S = n sin 2 n Korrapärane kuusnurk Külg võrdub ümberringjoone raadiusega a 6 = R a 3 r =m = 2 S = 3am = pr RINGJOON JA RING 2/6 PLANIMEETRIA KORDAMINE Ringjooneks nimetatakse tasandil antud punktist (ringjoone keskpunktist) jääval kaugusel (ringjoone raadius) asetsevate punktide hulka. Ring on tasandi osa mida piirab ringjoon. Ümbermõõt P = 2 r = d 1 Pindala: S = r 2 = d 4 Ringjoone kõõl on lõik, mis ühendab kaht punkti ringjoonel. Kõõluga ristuv raadius poolitab kõõlu. Kui kaks kõõlu lõikuvad, siis ühe kõõlu lõikude korrutis võrdub teise kõõlu lõikude korrutisega a1a2 = b1b2 Ringjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega. Ringjoone sektori kaare pikkus: l = rx , kus x -nurga suurus radiaanides
kolmas täht vahele) ja tõmmatakse kohale joonestada kõõlude otspunktidesse raadiused kaareke; mõõdetakse kaarekraadides; kõõl: tekivad kaks võrdkülgset kolmnurka ringjoone kaht punkti ühendav lõik, kõige iga nurk on 60° pikem kõõl on ringjoone diameeter kõõlude vahele jääb kaks sellist nurka seega kõõlude vaheline nurk on 2 60°=120° NB kesknurk suurusega 1° toetub kaarele, mis moodustab ringjoonest 2.Kesknurk - ringjoone kahe raadiuse vaheline Ül.1056 nurk; toetub raadiuste vahele jäävale Leida jooniselt kesknurga suurus. ringjoone kaarele Antud kaar on 85°, sellele toetub kesknurk, seega =85°. NB saab kasutada sektori joonestamisel, piirdenurga arvutamisel Antud kaar on 130°, kesknurk toetub kaarele
nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1
nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1
Kolmnurga lahendamine Antud Üks külg ja 2 nurka Kaks külge ja neist ühe 2 külge ja külgedevaheline Kolm külge vastasnurk nurk Siinusteoreem Siinusteoreem Koosinusteoreem Koosinusteoreem 180 180 Siinusteoreem Siinusteoreem Lahendamine 180 180
1290 sisestada ruutjuure alune arv arvutisse, Leida arvutil ruutjuur, ümardada vajutada klahvile "ruutjuur"; vajadusel sajandikeni. ümardada; arv on väiksem kui 1: ruutjuur =9.542012366 9,54 antakse standardkujul, näiteks 6.1646 -01, s.t. et koma tuleb nihutada ühe koha võrra =99.994999875 99,99 vasakule 0,61646, ümardades vastuse näiteks sajandikeni 0,62 NB ruutjuure saab leida ka vastava matemaatilise tabeli abil 7.Korrutise ruutjuur - TEOREEM. Näited. Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. NB ühest ruutjuurest võib saada kahe (mitme) ruutjuure korrutise või vastupidi 8.Jagatise ruutjuur - TEOREEM. Ül.1304, 1306 Mittenega-tiivse arvu ja positiivse arvu jagatise ruutjuur võrdub jagatava = = ruutjuure ning jagaja ruutjuure jagatisega. = = =
võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. 8. Täisnurkne kolmnurk on nurk, mille üks nurk on 90 kraadi ning sellel kolmnurgal on hüpotenuus ja kaatetid. 9. Nürinurkne kolmnurk - Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90°. 10. Tervanurkne kolmnurk - Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o. 11. Võrdhaarne kolmnurk - on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Kahte võrdset külge nimetatakse haaradeks ja kolmandat aluseks. Võrdsete külgede vahelist
sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. 8. Täisnurkne kolmnurk on nurk, mille üks nurk on 90 kraadi ning sellel kolmnurgal on hüpotenuus ja kaatetid. 9. Nürinurkne kolmnurk - Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90°. 10. Tervanurkne kolmnurk - Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o. 11. Võrdhaarne kolmnurk - on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Kahte võrdset külge nimetatakse haaradeks ja kolmandat aluseks. Võrdsete külgede vahelist nurka
kõige väiksem, siis suuruselt järgmine ja lõpuks kõige suurem (kõige väiksem nurk asub kõige väiksema külje vastas, kõige suurem nurk asub kõige suurema külje vastas). 6. Koosinusteoreemist tuletatud valemid kolmnurga nurkade arvutamiseks: cos = b2 + c2 a2 ; cos = a2 + c2 b2 ; cos = a2 + b2 c2 2bc 2ac 2ab Kui kolmnurgas on antud 2 külge ja nendest lühema külje vastasnurk, siis on kolmnurgal kaks lahendust! 7. Täisnurkne kolmnurk sin = vastaskaatet hüpotenuus cos = lähiskaatet . hüpotenuus tan = vastaskaatet lähiskaatet
Valem sõnades: täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga. koosinusteoreem Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuht täisnurksete kolmnurkade jaoks. Siinusteoreem on seos kolmnurga külgede ja nurkade vahel. Selle järgi on kolmnurga suurima külje vastas ka suurim nurk. Täpsemalt öeldes on kolmnurga kõigi külgede suhe vastasnurga siinusesse konstantne ning selle kaudu saab leida kolmnurga ümberringjoone raadiuse R. Siinusteoreemi kasutatakse kolmnurga arvutamiseks, kui on teada üks külg, selle vastasnurk ja veel kas üks külg või üks nurk
2 1 2) S = ab sin ; 2 1 3) Heroni valem: S = p ( p - a )( p - b )( p - c ) , kus p = ( a + b + c) ; 2 4) S = pr ; abc 5) S = ; 4R a2 3 6) võrdkülgse kolmnurga pindala: S = . 4 Pythagorase teoreem: täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga, a2 + b2 = c2 . Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti hüpotenuusil oleva projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega, a 2 = fc , b 2 = gc . Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest: täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile joonestatud kõrguse ruut võrdub kaatetite projektsioonide korrutisega,
Pindala valemid , , , , , Kolmnurkade sarnasuse tunnused KKK, NN, KNK (2 külge ja nendevaheline nurk), KKN (2 külge ja pikema külje vastasnurk). Võrdhaarne kolmnurk: 1. alusnurgad võrdsed; 2. tipunurgast tõmmatud kõrgus, mediaan ja nurgapoolitaja ühtivad, st kõrgus poolitab aluse ja tipunurga; 3. alusnurkadest tõmmatud kõrgused või mediaanid võrdsed. Võrdkülgne kolmnurk: 1. kõik nurgad 60°; 2. samast tipust tõmmatud kõrgus, mediaan ja nurgapoolitaja ühtivad, st sise- ja ümberringjoone keskpunkt samas punktis (mediaanide lõikepunktis);
17. Biruutvõrrand neljanda astme võrrand kujul ax4+bx2+c=0. 18. Diagonaal hulknurga kaht mitte ühele küljele kuuluvat tippu ühendav lõik või sirge. Hulknurga kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu ühendav lõik. 19. Diameeter ringjoone keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Sfääri keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab sfääri kaht punkti. 20. Diskriminant avaldis, mis on ruutvõrrandi lahendivalemis juuremärgi all. 21. Eukleidese teoreem täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega : a2=fc ja b2=gc 22. Geomeetriline keskmine ruutjuur kahe positiivse arvu korrutisest. 23. Harmooniline keskmine kahe arvu a ja b kahekordse korrutise jagatis nende arvude summaga . 24. Hektar pindalaühik 1ha = 10 000m2. 25. Hulkliige üksliikmete summa . 26. Hulktahukas e. polüeeder hulkadega piiratud geomeetriline keha. 27
Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 16 cm ja 12 cm. Arvutada sise- ja ümberringjoone raadius. 6. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 15 dm ja 20 dm. Arvutada siseringjoone keskpunkti kaugus hüpotenuusioe joonestatud kõrgusest. 7. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 15 cm ja siseringjoone raadius 3 cm. Leia selle kolmnurga pindala. 8. Täisnurkse kolmnurga siseringjoon jaotab puutepunktis hüpotenuusi osadeks 5 cm ja 12 cm. Arvutada kolmnurga kaatetid. 9. Ringi ümber on joonestatud täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuus on 26 cm. Arvutada kolmnurga ümbermõõt, kui ringi raadius on 4 cm. 10. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on a ja b. Avaldada täisnurga poolitaja. 11. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on c ja teravnurk . Avaldada täisnurga poolitaja. 12. Leida täisnurkse kolmnurga külgede suhe, kui külgede pikkused moodustavad aritmeetilise jada. 13. Arvutada täisnurkse kolmnurga kaatetite suhe, kui täisnurga tipust lähtuvad kõrgus ja mediaan suhtuvad nagu 40:41. 14
3.5 KOLMNURGA LAHENDAMINE Kolmnurk on üheselt määratud järgmiste andmetega, mis ühtlasi määravad ära ka sobivaimad lahendusvõtted: · kaks külge ja nendevaheline nurk lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · üks külg ja selle lähisnurgad lahendame siinusteoreemi abil; · kolm külge lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · kaks külge ja pikema külje vastasnurk lahendamist alustame siinusteoreemiabil. Lisaks siinus- ja koosinusteoreemile tuleb arvesse võtta järgnevat: · kolmnurga sisenurkade summa on 180o; · kolmnurga kahe lühema külje summa on suurem kolmnurga kolmandast küljest; · suurema külje vastas asub suurem nurk. Kui ülesanne on lahendatud, tuleb kontrollida, kas need tingimused on täidetud. Näide 1. Lahendame kolmnurga, kui a = 3 cm, b = 5 cm ja = 40o. Antud: a = 3 cm b = 5 cm
2 Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja kõrguse korrutisega : S = k *h .Lõik EF on kesklõik. 32.Kolmnurga mediaan Kolmnurga mediaaniks nimetatakse kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis. 33.Kesknurk Kesknurgaks nimetatakse nurka, mille tipp asetseb ringi keskpunktis ja mille haarad lõikavad ringjoont. Kesknurka mõõdetakse kraadides. AOB on kesknurk 34.Ringjoone kaar Ringjoone kahe punkti vahele jäävat osa nimetatakse ringjoone kaareks. Kaart mõõdetakse kraadides. Kaks punkti jaotavad ringjoone kaheks kaareks. AB on kaar. 35.Ringjoone kõõl Ringjoone kõõluks nimetatakse lõiku, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Kõige pikem kõõl on diameeter. 36.Ringi sektor Ringi sektoriks nimetatakse ringi osa, mis jääb kesknurga haarade vahele. OA ja OB ning kaar AB eraldavad ringist osa, mida nimetatakse ringi sektoriks.
13. Vektori vastandvektoriks nim. vektorit, millel on antud vektoriga sama siht ja pikkus, kuid vastupidine suund. 14. Vektorid on kollineaarsed ehk samasihilised, kui nad asuvad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. 15. v= lp - ap 16. Vektori pikkus võrdub koordinaatide ruutjuure summast. 17. sin= vastask./hüp. cos= lähisk./ hüp. tan= vastask./ lähisk. 18. 1 radiaan on raadiuse pikkusele kaarele toetuv kesknurk. 19. Skalaarkorrutis: a ja b skalaarkorrutiseks a*b nim. nende vektorite pikkuste ning vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist. a * b = |a|* |b| * cos 20. Skalaarkorrutis koordinaatides: skalaarkorrutis koordinaatides võrdub vastavate koordinaatide korrutiste summaga. a * b = x1 * x2 + y1 * y2 21. = a * b = 0 22. a || b = x1/x2 = y1/y2 23. Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega. 24
k ab Kesklõik k h 2 ab S h kh 2 a 1 Ringjoon, ring, sektor d 2r d C 2r x rad S r 2 r l 2r sektori kaare pikkus l x xr 2
Selle võrrandi lahend on x = 6. 11. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi lahendamine (Graafiline, liitmisvõte, asendusvõte) 12. Tekstülesannete lahendamine lineaarvõrrandsüsteemi abil. 13. Defineerimine ja algmõisted. Definitsioon on mõiste lühike ja täpne seletus. Mõisted, mida ei saa seletada nimetatakse algmõisteteks. Algmõisteid ei defineerita, vaid neile antakse nii täpne kirjeldus, kui see võimalik on ja tuuakse selgituseks näiteid 14. Teoreem ja aksioom. Eeldus ja väide. Pöördteoreem. Põhitõdesid, mida ei saa tõestada, nimetatakse aksioomideks. Teoreem on lause, mille õigsust tõestatakse arutluse abil. Teoreem koosned eeldusest ja väitest. Kui vahetame ära eeldus ja väite, saame pöördlause: v => e Antud lause pöördlause võib olla nii tõene kui ka väär. Kui pöördlause on tõene, siis nimetame seda pöördteoreemiks. 15. Kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekkivad nurgad.
Kolmnurk on hulknurk, millel on kolm tippu, s.t. tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurki liigitatakse külgede järgi: erikülgsteks, võrdhaarseteks ja võrdkülgsteks ja nurkade järgi:tervanurkseteks,nürinurkseteks, täisnurkseteks. Kolmnurga kõrguseks nimetatakse tipuks vastasküljele või selle pikendusele tõmmatud ristlõiku või selle pikkust.Kolmnurga külge, millele on tõmmatud kõrgus, nimetatakse kolmnurga aluseks. Kolmnurga mediaaniks nim. Kolnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga raskuskese. Kolmnurga külje keskristsirgeks nim. Sirget, mis läbib külje keskpunkti ja on selle küljega risti. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunkt. Kolmnurga iga nurga poolitaja jaotab nurga vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu lähisküljed. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad ühes ja s
30. Romb:Rööpkülikud,mille kõik küljed on võrdsed(Näide28) S = ah (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Omadused: 1)romb on sümmeetriline oma diagonaalide suhtes 2)Rombi diagonaalid on teineteisega risti ja nad poolitavad rombi nurgad 31.Trapets:nelinurk mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge mitte paralleelsed(Näide29) S = (a + b)/2 *h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Omadus:trapetsi haara lähinurkade summa on 180' 32.(Näide30) Kolmnurk: S = a*h /2 P=a+b+c S=a*b/2 Võrdhaarne on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Võrdhaarne kolmnurk on sümmeetriline oma tipunurga poolitaja suhtes, seega selle sirge suhtes, mille joonestasid. Sümmeetriast järelduvad võrdhaarse kolmnurga omadused: * võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed ja * võrdhaarse kolmnurga tipunurga poolitaja poolitab ka aluse ja on sellega risti.
Lõikuvad sirged Sirged, millele on üks ühine punkt. Ristuvad sirged Sirged, mi,s lõikuvad 90 kraadise nurga all. Kolmnurga kõrgus Lõik, mis on joonestatud kolmnurga tipust vastasküljeni ja mis on sellega risti. Ruut Nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja küljed on võrdsed. Ringjoone diameeter Lõik, mis läbib kahte punkti ringjoonel ja keskpunkti. Täisnurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Algarv Arv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv Arv, millel on rohkem kui kaks tegurit. Liigmurd Murd, mille lugeja on nimetajast suurem Lihtmurd Murd, mille nimetaja on lugejast suurem Sirgnurk Nurk, mis on 180 kraadi Paralleelsed sirged Sirged, millel puudub ühine punkt Romb Nelinurk, mille küljed on võrdsed. Naturaalarvu tegur Arv, millega naturaalarv jagub Naturaalarvu kordne Arv, mis jagub naturaalarvuga.
Hulkliiget nimetatakse lineaaravaldiseks ehk esimese astme hulkliikmeks vaadeldavate muutuja suhtes, kui ühegi liikme aste nende muutujate suhtes ei ole suurem kui üks. Näiteks on hulkliige ax+bx+c lineaaravaldiseks kahe muutuja x ja y suhtes. Hulknurgaks nimetatakse geomeetrilist kujundit, mis on piiratud kinnise murdjoonega (hulknurka nimetatakse korrapäraseks ja kumeraks) ja diagonaaliks nimetatakse lõiku, mis ühendab kaht tippu, mis ei kuulu ühele ja samale küljele. Hüperbooliks (nimetatakse tasandile kuuluvate punktide hulka, mille iga punkti kauguste vahe absoluutväärtus kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on jääv suurus.) Hüperbool on pöördvõrdelise seose y=a/x graafikuks Jagatise põhiomadus - jagatis ei muutu, kui jagatav ja jagaja korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. NT. a : b = (a · n) : (b · n) 6 : 3 = (6 · 100) : (3 · 100)= 600 : 300 = 2
· Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse otsitavaks e tundmatuks. · Võrrandi lahenditeks nimetatakse tundmatute selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse. · Võrrandi f(x)=g(x) määramispiirkonnaks nimetatakse tundmatu x nende väärtuste hulka, mille korral nii avaldise f(x) kui ka avaldise g(x) väärtus on määratud (ehk arvutatav). Viete'i teoreem. Kui x1 ja x2 on ruutvõrrandi x2+px+q=0 lahendid, siis x1+x2=-p ja x1x2=q 3.2 Võrrandite samaväärsus Ühtseid ja samu tundmatuid sisaldavaid võrrandeid, mille lahendihulgad on võrdsed, nimetatakse samaväärseteks võrranditeks. · Võrrandi pooli võib vahetada · Võrrandi pooltele võib liita (lahutada) ühe ja sama arvu või tundmatuid sisaldava avaldise, millel on mõte võrrandi kogu määramispiirkonnas
6x + 3 p 3p 2 cos sin =0 · 2 2 sin3(x+p)=sin3x; sin3(x+p)-sin3x =0 32. Ühe ja sama mõiste kahe omaduse tarvilikkuse ja piisavuse seos, näide · Ühe omaduse eksisteerimine või puudumine toob kaasa teise omaduse eksisteerimise või puudumise. Öeldakse, et need omadused on tarvilikkuse ja piisavuse seoses. · Mõiste rööpkülik. Omadused: täisnurga olemasolu ja diagonaalide võrdsus. · Kolmnurk: nurkade võrdsus, külgede võrdsus. 33. Ühe ja sama mõiste kahe omaduse sõltumatuse seos, näide · Ühe omaduse olemasolu ei mõjuta teise omaduse olemasolu. Öeldakse, et omadused on sõltumatuse seoses. · Mõiste rööpkülik. Omadused: kõikide külgede võrdsus, diagonaalide võrdsus. · Kolmnurk: nürinurga olemasolu, kahe nurga võrdsus. 34. Ühe ja sama mõiste kahe omaduse vasturääkivuse seos, näide- · Ühe omaduse olemasolu välistab teise olemasolu
K M 4. Võta sirkli haarade vahele kolmnurga kolmas külg ML = 40 mm L 5. Pane sirkli teravik punkti M ning tõmba teine ringjoone kaar. Nende kaarte lõikepunkt ongi kolmnurga kolmas tipp L 6. Ühenda see tippudega K ja M ning vajalik kolmnurk ongi valmis. K M Võrdsuse tunnus kolme külje järgi: Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis need kolmnurgad on võrdsed. Lühidalt kirjutatakse seda tunnust : külg-külg- külg (KKK) Ülesanne: Joonesta järgmised kolmnurgad:
50. Trapetsi kõrguseks nimetatakse trapetsi aluste vahelist kaugust. 51. Kolmnurga mediaaniks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu selle vastaskülje keskpunktiga. 52. Mediaanide lõikepunkt jaotab iga mediaani suhtes 2:1 . 53. Iga mediaan jaotab kolmnurga kaheks pindalalt võrdseks ehk pindvõrdseks kolmnurgaks. 54. Kesknurgaks nimetatakse ringi kahe raadiuse vahelist nurka. 55. Piirdenurgaks nimetatakse ringoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka. 56. Piirdenurk võrdub poolega temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. 57. Kõik samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. 58. (Thalese teoreem)Poolringjoonele toetuv piirdenurk on täisnurk. 59.Kolmnurga siseringjoone pindala leidmine S=3,14 x r² P=a+b+c : 2 S=p x r
3) kõik ühtevärvi pallid. 3. Leia kõik reaalarvude paarid (x;y), mis rahuldavad võrrandit 2 x +1 = 4 y 2 +1 ja võrratust 2 x 2 y . 4. Kahe positiivse arvu vahe moodustab 1/19 nende kuupide vahest, nend4e korrutis on aga ½ võrra väiksem nende ruutude poolsummast. Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veiniklaasi kõrgus on h. Mitu protsenti klaasi ruumalast on täidetud, kui klaasi fvalatakse veini poole kõrguseni? 8. Milliste muutuja x Väärtuste korral saavutab funktsioon f ( x ) = 2 8 x - 9 4 x + 12 2 x + 1997 oma suurima ja vähima väärtuse lõigus [-1;1] ? Leia need funktsiooni väärtused. 9
.................................................................12 Võrrandi samaväärsus.............................................................................................................13 Lineaarvõrrand........................................................................................................................13 Ruutvõrrand............................................................................................................................13 Viete teoreem......................................................................................................................14 Biruutvõrrand..........................................................................................................................14 Murdvõrrand...........................................................................................................................14 Parameetreid sisaldav võrrand................................................................
Antsla Gümnaasium DEVIA PAAP MARILIN NIILUS 8A klass KOLMNURKADE LIIGITAMINE Referaat Juhendaja: õpetaja SIGNE KINNAS Antsla 2008 1 Sisukord Sissejuhatus..........................................................................................................................................3 1. Kolmnurk..........................................................................................................................................4 1.1. Kolmnurga nurgad.........................................................................................................................5 1.2. Kolmnurga küljed..........................................................................................................................6 2. Täisnurkne kolmnurk................................................
1Mis on üksliige? Üksliikmeks nimetatakse avaldist, kus on kasutatud ainult korrutustehet. 1Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete summat. 1Mis on tegurdamine? Tegurdamiseks nimetatakse avaldise teisendamist korrutiseks. 1Nimeta tegurdamise võtted 1)Teguri sulgudest välja toomine 2)Korrutise abivalemite kasutamine 3)Rühmitamisvõtte kasutamine 4)Ruutkaksliikme tegurdamine 1Mis on teoreem? Teoreem on lause, mida on vaja tõestada teada olevate tõdede põhjal. 1Mis on teoreemi eeldus? Teoreemi eeldus ütleb, mis on antud või teada. 1Mis on teoreemi väide? Teoreemi väide ütleb, mida saab eeldusest järeldada, ehk mida on vaja tõestada. 1Mis on kolmnurga kesklõik? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem kolmnurga kesklõigust. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab haarade keskpunkte ja on paralleelne kolmanda küljega.
Ringjoont, mis läbib kolmnurga kõiki tippe nimetatakse kolmnurga a) siseringjooneks; b) kõõluks; c)sektoriks; d) ümberringjooneks; e) kaareks. Ringjoont, mis puudutab kolmnurga kõiki külgi nimetatakse kolmnurga a) tipuks; b) haaraks; c) siseringjooneks; d) ümberringjooneks; e) küljepoolitajaks Sirget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti nimetatakse selle ringjoone a) lõikajaks; b) sektoriks; c) puutujaks; d) pindalaks; e) pikkuseks. Ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk on a) nürinurk; b) teravnurk; c) sirgnurk; d) täisnurk; e) nelinurk. Prisma põhjade vahelist kaugust nimetatakse a) põhjaks; b) tipuks; c) pinnalaotuseks; d) põhiservaks; e) kõrguseks. Prisma ruumala on samasuguse põhjaga ning sama kõrge püramiidi ruumalast a) kaks korda suurem; b) väiksem; c) kolm korda suurem; d) võrdne; e) kolm korda väiksem a ÕIGE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE!
kolmnurkadeks. Teravnurkse kolmnurga kõik nurgad on teravnurgad. Nürinurkse kolmnurga üks nurk on nürinurk, ülejäänud nurgad on teravnurgad. Täisnurkse kolmnurga üks nurk on täisnurk, ülejäänud kaks teravnurgad. Ühegi kolmnurga nurkade hulgas ei saa olla kahte nürinurka ega kahte täisnurka. Täisnurkse kolmnurga puhul nimetatakse ühte külge hüpotenuusiks ja kahte ülejäänud külge - täisnurga lähiskülgi - kaatetiteks. Mille alusel saab kolmnurki veel liigitada? 1. Kirjuta iga kolmnurga juurde, kas ta on terav-, nüri- või täisnurkne kolmnurk. .............Teravnurkne........................Teravnurkne..........................................täisnurkne .............................................................. 2. Joonesta kolmnurk, mille üks külg 3. Otsusta, kas kolmnurk on terav-, nüri- või
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
