8'ga Naturaalarvude hulgast saame täisarvude hulga kui lisan nulli ja naturaalarvude vastandarvud Täisarvud koosnevad naturaalarvudes, nende vastandarvudest ja nullist. Tähistatakse : Z Paarisarve tähistatakse 2n kus 'n' kuulub naturaalarvude hulka. Paarituid arve tähistatakse 2n+1 / 2n1 Ratsionaalarvud = täisarvud (Z) ja positiivsed ja negatiivsed murdarvud Tähistatakse : Q Kümnendmurrud jaotatakse lõpmatuteks ja lõplikeks Irratsionaalarvud = lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud (I) Reaalarvud = N Z Q I hulkasid Tähistatakse : R Kümnendmurrud jagunevad : lõplikeks ja lõpmatuteks kümnendmurdudeks Lõpmatud ( igavesed ) jagunevad: perioodilisteks ja mitteperioodilisteks kümnendmurdudeks. Perioodilised kümnendmurrud jagunevad : segaperioodilised ( kui kordub nt numbrikombinatsioon 458 ) puhtperioodilised ( kui kordub ainult üks nr nt 333... )
MÕISTED: Naturaalarv arve 0,1,2,.... nimetatakse naturaalarvudeks. Naturaalarvude hulga tähis on . Täisarv - arve ... -2; -1; 0; 1; 2... nimetatakse täisarvudeks. Täisarvude hulga tähis on Ratsionaalarv- on murdavaldis, mille lugeja ja nimetaja on täisarvud, kusjuures nimetaja ei ole 0. Ratsionaalarvude hulga tähis on . Irratsionaalarv on mitteperioodilised lõpmatud kümnendumurrud. Irratsionaalarvude hulga tähis on . Reaalarv lõpmatu kümnendmurd, mis ei lõpe 9-ga perioodis. Ratsionaalarvude hulga tähis on Ratsionaalarvude hulgas kehtivad järgmised tehete põhiomadused: Kommutatiivsus: a + b = b + a ab=ba Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) a(bc)=(ab)c Korrutamise distributiivsus: a(b + c)= ab + ac Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub
suur mass ja mõõtmed 2.väike tihedus 3.palju kaaslasi 4.kõigil rõngad ja rõngastesüsteem 5. tihe, läbipaistmatu atmosfäär 6.pöörlevad kiiresti) Asteroidid e. väikeplaneedid - tiirlevad Marsi ja Jupiteri orbiitide vahel - tekkisid kunagi seal tiirlenud planeedi purunemisel (Vesta, Ceres) Komeet - väga hõre taevakeha, milles võib eristada udust ümmargust pead, sellest helendavat tuuma ja pikka helendavat moodustist - saba (perioodilised, mitteperioodilised) Komeedi saba - tekib päikese gravitatsiooni ja kuumuse tõttu Boliid - on suurem tükk mis atmosfääris ära ei põle ja kukub osaliselt Maale Horisont - näiline piir kauguses, kus taevas ja maapind paistavad kokku puutuvat Nadiir - vaatlejast lähtuva püstjoone ja taevakaare alumine lõikepunkt Seniit - päikese v muu taevakeha asend maapinna suhtes täisnurga all Maa: 1.maakoore , atmosfääri, hüdrosfääri, litosfääri, biosfääri olemasolu 2.üks kuu 3.läbimõõt 12756km 4
x[b;[ või x [b;) Lõpmatu poollõik xa x ]-;a] või x(-;a ] Lõpmatu vahemik x>b x]b;[ või x(b;) Lõpmatu vahemik xmitteperioodilised kümnendmurrud nt. 2; 3; ; e ) reaalarvude hulk = U Märgid "sisaldub" üks hulk sisaldub teises "kuulub" element kuulub hulka "või" "ja" "nii, et" nt. ={m/n m n } "ühisosa" ehk "ja" "ühend" ehk "või" "välja arvatud" Võrratuste lahendamine Lineaarvõrratus Näiteks: Graafiliselt: x+9>4x x+9-4x>0 x-4x>-9 -3x+9>0 -3x>-9 |:(-3) y= -3x+9 x<3 y>0 Vastus: x]-;3[ Ruutvõrratus
TERASKONSTRUKTSIOONIDE VÄSIMUSARVUTUSE ALUSED Väsimuse olemus Konstruktsioonielementide väsimusega tuleb arvestada dünaamiliste süstemaatiliste koormuste mõjumisel. Need on perioodilised ja mitteperioodilised koormused või paljukordsed impulsid ja löögid masinate ja seadmete töötamisel, inimeste tegevusest või keskkonna mõjudest põhjustatud koormustel. Konstantse amplituudiga perioodiliselt muutuv pinge Muutuva amplituudiga mitteperioodiline pinge Materjali väsimus - nähtus, kui suure arvu korduvate koormamiste juures materjal puruneb pingel, mis on tunduvalt väiksem tõmbetugevusest või isegi voolavuspiirist.
osakestest, mida päikesetuul vähem mõjutab. Seetõttu järgib tolmusaba rohkem või vähem komeedi orbiiti. Nõrkadel komeetidel saba harilikult puudub, heledatel on märgatav ioonsaba, väga heledatel on nähtavad mõlemat tüüpi saba. Nii perioodiliste kui vaid kord ilmunud komeetide orbiidid on väga piklikud. Erinevalt planeetidest tiirlevad komeedid kõikvõimalikes tasandites ning suvalises suunas. On olemas perioodilised komeedid, mis liiguvad mööda ellipsit ja mitteperioodilised komeedid liiguvad mööda parabooli. Suurem osa pikaperioodilisi komeete pärineb Päikesesüsteemi äärealadelt, Öpiku-Oorti pilvest, lühiperioodilised seevastu Neptuuni orbiidi taga paiknevast Kuiperi pilvest. 4. Mida nim. meteooriks? Mis on meteoriit? Leia materjali meteoriitide koostise ja suuremate Maale langenud meteoriitide kohta. Meteoor on Maa atmosfääri sattunud meteoorkeha poolt põhjustatud valgus-, heli-, elektri- jm. nähtuste kompleks
ARVUTAMINE JA ALGRBRALINE TEISENDAMINE Esmalt oleks vaja tuletada meelde järgmised valemid ja reeglid: Tähega N tähistatakse naturaalarvude hulka, st. arvud, mida saame loendamise teel (1, 2, 3, …..). Vahel arvatakse ka arv 0 naturaalarvude hulka. Tähega Z tähistatakse kõikide täisarvude hulka (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) Tähega Q tähistatakse kõikide ratsionaalarvude hulka. Tähega I tähistatakse kõikide irratsionaalarvude hulka (mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). Tähega R tähistatakse kõikide reaalarvude hulka. R Q I 1) Arvu aste. a) a n a a ......... a a, kui n N n tegurit b) a a a m n m n Näide: x 8 x 5 x13 c) a m : a n a m n Näide: y 9 : y 3 y 6 d) a n b n a b n
Puhtperioodilise murru korral paneme perioodis oleva arvu lugejasse ning nimetajasse paneme nii mitu üheksat kui mitu arvu on perioodis. Üks kõik millise murru korral paneme koma taga oleva arvu lugejasse ja lahutame sellest mitteperioodis oleva arvu. Nimetajasse paneme üheksa ja nii mitu nulli kui on mitteperioodis olevaid numbreid, -1 null. Ratsionaalarvude hulk Q Täisarvude hulga ja murdarvude hulga ühend on ratsionaalarvude hulk (v.a. mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). a Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus aZ, bZ ja b0. b 0 7 0 =0 ; =- ; = iga arv. 7 0 0 Ratsionaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv.
ARVUHULGAD 1. Naturaalarvude hulk N = {1;2;3; ...}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b bn 14
ARVUHULGAD 1. Naturaalarvude hulk N = {1;2;3; ...}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b bn 14
Reaalarvud Positiivsed ja negatiivsed täisarvud ning murdarvud koos arvuga 0 moodustavad ratsionaalarvude hulga. Ratsionaalarve saab väljendada kahe täisarvu suhtena ja lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1 −5 1 1 Nt 4 ; 1 ; 3 =0,(3); 7 . Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud moodustavad irratsionaalarvude hulga. Nt. π; e; √2 ; √3 . Ratsionaalarvude ja irratsionaal arvude hulgad moodustavad kokku reaalarvude hulga. Arvtelg ___ lõpmatu sirge, millel on määratud suund, 0-punkt ja pikkusühik. Igale reaalarvule vastab arvteljel üks punkt ja vastupidi. Reaalarvude hulgal on selline omadus, et iga kahe reaalarvu vahel on veel ratsionaalarve ja irratsionaalarve. Reaalarvu absoluutväärtus. Olgu arv x
Üksikud liiguvad eraldi orbiitidel. Periheelis tulevad väga lähedale Maale. 3. Mis on komeet? V: Komeet on sabatäht- komeedipea, 2 tuuma(kosmilise tolmuga segatud jäätükid), suur saba, mis tekib pea aurustumise tagajärjel. Saba koosneb CO-st(hõre). 4. Kirjeldage komeetide liikumist. V: Komeedi saba jääb alati Päikesest eemale.Liikumise järgi 2ks: perioodilised komeedid- liiguvad mööda ellipseid ja periheelis tulevad Maale lähemale. Mitteperioodilised komeedid, mis liiguvad mööda parapoole või hüperpoole, külastavad Päikesesüsteeme ainult ükskord. 5. Mida nimetatakse meteooriks, boliidiks, meteoriidiks? V: Meteoor-langev täht, need on väikesed(g ja kg) osakesed, mis atmosfääri kõrgetes kihtides põlevad. On näha kui Maa läbib lagunenud meteoriitide vööd. Boliid-taevast langev tulekera, so suurem kivitükk, mis ei jõua atmosfääri ülemistes kihtides põleda. Tehisboliidid-tehiskaaslased.
läheneda, on võimalikud ka orbiitide muutused. 3. Mis on komeet? Komeedid on Päikesesüsteemi tuntuimad väikekehad. Nad ilmuvad ootamatult, paistes teleskoobis ebakorrapärase liikuva udulaiguna. 4. Kirjeldage komeetide liikumist. Nii perioodiliste kui vaid kord ilmunud komeetide orbiidid on väga piklikud. Erinevalt planeetidest tiirlevad komeedid kõikvõimalikes tasandistes ning suvalises suunas. On olemas perioodilised komeedid, mis liiguvad mööda ellipsit ja mitteperioodilised komeedid liiguvad mööda parabooli. 5. Mida nimetatakse meteooriks, boliidiks, meteoriidiks? Meteoor on Päikesesüsteemi väikekeha, mida võime näha pea igal öösel, kui on vaid selge ilm, taevast üle vilksatavate ,,langevate tähtede`` sagedus on tavaliselt 3-5 ühe tunni jooksul, aga võib mõnel eriti soodsal ööl ulatuda sadadesse. Meteoriidist räägime siis, kui mõni neist kehadest on piisavalt suur, et mitte atmosfääris täielikult aurustuda. Selleks, et ,,taevakivist``
· kaitse meteoriitide eest · kaitse kiirguste eest (nt. osoonikiht kaitseb UV-kiirguse eest) 9. Asteroidid- ehk väikeplaneedid. Taevakehad, mis tiirlevad Marsi ja Jupiteri vahel. Võib olla tekkinud ühe seal eksisteerinud plahvatamisel- Phaeton. Suurim neist on Ceres (diam. 1000km) väiksemate läbimõõdud 200-300 m. Komeedid ehk sabaga tähed. Taevakehad, mis tiirlevad ümber Päikese mööda väga piklikke orbiite. Mõned neist satuvad Päikese lähedusse ka juhuslikult- mitteperioodilised komeedid. Ülejäänud on perioodilised. Tuntuim on Halley komeet. Periood on 75. a., viimati 1986 a .Komeedid koosnevad tolmuosakestest, kividest, jääst ja külmunud gaasidest. Tal on pea, tuum ja saba. Kui ta satub Päikesele ligemale, siis osa komeedist aurustub, tekib saba, 200-300 mln km pikk. Palja silmaga on nähtud 10 komeeti, binokliga umbes 50. Meteoorid. Väikesed taevakehad, mis satuvad Maa atmosfääri ja põlevad peamiselt 80 km kõrgusel ära. Kui neid on korraga palju, nimet
Liitmine, korrutamine, lahutamine Murdarvud Ratsionaalarvud Q Kahe täisarvu jagatis Järjestatav, lõpmatu, tihe Liitmine, korrutamine, lahutamine, jagamine (v.a. nulliga) Irratsionaalarvud Reaalarvud R Lõpmatud kümnendmurrud, sh mitteperioodilised Järjestatud, lõpmatu, pidev +; ; korrutamine, jagamine, juurimine Kompleksarvud 2.2 Reaalarvude piirkonnad arvteljel Lõik a-st b-ni [a; b] a xb Vahemik a-st b-ni ]a, b[ või ( a; b ) a< xa ]a; [ või ( a; )
polüharmoonilisteks protsessideks. Peaaegu perioodiliseks protsessiks nimetatakse protsessi, mis ei ole perioodiline, kuid millist saab kirjeldada kui perioodilist protsessi järgmisel kujul: x (t ) X n 1 n sin( 2nf n t ) (3.17) kus mitte kõik sageduste suhted f n / f m ei ole ratsionaalarvud. Siirde- ehk üleminekuprotsesside hulka kuuluvad kõik mitteperioodilised protsessid, mis ei ole peaaegu perioodilised. Deterministlikud on need sündmused, mille kohta on ette teada, et antud sündmus toimub või on võimalik katsete retrospektiivse info alusel kindlaks määrata, et antud sündmus toimub. Juhuslikud on need sündmused, mis katse tulemusena võivad toimuda või mitte toimuda. Juhusliku sündmuse toimumist iseloomustatakse sündmuse toimumise tõenäosusega P(A). Ühe katse puhul on sündmuse tõenäoses selle sündmuse toimumise
üksteisele läheneda, on võimalikud ka orbiitide muutused. 3. Mis on komeet? Komeedid on Päikesesüsteemi tuntuimad väikekehad. Nad ilmuvad ootamatult, paistes teleskoobis ebakorrapärase liikuva udulaiguna. 4. Kirjeldage komeetide liikumist. Nii perioodiliste kui vaid kord ilmunud komeetide orbiidid on väga piklikud. Erinevalt planeetidest tiirlevad komeedid kõikvõimalikes tasandistes ning suvalises suunas. On olemas perioodilised komeedid, mis liiguvad mööda ellipsit ja mitteperioodilised komeedid liiguvad mööda parabooli. 5. Mida nimetatakse meteooriks, boliidiks, meteoriidiks? Meteoor on Päikesesüsteemi väikekeha, mida võime näha pea igal öösel, kui on vaid selge ilm, taevast üle vilksatavate ,,langevate tähtede`` sagedus on tavaliselt 3-5 ühe tunni jooksul, aga võib mõnel eriti soodsal ööl ulatuda sadadesse. Meteoriidist räägime siis, kui mõni neist kehadest on piisavalt suur, et mitte atmosfääris täielikult aurustuda. Selleks,
TEST Loeng 1 - Naturaalarv loendamiseks ja järjestamiseks kasutatavad arvud (0), 1, 2, 3, .... Mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja. - Täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud. - Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt
TEST Loeng 1 - Naturaalarv loendamiseks ja järjestamiseks kasutatavad arvud (0), 1, 2, 3, .... Mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja. - Täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud. - Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende
.....} · Jaguneb naturaalarvudeks ja negatiivseteks arvudeks a 7. b Murdarvud- Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis on jagatis täisarv, kui aga ei jagu, siis nimetame saadud arvu murdarvuks ja tähistame sümboliga (reaalarvu, mis ei ole täisarv.) 8. Ratsionaalarvude hulk- Täisarvud koos murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga 9. Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 10. Reaalarvude hulk- Irratsionaalarvud koos ratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga. 11. Kompleksarv- Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C 12. Kompleksarvu moodul- · Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis
jõukomponent, mis on suunatud tasakaaluasendi poole ja hõõrdumine süsteemis on väike. (nööri otsas rippuv raskus hakkab löögi mõjul võnkuma) Vabavõnkumised on hõõrdumise tõttu sumbuvad, s.t. võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist hakkab vähenema. Sundvõnkumisi põhjustab mõni väline jõud. Kui see jõud mõjub kindla aja tagant tekivad perioodilised sundvõnkumised (lükkan kiigele hoogu iga kord, kui kiik minu juurde jõuab). Kuid sundvõnkumised võivad olla ka mitteperioodilised (tuul kõigutab puud). Isevõnkumised tekivad sellises süsteemis, millesse kuulub energiaallikas, nii et selle energia arvel saab kompenseerida hõõrdumisele kuluvaid energiakadusid (pendelkell; istun ise kiigel ja kiigutan ennast andes hoogu). Võnkuv keha on sooritanud täisvõnke, kui: a) liigub ühest amplituudist teise amplituudi ja tuleb esialgsesse amplituudi tagasi; b) alustades liikumist tasakaaluasendist liigub ühte amplituudi, teise amplituudi ja lõpetab uuesti tasakaaluasendis.
Nad ilmuvad ootamatult, paistes teleskoobis ebakorrapärase liikuva udulaiguna, mis Päikesele lähenedes kasvab heleda uduse pea ning nõrgeneva sabaga moodustiseks. 51. Kirjeldage komeetide liikumist. Nii perioodiliste kui vaid kord ilmunud komeetide orbiidid on väga piklikud. Erinevalt planeetidest tiirlevad komeedid kõikvõimalikes tasandistes ning suvalises suunas. On olemas perioodilised komeedid, mis liiguvad mööda ellipsit ja mitteperioodilised komeedid liiguvad mööda parabooli. 52. Mida nimetatakse meteooriks, boliidiks, meteoriidiks? Meteoor on Päikesesüsteemi väikekeha, mida võime näha pea igal öösel, kui on vaid selge ilm, taevast üle vilksatavate ,,langevate tähtede" sagedus on tavaliselt 3-5 ühe tunni jooksul, aga võib mõnel eriti soodsal ööl ulatuda sadadesse. Meteoriidist räägime siis, kui mõni neist kehadest on piisavalt suur, et mitte atmosfääris täielikult aurustuda.
3 diskreetse aja ja pideva väärtusega protsessid 4 diskreetse aja ja diskreetse väärtusega protsessid. Diskreetse ajaga protsesse kirjeldatakse paljudel juhtudel aegridadena. Peale selle saab neid kirjeldada veel algoritmi (eeskirja) alusel, graafikuna ja matemaatilise mudelina. Determineeritud protsesside klassifikatsioon: 1 determineeritud 1.1 perioodilised 1.1.1 harmoonilised 1.1.2 polüharmoonilised 1.2 mitteperioodilised 8. Polüharmooniliste ja peaaegu perioodiliste protsesside kirjeldamine. Harmoonilist protsessi võib kirjeldada järgmise ajafunktsiooni (matemaatilise mudeli) abil: x(t)=Xsin(2f0t+) , kus f0 sagedus, algfaas, X amplituud, T0 = 1/f0 periood. Harmoonilist protsessi saab kujutada ka amplituud-sagedus karakteristiku abil. Polüharmoonilise protsessi matemaatiline mudel: x(t)=x(t+nT0), n=1, 2, 3, ...
m Ratsionaalarvud on sellised reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n jagatisena nii et n n 0 . Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendmurdarendus ja see on alati perioodiline, tähistatakse Q Irratsionaalarvud mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud. Tähistus I Reaalarvud hulk R, koosneb kõikidest ratsionaal- ja irratsionaalarvudest 2. Tähtsamad reaalarvude hulgad (lõik, vahemik, poollõik). Hulga X R ülemine ja alumine raja. Olgu X mingi reaalarvude hulk (X R). Hulka X nimetatakse ülalt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv M, nii et x M iga x X korral. Seejuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks.
.. (mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja); täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud; ratsionaalarv need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n (n0) m/n. Igal ratsionaalarvul on lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Nt. 11/4=2.7500000...; reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge; kompleksarv - arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik (arv, mille ruut on -1). Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b).
nii mitu üheksat kui mitu arvu on perioodis. Üks kõik millise murru korral paneme koma taga oleva arvu lugejasse ja lahutame sellest mitteperioodis oleva arvu. Nimetajasse paneme üheksa ja nii mitu nulli kui on mitteperioodis olevaid numbreid, -1 null. Ratsionaalarvude hulk Q 5 Täisarvude hulga ja murdarvude hulga ühend on ratsionaalarvude hulk (v.a. mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). a Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus aZ, bZ ja b0. b 0 7 0 =0 ; =- ; = iga arv. 7 0 0 Ratsionaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv.
8 -1 -1 -1 -1.2 -1.2 -1.2 Definitsioon 7. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T = 0, et iga x X korral ka x ± T X ja f (x + T ) = f (x). V¨ahimat positiivset arvu T , mille korral f (x + T ) = f (x) x X, nimetatakse funktsiooni f (x) perioodiks. N¨aidetes 1-6, 8, 9 esitatud funktsioonid on mitteperioodilised. N¨aite 7 funktsioon [x] on mitteperioodiline ja funktsioon x - [x] perioodiline perioodiga T = 1. N¨aide 10. Uurime funktsiooni y = sin(cx) perioodilisust juhul, kui c on mingi fikseeritud positiivne reaalarv. Et X = R, siis iga x X korral suvalise T jaoks x ± T X. J¨ ab kontrollida, kas leidub selline T , et sin(c(x + T )) = sin(cx) iga x X a¨ korral, st sin(cx + cT ) = sin(cx). J¨arelikult peab cT = 2k (k Z) T = 2k/c (k Z)
.. ' 0,(6) ; 5 3 3 ' 0,428571428571... ' 0,(428571) 7 Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes. Iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel asub lõpmata palju ratsionaalarve. MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 7 Irratsionaalarvud on arvud, mida ei saa esitada täisarvude jagatisena. Näiteks /2, , sin 15E. Need on lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. Näiteks arvu esimesed 500 kohta 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862 089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811 174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337 867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066 063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469
annaabi.ee 
