ulpivast plastprügist saared. 2. Õhutransport on kõige saastavam transpordiliik. Lennuk paiskab atmosfääri süsinikdioksiidi ja muid saasteühendeid. 3. Bioloogiline mitmekesisus - Vahemere ääres on tallamise tõttu väljasuremisohus kuni 500 taimeliiki. Vees võivad sukeldujad kahjustada korallriffe. 4. Vesi on kõige olulisem looduslik ressurss. Turismitööstus üldiselt tarvitab liigselt vee ressursse hotellide, basseinide, golfi rajade ja personaalseks kasutamiseks. See võib viia vee puuduseni ja veevarude allakäiguni. ECONOMY 1. Country's political and economical situation affects tourism significantly. The number of tourists can be small in the countries, where there are hurricanes, eartquakes, terrorism and diseases. 2. Jobs created by tourism are often poorly paid and seasonal. Tourism can push up local property prices and the cost of goods and services. 3
19. Kolmekordse integraali rakendusi. 20. Joonintergaalid (tasandiline ja ruumiline joonintegraal, geomeetriline tähendus). Esimest ja teist liiki joonintegraalide omadused ning erinevused. Kuidas arvutada joonintegraale? 21. Green’i valem (mis seose annab Green’i valem?). 22. Joonintegraali rakendusi. 23. Pindintegraalid (Ostrogradski ja Stokes’i valem – mis seosed need valemid annavad?). Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali? 24. Rajade määramine integraalidel. 25. Arvread (definitsioon, lisaks definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused). 26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28. Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alembert, võrdlustunnus, integraaltunnus). 29. Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus). 30
1.Ostja on käeraha maksnud 200 hõbe rubla 2.Kui ostja võtab võlga, siis peab ta maksma talu eest 300 hõbe rubla ning andma terve oma varanduse pandiks. Võla peab ta aga ära maksma kolme aasta jooksul, muidu võetaks talu käest ära. 3.Selle koha omanik annab viimseks teistel Kirsalo(tolle aja Kersalu) küla perekohtadele nimelt: Käspre, Andrese, Klemeti, Tooma, Seppa, Põllootsa, Paiste, Korka ja Kruusiaugo - õigust kalu püüda sellest mere osast, mis tema rajade vastas on. Peale selle, mis ülemal tähendud, ja mis Talurahva seaduse raamatu §§ 202,204,209 ja 267 järel seadust mööda kinnitud on, ei ole selle müüdud Aaviko perekohal midagi teisi. Kõige selle kinnituseks on see neljas ühtesuguses lehtes ülespandud ostmise leping mõlemast kaubategijatest selle tõotamisega allakirjutud, et nemad kõik vastavaidlemised ja õigusesaamised maha jätavad, mis läbi see leping täielt ehk võiks vastavaieldud ümberlükatud saada. (Piibeleht,2008)
· ühe hingamisega inim keha tooab 1 vatti · rahuliku jalutuskäiguga saab vabalt toita elektri pirni. Seoses maailma rahvaarvu suurenemisega ja majandus arenguga vajadus elektienergias pidevalt suureneb. Keskmiselt iga 15aastat energia kulu kasab topelt. Nõue kasvamisega, ja ka seos ökoloogiaga vajadus alternatiivses energia allikaga kasvab. Suuremat huvi pakkub uuringud inimese oraganismi nagu energia generaatorit erinevat tüüpi energiat. Aktuaalsus selle juurdemineku on põhjustatud rajade tegureid. Esiteks keskkonnahoidlik. Kasutatakse ainult soojusenergiat või liikumise kineetilist energiat, mida inimene toodab igapäevastes tingimustes. Teiseks, säästes aega ja ressursse energia säilitamiseks ja ülekandmiseks kasulikuks kasutamiseks. Inimene nagu elektrijaam. Esimene teaduslik uuring elusorganismi võime tootma soojust on ilmunud VIII sajandil.
Põllumajanduslikku maad inimese kohta 64106779 Võrrelge oma riikide maakasutust ja tehke järeldused, kummas riigis on paremad eeldused põllumajanduse arendamiseks. Põhjendage. Colombias on põllumajanduslikku maad rohkem, aga kasutusel väga väike protsent sellest, mis on tingitud riigi mägisest reljeefist ja samuti mitteviljakte muldade alad. See loob põllumajanduse arendamiseks hea eelduse, sest on maad kuhu põlde rajade. Suurbritannias on enamus põllumaast kasutusel majanduslikul eesmärgil ning vaba heinamaad on väga vähe. Colombias tuleb ära kasutada ka vähem viljakad mullad, mägised alad – kasvatades selliseid kultuure, mis seal kasvada saavad. Kuidas erineb põllumajandusmaa inimese kohta. Mida sellest järeldad? Colombias on inimese kohta 0,9ha maad ja Suurbritannias on maad inimese kohta 0,089ha. See näitab, et Colombias on maad igale inimesele rohkem seega saavad farmid ja istandused
asetatakse integraali sümbolist alla ja üles vastavalt integraali alumine ja ülemine raja- selle lõigu alg- ja lõppväärtus, kus integraali arvutatakse. Võimaldab selgitada kogufun ning piirfun seost.Kasutatakse heaolu hindamisel. Määramata int-avaldist F(x)+c kus c on suvaline konstant, nim fun-i f(x) määram.int ja tähistatakse | f(x)dx=F(x)+C Päratud int-otse arvutada neid ei saa sest ja+ lõp.ei ole arvud. Dif-kse piirväärtustena. Integ. Saab olla päratu ka lõplike rajade korral: siis kui integreeritav saab lõpuks[a,b]-1. 8)1. 2. Järku tuletised (osatuletise ja dif kaudu, hessiaani kaudu)- esimest järku tingimus: tarvilik dz=0; f´(x)=0 piisav: dx<0 =>f´(x) max, dx>0 => f´(x)<0 min II j tingimus: tarvilik d(dz)=d2z, z=f(x,y) piisav: d2z>0 min, d2z<0 max. Osatuletise kaudu: fxx< 0 f yy<0 ja fxx f yy> fx2y=> d2z<0 max punkt, fxx>0 f yy>0 ja fxx f yy> fx2y => d2z>0 min.punkt II j tingimus det
Loo tegevustikust võib järeldada, et ta eriliselt kunstist loobumise all ei kannata aeg kulub pigem seltskondlike tegevuste peale. Seega sõltub elu ja kunsti suhe täiesti tegelase isikust ja ei ole varasemas eesti kirjanduses üheselt määratud. Kunstniku teemat käsitledes ei saa jätta kõrvale küsimust: mis ja milline üldse on kunst? Novellis ,,Arthur Valdes" kirjutatakse: ,,Kirjanduse nagu iga muu kunsti piir on määratud inimese enese piiridega. Midagi üle isiku rajade ulatuvat ei suuda keegi korda saata." Selline arusaam käib mõnes mõttes vastu Tuglase teises novellis esitatud mõttele. Loos ,,Poeet ja idioot" lausub Kobras Ormussonile: ,,Sina oled prohvet. Sina oled, kes hüüab sõna maailma nagu tuleleegi. Sina teed imesid, et nad usuksid. Sind nad kuulaksid. Sind kui nad kedagi kuulavad." Sellest tekstist tõuseb jällegi esile arvamus, et kunstniku sõnad ulatuvad üksikisikust kaugemale. See,
Määratud integraali arvutamine Newton-Leibnizi valemi abil (valem). NB! See teoreem annab integraalarvutuse ja diferentsiaalarvutuse vahelise seose. Väga tähtis seos. Näitab, et integreerimine ja diferentseerimine on teineteise pöördoperatsioonid. 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 34. Asendusvõte (kuidas valida uus muutuja, rajade vahetamine). 35. Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalide puhul (valem, kuidas valida u ja dv?). Ositi integreerimise meetod võimaldab komplitseeritud integraali leidmist taandada lihtsama integraali leidmisele. Mõistlik on valida u-ks x, x-i aste või ln N: ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑥 = 𝑢, sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑣 36. Esimest liiki päratud integraalid (lõpmatute rajadega integraalid) (definitsioon, kuidas arvutatakse). 37
8 19 3 + 8 65 2 =9+ + 10 = = = 21 3 3 3 3 3 MÄÄRATUD INTEGRAALI OMADUSI a b 1. Rajade vahetamisel muutub integraali märk: f ( x ) dx = - f ( x ) dx b a Tõestus: Newton-Leibniz'i valemi järgi a b f ( x ) dx = F ( a ) - F ( b ) = -[ F ( b ) - F ( a ) ] = - f ( x ) dx m.o.t.t. b a
ja hooneid ning töötajatesse suhtumist kirjeldavaid lauseid. Taktikaline plaanimine: - Tehakse strateegiliste plaanide eri osade täitmiseks. - Tuleb määratleda konkreetsed ressursid ja tegevuse ajalised piirid. Kui strateegia keskendub ressurssidele, keskkonnale ja missioonile, siis taktika keskendub inimestele ja tegevustele. Taktikaliste plaanide arendamine: - Strateegiliste plaanide ja taktikaliste eesmärgide seoste tunnetamine. - Oluliste ressurside ja ajaliste rajade määratlemine. - Kohustuste määratlemine tööks inimestega. => Taktikaliste plaanide täideviimine: - Hinnata iga tegevuse suunitluse vaatamist eesmärkidele omandada ja jagada infot ressursse. - Jälgida horisontaalse ja vertikaalse suhtlemise ja tegevuse intergratsioon. Operatiivne plaanimine: - Suunatud operatiivse eesmärkide saavutaisele. - Kitsa suunitlusega ning ette nähtud täita lühikese aja jooksul esmastasandi juhtide poolt. Uhekordseks - programmid ja projektid.
8 19 3 + 8 65 2 =9+ + 10 = = = 21 3 3 3 3 3 MÄÄRATUD INTEGRAALI OMADUSI a b 1. Rajade vahetamisel muutub integraali märk: f ( x ) dx = - f ( x ) dx b a Tõestus: Newton-Leibniz'i valemi järgi a b f ( x ) dx = F ( a ) - F ( b ) = -[ F ( b ) - F ( a ) ] = - f ( x ) dx m.o.t.t. b a
mahu vähenemine ja võimalik pragude teke. Maht võib kahaneda sel moel kergsaviseinte puhul 3 12% ja massiivsaviseinte puhul 0,4 2%. Kahanemist saab olulisel määral siiski vähendada vee- ja saueosakeste hulga vähendamisega segus ning selle koostise optimeerimisega. · Savi ei ole vee suhtes püsiv. Materjali tuleb seetõttu otsese veega kokkupuute ja niiskuse eest kaitsta. Nii vundamendi- kui katusekonstruktsioonid saab aga rajade sellised, et materjal on püsivalt kaitstud. Pindu saab muuta vee suhtes püsivamaks ka sobiva töötlemisega (lubikrohv, niiskust hülgavad võõped). EESTI SAVIDE LEVIK JA KASUTUS Eestis leidub savisid kogu geoloogilise läbilõike ulatuses aluskorrast (murenemiskoorik - Vend) ja aluspõhjast (Kambrium-Devon) pinnakatteni (Pleistotseen-Holotseen). Sügavamad ja vanimad savilasundid: Vanim savilasund Eestis, kui jätta arvestamata lünklik Proterosoilise murenemiskoorik
1.2 ja 2.1.3. Pidevaja
süsteemi (PS) reaalpoolustele (seega =0) vastavad alati diskreetaja süsteemi (DS) reaalpoolused (p = eT,v = 0).
Seejuures PS positiivsele reaalpoolusele p>l ning poolusele <0 DS poolus
2.1.2 ja 2.1.3. Pidevaja süsteemi (PS) reaalpoolustele (seega ω=0) vastavad alati diskreetaja
süsteemi (DS) reaalpoolused (p = eσT,v = 0). Seejuures PS positiivsele reaalpoolusele p>l
ning poolusele σ<0 DS poolus ρ
Kirjutamist talurahvakoolides üldse ei õpetatud. Põltsamaal oli üks kihelkonnakool ja 12 külakooli ning enamik lapsi sai õpetust kodus. Nende teadmisi kontrollisid koolmeistrid ja hiljem pastor isiklikult. 1786. aastal avas uksed Hupeli palvel rajatud Põltsamaa saksa rahvakool. Põltsamaa rahvakool andis haridust kohaliku keskkihi lastele, aadlike lapsed said tavaliselt koduõpetust. Hupel püüdis hoolitseda pastorileskede saatuse kergendamise eest. Lasi tartusse ja Viljandisse rajade pastorileskede toetuskassad. Need olid olemas ka Tallinnas ja Pärnus. Enne Paidesse lahkumist 1805. aastal andis kooli üle oma järeltulijale Temlerile. Hupeli sõpruskond ja seltsielu Põltsamaal Hupel pidas seltsielu etendamist korraliku pastori kohuseks. Ta asutas 1770. aastate algul lugemisseltsi. Ta külastas sageli übruskonna aadliperekondi, kellega oli sõprussidemetes. 1782. aastal talvel külastas Põltsamaad tuntud saksa portreemaalija Joseph Friedrich August Darbès,
asetatakse integraali sümbolist alla ja üles vastavalt integraali alumine ja ülemine raja- selle lõigu alg- ja lõppväärtus, kus integraali arvutatakse. Võimaldab selgitada kogufun ning piirfun seost.Kasutatakse heaolu hindamisel. Määramata int-avaldist F(x)+c kus c on suvaline konstant, nim fun-i f(x) määram.int ja tähistatakse | f(x)dx=F(x)+C Päratud int-otse arvutada neid ei saa sest ja+ lõp.ei ole arvud. Dif-kse piirväärtustena. Integ. Saab olla päratu ka lõplike rajade korral: siis kui integreeritav saab lõpuks[a,b]-1.Nõudluskõver näitab millist hinda on tarbija nõus maksma mingi konkreetse kaubakoguse korral. Lineaarse nõudlusk.- on nõudluskõvera ja piirtulukõvera algordinaat alati sama ning piirt.kõver langeb 2x kiiremini Pakkumiskõver näitab millist hinda soovib tootja mingi koguse eest. Dünaamilise analüüsi korral uuritakse majandusnähtuste ja neid kirjeldavate näitajate muutumist ajas ning
a a b Siit b c c f (x)dx = f (x)dx - f (x)dx a a b 5 ja omadus 5 p~ohjal p¨arast viimases integraalis rajade vahetamist b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c Samuti saab n¨aidata, et omadus j¨aa¨b kehtima ka juhul c < a. Omadus 7. Kui m on funktsiooni f (x) v¨ahim ja M funktsiooni f (x) suurim v¨a¨artus l~oigul [a; b], siis b
muutujate ja avaldiste abil. Fikseeritud massiive kirjeldatakse Dim-lausega, mille tüüpstruktuur on massiivide deklareerimisel järgmine: Dim nimi(rajad{, rajad}) [As tüüp] {, nimi(rajad{, rajad}) [As tüüp]} Deklaratsioonis esinevad rajad võib esitada kujul [min To] max, kus min on dimensiooni indeksi minimaalväärtus ja max sama indeksi maksimaalväärtus. Nad peavad olema esitatud täisarvuliste konstantide abil. Kui indeksi minimaalväärtust ei ole näidatud, võetakse selleks null. Rajade arv näitab massiivi dimensiooni. Deklaratsioonielement tüüp määrab massiivi elementide tüübi (Integer, Single jmt). Kui tüüp puudub, siis valitakse Variant. Deklaratsioonide näiteid Dim X(100) As Single, Y(100) As Double, nimed(300), V(1 To 500) Lauses on deklareeritud neli ühemõõtmelist massiivi. Massiivides X ja Y on mõlemas 101 elementi (i = O, l, ...100), elementide tüübiks on esimeses massiivis Single, teises Double.
· Elementide m1 ja m2 alamrajaks on element m4 , kui m4 m1 ja m4 m2 . Ülemraja on vähim, kui ta on väiksem suvalisest teisest ülemrajast. Alamraja on suurim, kui ta on suurem suvalisest teisest alamrajast. · Võreks nimetatakse algebralist süsteemi < M, , , >, kus on osalise järjestuse suhe hulgal M ning 2 suvalist elementi hulgast M omavad vähimat ülemraja ja suurimat alamraja. Seejuures ja on üldistatud operatsioonid rajade leidmiseks, milliste lahtimõtestus on tunduvalt laiem kui lihtsalt hulgateoreetilised operatsioonid. Näited. 1. Naturaalarvude hulk N; a b = min (a,b); a b = max (a,b), a b. 2. Hulk N; a b - SÜT; a b - VÜK; a b - b jagub a-ga. 3. Kahendvektorite hulk; (x1 ,x2 ,....,xn ) (y1 ,y2 ,....,yn) (xi yi ); X Y - X&Y (konjunktsioon) ; X Y - XVY (disjunktsioon). 4. Kõikvõimalike tükelduste hulk; P1 P2 - P1 · P2 ; P1 P2 - P1 +P2 ; P 1 P 2 - P 1 · P2 = P 1 .
Elementide m1 ja m2 alamrajaks on element m4 , kui m4 m1 ja m4 m2 . Ülemraja on vähim, kui ta on väiksem suvalisest teisest ülemrajast. Alamraja on suurim, kui ta on suurem suvalisest teisest alamrajast. Võreks nimetatakse algebralist süsteemi < M, , , >, kus on osalise järjestuse suhe hulgal M ning 2 suvalist elementi hulgast M omavad vähimat ülemraja ja suurimat alamraja. Seejuures ja on üldistatud operatsioonid rajade leidmiseks, milliste lahtimõtestus on tunduvalt laiem kui lihtsalt hulgateoreetilised operatsioonid. Näited. 1. Naturaalarvude hulk N; a b = min (a,b); a b = max (a,b), a b. 2. Hulk N; a b - SÜT; a b - VÜK; a b - b jagub a-ga. 3. Kahendvektorite hulk; (x1 ,x2 ,....,xn ) (y1 ,y2 ,....,yn) (xi yi ); X Y - X&Y (konjunktsioon) ; X Y - XVY (disjunktsioon). 4. Kõikvõimalike tükelduste hulk; P1 P2 - P1 P2 ; P1 P2 - P1 +P2 ;
Pidevajasüsteemi reaalpoolustele vastavad alati diskreetaja süsteemi reaalpoolused. Seejuures pidevajasüsteemi positiivsele reaalpoolusele p > l ning poolusele σ < 0 diskreeraja poolus ρ < l. Seega kõigile pidevaja reaalpoolustele vastavad alati diskreetaja positiivsed reaalpoolused. Iga pidevaja reaalpoolus tekitab impulsskaja. Kui piirata z-tasandi pooluste faasinurki ψ rajadega +180° ja -180°, siis sellele vastab s-tasandi piirkond vahemikus Π/T kuni - Π/T. Nende rajade piires kehtib s-tasandi ja z-tasandi pooluste üksühene vastavus, mis hõlbustab analüüsi. Neid rajasid nimetatakse ka s-tasandi Nyquisti rajadeks. Iga selle piirkonna poolusest +/-2 Π/T võrra imaginaartelje suunas nihutatud punkt tähendab neid s-tasandi punkte, millele vastab sama z- tasandi punkt. Ja seega identne diskreetse siirdeprotsessi komponent. Suuremale imaginaarosale vastab pidevajasüsteemi kiirem võnkuv protsess, kusjuures diskreet tekib 2 või enamperioodi tagant
Turg on tasakaalus selles mõttes, et kumbki tarbija ei saa hüviseid rohkem ega vähem vahetada. 17. Selgitage vahetusefektiivsete jaotuste hulga ja võimaliku kasulikkuse raja seos? Vahetusefektiivsete jaotuste hulk moodustub nendest punktidest, kus mõlema tarbija hüvistekogused on täpselt sellised, et nende individuaalne kasulikkus oleks maksimaalne. Edgeworth-Bowley kastis vastamisi asetatuna kujuneb vahetusefektiivsete jaotuste hulk omavahel puutuvatest kasulikkuse rajade puutepunktidest. 3 18. Miks on tootmise samamahukõver nõgus? Sellepärast, et tootmistegurid on omavahel osaliselt asendatavad ning asendamise alternatiivkulud on kasvavad. Sisuliselt tuleb arvestada, et tootmismahu samaks jäämise korral saab uue tööjõu ühiku rakendamise puhul loobuda aina vähemast hulgast kapitalist ja vastupidi. 19. Miks saavutab tootja suurima kasumi samamahukõvera ja samakulujoone
Kivitrepp Kiviastmed võib valmistada paekivist või graniidist. Kivi trepi võib valmistada kiviastmetest, mis toetatakse kandeseintele või taladele. Tänapäeval tehakse õhematest kiviplaatidest, millega kaetakse betoonist alus. Trepiastme plaat võib olla kas saetud pinnaga või liivapritsiga karestatud. Kõne alla võib tulla ka tellistest laotud trepp. Välistrepp tuleb toetada allapoole külmumissügavust ulatuvale vundamendile või rajade külmakerkeohutule aluspinnale. Madalama rajamissügavuse korral tuleb trepi vundament soojustada, välistrepp tuleb hoone teistest osadest eemaldada deformatsioonivuugiga. 62 Loeng 16 Igasse pööningu tuletõkkesektsioonist peab olema sissepääs nii trepikojast (või ühepereelamus ka esikust) ukse või luugi kaudu kui ka katuselt luugi kaudu. Pööninguga
Peatselt tõestame (vt. teoreemi 5.6), et f on Riemanni mõttes integreeruv ⇔ f on Darboux’ mõttes integreeruv. Integreeruvuse uurimine Darboux’ mõttes on otstarbekas eeskätt seetõttu, et Rieman- ni integraalide definitsioonides on (lisaks alajaotusele) veel üks täiendav suurus – punktide valiku vektor ξ = (ξ1 , . . . , ξn ). Lisaks sellele, Darboux’ mõttes integreeruvus on rajade võrdu- mine. Raja definitsioonis on peidus tingimus „iga ε korral leidub mingi element, mis rahuldab võrratust“. Riemanni mõttes integreeruvus tähendab aga piirväärtuse olemasolu. Piirväär- tuse definitsioonis nõutakse, et „iga ε korral leidub δ nii, et kõik elemendid, mis klapivad δ-ga, rahuldaks võrratust“. Seetõttu teatud vaatepunktist on Riemanni mõttes integreeruvust keerukam kontrollida.
a a b Siit b c c f (x)dx = f (x)dx - f (x)dx a a b 5 ja omadus 5 p~ohjal p¨arast viimases integraalis rajade vahetamist b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c Samuti saab n¨aidata, et omadus j¨aa¨b kehtima ka juhul c < a. Omadus 7. Kui m on funktsiooni f (x) v¨ahim ja M funktsiooni f (x) suurim v¨a¨artus l~oigul [a; b], siis b
A F (r ) dr dr dr . (10.7a) r1 r1 4 0 r 2 r2 4 0 r 2 4 0 r2 4 0 r1 Kolmandal sammul arvestasime, et integraali rajade vahetamine muudab tema märki. Punktlaengu poolt tekitatud elektriväljas on sellise integraali arvutamine suhteliselt lihtne, kuid üldjuhul võib see osutuda vägagi keeruliseks. Kui me aga võrdleme saadud töö valemit valemiga (10.7), siis näeme, et elektriliste jõudude vastu tehtud töö laengu liigutamisel avaldub A q 2 1 q , (10.8)
Parem oleks küll, kui meil võõrast abi tarvis ei oleks, sest aitajad nõuavad vaevatasu ja hakkavad meid varem või hiljem ise rõhuma. Meie ei ole väetid lapsed. Vennad Eestimaal on küll hädas, panevad aga ikka veel vahvasti vastu. Saarlased on veel üsna oma peremehed ja valmis võõraste võimu ka suurel maal murdma tulema. Kui meie nüüd korraga selja tagant rüütlite peale langeme, siis ehk võime neist küll jagu saada; on nad kord meie maalt välja aetud, küllap me siis ka rajade peal valvata mõistame. Igapidi aga peame kõige enne Viljandi lossi kätte saama, et vaenlasel meie selja taga kindlat ' See tõotus läks täide. Saksa ordu võim murti leedulaste poolt saja aasta jooksul mitmes ' lahingus ja orduriik langes peale verist Tannenbergi lahingut (1410) leedulaste ja nendega ühendatud poolakate valitsuse alla. (Autori märkus.) 215 toetuspaika ei oleks. Selleks on meil hea nõu leitud. Sõjariistu on minu maa-aluses sepapajas
annaabi.ee 
