1 SISSEJUHATUS. Geodeesia on teadus, mis käsitleb Maa kuju mõõtmete ja raskusjõuvälja määramist ning tegeleb Maa pinnaosade kuju ja suuruse mõõtmisega ja nende mõõtkavalise kujutamisega tasandil. Geodeesia on üks maailma vanimaid teadusi, mida kasutatakse nii era- kui ka riiklikul tasandil maakaartide, asendiplaanide, krundi piiride ja muu sellise määramisel. Ükski asi ei seisa püsti ilma aluseta. Geodeetiliste tööde aluseks on geodeetilised põhivõrgud. Põhivõrkudel on täita suur osa. Siia kuulub nii satelliidipõhiselt määratav riiklik geodeetiline põhivõrk, riigi kõrguslik alusvõrk, asulate geodeetiline põhivõrk. Et viia läbi neid töid, vajatakse Maa kuju täpset tundmist, mille määramiseks kasutatakse tänapäeval geodeetiliste täppissatelliitide abi. Maa-ameti geodeesia osakond http://www.maaamet.ee . Mina käsitlen siin referaadis enamjaolt ehitiste välismõõdistamisega seonduvat. Töötades ühes Eesti
TÄNAPÄEVAL KASUTUSES OLEVAD GEODEETILISED INSTRUMENDID REFERAAT Õppeaines: ÜLDGEODEESIA Ehitusteaduskond Õpperühm: Juhendaja: Esitamiskuupäev: Üliõpilase allkiri:…………….. Õppejõu allkiri: ……………… Tallinn 2014 Sisukord Sissejuhatus ..........................................................................................................................................3 1. Diginivelliir ......................................................................................................................................4 1.1 Leica Sprinter 250M...................................................................................................................4 1.2 Trimble DiNi ....................................................................................................................
Projekteerimisaluse saamiseks tuleb teha välimõõtmised, et kõik objektid, mis projekteerijale huvi võiksid pakkuda, oleksid ära mõõdetud ning nende asukoht teada L- Est97 koordinaatsüsteemis. Mõõdistamisvõrk tuleks rajada nii, et kataks kogu uuritava ala ning oleks seotud riikliku võrguga. Võimalik mõõdistamisvõrk oleks tee puhul kõige otstarbekam rajada käiguna. Jaamapunktidest peaks olema võimalik vaadelda kõiki soovitud objekte. 2. Millised geodeetilised tööd tuleb teostada trassi piketeerimiseks. Kuidas toimub kõverate mahamärkimine ja kuidas saab kanda sirgel olevad piketid kõverale? Trassi piketeerimiseks tuleb selle elemendid eelnevalt leida arvutuste teel (tangenslõigud, mõõteliiad, bisektorid) vastavalt kavandatava tee klassile ja projektkiirusele. Arvutuste tegemiseks valitakse sobilik pöörderaadius. Trass jaotatakse plaanil ühesuguse pikkusega lõikudeks- enamasti on selleks 100 m. Piketeerimist
Käesoleval ajal on meil kasutusel nn Balti kõrguste süsteem – BK77. Absoluutkõrgused Eesti alal on kõige suurema absoluutse kõrgusega Suure Munamäe tipp. Punkti absoluutne kõrgus määratakse nivelleerimise teel. Kõrgtäpse nivelleerimise tehnoloogia võimaldab määrata absoluutseid kõrgusi mõne millimeetri täpsusega. Geodeetilised kõrgused Geodeetiline kõrgus h on punkti kaugus referentsellipsoidi pinnast mööda normaali. Geodeetilised kõrgused määratakse ellipsoidil. Aastast 1992 on Eestis kasutusel referentsellipsoid GRS-80, mille suhtes on määratud riigi geodeetilise põhivõrgu punktide geodeetilised kõrgused GPS-mõõtmistega. Geodeetilisi kõrgusi on võimalik määrata mõne sentimeetri täpsusega. Saame nt GPS-iga mõõtes. GPS-is olev geoidimudel arvutab meile absoluutse kõrguse. Kõrguskasv Kõrguskasv on maapinna kahe punkti kõrguste vahe, mida nimetatakse ka suhteliseks kõrguseks.
GEODEESIA, GEOMAATIKA, GEOID, ELLIPSOID, KOORDINAADID Mis on geodeesia? * Geodeesia (kr geodaisia ‘maajagamine’) - teadus Maa pinna mõõdistamisest ja kaardistamisest (F. R. Helmert 1843-1917) * Rakendusteadus, mis on tihedalt seotud astronoomia, füüsika, geofüüs., matem., kartograafiaga, tänapäeval tehnikaga (satelliidid, lennundus, fotograafia, informaatika) * Geodeesia on tähtis ehituses, planeerimises, metsanduses, põllumajanduses, sõjanduses jm * Geodeetilised mõõtmised on aluseks plaanide ja kaartide koostamisel * Geodeetilised mõõtmised ning nende põhjal arvutatud geoidi mudeleid kasutatakse ka nt nutitelefonides (GPS) Geodeesia jaguneb: • Kõrgem geodeesia – Maa kuju ja suurus, teooria • Geodeetiline mõõdistamine (geodeetilised tööd) – riiklikud, rahvusvahelised rakendused (arvestavad Maa kumerust) • Maamõõtmine – tasapinnalisel referentsalusel toimuvad tööd
Laboratoorne töö nr. 2 Mõõtmised topograafilisel kaardil II Ülesanne 1 Eesmärk: Geodeetiliste ja ristkoordinaatide määramine kolmele punktile. Töövahendid: Eesti baaskaart nr. 7412, mõõtkava 1:50 000, joonlaud, kalkulaator. Tabel 1. Punktide geodeetilised ja ristkordinaadid Punkt B L X Y o o 1 59 38’2“ 26 29’19“ 6613,25 640,4 2 59o38’14“ 26o32’25“ 6613,75 643,23 3 59o36’57“ 26o30’57“ 6611,275 641,90
Laboratoorne töö nr.3: mõõtmised topograafilisel kaardil II Laboratoorse töö eesmärgiks on määrata punktide geodeetilised ja ristkoordinaadid. 1. Määrata laboratoorses töös nr. 1 märgitud kolme punkti geodeetilised ja ristkoordinaadid ning esitada tulemused tabelis (Tabel 3 ). Tabel 3. Punktide 1, 2 ja 3 geodeetilised ning ristkoordinaadid Punkt B L X(km) Y(km) 1 5923'35'' 2507'35'' 6684,37 564,03 2 5924'20'' 2510'33'' 6685,80 566,81 3 5925'13'' 2509'58'' 6687,45 566,23 2. Lahendada geodeetiline pöördülesanne, s.t leida määratud joonte otspunktide
LABORATOORNE TÖÖ NR. 2 Mõõtmised topograafilisel kaardil II Punkti geodeetiliste ja ristkoordinaatide määramine Ülesanne 1. Määrata laboratoorses töös nr. 1 märgitud kolme punkti geodeetilised ja ristkoordinaadid ja kanda need tabelisse 2.1. Tabel 2.1. Punktide geodeetilised ja ristkoordinaadid Punkt B L X Y 1 59 11' 53" 24 59' 22" 6562,5 556,550 2 59 12' 58" 25 01' 16" 6564,55 558,4 3 59 11' 16" 25 00' 35" 6561,4 557,7 Maapinna punktide asukoht plaanidel ja kaartidel määratakse kindlaks koordinaatide abil. Põhilised kasutatavad koordinaatide süsteemid on järgmised. 1
LABORATOORNE TÖÖ nr.2 "Mõõtmised topograafilisel kaardil II" Punkti geodeetiliste ja ristkoordinaatide määramine (vt. Randjärv, J. Geodeesia I, Tartu 1999, lk 82-84) Ülesanne 1. Määrata laboratoorses töös nr. 1 märgitud kolme punkti geodeetilised ja ristkoordinaadid. Lahendus: Geodeetilised koordinaadid on punkti laius B ja pikkus L. Nende puhul võetakse Maa kuju määravaks matemaatiliseks pinnaks pöördellipsoid. Punkti geodeetilised koordinaadid leitakse valemite B=+B ja L=+L abil, kus on punktist lõuna pool asuva lähima paralleeli laius, on punktist lääne pool asuva lähima meridiaani pikkus, B ja L on laiuse ja pikkuse juurdekasvud. Võtan arvesse, et B-teljel 3,7 cm60 ja L-teljel 1,9 cm60. Punkti 1 lõuna pool asuva lähima paralleeli väärtus on 5845, selle juurdekasv kaardilt mõõdetuna on 0,95 cm. Ristkorrutise abil leian , ehk x15. Seega liites juurdekasvu, saan B väärtuseks 584515. Punkti 1 lääne pool
Laboratoorne töö nr 3 Mõõtmised topograafilisel kaardil Ülesanne 1. Eesmärk: Määrata laboratoorses töös nr. 1 märgitud kolme punkti geodeetilised- ja ristkoordinaadid(Tabel 3.1). Tabel 3.1. Punktide geodeetilised- ja ristkoordinaadid Punkt B L X Y 1 59°19'54'' 25°14'06'' 6577,700 570,200 2 59°20'34'' 25°16'13'' 6578,900 572,225 3 59°19'15'' 25°16'28'' 6576,475 572,525 Ülesanne 2. Eesmärk: Lahendada geodeetiline pöördülesanne. Leida määratud joonte otspunktide koordinaatide järgi joonte pikkused ja võrrelda arvutatud joonepikkusi laboratoorses töös nr. 2 mõõdetud joontepikkustega(Tabel 3.2). Tabel 3.2. Joonte pikkused otspunktide koordinaatide järgi Joon Plaanilt Ris...
Laboratoorne töö nr. 2 Mõõtmised topograafilisel kaardil II Ülesanne 1. Leian laboratoorses tööd number 1 märgitud kolme punkti (A, B ja C) geodeetilised ja ristkoordinaadid. Mõlemad koordinaatide süsteemid on märgitud antud kaardi kaardiraamile ristkoordinaadid mustaga, geodeetilised punasega. Koordinaatide väärtusi tuleb lugeda lõunast põhja ja läänest itta. Geodeetiliste koordinaate tähisteks on laius B ja pikkus L, kus B vastab X- teljele ning L Y-teljele. Ristkoordinaatide puhul on X-i väärtus alati seitsmekohaline ja Y-i väärtus kuuekohaline. Ristkoordinaatide leidmiseks tõmban esmalt ühest punktist kaks joont musta raamistikuni nii, et joonestatav joon oleks paralleelne ristkoordinaatide ruudustikuga. Seejärel jälgin, kus lõikavad
Laboratoorne töö nr.5: joonte orienteerimine Laboratoorse töö eesmärgiks on määrata laboratoorses töös nr.3 märgitud kolmnurga joontele tõelised asimuudid ja direktsiooninurgad. Leida meridiaanide koonduvused, rumbid ja horisontaalnurgad. Laboratoorses töös nr.3 leitud punktide geodeetilised ja ristkoordinaadid on esitatud tabelis (Tabel ). Tabel . Punktide 1, 2 ja 3 geodeetilised ning ristkoordinaadid Punkt B L X(km) Y(km) 1 5923'35'' 2507'35'' 6684,37 564,03 2 5924'20'' 2510'33'' 6685,80 566,81 3 5925'13'' 2509'58'' 6687,45 566,23 1) Meridiaanide koonduvuse arvutamine. a) Meridiaanide koonduvuse arvutamine mõõdetud direktsiooninurkade ja tõeliste
1. Tähista oma Eesti baaskaardi lehel geodeetiline võrk Ühendan punased ristikesed. 2. Määra oma kahele punktile geodeetilised koordinaadid PL 5’=18,55 cm=185,5 mm; 185,5*50=9275 m IP 5’=9,55 cm=95,5 mm; 95,5*50=4775 m 9275 PL: 300“ – 9275 m x= ≈ 31 m 300 1“ –x 4775 IP: 300“ – 4775 x== ≈ 16 m 300 1“ –x PL 1“=31m IP 1“=16 m
Kolmandaks: kanda sellele üle maaellipsoidi kaardivõrk ja põhivõrgu punktid 8. Kaardiprojektsioonid- silindrilised(riskülik), koonilised(kolmnurk), tasandilised(ring). Kaardid ja moonutused: konformsed(EST), õigepindsed, õigepikkuselised. Britmarii Kroon Jaanuar, 2013 9. Klass: Mercatori põiksilindriline konformne projektsioon Telgmeridiaan L=24° 00' Mõõtkavategur =0.9996 Lähtepunkti geodeetilised koordinaadid: B0=00° 00', L0=24° 00' lähtepunkti ristkoordinaadid: X0=0 m, Y0=500km 10/12. LAMBERT ESTONIA Lähtepunkti geodeetilised koordinaadis: Bo=57``31N Lo=24``00E Ristkoordinaadid: Xo=6375km Yo=500km Telgmeridiaan L=24``00E Paralleelid: Bs=58``00N Bn=59``20 11. Tähtede ja numbrite kombinatsioon, mis kujutab kaardilehe aadressi maakeral. Eesti Põhikaart on jagatud 50x50cm suurusteks kaardilehtedeks. Mõõtkavas 1:10 000 on kaardilehel kujutatud
töötlemisest ning maapinna osade kujutamisest tasapinnal kaartide ja profiilidena. Peamised tegevusvaldkonnad: Kõrgem geodeesia- ül Maa kuju ja suuruse määramine kõrge täpsusega geodeetiliste, astronoomiliste, gravimeetriliste, kosmilise geodeesia jm meetoditega. Kaasa arvatud geodeetiliste põhivõrkude rajamine ja maakoore liikumiste uurimine kõrgtäpsete kordusmõõtmiste andmete põhjal. Insenerigeodeesia- siia kuuluvad geodeetilised tööd, mis tehakse mitmesuguste rajatiste projekteerimiseks vajalike lähteandmete ja alusplaanide saamiseks, nende rajariste ehitamisel ja ehitusjärgsel deformatsiooni uurimisel. Lisaks erinevate planeerimisobjektide koostamiseks tehtavad topo-geodeetilised uuringud ja projekteeritud märkimistööd maastikul, mis nõuavad sageli täiendavate ehitusvõrkude rajamist. Samuti maa-aluste kommunikatsioonide ja
Maamõõtmise eksami kordamisküsimused 1. Kordinaatide määramine 1:50000 kaardi pealt (1:50000 tähendab et 1 cm kaardil vastab 50 000 cm looduses ehk 1 cm = 500 m looduses ehk 1 cm = 0,5km looduses) Geodeetilised kordinaadid on punkti laius B ja pikku L - Neid määratakse kordinaatide järgi, et saada kordinaadid peame selleks tõmbama sirged jooned läbi punaste ristide, mi sasuvad kaardil. - Seejärel näeme üleval kaardil asuvaid kordinaate ja nende vahesid, selle järgi saame mõõta sirgest asuva punkti kauguse ja selle korrutada kaardi mõõtkavaga. Nii saamegi laiuse B ja pikkus L.
LABORATOORNE TÖÖ NR 2 Mõõtmised topograafilisel kaardil II- Punkti geodeetiliste ja ristkoordinaatide määramine Ülesanne 1. Määrata laboratoorses töös nr 1 märgitud kolme punkti geodeetilised ja ristkoordinaadid. Tulemused kanda tabelisse 2.1. Ristkoordinaatide leidmine: X 1 = 6555+1,85= 6556,85 3,7*500=1850 m= 1,85 km Y 1 = 595+0,8= 595,8 1,6*500= 800 m= 0,8 km X 2 = 6560-0,8= 6559,2 1,6*500= 800 m= 0,8 km Y 2 =600-0,45= 599,55 0,9*500= 450 m= 0,45 km X 3 = 6555+0,3=6555,3 0,6∗500=300 m=0,3 km Y 3 = 600-1,65= 598,35 3,3*500= 1650 m= 1,65 km Geodeetiliste koordinaatide leidmine: 1) 5,9 cm= x 3,7= 60 x= 95 = 11 35 2) 0,8 cm= x 1,9= 60 x= 25
Objektialuseks mineraalpinnaseks valis autor liivapinnase ning süvendi varisemisnurk sai valitud tabeli järgi - = 30°. Selle põhjal arvutati väljakaeve- ja tagasitäite mahud, materjali kogused ning valiti vajaminevad masinad. 3. MULLATÖÖDE TEHNOLOOGIAKAART 3.1. Tööde loetelu Objektil vajavad teostamist projekti järgi järgnevad tööd: krundi märketööd, kasvupinnase eemaldus ehk koorimine, mineraalpinnase eemaldus, killustikaluse ehitus vundamendi taldmike alla, geodeetilised märgid taldmiku plokkidele, vundamendi taldmikuplokkide paigaldus, vundamendi seinaplokkide paigaldus, monoliitse betoonvöö ehitus, süvendi tagasitäide, haljastuskihi rajamine. Materjali ladustamine ning soojakute asukohad on ära toodud joonisega lisa 11. Tööde aeg ja tööle kuluv töövajadus on lisana ära toodud graafikutega alapeatükis 3.9. 3.2. Tööprotsesside kirjeldus 3.2.1. Märketööd
3. Punktid peavad olema kindlustatud nõuetekohaste tsentritega ja tähistatud tunnuspostiga; 4. Punktid peavad olema kergesti ligipääsetavad autotranspordile (kuni 200 meetrit teest); 5. Punktide asukoha valikul tuleb jälgida geoloogilisi tingimusi – pinnas peab olema geoloogiliselt püsiv. II Tugipunktide koordinaatide ja kõrguste määramine: 1. Kõigile uutele tihendusvõrgu punktidele määrata geodeetilised koordinaadid (L, B, h) GPS mõõtmisega ±3 cm täpsusega riikliku I ja II klassi punktidest lähtudes; Mõõtmissessiooni pikkus võib olla 10 min. 3 2. Koordinaadid arvutatakse seejärel riigi ristkoordinaatide süsteemi L-Est97 ja kõrgused süsteemi BK77. Normaalkõrguste arvutamisel kasutada Eesti geoidi 2011. a mudelit (Maa-ameti kodulehel); 3
Hiljem kogu maastiku situatsioon seotakse geodeetilise võrgu punktidega. Geodeetiliste võrkude rajamiseks on mitmesuguseid meetodeid olenevalt kasutatavatest instrumentidest: triangulatsioon (mõõdetakse kolmnurkade kõik sisenurgad, võrk koosneb kolmnurkadest) ajalugu trilateratsioon (kolmnurga külgede pikkuste kaudu) GPS mõõtmised (määratakse geodeetilised koordinaadid Maa satelliitide abil, punktide vahel ei pea olema nähtavust) polügonomeetria (mõõdetakse nurga ja joone pikkusega) (vead nurk 1-5 sekundit, pikkus 2-5mm/km, sobivad pikkused 300-1500m) Teodoliitkäigud (sarnane polügonomeetriaga vead: nurk 5-30 sekundit, pikkus Eesti riiklik koordinaatide süsteem ... - rajatud 1992. aastal, täpsustatud 1997. a., kohustuslik kasutamiseks 2005. aastast kõigil geodeetilistel töödel.
gravitatsiooniväli. 2. Topograafia - tegeleb maapinna väiksemate osade mõõtmisega ja nende kaardile kujutamisega. 3. Kartograafia - tegeleb kaartide koostamise, kasutamise ja Maapinna suuremate osade(alade) kujutamisega tasapinnale 4. Aerofotogeodeesia - tegeleb lennukitelt ja satelliitidelt fotode tegemisega ning nende abil kaartide koostamisega. Kui aerofoto viiakse mõõtkavasse, siin nimet. seda ortofotoks. 5. Ehitusgeodeesia - ehitusplatsil tehtavad geodeetilised mõõtmised 6. Katastrimõõdistamine - katastri piiride määramine(nt mõõdetakse mingi metsatükk), mõõtmine ning seal olevate pindade kaardistamine, maakorraldus, punktide märkimine Maa kuju ja suurus (ellipsoid, geoid) Maale mõjub 2 jõudu: maasisene raskusjõud ja tsentrifugaaljõud. Ellipsoid- Maa matemaatiline mudel Geoid - rahulikus olekus olevate maailmamerede pind, mis on mõtteliselt laiendatud maismaa-alale
võimalik pidevalt kaugseire abil täiendades hoida kaasaegsena. Reljeef (kõrgused) on transformeeritud vanadelt kaartidelt. Trükikaardi viimased lehed ilmusid aastal 1998. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50cm paberil ehk 25x25km maapinnal. Mercatori põiksilindriline konformne projektsioon Referentsellipsoid: GRS-80 Projektsiooni parameetrid: 1. telgmeridiaan L = 24°00' 2. mõõtkavategur telgmeridiaanil 0.9996 Süsteemi parameetrid: 1. lähtepukti geodeetilised koordinaadid: B0 = 00°00', L0 = 24°00' 2. lähtepunkti ristkoordinaadid: x0 = 0 m, y0 = + 500 000 m Projektsioonist tingitud mõõtkava moonutus telgmeridiaanil on 1:2500. Maksimaalsete moonutuste piirkonda jääb selles projektsioonis Lääne-Eesti. Baaskaarti kasutavad: loodusressursside ja keskkonnauuringutega tegelevad asutused, GIS, statistika ja rahvaloendus, riigikaitse, merelaevandus, transport, maareform jne
Plaan on ilma reeglipäraste moonutustega. Kaart tuleb teha siis kui maakera moonutused hakkavad mõjutama. Eesti ametlik kaardi projektsioon on Lamberti konformne kooniline projektsioon (L-EST). situatsiooniplaanid- kujutatakse maastikuobjekte e kontuure. topograafilised plaanid- lisaks maastikuobjektidele on kujutatud ka reljeef (maapinna kõrgusinfo). H-geoidikõrgus (eesti ametlik) h-ellipsoidikõrgus Kordinaatide süsteemid 1. geodeetilised kordinaadid meridiaanid ja paralleled Laius B ja pikkus L 2. ristkordinaadid • telgmeridiaan • ekvaatori joon geodeesias suureneb X kordinaat põhjapoole ja Y kordinaat suureneb ida poole!!! eestis on lähtemeridiaaniks 24 kraadi 18 minutit. 3. polaarkoordinaadid • horisontaalnurk • join horisontaalprojektsioon 4. kõrgus-süsteemid • Absoluutkõrgus- geoid • ellipsoidkõrgus • suvaline e suhteline (näiteks võtad äärekivi punktiks mille järgi mõõdad)
Ülesanne: 1) Tähista Eesti baaskaardil geodeetiline võrk 2) Määra oma kolmele punktile geodeetilised kordinaadid 3) Tähtista Eesti baaskaardil TM-võrk 4) Määra oma kolmele punktile tasapinnalised ristkoordinaadid 5) Arvuta koordinaatide järgi joonepikus 1-2, 2-3, 3-1 6) Arvuta joone mõõtmise suhteline viga (flub<1/100) 7) Konstrueeri eelmisele laboratoorsele tööle L-EST koordinaatvõrk 8) Määra veel kolmele nurgale koordinaadid L-EST süsteemis Lahendus: 2) ja 4) Punkt B L X Y
Kõrgem geodeesia- tegeleb Maa kuju ja suuruse määramise ning plaanilise ja kõrgusliku põhivõrgu loomisega Aerofotogeodeesia- topograafiline mõõdistamine aerofotode järgi fotogramm- meetriliste instrumentide abil. Rakendusgeodeesia- käsitleb ehitiste (hooned, teed, sillad jne) rajamisel rakendatavaid mõõtmismeetodeid ja mõõteriistu. Üheks haruks on ehitusgeodeesia. 3. Nimeta põhilised geodeetilised instrumendid. Nivelliir on instrument, mis annab horisontaalse vaatekiire ning koos nivelleerimislattidega võimaldab määrata maastikupunktide kõrguslikke erinevusi e kõrguskasve. Elektrontahhümeetris on ühendatud elektrooniline nurgamõõtur, kaugusmõõtur ja arvutiosa standardprogrammidega ning andmete salvesti Teodoliit on nurgamõõdu instrument (vertikaal- ja horisontaalnurgad).
punktidest lähima ristkoorinaatide võrgustiku jooneni 1mm täpsusega. Seejärel arvutasin väja juurdekasvud lähimale jooneni ja liitsin need. Sain tulemuseks punktide ristkoordinaadid (X;Y). Tulemused on tabelis 1. Geodeetiliste koordinatide määramine: mõõtsin vahekaugused varem märgitud punktidest lähima geodeetiliste koordinaatide võrgustiku jooneni 1mm täpsusega. Seejärel arvutasin välja juurdekasvud lähimale joonele ja liitsin need. Tulemuseks sain punktide geodeetilised koordinaadid (B;L) samuti on tabelis 1. Punkt B L X Y 1 58 52 22 26 21 55 6528,4 636, 375 2 58 53 31 26 25 46 6530,55 640 3 58 55 18 26 21 22 6533,75 635,725 Tabel 1 Ülesanne 2 Töö eesmärk:Lahenda geodeetiline pöördülesanne, s.t
Kõrgem geodeesia – tegeleb Maa kuju ja suuruse määramisega ning plaanilise ja kõrgusliku põhivõrgu loomisega. Aerofotogeodeesia – topograafiline mõõdistamine aerofotode järgi fotogramm-meetriliste instrumentide abil. Rakendusgeodeesia – käsitleb ehitiste rajamisel rakendatavaid mõõtmisvahendeid ja mõõteriistu. Üheks haruks on ehitusgeodeesia. 2) Geodeesia - On õpetus maa-alade mõõtmisest ja kaardistamisest, samuti maa kuju ja suuruse määramisest. 3) Geodeetilised tööd jagunevad kaheks. Esiteks välitööd, mille käigus toimub mõõtmine. Teiseks on kameraaltööd, mille käigus toimub väliandmete töötlemine ja geodeetiliste jooniste (plaanid, profiilid) koostamine. 4) Teodoliit – nurgamõõdu instrument (vertikaal- ja horisontaalnurgad) Nivelliir – on instrument, mis annab horisontaalse vaatekiire ning koos nivelleerimislattidega võimaldab määrata maastikupunktide kõrguskasve.
Kõrgem geodeesia – tegeleb Maa kuju ja suuruse määramisega ning plaanilise ja kõrgusliku põhivõrgu loomisega. Aerofotogeodeesia – topograafiline mõõdistamine aerofotode järgi fotogramm-meetriliste instrumentide abil. Rakendusgeodeesia – käsitleb ehitiste rajamisel rakendatavaid mõõtmisvahendeid ja mõõteriistu. Üheks haruks on ehitusgeodeesia. 2) Geodeesia - On õpetus maa-alade mõõtmisest ja kaardistamisest, samuti maa kuju ja suuruse määramisest. 3) Geodeetilised tööd jagunevad kaheks. Esiteks välitööd, mille käigus toimub mõõtmine. Teiseks on kameraaltööd, mille käigus toimub väliandmete töötlemine ja geodeetiliste jooniste (plaanid, profiilid) koostamine. 4) Teodoliit – nurgamõõdu instrument (vertikaal- ja horisontaalnurgad) Nivelliir – on instrument, mis annab horisontaalse vaatekiire ning koos nivelleerimislattidega võimaldab määrata maastikupunktide kõrguskasve.
idapikkus. Geograafiline laius ? on ekvaatori tasapinna ja punkti läbiva loodjoone nurk. Geograafilist laiust mõõdistatakse ekvaatorist põhja või lõuna suunas. Kuna Eesti ala jääb ekvaatorist põhjapoole, on siin alal kõikide punktide geograafiline laius põhjalaius. Geograafilised koordinaadid ei ole absoluutsed, sest ühel punktil võib olla mitu geograafilist koordinaati. See tuleneb sellest, et maakera mõõtmeid pole võimalik täpselt välja arvutada. Mis on punkti geodeetilised koordinaadid, nende määramine Geodeetilised koordinaatideks on B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti asendi referentsellipsoidil. Kolmas koordinaat on geodeetiline kõrgus h, mis määrab punkti kauguse ellipsoidist piki normaali. Geodeetilised ja astronoomilised koordinaadid ei ühti. Seda põhjustab loodjoone kõrvalekalle maaellipsoidi normaalist. Kõrvalekalle määratakse gravimeetriliste ja kõrgtäpsete geodeetiliste mõõtmistega. Mis on tasapinnalised ristkoordinaadid?
wikimedia.org/wiki/Category:Map_projections Edasi d) http://www.geometrie.tuwien.ac.at/karto/ 7 8 2. GEODEETILISED INSTRUMENDID. Teodoliit on nurgamõõdu instrument (vertikaal- ja horisontaalnurgad). Ehitusgeodeesia Nivelliir on instrument, mis annab horisontaalse vaatekiire ning koos
füüsiliselt deformeerunud Maa mudel Horisontaalprojektsioon – maa reaalse pinna kujutamine tasapinnal; looduses oleva pinna kujutamine tasapinnal Horisontaalnurk – kahe vertikaaltasapinna vaheline nurk horisontasapinnal Vertikaalnurk – mingi joone ja horisontaaltasapinna vaheline nurk Kaart – reeglipäraste moonutustega maapinna kujutis tasapinnal; suuremate alade jaoks Plaan – moonutusteta maapinna kujutis tasapinnal; väiksemate alade jaoks Koordinaatsüsteemid: Geodeetilised k. (meridiaanid ja paraleelid; laius ja pikkus), Ristkoordinaadid (telgmeridiaan ja ekvaatorjoon või nendega II suunad), Polaarkoordinaadid (horisontaalnurk ja joone horisontaalprojektsioon), Absoluutkoordinaadid (geoid, ellipsoid, suvaline e. suhteline) Mõõtkava – reaalse joone pikkuse ja kaardil oleva joone pikkuse suhe Maastiku reljeef: Pinnavormid (negatiivsed, positiivsed ja neutraalsed) Asimuut – meridiaani põhjasuuna ja antud suuna vaheline nurk; tõeline ja magnetiline
meridiaani tasandite vaheline nurk. Kuna Eesti ala jääb Greenwichi meridiaanist idapoole, on siin alal kõikide punktide geograafiline pikkus idapikkus. Geograafiline laius on ekvaatori tasapinna ja punkti läbiva loodjoone nurk. Geograafilist laiust mõõdistatakse ekvaatorist põhja või lõuna suunas. Kuna Eesti ala jääb ekvaatorist põhjapoole, on siin alal kõikide punktide geograafiline laius põhjalaius. 5. Mis on punkti geodeetilised koordinaadid; nende määramine? Geodeetilised koordinaatideks on B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti asendi referentsellipsoidil. Kolmas koordinaat on geodeetiline kõrgus h, mis määrab punkti kauguse ellipsoidist piki normaali. Geodeetilised ja astronoomilised koordinaadid ei ühti. Seda põhjustab loodjoone kõrvalekalle maaellipsoidi normaalist. Kõrvalekalle määratakse gravimeetriliste ja kõrgtäpsete geodeetiliste mõõtmistega. 6. Mis on tasapinnalised ristkoordinaadid
Kui omanikujärelvalve võttis töö teostuse vastu koostas objektijuht vastava dokumentatsiooni ja saatis selle projektijuhile, kes esitas kõik kaetud tööde aktid iga kuu lõpus tellijale , et tasutud tehtud tööde eest. 2.4 Teostatud tööd ja praktika ametikoht Esimesl praktikal oli minu ametikohaks objektijuhi otsene abi ja tööülesanneteks põhiliselt erinevate aktide, protokollide jm. dokumentide koostamine ja täitmine, erinevad geodeetilised tööd, dreenkihi ja killustikaluse ehitus, masinajuhtide juhendamine ja järelvalve, tihendamistööd ning objektile erinevate rajatiste paigaldamine. Fotod kasutatud töövahenditest ja teostatud töödest asuvad lisades (Lisa 1). 8 2.4.1 Teostatud tööd · Aktide- ja protokollide koostamine ning täitmine - sinna kuulusid üldiselt kaetud tööde
ning erinevatest tööülesannetest ning nendega seonduvatest probleemidest. Põhjused praktikaettevõtte valimiseks. Praktikaettevõtte valimisel said määravaks asukoht ja suurus. Tegu on väikese ettevõttega ja seetõttu jagus praktikajuhendajal meie jaoks aega ja huvi. Saime tutvuda geodeedi töö mitme tahuga. Ettevõtte lühikirjeldus ja tegevusala NIMETUS OÜ (registrikood xxxxxxx). Tegevusvaldkondadeks on geodeetilised mõõdistustööd ehitusplatsidel ning maamõõdistamisega seotud tegevus. Muu hulgas koostejoonised, maa-alaplaanid, ehitusjärgne kontrollmõõdistamine etc. Ettevõtte sobivus praktikakohana Ettevõtte väiksus kujunes antud tingimustes praktikandile pigem plussiks kui miinuseks. Praktika juhendaja NIMI tegeleb kõikide jooksvate probleemidega ning seetõttu saime ka meie praktikantidena näha geodeedi tööd mitmekülgsemalt kui vaid tahhümeetri taga seistes.
Kokku KM-ga 1522,7 3 2. MULLATÖÖDE TEHNOLOOGIAKAART 2.1. Tööde loetelu Teostatavate tööde loetelu on järmine [3]: 1) krundi märketööd; 2) kasvupinnase eemaldus ehk koorimine; 3) mineraalpinnase eemaldus; 4) killustikaluse ehitus vundamendi taldmike alla; 5) geodeetilised märgid taldmiku plokkidele; 6) vundamendi taldmikuplokkide paigaldus; 7) vundamendi seina plokkide paigaldus; 8) monoliitse betoonvöö ehitus vundamendi plokkidele (betoonvöö vajadus sõltub projektist); 9) süvendi tagasitäide; 10) haljastuskihi rajamine 2.2. Tööprotsesside kirjeldus 2.2.1. Krundi märketööd Ennem mullatööde alustamist tuleb geodeetiliste tööriistate abil maha märkida ehitis ning seejärel
määrimiseks.Otselõike lahendamiseks on küllalt kahest lõikesuunast, kuid polügonomeetrias vajalike lisamõõtmistulemuste saamiseks kasutatakse lõiget vähemalt kolmelt suunalt, mis tasandatakse vähimruutude meetodil.Hanseni ülesanne-Kui käigu kahest naaberpunktist on kummastki näha kaks sama kõrgema järgu punkti, võib polügonomeetriakäigu sidumise teha Hanseni ülesandega.Seinapolügonomeetria-Pinnases kindlustatud geodeetilised märgid hävinevad tihti kaevetööde käigus ja seetõttu kasutatakse asulates sageli nn. Seinapolügonomeetriat, kus geodeetilised märgid kindlustatakse reeperilaadsete märkidega hoonete seintel.Nimetatud märkide eeliseks on see, et neid saab kasutada ka reeperitena, erinevalt pinnases kindlustatud polügonomeetriamärkidest, mille taldmik jääb ülespoole külmumispiiri ja mis seetõttu alluvad külmakergetele.Esialgne andmetöötlus-Esialgne
mitteligipäästetavate punktide koordinaatide määrimiseks.Otselõike lahendamiseks on küllalt kahest lõikesuunast, kuid polügonomeetrias vajalike lisamõõtmistulemuste saamiseks kasutatakse lõiget vähemalt kolmelt suunalt, mis tasandatakse vähimruutude meetodil.Hanseni ülesanne-Kui käigu kahest naaberpunktist on kummastki näha kaks sama kõrgema järgu punkti, võib polügonomeetriakäigu sidumise teha Hanseni ülesandega.Seinapolügonomeetria-Pinnases kindlustatud geodeetilised märgid hävinevad tihti kaevetööde käigus ja seetõttu kasutatakse asulates sageli nn. Seinapolügonomeetriat, kus geodeetilised märgid kindlustatakse reeperilaadsete märkidega hoonete seintel.Nimetatud märkide eeliseks on see, et neid saab kasutada ka reeperitena, erinevalt pinnases kindlustatud polügonomeetriamärkidest, mille taldmik jääb ülespoole külmumispiiri ja mis seetõttu alluvad külmakergetele.Esialgne andmetöötlus-Esialgne andmetöötlus koosneb järgmistest
Geograafilised koordinaadid ei ole absoluutsed, sest ühel punktil võib olla mitu geograafilist koordinaati. See tuleneb sellest, et maakera mõõtmeid pole võimalik täpselt välja arvutada. 5. Iseloomusta geodeetilisi koordinaate Geodeetilised koordinaatideks on B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti asendi referentsellipsoidil. Kolmas koordinaat on geodeetiline kõrgus h, mis määrab punkti kauguse ellipsoidist piki normaali. Geodeetilised ja astronoomilised koordinaadid ei ühti. Seda põhjustab loodjoone kõrvalekalle maaellipsoidi normaalist. Kõrvalekalle määratakse gravimeetriliste ja kõrgtäpsete geodeetiliste mõõtmistega. 6. Iseloomusta tasapinnalisi ristkoordinaate Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole. Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse projektsioone ning tasapinnal võetakse kasutusele ka ristkoordinaadid. Ristkoordinaate mõõdetakse meetrites
Põhjasuunas mõõtkava suureneb. Üle 70 laiuskraadi ei kasutata mercaatorit. Veel on Koonilised projektsioonid, põiksilindri projektsioon. Gnomooniline projektsioon ja asimuudiline stereograafiline projektsioon. 16. Geograafilised koordinaadid jaotuvad Laius: nurk referentselliproidi normaali ja ekvaatori vahel. Pikkus: algmeridiaani tasandi ja asukohameridiaanitasandi vaheline nurk. Võta kuidas tahad. Sferoidilised koordinaadid(Fii ja Lambda) Geodeetilised koordinaadid (B ja L) geotsentrilised ristkoordinaadid XYZ. Kõik need hõlmavad moonutusi. 17. Objektid ja andmed, mis kantakse merekaartidele: Rannajoon, Põhjaprofiil, Objektid, mis on abiks navigeerimisele nii maal kui merel, sügavused. 18. Põhilised hürdograafilised tööd: Tööde piirk geod ettevalmistus. Nullsügavuse määramine ja kõrgusliku aluse rajamine. Merepõhja mõõtmine ja mõõtmiste taandamine nullsügavusele
kaartidel. Plaani ja kaardi saamiseks on tarvis 1. rajada geodeetiline põhivõrk 2. siduda mõõdistamisvõrk geodeetilise põhivõrguga ja teostada mõõtmised. Geodeesia on rakendusteadus- on seoses astronoomiaga, füüsikaga, geofüüsikaga, matemaatika, kartograafia, geograafia ja arvutustehnikaga. Jaguneb: kõrgem geodeesia: maa kuju ja suuruse määramine, geodeetiliste põhivõrkude rajamine, maakoore liikumiste uurimine. insenerigeodeesia: geodeetilised mõõtmised, mida tehakse lähteandmete saamiseks (ehitiste püstitamiseks, ehitiste jälgimiseks ehituse ajal ja peale valmimist), kommunikatsioonide mõõtmised. topograafia: maapinna väiksemate osade kaardistamine, mõõdistamisvõrgu rajamine, situatsiooni ja reljeefi mõõdistamine ja plaani koostamine. (Kasut. maapealset ja aerofotogeodeetilist mõõdistamist). katastrimõõdistamine: maatüki piiride määramine, piiripunktide mahamärkimine ja kindlustamine
1) Nimeta Maa 2 põhilist mudelit geodeesias. Geoid (füüsiline) ja ellipsoid e sferoid (geomeetriline) 2) Nimeta Maa matemaatiline mudel geodeesias, geograafias. Mis on geodeesias kaasaja tähtsaimate Maa matemaatiliste mudelite nimetused? Maa matemaatiline mudel: pöördellipsoid, geograafias: sfäär. WGS84, GRS80. (?WGS72, Krassovski, Hayford ?) 3) Mis on tänapäeval tähtsaim riiklike plaaniliste alusvõrkude rajamise meetod? Polügonomeetria 4) Kirjuta punkti esimese vertikaali ja meridiaani raadiuse valemid ellipsoidil? Esimese vertikaali raadiuse valem: N=a/(1e2sin2B)0,5 , apikem pooltelg, eeksentrilisus, meridiaani raadius geodeetilise laiusega B M=a(1e 2)/(1 e2sin2B)1,5. 5) Joonesta lahtise ja kaht tüüpi kinnise polügonomeetriakäigu põhimõtteline skeem. 6) Loetle polügonomeetria puudused ja eelised, võrreldes teiste meetoditega (GPS, tringulatsioon) ning pikliku polügonomeetriakäigu eelis, võrreldes kõvera käiguga. Pol...
Maa pöörlemistelg, x- telg on suunatud ekvaatori ja Venemaa maailmakaart NL42 ning 30 tsoonidest nende planeetide orbiitide suurte pooltelgede Greenwichi meridiaani lõikepunkti, y- telg on koosnev kaart NL63) Gaussi-Krügeri projektsioonis pööratud x teljest ekvaatoritasandis 90° ida poole. on mõõtkava telgmeridiaanil 1,0000. kuubid. , T = planeedi 7. Loetle fundamentaalsed geodeetilised 21. Kirjelda meridiaanide koonduvust ellipsoidil tiirlemisperiood, a = planeedi orbiidi suur konstandid (7). fM- geotsentriline ja TM ning L-Est projektsioonides: pooltelg gravitatsioonikonstant, a0-ekvatoriaalraadius, J2- Maa kumerus tingib meridiaanide koonduvuse. Selle Satelliitide tiirlemiseperioodide ruudud on dünaamiline lapikus e geopotensiaali normaalne termini alla mahub kaks mõistet
punktidega ühendavare suundade vahel. Lahendamiseks piisab kehest lõikesuunast. Hanseni ül Kui käigu kahest naaberpuntist on kummastki näha kaks sama kõrgema järgu punkti, võib polügonomeetriakäigu sisumise teha hanseni ÜL-iga. Seinapolõgonomeetria Kasutatakse asulates sageli nn. Seinapolügonomeetriat , kus geodeetilised märgid kindlustatakse reeperilaadsete märkidega hoonete seitele. 5. Esialgne andmetöötlus - ptk. 6 NB! põhimõte ja vajadus Esialgne andmetöötlus koosneb: · Väliraamatude jt. Väliandmete kontroll ja töötlus · Käikude skeemide koostamine · Jooniste ja nurkade tasandusarvutused · Käikude sulgemisvigade leidmine ja töökoordinaatide arvutus · Nurkade ja joonte mõõtmise täpsushinnang
puutuma/lõikama ellipsoidi (puute/lõikejoonel moonutusi pole) ja mis teistpidi on sirge st mille saab tasapinnaks üle viia ilma täiendavate moonutusteta. (Tasapinnaline, kooniline, silindriline projektsioon). · Geograafilise koordinaadid maapealse punkti nurkkoordinaadid: geograafiline laius ja geograafiline pikkus vastavalt ekvaatoritasandi ja Greenwichi meridiaantasandi suhtes. Sõltuvalt määramissüsteemist võivad olla kas geodeetilised, sfäärilised või astronoomilised koordinaadid. · Geograafiline pikkus maaellipsoidi nullmeridiaanitasandi ja antud punkti meridiaantasandi vaheline nurk maaellipsoidi ekvaatoritasandil. Mõõdetakse 0° Greenwichi meridiaanist kuni ±180°-ni. Idapikkusedon positiivsed. · Geograafiline laius maaellipsoidi ekvaatoritasandi ja antud punkti normaali vaheline sisenurk. Mõõdetakse 0° ekvaatoril kuni ±90° poolustel. Põhjalaiused on positiivsed.
asukohamääramine satelliitide abil. Rahvusvaheliselt on tulnud uus termin GNSS (Global Navigation Satellite System, ehk ülemaailmne navigatsioonisatelliitide süsteem) (Jürgenson 2006). Teame, et GPS-mõõt-mine põhineb spetsiaalsetel satelliitidel, mis tiirlevad ümber Maa u 20 000 km kõrgusel. Meetodiks on kosmosetriangulatsiooni lahendamine. Aja mõõtmisest saavad joonepikkused, joonepikkustest ruumilised ristkoordinaadid X, Y, Z ja neist arvutab GPS-seadme protsessor ka geodeetilised koordinaadid B ja L ning tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y kasvõi L-Est97 süsteemis. Lähtepunktidena kasutame geodeetilise põhivõrgu koordinaate mingis realisatsioonis (raamistikus), tulemuse saame seetõttu samas realisatsioonis. Üks GPSseade ei suuda anda meile täpset koordinaati kohalikus raamistikus tingituna atmosfääri segavast mõjust GPS-signaalidele ja muudest asjaoludest. Ühe GPS- seadmega mõõtes on täpsusklass mõne meetri piires (või halvem), sõltuvalt
Geodeedi lugejaskonna hulgas (peale geodeetide lisada veel mõnegi lisaharu.) endi) on kaardistajaid, hüdrograafe, maamõõtjaid ja Nagu juba öeldud, geodeesia võimaldab lahendusi maakorraldajaid, geograafe, planetolooge (ehk siiski!), paljudele rakenduslikele ja teoreetilistele ülesannetele. GIS- ja keskkonnaspetsialiste, mäe- ja ehitusinsenere, Kuna geodeetilised probleemid hõlmavad sageli tervet planeeringute koostajaid. Tänapäeval elavad need maakera (või kontinenti), siis on vajadus erialad üsna oma elu ja teevad omi toimetusi. Siiski on rahvusvaheliseks koostööks üsna ilmne. geodeesia selle sugupuu kandvaks tüveks, kusjuures Asukohamääranguga tegelevad geodeedid, maamõõtjad
3-nurksed välja ulatuvad aknad. M.I.T Stukturalism arhitektuuris (Buckminster Fuller, Louis Kahn ja Philip Johnson) Kultuurantropoloogia arhetüüpide otsimine. Leida sarnaseid struktuure vormi- funktsiooni-ruumi ja ajaloo-religiooni-kultuuri (antropoloogia) vahel. Arhitektuur on keel, mida saab tõlkida. Linn kui labürint ja paljutähenduslik ruum. P. Johnson- AT&T peahoone. L.Kahn- silinder, ristkülik kui teenindavad oasad. Arhitektuur algab konseptsioonist. B. Fuller- "uus kurss" geodeetilised hooned mille geomeetriast õhkab müstilist vormi- ja elutunnet. P. Johnson- Tarindi varjamine pinnaefektide taha. Kahn ja johnson- asümmeetriline arhitektuur. Pind kui valguse, ruumi ja teostuse esiletoomise vahendit. Ajalooliste vormisüsteemide taasavastmine. Dekonstruktsioon arhitektuuris, näited ja esindajad, objektid (5 näidet) Arenes postmodernismist. Dekonstruktivistliku arhitektuuri märksõnad: nihestatus, vastuolulised tunded, rebestatus, ebastabiilsus, segadus
Tarvis oleks kui pika joone või kui suure pindala kohta kehtib arvutatud keskmine ruutviga krv. Seepärast arvutatakse nendel juhtudel suhteline ehk relatiivne krv, mis väljendatakse lihtmurruna või protsentides. Süstemaatiline viga- Muudavad mõõtmistulemusi mingis kindlas suunas. Näiteks joone pikkuse mõõtmisel nominaalpikkusest pikema lindiga saame kompareerimisparandit arvestamata tegelikkusest lühema mõõtmistulemuse. 14.Millised geodeetilised põhivõrgud on kasutusel? L-Est 97 (Lambert Estonia 1997) ja Balti 1977 kõrgusvõrgustik 15.Mis on geodeetilise põhivõrgu punkt? Maastikul kindlustatud geodeetiline punkt, millest lähtutakse geodeetilistel mõõtmistel ja topograafilistel mõõdistamistel ning mis omab määratud plaanilisi ristkoordinaate. 16.Mis on geograafiline asimuut? on nurk mida mõõdetakse tõelise meridiaani põhjapoolsest otsast päripäeva määratava suunani. Geograafilist asimuuti saab määrata
maapinna osade mõõtkavalisest kujutamisest digitaalselt või paberkandjal kaartide, plaanide ja profiilidena. Geodeesia on rakendusteadus, mis on tihedas seoses astronoomia, füüsika, geofüüsika, matemaatika, kartograafia, geomorfoloogia, geograafia ja arvutustehnikaga. Rakendusteadusena on geodeesia tähtis ehitustehnikas, mäeasjanduses, põllumajanduses, metsanduses, sõjandusess ja mujal. Geodeetilised mõõtmised ja topograafilised kaardid on vajalikud nimetatud aladel mitmesuguste projektide koostamiseks ja realiseerimiseks. 2. Maa kuju ja selle ligikaudsed mõõtmed Täpsemini vastab Maa tõelisele kujule geoid (geoid on kujuteldav keha, mille pind on kõikjal risti loodjoontega ning ühtib merede ja ookeanide häirimata veepinnaga). Kuna geoidil on keerukas kuju, siis geodeetiliste arvutuste puhul asendatakse geoid selle matemaatilse mudeli ellipsoidiga.
Üldrelatiivsusteooria Vastavalt Albert Einsteini poolt 1916.a. esitatud üldrelatiivsusteooriale on universumit matemaatiliselt kõige sobivam kirjeldada kui neljamõõtmelist kõverat aegruumi. Kõvera aegruumi geomeetriat seob füüsikanähtustega väide, et osakeste neljamõõtmelised liikumisteed ja valguskiirte trajektoorid etteantud kahe punkti vahel on kõikvõimalike neid punkte ühendavate joonte hulgas lühima pikkusega jooned ehk geodeetilised jooned. Tasases ruumis on lühima pikkusega jooned sirgjooned, kõveras ruumis tuleb nende leidmiseks lahendada geodeetilise joone võrrand. Vaatleme lähemalt valguslainete levimist tasases aegruumis. Olgu meil mingil kerapinnal T valguse punktallikad, mis hetkel t saadavad välja valguslained. Elementaarlainefront iga punktallika ümber on kerapind, mis levib valguse kiirusega. Vastavalt Madalmaade füüsiku, matemaatiku ja astronoomi Christiaan Huygensi poolt
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
