1. Võrdhaarse kolmnurga ABC ümber on joonestatud ringjoon. Arvuta kolmnurga nurgad, kui alus toetub kaarele, mille suurus on 136 kraadi 2. Joonesta korrapärane kolmnurk, mille külg on 5cm. Joonesta selle kolmnurga siseringjoon ja ümberringjoon. Mõõda vajalikud pikkused (tähista nad samuti!) ja arvuta kolmnurga pindala, ümberringijoone pikkus ja siseringi pindala. 3. ringjoonele, mille raadius on 25cm, on joonestatud kaks ristuvat puutujat. Kui kaugel on puutujate lõikepunkt puutepunktist? Põhjenda vastust ja tee selgitav skitseering 4. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile tõmmatud mediaan eraldab antud kolmnurgast võrdkülgse kolmnurga. Leia täisnurkse kolmnurga teravnurgad. Tee selgitav skitseering. 5. trapetsi üks alus moodustab 30% teisest lausest ja kesklõik on 3,20 m. Leia trapetsi alused. 6. Võrdhaarse kolmnurga alus on 16 cm ja haar 22 cm. Arvuta kolmnurga kesklõikude poolt moodustatud kolmanurga ümbermõõt. 1
hüpotenuusi ja kaatetiga. Sirget, millel on ringjoonega ainult üks ühine punkt, nimetatakse ringjoone puutujaks. Puutuja ja ringjoone ühist punkti nimetatakse puutepunktiks. TEORingjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega. TEOKui sirge läbib raadiuse otspunkti ringjoonel ja on risti raadiusega, siis see sirge on ringjoone puutuja TT Sirge on ringjoone puutuja parajasti siis, kui see sirge läbib raadiuse otspunkti ja on risti raadiusega TT Puutujate lõikepunkt M on puutepunktidest P ja Q võrdsetel kaugustel: MP=MQ
Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor) 1. On antud kolmnurk tippudega A(1;2), B(4;3) ja C(2;5). Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt asetseb
diagonaalid võrdsed, lõikepunkt asub trapetsi sümmeetriateljel. Ringjoon (ring) kesknurk (tipp ringjoone keskpunktis, haarad lõikavad ringjoont), piirdenurk (tipp ringjoonel, haarad lõikavad ringjoont). Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. Puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega, st A = B = 90°. Puutujate lõikepunkt on puutepunktidest võrdsel kaugusel, st OA = OB. 180°. 2 , . Sektor: , , x on sektori nurk radiaanides, l sektorile vastava kaare pikkus. ° Segment: , a kõõlu pikkus, h segmendi kõrgus.
· Magnetvälja jõujooned on kinnised kõverad ning on suunatud põhjapooluselt lõunapoolusele · Selliseid välju, mille jõujooned on kinnised kõverjooned, nimetatakse pöörisväljadeks. Seega on ka magnetväli pöörisväli. Sirgmagneti jõujooned · Magnetvälja jõujoonte joonestamiseks saame kasutada magnetnõelu. · Kuna magnetinduktsiooni vektori suund ühtib magnetnõela põhja-lõuna suunaga, siis kasutame magnetnõela telje sihti jõujoonte puutujate joonestamiseks. · Magnetvälja jõujooni on võimalik ka reaalsuses visualiseerida kasutades selleks peenikest raua vm ferromagneetiku puru. Rauaosakesed magneetuvad ning asetuvad magnetvälja jõujoonte sihis. Siiski tuleb siinkohal rõhutada, et me ei näe mitte jõujooni endid vaid nende sihis asetunud rauapuru. Pilt ja video https://www.youtube.com/watch?time_continue=8&v=85LeyTRQ_Ow Tänan kuulamast!!!
25 72 3 0.125 61 4 0.0625 52 5 0.03125 49 6 0.015625 46 Vesi 0 44 3. Kannan puutujate vastava kontsentratsiooni ja Z tabelisse. Arv Tabel 2 Kontsentratsioon 1/C, Katse nr C, mol/l l/mol 1 0.08 12.50 2 0.1 10.00 3 0.15 6.67
Siin joonisel on näidatud koostatud pindpinevuse isoterm koos nelja erineval kontsentratsioonil tõmmatud puutujaga. Excelis graafikut lähemalt vaadeldes sain määrata täpsemalt lõigu Z pikkused. Joonisel on näidatud koostatud adsorptsiooni isoterm lahuse ja õhu piirpinnal. Siin on toodud maksimaalse adsorptsiooni graafilise määramise jaoks graafik . Arvutused Pindpinevuse isotermi graafikul puutujate kaudu võetud ordinaattelje pikkused : Kontsentratsioon Z, Pindliig , c, 0,140 7,1429 0,00850 292 604 0,210 4,7619 0,00885 292 604 0,300 3,3333 0,00875 284 244 0,500 2,0000 0,00875 284 244
- Ühise tsentriga abisfääre saab lõikumisülesande lahendamisel kasutada, kui a)mõlemad pinnad on pöördpinnad. b) nende pöördpindade teljed lõikuvad. c) telgede tasapind on ekraaniga paralleelne Milline on väikseim abisfäär, mille abil saab leida kahe pöördpinna lõikejoone punkte? - sfäär, mis suuremat pinda puutub ja väiksemat lõikab Millised pinna on laotuvad pinnad? (kooniline, silindriline, puutujate pind) - pinnad, mida saab deformeerida tasapinnaks painutamise teel Millistest tasapinnalistest kujunditest koostatakse silindrilise (koonilise) pinna lähislaotus? - ristkülikud, trapetsid (silindriline), kolmnurgad (kooniline) Kuidas tekib teist järku pöördpind? - teist järku joone pöörlemisel ümber oma telje Nimetage teist järku pöördpinnad - pöördellipsoid,pöördparaboloid, pöördsilinder, pöördkoonus, kahekatteline
2) Poordpinnateljega ristl olevaid loikeid nimetatakse poordpinna
paralleelideks
3) Suurima ja vaiksema raadiusegaparalleelenlm. Vastavalt poordpinna
ekvaatoriks ja kaelaks
4) !
kaarele, =20°, piirdenurk =90° sest ta toetub diameetrile, on kolmnurga nurk NB vaja teada piirdenurga ja kesknurga =180°-20°-90°=90°-20°=70°. mõistet 10.Ringjoone puutuja - sirge, millel on vaata slaid 6 ringjoonega ainult üks ühine punkt; Ül.1097 puutepunkt: puutuja ja ringjoone ühine punkt; Leida puutujate vaheline nurk, antud nurk risti puutepunkti tõmmatud raadiusega puutepunktidesse joonestatud raadiuste vahel 100°. NB ringjoone punktist saab tõmmata läbi mitu tekivad võrdsed täisnurksed kolmnurgad lõikajat, aga ainult ühe puutuja 100°:2=50°, 90°-50°=40°, 40° 2=80° 11.Ringjoone puutuja tunnus - teoreem: sirge Ül.1094(1)
Esmatähtsad on laevade maksimaalsed ja gabariitmõõtmed, mis määravad laeva võimalused sadamate kasutamisel, dokkimisel, kanalite läbimisel ja üldise navigatsiooni ala e. laevatee (v.k. ) valikul. LOA või LOA maksimaalne või üldpikkus. Horisontaalne maksimaalne vahemaa vööri kõige kaugema punkti ja ahtri taha ulatuva punkti vahel. B maksimaalne laius. Horisontaalne maksimaalne vahemaa vertikaalsete parda puutujate vahel miidlis. TKA või TKF maksimaalne süvis kiilult (kas ahtris või vööris). Laeva kiilu veealuse madalaima punkti vertikaalne kaugus veepinnani. Peale maksimaalsete mõõtmete on veel olulised: LPP või LBP laeva pikkus loodsirgete (AP ja FP) vahel. Ahtri roolitelje ja vööri veetasandi puutepunkti vahel. AP ahtri loodsirge ja FP vööri loodsirge.
pöördpinna paralleelideks. Pöördpinna ekvaator on suurima raadiusega paralleel. Pöördpinna kael on väikseima raadiusega paralleel. Kahe paralleeliga piiratud pöördpinna osa nimetatakse pöördpinna vööks. Pöördpinna lõikamisel telge läbiva tasandiga () saadakse pöördpinna meridiaan. 59. Kuidas tekib joonpind? Nimetage joonpinnad. Joonpind tekib sirgjoone liikumisel. a) Laotuvad pinnad Koonilised pinnad, silindrilised pinnad, puutujate pind b) Mittelaotuvad pinnad Silindroid 60. Kuidas tekib sirgjoone liikumisel ühekatteline pöördhüperboloid (hüperboolne paraboloid)? Ühekatteline pöördhüperboloid tekib sirge põõrlemisel ümber sirge , kus sirged on kiivsed. 61. Kuidas tekib üldkujuline silindriline (kooniline) pind? Silindriline pind tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab antud juhtjoont ja jääb paralleelseks antud sigega nn. sihisirgega 62
2 R a r R a=R NÄITEÜLESANDED. 1) Leidke täisnurkse kolmnurga pindala, kui ta siseringjoon jaotab ühe kaateti oma puutepunktiga lõikudeks 6 cm ja 10 cm alates täisnurga tipust. Lahendus. Teame, et kolmnurga küljed on siseringjoonele puutujateks ning puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega. Samuti on teada, et puutujate lõikepunkt on puutepunktidest võrdsetel kaugustel. Leiame nüüd jooniselt võrdsed lõigud CE = CF = x AF =AD = 6 BE = BD =10. B Kasutame Pythagorase teoreemi. 16 2 x 6 10 x 2 2 16 2 x 2 12 x 36 x 2 20 x 100 10 12 x 20 x 100 256 36 10
statsionaarne punkt, sest tuletis on võrdne nulliga, aga iga statsionaarne
punkt ei ole ekstreemump. *Ekstreemump-de leidmine 1)statsionaarsed p'd
f'=0 2)statsionaarsete p-de ümbruste uurimine f'>0 max f'<0; f'<0 min f'>0; kui
tuletise märgimuutust ei toimu siis statsionaarses p-s ekstreemumeid ei ole
21. F-ni kumerus om ja käänupunktid
2 joonist 1)kasvav 2)kahanev=> I;III graafik puutuja all ja II;IV graafik puutuja
kohal *Def F-n on vaadeldavas piirkonnas D kumer, kui graafik asub puutujate
all. F-n on vaadeldavas piirkonnas nõgus kui graafik asub puutujate kohal
*analüütilised tingimused(kasvava joonis) : f=f(x2)-f(x1)=QS; df =f'(x1)(x2-
x1)=RS ->def RS>QS *f'(x1)(x2-x1)>f(x2)-f(x1); f'(x2)(x1-x2)>f(x1)-f(x2)|-1-> f'(x2)
(x2-x1)
kaarele, =20°, piirdenurk =90° sest ta toetub diameetrile, on kolmnurga nurk NB vaja teada piirdenurga ja kesknurga =180°-20°-90°=90°-20°=70°. mõistet 10.Ringjoone puutuja - sirge, millel on vaata slaid 6 ringjoonega ainult üks ühine punkt; Ül.1097 puutepunkt: puutuja ja ringjoone ühine punkt; Leida puutujate vaheline nurk, antud nurk risti puutepunkti tõmmatud raadiusega puutepunktidesse joonestatud raadiuste vahel 100°. NB ringjoone punktist saab tõmmata läbi mitu tekivad võrdsed täisnurksed kolmnurgad lõikajat, aga ainult ühe puutuja 100°:2=50°, 90°-50°=40°, 40° 2=80° 11.Ringjoone puutuja tunnus - teoreem: sirge Ül.1094(1)
Sfäär, mis ühte antud pinda puutub ja teist lõikab. 100) Mis juhtumil lagub kahe teist järku pinna lõikejoon kaheks teist järku jooneks (Monge'i teoreemi sõnastus)? Kui kaks teist järku pinda puutuvad kolmandat teist järku pinda jooni mööda. 101) Milliseid pindu nimetatakse laotuvateks pindadeks? Pindu, mida saab painutamisel deformeerida tasapinnaks. 102) Nimetage kõik laotuvate pindade liigid. Koonilised ja silindrilised pinnad ning puutujate pinnad. 103) Missugustest tasapinnalistest kujunditest koostatakse silindrilise/koonilise pinna lähislaotus? a) silindrilise pinna ristkülikutest ja trapetsitest b) koonilise pinna kolmnurkadest 104) Kuidas tekib teist järku pöördpind? Teist järku joone pöörlemisel ümber oma sümmeetriatelje. 105) Nimetage kõik teist järku pöördpinnad. pöördellipsoid (ellipsi pöörlemine ühekatteline pöördhüperboloid pöördsilinder (kahe paralleelse sirge
a) funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkond; b) argumendi x väärtused, mille korral y < -1. 33. (2007) On antud joon y = xlnx + 2x. 1) Leidke sellel joonel punkt P(x; y), mille koordinaatide summa on vähim. 2) Leidke arv a, mille korral sirge y = ax 2 on antud joone puutujaks. Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid. 34. (2007) Kuupfunktsiooni y ax 3 bx 2 cx 1 kohta on teada, et tema graafiku puutujate seas on ainult üks selline puutuja, mille tõus on 4, ja selle puutepunkti 1 abstsiss on x . Veel on teada, et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum 3 kohal x = -1. Määrake kordajad a, b ja c. 35. (2007) On antud kaks funktsiooni y = log (kx) ja y = 2 log(x+1). 1) Leidke kummagi funktsiooni määramispiirkond. 2) Määrake kordaja k nii, et võrrandil log(kx) = 2 log(x+1) on üks lahend.
x x x Võrrandi numbriline lahendamine- Võrrandi numbriliseks lahendamiseks on mitmeid võimalusi : 1. Graafiline lahendamine (joonestame graafiku ja analüüsime võrrandit selle põhjal) 2. Analüütline lahendamine (toetume teadaolevatele pidepunktidele ja lahendame võrrandi analüüsides) 3. Numbriline lahendamine 4. Puutujate meetod ehk Newtoni meetod (lahendame võrrandi teatud lõigul [a,b] , lõigu valime nii , et f(a)*f(b)<0 , st et f(a) aja f(b) on erimärgilised, võrrandi lahend kuulub sellisel juhul piirkonda[a,b], selleks, et antud piirkonnas oleks meile sobivaid lahendeid täpselt üks, siis peab funktsiooni tuletis antud piirkonnas püsima alati sama märgiga)
9 + 9 + 3e + 3 f + g = 0 e = 4, f = -6 ja g = -12. Saame x 2 + y 2 + 4 x - 6 y - 12 = 0 . Soovi korral võime saadud tulemuse teisendada kujule ( x + 2 ) + ( y - 3) = 25 . 2 2 Samuti võib lasta leida saadud ringjoone pikkust, ringi pindala ja ringjoonele puutujate võrrandeid. Antud kursust saab ainesiseselt lõimida ,,Funktsioonid I" kursusega, planimeetria kordamisega ning laia matemaatika 12. kursusega. Ülesannete lahendamisega saab tähelepanu juhtida läbivatele teemadele ,,Elukestev õpe ja karjääriplaneerimine" (hotelli pidamine, liikluse korraldamine jne) , ,,Keskkond ja jätkusuutlik areng" (ressursside otstarbekas kasutamine), ,,Teabekeskkond" (leia meedias ilmunud graafik ja koosta ise ülesanne) ja
tingimusel, et alajaotuses 2) leitud puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks punktis, mille abstsiss on 1 4) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud ning nende graafikute ühine puutuja. Vastus: 1) 0; ; f x ln x; 2) y x 1; 3) a 0,5 ; c 0,5 3. Puutuja võrrandi koostamine a) Koostage joone puutuja y = 2x3 - x2 -3x + 1 puutujate võrrandid, kui puutujad moodustavad x telje positiivse suunaga nurga 450 17 Vastus. y = x - 2 y = x + 2 27 b) Koostage hüperbooli puutuja ja normaali võrrand punktis A( 2 ; 3 ) ; y = (x+1):(x- 1) Vastus: y = -2x + 7 ;x-2y+4 = 0 c) Leida joone y = x lnx puutuja, mis on paralleelne sirgega 2x - 2y + 3 = 0 Vastus: y = x - 1 d) Koostage joone y = 2 - x puutuja võrrand punktis, kus see joon lõikub esimese
puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks punktis , mille abstsiss on 1 ; 4) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud ning nende graafikute ühine puutuja. Vastus: 1) X= ( 0; ); f(x) = ln x; 2) y = x+1; 3) a = 0,5 ; c = 0,5 6.Puutuja võrrandi koostamine a) Koostage joone y = 2x3 - x2 -3x + 1 puutujate võrrandid, kui puutujad moodustavad x telje positiivse suunaga nurga 450 17 27 Vastus. y = x - 2 y = x + 2
35 36 9. ÜLESANNE (20 punkti) Ülesannete tekstid I Kuupfunktsiooni y ax 3 bx 2 cx 1 kohta on teada, et tema graafiku puutujate seas on ainult 1 üks selline puutuja, mille tõus on 4, ja selle puutepunkti abstsiss on x . Veel on teada, et sellel 3 kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x 1 . Määrake kordajad a, b ja c . II Kuupfunktsiooni y ax 3 bx 2
F K M E L D A Ringjoon (punane) läbi punkti H, mis puudutab sirget g ja suurt ringjoont, arvuti leiab keskpunkti K ja raadiuse KM. (Ruudukesed – puutujate valikupunktid) Joont, mille otsas asuvad 16 mm pikkused suured nooled, võib ehitada antud 20 mm kaugusele abijoonest BC käsuga OFFSET: O↵ (käsu OFFSET lühiväljakutse) Selgitused: Current settings: – kasutatav seadistus Erase source = No – algse joone kustutamine – EI Layer = Source – kiht kuhu paigutatakse rööpne kujund – algse kujundi oma OFFSETGAPTYPE = 0 – röötse kujundi joonestamist juhtiv põhimuutuja väärtus
JOONIS Joonisel on kujutatud joone y=f(x) puutuja s ja normaalsirge n koos oma tõusunurkadega ja . Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p=tan. Kuna =a+ ja tan=f'(a), siis Eelneva valemi ning valemi y-b=p(x-a) põhjal on punkti A=(a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: e. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu JOONIS Punktides A ja A on joon sile, seal on tema puutujad üheselt määratud. Puutujate tõusunurgad erinevad -st, järelikult on funktsioonil f argumendi väärtustel x=a ja x=a olemas lõplikud tuletised. Seevastu punktis A joon murdub. Punktiiriga on kujutatud lõikajate piirsirged mõlemapoolsel lähenemisel A-le. Need on erinevad, seega ei ole puutujad määratud. Argumendi väärtusel x=a funktsiooni tuletis puudub.
* Teepikkus on võrdne kaare pikkusega l = r. -) Pöördenurk on kõikidel punktidel ühesugune. * Nurgaühik on 1 radiaan [1 rad] -) Ühes täisringis on 2 rad. (6,28rad = 3600) * Joonkiirus on ringliikumisel läbitud teepikkuse ja liikumisaja suhe. * Nurkkiiruse tähis = ; ühik [1rad/s] -) = /t = l/tr = v/r * Perioodi tähis = T; ühik [1sek] -) Periood ja sagedus on seotud nurkkiirusega. * Sageduse tähis = f; ühik = [1Hz] * Kiirus on suunatud piki puutujate risti raadiusega. -) Kesktõmbekiirendus on kiirusega risti. -) Jõu mõju sõltub ka rakenduspunktist. -) Jõuõlg on risti jõu mõjusirgega. * L = p*r; F = M/r; p p0 = Mt/r; L =mvr = pr * Suure keha impulsimoment on tema osade impulsimomentide summa. -) Kui jõumoment puudub, siis impulsimoment ei muutu. * Võnkumine on liikumine, mis kordub perioodiliselt edasi-tagasi sama trajektoori mööda. -) Võnkumised võivad olla vabad ja sunnitud, sumbumatud ja sumbuvad.
· Kõvera pikkus K; · Bisektori ehk nurgapoolitaja pikkus B; · Mõõteliig ehk trassi lühenemine D=2T-K võrra, mis on tingitud puutujate asendamisest kõveraga punktide KA ja KL vahel. Pöördenurk arvutatakse horisontaalnurga järgi valemeist: pöördel paremale ja pöördel vasakule . Raadius R määratakse projekteeritava rajatise tehnilistest normatiividest ja maastiku eripärast lähtudes. Tangens T on täisnurkse kolmnurga kaatet, mille pikkus on .
Tangens ehk puutuja pikkus T; Kõvera pikkus K; Bisektori ehk nurgapoolitaja pikkus B; Mõõteliig ehk trassi lühenemine D=2T- K võrra, mis on tingitud puutujate asendamisest kõveraga punktide KA ja KL vahel. Pöördenurk φ arvutatakse horisontaalnurga β järgi valemeist: pöördel paremale φ1=180 ° −β1 ja pöördel vasakule φ ' 2 =β2 −180° .
, nimetatakse piirväärtust z xz f x,y y f x,y y lim y 0 y lim y 0 y . Joonisel on geomeetriliselt kujutataud funktsiooni z f x, y osatuletisi punktis A a, b : need on vastavalt pinna z f x, y ja tasandite x a ja y b lõikumisel tekkinud joonte l x ja l y puutujate tõusud z x tan , z y tan . Funktsiooni z f x, y täisdiferentsiaaliks dz või df nimetatakse avaldist dz f x x, y dx f y x, y dy Funktsiooni, millel on täisdiferentsiaal, nimetatakse diferentseeruvaks. Nagu jooniselt näha, kujutab funktsiooni z f x, y täisdiferentsiaal geomeetriliselt funktsiooni f graafiku puutujatasandi aplikaadi (z-koordinaadi) muutu üleminekul punktist P x, y punkti P 1 x x, y y. Näide 4. Funktsiooni z x 2 sin y osatuletised on
Joonis 7.2 - Koormatud ala ümbritsevad tüüpilised baaskontrollperimeetrid Kui koondatud jõud võetakse vastu suure rõhuga (näiteks pinnase rõhk vundamendi tallal) või kui koormus või reaktsioon mõjub kauguse 2d ulatuses koormatud ala piirist, tuleks vaadelda 2d-st väiksemat kontrollperimeetrit. Kui koormatud ala perimeetrile lähemal kui 6d asub ava (lugedes ava servast), siis ei võeta ar- vesse seda kontrollperimeetri osa, mis jääb koormatud ala tsentrist avale tõmmatud puutujate va- hele (vt joonis 7.3). - ava Joonis 7.3 - Kontrollperimeeter ava lähedal Serva või nurga lähedal asuvale koormatud alale tuleks kontrollperimeeter võtta joonise 7.4 järgi. Joonis 7.4 - Koormatud ala baaskontrollperimeeter serva või nurga lähedal Plaadi kasuskõrgus võetakse tavaliselt mõlemas suunas võrdseks: dy dz
piirsirged. Sellisel juhul ei ole ka funktsiooni tuletis f (a) argumendi v¨a¨artusel x = a m¨a¨aratud. Seega v~oib ¨oelda, et argumendi v¨ a¨ artusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A = ousunurk ei ole 2 . (a, f (a)) sile joon, mille puutuja t~ ¨ Oeldut illustreerib joonis 3.5. Punktides A1 ja A2 on joon sile, seal on tema puu- tujad u ¨heselt m¨a¨ aratud (joonisel kujutatud pidevate sirgl~oikudega). Puutujate ousunurgad erinevad 2 -st, j¨arelikult on funktsioonil f argumendi v¨a¨artustel t~ x = a1 ja x = a2 olemas l~oplikud tuletised. Seevastu punktis A3 joon murdub. Punktiiriga on kujutatud l~oikajate piirsirged m~olemapoolsel l¨ahenemisel A3 -le. Need on erinevad, seega ei ole puutuja m¨a¨aratud. Argumendi v¨a¨artusel x = a3 funktsiooni tuletis puudub. yy y = f (x) A3
piirsirged. Sellisel juhul ei ole ka funktsiooni tuletis f (a) argumendi v¨a¨artusel x = a m¨a¨aratud. Seega v~oib ¨oelda, et argumendi v¨ a¨ artusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A = ousunurk ei ole 2 . (a, f (a)) sile joon, mille puutuja t~ ¨ Oeldut illustreerib joonis 3.5. Punktides A1 ja A2 on joon sile, seal on tema puu- tujad u¨heselt m¨a¨aratud (joonisel kujutatud pidevate sirgl~oikudega). Puutujate t~ousunurgad erinevad 2 -st, j¨arelikult on funktsioonil f argumendi v¨a¨artustel x = a1 ja x = a2 olemas l~oplikud tuletised. Seevastu punktis A3 joon murdub. Punktiiriga on kujutatud l~oikajate piirsirged m~olemapoolsel l¨ahenemisel A3 -le. Need on erinevad, seega ei ole puutuja m¨a¨aratud. Argumendi v¨a¨artusel x = a3 funktsiooni tuletis puudub. yy y = f (x) A3
mikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f graafiku punkte (a, f (a)) ja (b, f (b)) läbib selline lõikaja, mis on x-teljega paralleelne, siis on nende vahel selline graafiku punkt (c, f (c)) , milles võetud puutuja on x-teljega paralleelne. 4.2.2 Lagrange’i keskväärtusteoreem ja funktsiooni monotoonsusomadused Ei ole põhjust arvata, et Rolle’i teoreemi väide kehtib vaid x-teljega paralleelsete lõikajate ja puutujate puhul. Järgmine lause – Lagrange’i keskväärtusteoreem – ütlebki, et lõigus [a, b] pideva ja vahemikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f korral saab vähemalt ühes graafi- ku punktis (c, f (c)) võtta puutuja, mis on paralleelne läbi punktide (a, f (a)) ja (b, f (b)) tõmmatud lõikajaga (vt. joonis 4.2). Lause 4.11 (Lagrange’i keskväärtusteoreem). Olgu f lõigus [a, b] pidev funktsioon, mis vahemikus (a, b) on diferentseeruv. Siis leidub selline c ∈ (a, b), et
annaabi.ee 
