AVERAGE. 95% usaldusvahemik üldkogumi keskmisele: kus: n valimi maht valimstandardhälve Usaldusnivoo 0,95 puhul Tulu Kulu Palk (1842,85, 4927,61) (1700,49, 4089,27) (2877,88, 8996,58) Näiteks tulu puhul kasutatud valemit (AVERAGE(E2:E36) 1,96*(STDEV(E2:E36)/SQRT(COUNT(E2:E36)) , AVERAGE(E2:E36) + 1,96*(STDEV(E2:E36)/SQRT(COUNT(E2:E36)) NB! Kulu ning tulu puhul kasutatud samasid valemeid (vastavate andmetega). 2) Naiste arv antud valimis 10 (valem COUNTIF(C2:C36;2)), seega 10 2 p = 35 = 7 Üldkogumi osakaalu 95% ligikaudne usaldusvahemik on: Antud valemit kasutades 95% usaldusvahemik (0,14 , 0,44)
EI-Z EI-W Kriteerium 27 33 Osalejaid 12 6 Mitte osalejaid 2,6 2,0 Keskmine 3 2 Mediaan 69 85 Osalemine (%) 74 64 Läbivus tegijatest (%) 2,55 2,28 Var 1,60 1,51 Sqrt Var 1,60 1,51 Stdev mean ( J) 2. VÕRDLUS 2.1. EI Z T J ( 4 2 1 4 5 1 2 2 1 5 0 3 4 3 1 2 0 3 2 5 2 3 0 5 3 4 4) 0.15 stdev ( J)
15 -2 -1 0 0 16 1 2 -5 -6 17 -4 5 5 6 18 4 -3 -5 1 19 5 0 5 6 20 0 5 -2 -2 SUMMA 0 0 0 0 2tase correl 0,265686 stdev 3,21182 3,043544 3,769685 2 jrknr Xühine X8 X4 y 1 3 0,5 4,25 2,75 2 -3 -1,75 -5,5 -15,25 3 -1 -2,25 -3,5 -4,75 4 3 9,25 0,5 15,75 5 1 -0,25 1 1,75 6 -5 -6,25 -6,25 -18,5
Standarthälve: STDEVP Standardhälve iseloomustab tunnuse hajuvust. Haare on arverea suurima ja vähima väärtuse vahe. Kovariatsioon: COVAR Olgu igal objektil on mõõdetud rohkem kui üks tunnus. Tunnuste x ja y vaheline kovariatsioon: Arvutamiseks lihtsam valem: Korrelatsioonikordaja: CORREL Variatsioonikordaja e suhteline viga: Valimidispersioon: VAR Valimstandardhälve: STDEV 2. Usaldusvahemike praktiline leidmine üldkogumi keskmisele kahel juhul: a) kui valim suur (n30, standardse Tõenäosusteooria Page 1 2. Usaldusvahemike praktiline leidmine üldkogumi keskmisele kahel juhul: a) kui valim suur (n30, standardse normaaljaotuse tabeli kasutamine), b) kui valim väike (n<30, t-jaotuse tabeli kasutamine). n30 n<30 3. Hüpoteeside kontroll
68 Standardhälve 9.15 Asümmeetria kordaja -0.005 Ekstsessi kordaja -1.05 Variatsioonikoefitsiendid variatsiooniamplituudi järgi 18.64 standardhälbe järgi 5.02 dke tunnuse pikkus järgmised arvkarakteristikud: average harmean geomean min max max-min mode quartile(2) või median quartile(1) quartile(3) var stdev skew kurt var.amplituud / aritm. keskmine (väljenda %) st.hälve / aritm. keskmine (väljenda %) Leidke tunnuse kaal järgmised arvkarakteristikud: Aritmeetiline keskmine 79.49 Harmooniline keskmine 79.06 Geomeetriline keskmine 79.27 Miinimum 70 Maksimum 90
188 70 169 72 Ülemine kvartiil 189 quartile(3) Ülemine kvartiil 84 192 73 169 72 Dispersioon 83.676768 var Dispersioon 34.959495 181 78 169 72 Standardhälve 9.1475006 stdev Standardhälve 5.9126555 188 72 170 72 Asümmeetria kordaja -0.004702 skew Asümmeetria kordaja 0.1251388 196 81 171 73 Ekstsessi kordaja -1.047574 kurt Ekstsessi kordaja -1.064565
29 -1,40 0,00 1021,70 max 30 -0,40 3,00 1026,70 average 31 -7,50 2,60 1032,70 median veebruar 1 -15,80 1,40 1035,30 mode 2 -9,70 2,40 1030,00 count 3 -5,70 2,00 1003,20 stdev 4 0,70 2,00 999,10 5 -5,50 3,10 1015,00 6 -6,90 2,50 1003,30 7 0,00 2,70 999,00 8 1,90 4,60 990,70 9 -0,90 3,50 997,90 10 -3,60 2,00 1005,20
10000 f(x) = 199.6901002482 x^0.3859308776 5000 R² = 0.1067255498 0 0 5000 10000 15000 20000 Toidukulud, EEK Kasutatud funktsioonid: COUNT - väärtuste hulk MEDIAN QUARTILE MIN MAX STDEV - standardhälbe (V34C); V03C-i standardhälbet arvutasin valemiga S^2=n/(n-1)*(E(X^2)-(EX)^2) u- ja eluasekulud korreleeruvad Title 76 15000 20000 25000 30000 35000 Toidukulud, EEK
Excel: AVERAGE Dispersioon: ( ) Excel: VAR Standardhälve: Excel: STDEV Mediaan: Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Excel: MEDIAN Haare: 2. Eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks =0,10. Keskväärtuse usaldusvahemik: ( )
edasisel elul ning kas tõesti segab alkoholi tarbimine õppimist. Kuna alkohol on alati olnud üheks ühiskonna valupunktiks, otsustasin uurida, kuidas on lood Nõo Reaalgümnaasiumi abiturientidega, kelle seisavad peagi ees eksamid. Kõige selle uurimistöö analüüsiks kasutasin Excelis järgnevaid valemeid: Countif tingimustega loendamine. Average keskväärtus. Max maksimaalne element. Min minimaalne element. Mode mood. Correl korrelatsioon. Median mediaan. Stdev- standardhälve. Andmekirjeldus 1. Sugu : M-mees, N-naine ; binaarne tunnus 2. Klass: 12a, 12b, 12c ; nominaaltunnus 3. Kui vanalt esmalt alkoholi tarbisid? diskreetne arvtunnus 4. Kas tarbid ka pidudel alkoholi? : JAH/EI ; binaarne tunnus 5. Kui tihti alkoholi tarbid? valikvastus: 1 - mitte kunagi 2 - kord aastas 3 - kord kuus
3 2.8 2.2 4.9 1.2 yi 4.6 0.7 0.4 8.8 1.3 B2 6.4 3.2 7.1 4.8 3.6 4.3 xkesk 3.08 Vx 9.19 1.4884 0.0784 0.7744 3.3124 3.5344 ykesk 3.16 mean variance stdev Δb usaldusvahemik b1 2.03 0.23 0.4754 0.5203 1.51 2.55 b0 -3.09 2.56 1.5998 1.7507 -4.84 -1.34 y0 5.00 s2(y) 2.08 5.1) 5.2) 5.3) 7) a,b empiiriline ühtlane 0 1 0 0.04 0 100 2 2 0.08 0.02 3 7 0.12 0.07
51 1 69 1. Leida keskväärtuse, dispersiooni, standardhälbe, mediaani ja haarde hinnangud. Keskväärtus: Excel: AVERAGE x = 44,80 Dispersioon: Excel: VAR Sx² = 814,417 Standardhälve: Excel: STDEV Sx = 28,538 Mediaan: Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Excel: MEDIAN Me = 41 Haare: R = 87 1 = 86 2. Leida keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (eeldades üldkogumi
diameetrit) iseloomustavad karakteristikud. a) Leidsin aritmeetiline keskmise rühmitamata andmete korral (=average(d)), rühmitatud andmete korral ((sum(ni*xi))/63), ruutkeskmise rühmitamata andmete korral (=sqrt(sumsq(d)/count(d))), rühmitamata andmete korral ((sum(ni*xi2))/63) b) Leidsin hajuvust iseloomustavad karakteristikud rühmitamata andmete korral: dispersioon (=var(d)), standardhälve (stdev(d)), variatsioonikordaja (=100*sx/ x ), kvartiilhälve (ülemine kvartiil-alumine kvartiil), haare (max-min). Hajuvust iseloomustavad karakteristikud rühmitatud andmete korral: dispersioon- 1 k sx = 2 N - 1 i =1 ni ( x i - x ) 2
Valimi dispersiooni nihutamata hinnangut tähistame s2= n - 1 i =1 ( xi - EX ) 2 , Excelis funktsioon VAR. Valimi standardhälbe hinnangut tähistame s = s2 Excelis funktsioon STDEV. Mood leitav Excelis MODE(). Mediaan leitav Excelis MEDIAN(). P-kvartiil arv, mis jaotab järjestatud statistilise rea osadeks suhteliste mahtudega p ja 1- p, kus p on murdarv vahemikus 0...1. (mediaan, kvatriilid, detsiilid jne.). Kvartiilid koos mediaaniga jaotavad variatsioonirea neljaks võrdsel arvul liikmeid sisaldavaks osaks, kusjuures väikeseim (p = 0,25) kannab nimetust alumine kvartiil ja suurim (p = 0,75) kannab nime ülemine kvartiil.
1999 (-1,40). Keskmine DOL oli 3,27 ja standardhälve oli 1,90. 17 Müügitulu, ärikasumi, puhaskasumi, finantskulude, D/E, D/A, E/A, ROE ja ROA keskmine ja standardhälve Põllumajandus, metsandus ja jahindus Tabelis toodud näitajate kohta on arvutatud nende keskmine ja standardhälve. SUM AVARAGE STDEV Müügitulu 84 934,45 6 533,42 2 129,71 Ärikasum 6 977,99 536,77 464,42 Puhaskasum 5 941,56 457,04 436,61 Finantskulud -1 724,00 -132,62 67,69 D/E 13,03 1,00 0,21 D/A 336,13 25,86 66,16 A/E 19,53 1,50 1,74 ROE 136,29 10,48 10,34 ROA 72,89 5,61 5,27 Tegevusalad kokku SUM AVARAGE STDEV
= i =1 Standardhälve: n -1 V = x Variatsioonikordaja: Kasutatud exceli funktsioonid: Keskväärtus - AVERAGE Mood - MODE Mediaan - MEDIAN Max. element - MAX Min. element - MIN Kvartiil QUARTILE ülemisel 3 ; alumisel 1 Standardhälve - STDEV Korrelatsioon CORREL Kokkulugemine COUNTIF Küsimused 1)Sugu? Binaarne tunnus: mees/naine 2) Kuidas hindate NRG ettevalmistust ülikooliks? Järjestustunnus, kasutasin kodeerimist : 3 - Väga hea, 2 Hea, 1 Rahuldav 3) Millises koolis jätkasite õpinguid? Nominaalne tunnus valikvastusena: · Tallinna Tehnikaülikool (TTÜ) · Tartu Ülikool (TÜ) · Tallinna Ülikool · Eesti Maaülikool · Eesti Mereakadeemia · Eesti Lennuakadeemia
RAKENDUSSTATISTIKA ARVUTUSGRAAFILINE TÖÖ Osa A Valimi A mahuga N=25 variatsioonirida: 22 96 91 75 74 75 25 79 12 38 95 10 71 0 79 24 86 91 96 5 40 85 69 82 39 1.Leida keskväärtuse, dispersiooni, standardhälbe, mediaani ja haarde hinnangud. Keskväärtus: Excel: AVERAGE x=58,36 Dispersioon: Excel: VAR Sx²=1072,74 Standardhälve: Excel: STDEV Sx=32,75 Mediaan: Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Excel: MEDIAN Me=74 Haare: =96-0=96 R=96 2. Leida keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0.10). Keskväärtuse usaldusvahemik: = 0,10
- Mood: variatsiooniteas kõige sagedamini esinev väärtus - Miinimum - Maksimum - Variatsiooniamplituud (max-min) - Kvartiilid Kirjeldav statistika -variatsiooni tunnused: - Hälve - tunnuse üksikväärtuse erinevus väärtuste aritmeetilisest keskmisest (võib olla neg. või pos.) - Keskmine lineaarhälve – üksikute hälvete absoluutväärtuste keskmine - Dispersioon (VARP)– keskmine ruuthälve ehk ruuthälvete aritmeetiline keskmine - Standard hälve (STDEV) – ruutjuur dispersioonist – mõõtühik sama, mis mõõdetaval parameetril - Variatiivsuse koefitsent – hälbivuse suhtnäitaja (standardhälbe ja aritmeetilise keskmise suhe), aitab võrrelda erineva suuruse ja skaalaga parameetreid 3) Andmete võrdlemine ja üldistamine – hinnatakse erinevuse eksisteerimise tõenäosust 4) Andmete seostamine Korrelatsiooni analüüs: korrelatsioonikordaja (r) näitab kuivõrd ühe näitaja muutus seostub teise näitaja muutusega
Kumulatiivse jaotuspolügooni põhjal selgitage välja töötasudele 95 EUR-i ja Kasuta statistika funktsiooni MEDIAN(...) Kasuta statistika funktsiooni MAX(...) Kasuta statistika funktsiooni MIN(...) Kasuta statistika funktsiooni MIN(...) Arvkarakteristikute statistika funktsi Kasuta statistika funktsiooni VAR(...) Keskväärtus: Kasuta statistika Mediaan Me: funktsiooni STDEV(...) Mood Mo: Maksimaalne väärtus Max: Kasuta stat. funktsioon SKEW(...) Minimaalne väärtus Min: Haare: Alumine kvartiil: Ülemine kvartiil: k-protsentiil Dispersioon: Standardhälve s: Variatsioonikordaja CV: Variatsioonikordaja CV (%):
8 8 Leida keskväärtuse, dispersiooni, standardhälbe, mediaani ja haarde hinnangud. Keskväärtus: Excel: AVERAGE x = 44,84 Dispersioon: Excel: VAR Sx² = = 814,0567 Standardhälve: Excel: STDEV Sx = 28,53 Mediaan: Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Excel: MEDIAN Me=41 Haare: =96-0=96 R = 86 2. Küsimus Leida keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud Eeldan, et üldkogum on normaaljaotusega ning võtan olulisuse nivooks = 0,10
26 34 35 39 44 44 45 47 48
62 80 84 88 90 96 98 99
B1
xi 3,7 1,1 5,1 2,8 2,2
yi 13,1 7,2 19,3 8,9 6,8
B2
6,4 7,1 4,9 3,4 4,2 3,2 5,5
x kesk 2,98
Vx 9,19 0,5184 3,5344 4,4944 0,0324 0,6084
y kesk 11,06
mean variance stdev delta b usaldusvahemik
b1 3,25 0,24 0,486674 0,532583 2,72 3,79 b1>db => oluline
b0 1,36 2,54 1,59329 1,743588 -0,38 3,10 b0
(x ) n i -x = i =1 Standardhälve: n -1 Uurimuses kasutatud exceli funktsioonid: Keskväärtus - AVERAGE Mood - MODE Mediaan - MEDIAN Kvartiil QUARTILE ülemisel 3 ; alumisel 1 Standardhälve STDEV Kokkulugemine COUNTIF Toidu Toidu nr Sugu Klass Elukoht Tuba Sanitaartingimused kogus maitse 1 M 12 M 5 4 V 3 2 M 12 M 3 2 K 4 3 M 12 A 3 2 K 3
yi 2,7 14,4 2,5 9,4 5,1 B2 0,6 3,4 4,1 0,2 1,4 2,8 1,8 xkesk 2,88 Vx 10,75 4,3264 4,0804 1,3924 0,8464 0,1024 ykesk 6,82 mean variance stdev b usaldusvahemik b1 2,87 0,20 0,4420 0,4837 2,38 3,35 b1 > b => oluline b0 -1,43 2,04 1,4283 1,5631 -3,00 0,13 b0 < b => oluline y0 2,04 2 s (y) 2,10 2,0818 1,8418 4,2318 3,3961 0,4133 0,5733 0,0590
2 1-2 korda 3 3-5 korda 4 6 - rohkem 8. Kas valid, mida sööd? Jah/Ei 9. Kas pead NRG koolitoitu tervislikuks? 1 väga tervislik 2 hea 3 võib rahule jääda 4 võiks parem olla 5 ebatervislik UURIMUSES KASUTAVAD EXCELI FUNKTSIOONID: Keskväärtus - AVERAGE Mood - MODE Mediaan - MEDIAN Max. element - MAX Min. element - MIN Kvartiil QUARTILE ülemisel 3 ; alumisel 1 Standardhälve - STDEV Korrelatsioon CORREL Kokkulugemine COUNTIF ANDMETABEL Kas pead Mitu Kas pead oma tundi Kui tihti Kas Nrg Mida pead eluviisi nädalas oled valid, koolitoitu Kuidas saaks muu tervislikuks tervislikuk teed aastas mida tervislikuk NRG koolitoitu
2003 795 120,0 2003 800 200,0 2003 801 250,0 2003 802 200,0 2003 803 207,0 2003 805 200,0 2003 807 333,3 2003 809 225,0 2003 812 240,0 2003 815 200,0 2003 819 266,7 2003 820 86,7 2003 823 150,0 2003 824 107,1 Keskmine AVERAGE Err:522 Kartuli saagikus Std.h STDEV 72,45285 t TINV 2,570582 Mean 197,7883 PIIRVIGA (delta) 12,76136 Standard Error 4,964388 Intervalli al piir. 185,04 Median 200 Intervalli ül PIIR. 210,6 Mode 200 Standard Deviation 72,45285 Sample Variance 5249,416 Kurtosis 0,022152
Jaotuse võttis kasutusele inglise matemaatik William Seally Gosset (1876-1937) oma töös, mille ta avaldas Studenti varjunime all. MS Excelis leiab Studenti koefitsiendi funktsioon TINV, kus argument probability on vea tõenäosus ja deg_freedom vabadusastmete arv. NÄIDE 2.2 Kauba X nädalane läbimüük viies kesklinna poes oli 16, 82, 29, 31 ja 55 tk. Leida keskmine nädala läbimüük mingis kesklinna poes. Lahendus: Valimi keskväärtus (AVERAGE) ja standardhälve (STDEV). Studenti koefitsient usaldatavuse 0,95 ja vabadusastmete arvu 4 korral (TINV) . Vastus: Usaldatavusega 0,95 on antud kauba keskmine läbimüük nädalas 42,4 ± 32,3 tk. Väikeste valimite korral on usaldusvahemiku laius suurem, määramatus on suurem. Valimi mahu suurenedes usaldusvahemiku laius ja seega ka määramatus väheneb. 3.9 Valimi mahu planeerimine. Hinnangu täpsuse määrab ära usaldusvahemiku laius. Fikseeritud usaldatavuse korral
OSA A 1. Leian 1.1 keskväärtuse 1 N µ^ = x = xi = 46, 2 N i =1 Excel: AVERAGE 1.2 dispersiooni 1 N ^ 2 = s 2 = ( xi - x )2 = 867,9 N - 1 i =1 Excel: VAR 1.3 standardhälbe sx = sx2 = 29, 46 Excel: STDEV 1.4 mediaani Me = 46 Excel: MEDIAN 1.5 haarde R = xmax - xmin = 99 - 0 = 99 2. Eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0,10, leian 2.1 keskväärtuse usaldusvahemikud P ( x - µ < µ < x + µ ) = p s 29, 46 µ = t1- ( f ) = 1, 7109 = 10, 29 2 N 24
piirist PUDER AUTO Data ei jah nii ja naa Total Result ei Count - MASS 6 18 12 36 Average - MASS 57,333333 69,555556 73,333333 68,777777778 StDev - MASS 3,1411251 13,733695 13,047698 13,281805194 Min - MASS 55 54 58 54 Max - MASS 63 102 100 102 jah Count - MASS 2 12 6 20 Average - MASS 76,5 78,166667 70,5 75,7
välja jaoks. Total reas leiduvad valikud ja nende funktsioonid: Valikud Funktsioonid Group By grupeerib vastava välja väärtused, nii et ühesugused väärtused on ühes grupis, mis võimaldab teha arvutusi terve grupiga Sum välja väärtuste summa Avg välja väärtuste keskmine Count välja kirjete arv Min välja miinimumväärtus Max välja maksimumväärtus StDev välja väärtuse standardne ruuthälve Var välja hajuvus First esimese kirje välja väärtus Last viimase kirje välja väärtus Expression kasutaja koosatud avaldis, mille järgi arvutusi tehakse Where mingi välja kasutamine summaarvutustes kasutatavate andmete hulga piiramiseks. Näide. Koostatakse selekteerimispäring, mis leiab kõigi perede pereliikmete arvu (joonis 7.1).
Valimi maht COUNT COUNT(A1:B100) Maksimaalne element MAX MAX(A1:B100) Minimaalne element MIN MIN(A1:B100) Mediaan MEDIAN MED(A1:A100) Mood MODE MODE(A1:A100) Dispersioon VAR VAR(A1:A100) Standardhälve STDEV, STDEV(A1:A100) STDEVP STDEVP(A1:A100) Lineaarne korrelatsiooni- CORREL CORREL(PLOKK1;PLOKK2) Kordaja Regressioonisirge tõus SLOPE SLOPE(PLOKK1;PLOKK2) Regr.sirge vabaliige INTERCEPT INTERCEPT(PL1;PL2) Kell 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 ja 20 tänaval jalutanud 7 inimese pikkused
soovitav leida mitmeid vahetulemusi (näiteks tunnuse väärtuste ruudud, nende summad jne.). ----------------------------------------------- Teiseks on kõigi enamkasutatavate arvkarakteristikute leidmiseks MS Exceli funktsioon, näiteks AVERAGE - aritmeetiline keskmine, STDEV - standardhälbe valimhinnang, SKEW - asümmeetriakordaja jne. Kõigi nende funktsioonide argumendiks on uuritava tunnuse väärtusi sisaldav andmeblokk. Tunnuse 'Pikkus' keskväärtus leituna funktsiooni AVERAGE abil. http://www.htg.tartu.ee/~a9tp/mirror/www.eau.ee/%257Ektanel/kool_ja_too/stat_excelis/arvkar.html (1 of 5)29.05.2006 15:08:55 Andmeanalüüs MS Exceli abil - sagedustabelid
on pühapäev, on väärtuseks 1) Datediff(ühik;kuupäev1;kuupäev2) kahe kuupäeva vahe, kus ühik on tekstiline väärtust, mis näitab, millistes ajaühikutes tulemust soovitakse. DateAdd(ühiik;arv;kuupäev) kuupäevale liidetakse antud arv näidatud ühikutes. Ühikute näited:"yyyy" aastad, "m" kuud, "ww" nädalad, "h" tunnid. Numbrilisefunktsioonid Sum summa Avg keskmine Count kirjete arv Min miinimumuväärtus Max maksimumväärtus Stdev standardne ruuthälve Var hajuvus First - esimese väljastatud kirje väärtus Last viimase völjastatud kirje väärtus Sel juhul kasutatakse tavaliselt kirjete grupeerimist, lisades reale Total sõnad Group By. Grupeerida võib ühe või mitme välja alusel. Grupid vähenevad vasakult paremale. Vajadusel korral tuleb väljade järjestust muuta. Kui grupeerimist ei kasutata, kasutatakse arvutuseks kõigi väljastatud kirjete vasatava välja väärtusi. STANDARD QUERY LANGUAGE
Standardhälve väljendab keskmist kõrvalekallet aritmeetilise keskmise suhtes. Arvutusvalemid vastavalt valimile, üldkogumile ning sagedustabelina esitatud valimile: - 2 - 2 - 2 = = = -1 =STDEV(piirkond) =STDEVP(piirkond) 69 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Finantsanalüüsis kasutatakse dispersiooni ja standardhälvet investeeringu riski hindamisel. Dispersiooni kasutamise mõte riski mõõduna tugineb eeldusel, et mida hajuvamad on tulud, seda suurem on nende ebakindlus tulevikus
annaabi.ee 
