*0,35 Küsimus 2 Õige Hinne 1 / 1 Märgista küsimus Küsimuse tekst Mis märgi abil saab suhtelise aadressi absoluutseks või sega-aadressiks muuta? Vali üks: £ märgi $ märgi Õige! Aadresside muutmiseks absoluutseks või sega-aadressiks kasutatakse $ märki. Absoluutaadres...
Lineaaralgebra I kontrolltöö teooriaküsimused 1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi , (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on niinimetatud imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = -1 või i 2 = -1 ; Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i loetakse võrdseteks ( z1 = z2 ) , kui a1 = a2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. ...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
