negatiivset arvu b, mille ruut võrdub arvuga a. (Loe: viis ruutjuur seitsmest) Leia 200 ; 18 ; 90 ; 12 ja 20 . a =b b2 = a 200 = 2 100 = 2 100 = 10 2 ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. 18 = 2 9 = 2 9 = 3 2 Ülesannete lahendamise Juurimise reeglid juures ei pea kõiki 90 = 9 10 = 9 10 = 3 10 vaheetappe kirja panema! · ab = a b
Arvu ruut Arvu ruut Näide 1. Arvu 5 ruut on 25, sest 52 = 5 · 5 = 25. Ruutjuur Antud mittenegatiivse arvu a ruutjuureks nimetatakse sellist mitte- negatiivset arvu b, mille ruut võrdub arvuga a. a =b b2 = a ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juure korrutis ab= a b Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite aritmeetilise ruutjuure korrutisega Jagatise ruutjuur a a = b b Positiivsete arvude jagatiste aritmeetiline ruutjuur võrdub nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega. Ruut võrrand Võrrandit ax²+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. ax² + bx + c = 0 a ruutliikme kordaja ax² ruutliige b lineaarliikme kordaja
x1 + x2 = p x1 · x2 = q Antud mittenegatiivse arvu a ruutjuureks nimetatakse sellist mitte- Seda seost kasutatakse ruutvõrrandite koostamisel. negatiivset arvu b, mille ruut võrdub arvuga a. a =b b2 = a ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juurimise reeglid · ab = a b a a · = b b
x1 + x2 = p x1 · x2 = q Antud mittenegatiivse arvu a ruutjuureks nimetatakse sellist mitte- Seda seost kasutatakse ruutvõrrandite koostamisel. negatiivset arvu b, mille ruut võrdub arvuga a. a =b b2 = a ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juurimise reeglid · ab = a b a a · = b b
xi x -3 -2 -1 0 1 2 3 x x 9 4 1 0 1 4 9 2 i 2 0,159 0, 2 4 0,11 0, 080 0,111 0, 234 0,139 4, 45 Kuna dispersioon on ruutühikutes, siis ei saa teda otseselt võrrelda keskväärtusega. Sellepärast leitakse leitud suurusest ruutjuur. Ruutjuurt dispersioonist nimetatakse standardhälbeks. Tähistus: Standardhälbe arvutamise eeskiri: f1 (x1 x)2 f2 (x2 x)2 ... fn (xn x)2 N Esimese valimi jaoks on standardhälve 1,86 1,36 teise valimi standardhälve on 4, 45 2,11 Valimite võrdlemisel võib öelda, et teine valim hajub rohkem
In osaline eksponent lugeja on võimsus, mis number tuleb ja nimetaja on just, et tuleb võtta. Näiteks 642 / 3 tähendab "ruut 64 ja võtta kuupjuur tulemuse" või "võtta kuupjuur 64 ja ruudu tulemus. See töötab välja 16. Negatiivne osaline eksponent töötab nagu negatiivne astendaja. Kõigepealt lülitage lugeja ja nimetaja baasi numbri, ja siis me rakendame positiivne astendaja. Näiteks (9 / 25) -5 / 2 = (25 / 9) 5 / 2 = (255 / 2) / (95 / 2) = "ruutjuur 25 kuni viienda võimu ruutjuurt 9 Viienda jõud "= 3, 125/243. 27-1/3 = (1 / 27) 1 / 3 = (11 / 3) / (271 / 3) = 1 / 3. Jällegi, me ei saa võtta negatiivset numbrit osaline võimu, kui nimetaja astendaja on paarisarv.
x keskmine iga aastane juurdekasv a - algsumma p protsent n aastate arv x = 180 000* ( 1 + 6/100)5 = 180 000* 1,06 5 = 240 8806, 04 Vastus : iga aastane juurdekasv oleks 240 8806,04 kr 8. Arvutage log4 19 = log19 : log4 = 2,124 Log7 28 = log28 : log7 = 1,712 Log13 39 = log39 : log13 = 1,428 9. Arvutage 102,5 = 316,228 141,9 = 150,537 42,36 = 26,355 V-tähendab 10. Arvutage 5V1 + 2 = 4 ruutjuurt mis on 3 V1+3x = 2 kuni V2 + x/4 = 2 võrdusmärgini
Usk oli praktiline. Templid kaitsesid linnasid. Ennustamine oli levinud ja oluline. Kiri, haridus, kirjanud ja teadus, kunst Kiri 4. at eKr. Kirjamärgid kriipsud. Savitahvel. Kirjandus Vanim eepos, gilgames. Haridus Koolid templite juures. Õpetajad olid preestrid. Õpilased jõukamatest peredest. Õppeaineteks, lugemine, kirjutamine, matemaatika ja kirjandus. Teadus Praktiline, andmete väljaselgitamine ja üleskirjutamine. Matemaatika oli heal tasemel, tunti ruutjuurt ja kuupjuurt. Astronoomia: 12 kuud. Astroloogia: ennustamine, sodiaagiosad, seostamine jumalatega. Arhitektuur Savi. Templites: tsikuraat, oli üks kompleks. Lossid: Kõrgete kindlusemüüridega. Kaitseehitised: 3 müüri ja 8 väravat. Rippaiad, maailmaime Skulptuur Reljeefid. Kivi oli vähe. Juukseid ja habet ei osatud teha. Kange riietus, nahka vähe. Loomakujutistes olid emotsioonid. Vabaplastika: Kohmakas; Proportsioonid olid väga valed; Seinamaal Mosaiik. 3
Sellel võrrandil on kaks võrdset lahendit x1 = x2 = 2,5. Näide 4. Lahendame ruutvõrrandi 2x2 + 3x + 20 = 0. Selles võrrandis a = 2, b = 3 ja c = 20. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame - 3 ± 9 - 4 2 20 - 3 ± 9 -160 - 3 ± - 151 x= = = . 22 4 4 Sellel võrrandil puuduvad lahendid, sest negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt leida. Kui a on negatiivne arv, on kasulik enne lahendivalemisse asendamist võrrandi mõlemaid pooli -1-ga jagada (või korrutada). Näide 5. Lahendame ruutvõrrandi -3x2 - 5x + 2 = 0. -3x2 - 5x + 2 = 0 : (-1) 3x2 + 5x - 2= 0 a = 3, b = 5 ja c = -2 - 5 ± 25 - 4 3 (-2) - 5 ± 25 + 24 - 5 ± 49 - 5 ± 7 x= = = = 2 3 6 6 6
Taevavaatlusi tehti tsirkuraadi tipus. ii. Ajaarvestamiseks kujunes kuukalender aastas 12 kuud. iii. Tunti planeetide trajektoore, kuu- ja päikesevarjutust. c. Astroloogia: i. Tähtede järgi ennustamine sai alguse Mesopotaamias. ii. Jumalaid seostati taevakehadega nende toiminguid peegeldas taevakehade liikumine. d. Matemaatika i. 60-süsteem ii. Osati arvutada kuup- ja ruutjuurt. 3. Arhitektuur a. Ehitusmaterjaliks kuivatatud põletamata savitellis, mis ei pidanud niiskusele vastu. b. Templid: i. Tsirkuraadi tipus asus väike tempel jumala elukoht. ii. Tsirkuraadi tippu viisid spiraaltrepid. iii. Paabeli torn Babüloni kaitsejumal Marduki tsirkuraat, mis oli vanaaja maailmaime (90 kõrgune, eri värvi, 7 astmeline ja tipus kuldne Marduki kuju tema sümboli härjasarvedega.
võimalikule väärtusele xi vastavusse tõenäosusega pi (ehk P(xi)). Kui juhusliku suuruse tõenäoususfunktsioon on leitud , on ka leitud juhusliku suuruse jaotus. 14. Juhusliku suuruse krakteristikud. EX = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn. Juhusliku suuruse X dispersiooniks nimetatakse keskväärtuse suhtes arvutatud hälvete ruutude keskväärtust DX = E(X EX)2 DX = p1(x1 EX)2 + p2(x2 EX)2 + ... + pn(xn EX)2. Juhusliku suuruse X standardhälbeks nimetatakse ruutjuurt dispersioonist, = DX . DX = EX2 (EX)2 = EX2-(EX)2 . 15. Bernoulli jaotus 1. Ühtlane jaotus. Diskreetne ühtlane jaotus defineeritakse tõenäosusfunktsiooniga P(X = i)=1/n, kui i = 1, 2, ..., n. See tähendab, et juhusliku suuruse X võimalikele väärtustele 1, 2, ..., n vastavad tõenäosused on võrdsed ja võrduvad arvuga 1/n 2. Bernoulli1 jaotus*. Olgu sündmuse A tõenäosus P(A) = p. Bernoulli jaotusega
2.Arvu ruutjuur - positiivne arv, mille ruut Ül.1271 on ruutjuure märgi all; ruutjuur nullist 2 1) sest 4 =16 5) võrdub nulliga; arvu ruudu pöördtehe; 2) 6) üldiselt =|a|, |a|=a, kui a 0 või |a|=a, kui 3) 7) a<0 4) 8) NB ruutjuurt negatiivsest arvust ei ole olemas, aga ruutjuur negatiivse arvu ruudust võrdub selle vastandarvuga 3.Ratsionaalarvud - kahe täisarvu jagatis vaata kujul (q 0); tähis Q; Q=täisarvud+ Ül.1279,1289 Esitada kahe täisarvu jagatisena. positiivsed ja negatiivsed murdarvud; -8=-8:1 0,0082=82:10 000 osahulgad: naturaalarvude hulk ja - =- täisarvude hulk; siia kuuluvad murdarvud
Preestrid olid samal ajal ka õpetlased, mistõttu teadustöö koondus nende kätte. Jälgiti tähti, kalender. Erinev: Mesopotaamias pöörati rohkem tähelepanu andmete üksikasjalikule väljaselgitamisele ja üleskirjutamisele. Matemaatika: · Kõrgel tasemel · 60-süsteem, mis on kasutusel tänani nii nurgamõõtmises kui kella puhul · rakendasid esimesena põhimõtet, et numbri arvulise väärtuse määrab tema asukoht numbrite jadas · Osati arvutada kuup- ja ruutjuurt. Astronoomia: · Taevavaatlusi tehti tsirkuraadi tipus. · Ajaarvestamiseks kujunes kuukalender aastas 12 kuud. · Tunti planeetide trajektoore, ennustati kuu- ja päikesevarjutust. Astroloogia: · Tähtede järgi ennustamine sai alguse Mesopotaamias. · Jumalaid seostati taevakehadega nende toiminguid peegeldas taevakehade liikumine. Ehituskunst Kütuse puudumise tõttu oli ehitusmaterjaliks päikese käes kuivatatud põletamata savitellised,
Taevavaatlusi tehti tsirkuraadi tipus. ii. Ajaarvestamiseks kujunes kuukalender aastas 12 kuud. iii. Tunti planeetide trajektoore, kuu- ja päikesevarjutust. c. Astroloogia: i. Tähtede järgi ennustamine sai alguse Mesopotaamias. ii. Jumalaid seostati taevakehadega nende toiminguid peegeldas taevakehade liikumine. d. Matemaatika i. 60-süsteem ii. Osati arvutada kuup- ja ruutjuurt. 4. Arhitektuur a. Ehitusmaterjaliks kuivatatud põletamata savitellis, mis ei pidanud niiskusele vastu. b. Templid: i. Tsirkuraadi tipus asus väike tempel jumala elukoht. ii. Tsirkuraadi tippu viisid spiraaltrepid. iii. Paabeli torn Babüloni kaitsejumal Marduki tsirkuraat, mis oli vanaaja maailmaime (90 kõrgune, eri värvi, 7 astmeline ja tipus
Keskväärtus paikneb DJS väikseima ja suurima väärtuse vahel. 8 DJS dispersiooniks nimetame tema hälbe (keskväärtuse suhtes) ruudu keskväärtust k DX = D ( X ) = E ( X - EX ) 2 . D ( X ) = p i =1 i ( xi - EX ) 2 , Tähisena kasutatakse ka µ = EX ja 2 = DX . DJS standardhälbeks nimetame ruutjuurt dispersioonist. S(X)= 9 Erinevad DJSjaotusfunktsioonid ja neile vastavad juhuslikud suurused Bernoulli jaotus (Olgu A mingi sündmus ruumis , tema tõenäosus P(A)=p). Bernoulli jaotusega juhuslikuks suuruseks nimetame juhuslikku suurust X, mis on defineeritud järgmiselt: kui A toimub, siis X=1, kui A ei toimu, siis X=0. Lihtsamalt juhuslik suurus X on sündmuse A toimumiste arv (0 või 1). Binoomjaotus: DJS jaotus, mille korral jaotustabel defineeritakse valemiga (Bernoulli valem)
maht n (lugeja jaoks vajalik, kui soovib t-testi läbi viia) 30. Regressioon läbi nullpunkti. Mõnikord tuleb siiski hinnata lineaarset mudelit, kus teatud kaalutlustest lähtudes peab vabaliige puuduma. Seda nimetatakse regressiooniks läbi nullpunkti (Regression through the Origin, RTO) ja sellise mudeli üldkuju ühe tunnuse korral on y=ax+u. Deterministlik komponent on võrdeline seos ykatusega=ax. 31. Seletavate tunnuste astmeid, ruutjuurt ja pöördväärtust sisaldava mittelineaarse mudeli lineariseerimise võtted. 32. Sagedamini kasutatavad erikujulised mudelid: log-log, log-lin, lin-log ja hüperboolne mudel. Logaritmimata tunnused on väga asümmeetrilised. Logaritmitud tunnused on sümmeetrilisemad. Log-log mudeli kordaja näitab, mitu % muutub Y, kui X suureneb 1%. See on elastsuskordaja. Lineaarne mudel: piirkalduvus on konstantne. Log-log mudel: elastsuskordaja on konstantne. ln yt=b+alnx + u
R = r. Puudus: lisades mudelisse uusi tunnuseid alati suureneb 26) Mudeli korrektne esitamine Regressioonanalüüsi põhitulemuste esitamisel esitatakse: Parameetrite hinnangud, parameetrite standardvead, determinatsioonikordaja R2, valimi maht n 27) Regressioon läbi nullpunkti Ühe tunnuse korral y = ax + u Deterministlik komponent on võrdeline seos y = ax (Vabaliige garanteerib, et regressioonjääkide summa u = 0 ) 28) Seletavate tunnuste astmeid, ruutjuurt ja pöördväärtust sisaldava mittelineaarse mudeli lineariseerimise võtted (loeng 2) Tunnuste logaritmimine, mille tulemusena saame log-log mudeli. Log-log mudeli kordaja näitab, mitu % muutub Y, kui X suureneb 1%. See on elastsuskordaja. Log- log mudeli kordaja on konstantne. Lin-log ja log-lin mudel 29) Sagedamini kasutatavad erikujulised mudelid: log-log, log-lin, lin-log ja hüperboolne mudel (loneg 2 vbl)
B näitab kui mitme ühiku võrra muutub y kui x muutub 1 ühiku võrra. Mida suurema nurga all regressioonisirged lõikuvad, seda nõrgem on nähtustevaheline seos! Suurim nurk on 90 kraadi, see tähendab, et seos on nõrk. · Funktsiooni headus on selgitusvõime. Selgitusvõime näitaja on determinatsioonikordaja R2. Determinatsioonikordaja näitab, kui suure osa sõltuva suuruse hälvete ruutude summana mõõdetud koguhajuvusest seos ära seletas. Ruutjuurt determinatsioonikordajast nimetatakse üldjuhul korrelatsioniindeksiks (r) ehk korrelatsioonikordajaks ehk korrelatsioonikoefitsiendiks. Korrelatsioonikordaja väärtused on vahemikus -1 kuni 1. · Korrelatsioonikordajaid on palju. Sagedamini kasutatav on kovariatsioon (koos varieerumine ehk koos erinemine). Korrelatsioonikordaja kirjeldab vaid lineaarset seost! · Korrelatsioonikordaja saab olla vahemikus -1 kuni 1. 0 ütleb, et seost ei ole, 1
leitud hälvete (keskväärtuse suhtes leitud hälvet nim tsentreeritud hälbeks) keskväärtus on võrdne nulliga, st E[X-E(X)]=0 25. Juhusliku suuruse dispersioon D(X) ja standardhälve – juhusliku suuruse dispersiooniks nim keskväärtuse suhtes leitud hälvete ruutude keskväärtust D(X)=E[X-E(X)]^2. Pideva juhusliku suuruse korral arvutatakse disp valemiga D(X)=∫(x-a)^2*p(x)*dx, kus a=E(X). Integraali üles +∞ja -∞. Alati mittenegatiivne! Ruutjuurt dispersioonist nim standardhälbeks ᵟ=ruutjuurDX.OMADUSED: D(X-Y)=D(X)+D(Y); Kui a ja b on konstandid siis D(a*X+b)=a ruut*D(X). 26. Sõltumatute katsete mõiste – nimetatakse sõltumatuteks kaitseid kui meid huvitava sündmuse tõenäosus ei sõltu katse järjekorra numbrist ja jääb kogu katseseeria jooksul muutumatuks. Selliseid sõltumatuid katseid, millel on ainult 2 võimalust nimetatakse Bernoulli katseks
tekstülesannete lahendamisele. Õpitakse ka lihtsamaid võrrandeid, protsent- arvutust ja geomeetrilisi kujundeid. tehakse algust statistika õppimisega (tulp- ja sektordiagramm, aritmeetiline keskmine). Palju tähelepanu pööratakse matemaatika kasutamisele igapäevases elus. 12 VII - IX klassis laiendatakse arvuhulka irratsionaalarvudeni, õpitakse arvu ruutjuurt, tehteid algebraliste avaldistega, lineaar- ja ruutfunktsiooni, trigonomeetriat täisnurkses kolmnurgas, ruutvõrrandeid ja 2 tundmatuga võrrandisüsteeme, andmete klassifitseerimist, suhtelist sagedust, andmete esitamise viise. Gümnaasiumis õpib umbes 60% õpilastest matemaatika lühikest kursust ja 40% pikka kursust. Ka Soomes koosneb ainekava gümnaasiumis ühesuguse pikkusega (38 tundi ) kursustest, kuid nende sisu erineb pikas ja lühikeses
Variandid 2 ja 3 on vastuvõetavad vaid siis, kui huvi pakub vaid koefitsientide erinevus nullist. 27. Regressioon läbi nullpunkti. Mõnikord tuleb siiski hinnata lineaarset mudelit, kus teatud kaalutlustest lähtudes peab vabaliige puuduma. Seda nimetatakse regressiooniks läbi nullpunkti (Regression through the Origin, RTO) ja sellise mudeli üldkuju ühe tunnuse korral on y=ax+u Deterministlik komponent on võrdeline seos 28. Seletavate tunnuste astmeid, ruutjuurt ja pöördväärtust sisaldava mittelineaarse mudeli lineariseerimise võtted. 29. Sagedamini kasutatavad erikujulised mudelid: log-log, log-lin, lin-log ja hüperboolne mudel. 1. Log-log mudel - logaritmime kõiki tunnuseid, saame log-log mudeli (logaritmimata tunnused on väga asümmeetrilised, logaritmitud tunnused on asümmeetrilisemad) Log-log mudeli kordaja tõlgendus näide: Log-log mudeli kordaja näitab, mitu % muutub Y, kui X suureneb 1%
rutamisega: nii nagu jagamisest kolmega saame mõelda kui korrutamisest arvuga , samuti võime ka neljanda juure võtmisest mõelda kui astendamisest astenda- jaga . Juurimise korral tuleb olla ka ettevaatlik: nagu juba arvude peatükis nägime, ei leidu ühtegi reaalarvu, mis annaks endaga korrutades tulemuseks mõne negatiivse reaalarvu nagu –1 või –4 või –100. Seega ei ole võimalik negatiivsetest arvudest reaalarvulist ruutjuurt ega ühtegi teist paarisarvulist juurt võtta. Kui kasutusele võtta kompleksarvud [lk 89], siis enam sellist muret ei ole – võib kõike rahu ja rõõmuga juurida. 111 Natukene ajalugu Matemaatilises mõttes juurimisega tegeleti juba 3700 aastat tagasi Babüloonias.
kirjeldav suurus on korrelatsioonikoefitsient ehk korrelatsioonikordaja · Võimalik leida ruutjuurena determinatsioonikordajast Omadused: · Korrelatsioonikordaja väärtused asuvad 1 ja 1 vahel, -1 r · Kui muutujate vahel on funktsionaalne seos Y = a0+a1X, siis korrelatsioonikordaja absoluutväärtus on võrdne ühega, |r|=1 · Kui muutujad on sõltumatud, siis korrelatsioonikordaja väärtus null, r=0 JÄÄKSTANDARDHÄLVE Ruutjuurt jääkdispersioonist nimetatakse regressioonimudeli jääkstandardhälbeks ehk prognoosivekas ehk regressioonimudeli standardveaks FUNKTSIONAALNE SEOS · Tunnuste väärtuste vaheline sõltuvus võib olla kas funktsionaalne või korrelatiivne. · Kahe nähtuse vahel on funktsionaalne seos ehk täielik seos siis, kui ühe nähtuse mingile arvväärtusele vastab ainult üks arvväärtus teise nähtuse väärtuste hulgast.
Näiteks: 1 000 000 00 = 108 ; 0,000 000 1 = 10-7 Juurimine Ruutjuur 2 1 1 1 1 · 25 = 5, sest 5² = 25; · = , sest = ; · 0 =0, sest 0² = 0 4 2 2 4 · -4 = - (vastus puudub reaalarvude hulgas; -4 =-2i) Negatiivsest arvust ruutjuurt leida ei saa. (See pole reaalarv). 9 a a a = b , kui a0 ja b0 = , kui b0 b b a, kui a 0
Dx , n kus xt on mõõdetava suuruse tõeline väärtus. Selle parameetri puuduseks on tema dimensioon suuruse dispersiooni dimensiooniks on suuruse enda dimensioon ruudus. Näeme, et suurust ja tema dispersiooni on väga ebamugav võrrelda. Seetõttu kasutatakse mõõtmisteoorias mõõdiste hajumise iseloomustajana positiivset ruutjuurt dispersioonist standardhälvet. Mõõtmiste suure arvu korral saab suuruse x ehk standardhälbe (ruutkeskmine hälve vanemas kirjanduses) leida valemist n ( xi xt ) 2 i 1 x .
x −3 Vastus. x < −3 või x > −3 . 39 Näide 12. Lahendada võrratus − x 2 + x − 10 > 0 . Lahendus. Lahendame ruutvõrrandi x 2 − x + 10 = 0 . x = 0,5 ± 0,25 − 10 = 0,5 ± − 9,75 . Reaalsed lahendid puuduvad (negatiivsest arvust ei saa võtta ruutjuurt). Kuna a < 0 , siis vastava ruutfunktsiooni graafik asetseb terves ulatuses allpool x-telge: x Vastus. Võrratusel lahendid puuduvad. Näide 13. Lahendada võrratus 2 x − 5 ≤ 2 . Lahendus. Võrratuse x ≤ a lahendihulk on − a ≤ x ≤ a , seega peab võrratuses 2 x − 5 ≤ 2 absoluutmärkide vahel olev avaldis täitma tingimusi
nimetatakse mittetäielikeks ruutvõrranditeks ja neid valemi abil ei lahendata. Näide 1. Lahendame võrrandi 3x2 – 5x = 0 5 x(3x – 5) = 0, järelikult x1 = 0 ja x2 = . 3 Näide 2. Lahendame võrrandi 4x2 + 21 = 0 21 4x2 = –21, millest x2 = – . Sellel võrrandil reaalarvude hulgas lahendeid ei ole, sest 4 negatiivsest arvust ei saa võtta ruutjuurt. © Allar Veelmaa 2014 6 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDAMINE Võrrandisüsteemil a1x b1y c1 a2 x b2y c2 on üheselt määratud lahendid puuduvad, kui on lõpmata palju lahendeid, lahendipaar (x0; y0), kui a1 b c kui
(=KM4+5) o #REF! - veateade viitab vajaliku lahtri puudumisele. Siin on põhjuseks algul olnud, aga nüüdseks ära kustutatud lahtrile viide. o #VALUE! - veateade ilmub, kui püüad kokku panna sobimatuid asju, siin näites tahtsin ma kokku liita numbri ja sõna: =4+tekst o #NUM! - veateade ilmub, kui kasutad vale väärtust. Näiteks positiivse numbri asemel negatiivset. Näiteks ruutjuurt aga ei saa negatiivsest arvust. 3. Viimase grupi veateated on sellised, kus veateade ei tule mitte otse lahtrisse, vaid ilmub hoopis aknana ekraanile. Siin on omakorda kaks võimalust: 36 o Programm teatab ainult veast. Näitena esitatud lahtris kasutasin kaldkriipsu ( / ) asemel kurakriipsu
(max 4.07 144) annab tulemuseks 4.07 (max 88 19 5 2) annab tulemuseks 19 (max 2.1 4 8) annab tulemuseks 8.0 Miinimumi leidmist arvudest tehakse lausega (min arv1 arv2 ...). Näiteks (min 683 10.0) annab tulemuseks 10.0 (min 73 2 48 5) annab tulemuseks 2 (min 2 4 6.7) annab tulemuseks 2.0 Ruutjuure arvutamine toimub lausega (sqrt arv). Tulemus on alati reaalarvuline. Nega- tiivsel arvul ruutjuurt pole. Näiteks (sqrt 4) annab tulemuseks 2.0 (sqrt 2.0) annab tulemuseks 1.41421 Astendamisi sooritatakse lausega (expt alus astendaja). Kui mõlemad argumendid on täis- arvulised, on ka tulemus täisarvuline, vastasel juhul on ta reaalarvuline. Negatiivse aluse korral peab astendaja olema täisarvulise väärtusega, kuigi võib olla tüübilt reaalarv. Näiteks (expt 2 4) annab tulemuseks 16 (expt 3.0 2
Kõigi reaal- arvude hulka (täpsemalt, järjestatud korpust) tähistame tähega R. Kuna käesolevas kursuses on kõik vaadeldavad arvud reaalarvud, siis tähendab sõna arv järgnevas alati reaalarvu. ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 21 1.5 Reaalarvude korpuse omadused 1.5.1 n-astme juur positiivsest reaalarvust. Irratsionaalarvud Teatavasti ei ole positiivsetel arvudel üldjuhul ratsionaalse väärtusega ruutjuurt. Seevastu, nagu selgub järgmisest lausest, eksisteerib reaalarvuline ruutjuur igast mittenegatiivsest ar- vust. Lause 1.20 Iga mittenegatiivse reaalarvu b ja iga naturaalarvu n korral leidub üheselt määra- tud mittenegatiivne reaalarv x omadusega xn = b. Tõestus. Kõigepealt märgime, et kui leidub selline arv x ∈ R, et xn = b, siis on see üheselt määratud, sest seostest 0 6 x1 < x2 järeldub võrratus xn1 < xn2 (põhjendada!)z.
annaabi.ee 
