Argumentide väljavõtuleht Õe eriala on eesti ühiskonnas ja tervishoiusüsteemis väärtustatud. 1. Väide: Õe eriala ON eesti Väide: Õe eriala EI OLE eesti Argume ühiskonnas ja ühiskonnas ja nt tervishoiusüsteemis tervishoiusüsteemis väärtustatud väärtustatud Seletus ja tõestus Seletus ja tõestus Patsientide usaldus õdede vastu töötasu ja koormus on kasvanud Tõestus: peamiseks tööjõu välja tõestus: palju rohkem iseseisvaid rändamiseks on see, et koormus ülesandeid, kiirem juurdepääs on suur ning töötajaid on vähe, tervisehoiuteenustele see tähendab seda, et olemasolevad töötajad peavad
Näide2 .. VÄIDE - Ma olen meie klassi kõige targem õpilane. SELETUS e. SEOS - sellepärast, et mul on kõrgemad hinded kui teistel. TÕESTUS(ED) - Ekoolist.... JÄRELDUS - Järelikult olen ma kõige parem. Et paremini aru saada, mis teeb ühe argumendi tugevaks, tuleb teada, millest argument koosneb. Väide on mõte, mida tahetakse tõestada. Seletus e. seos e. loogiline seos on väidet ja tõestust omavahel siduv loogika, mis ei pruugi olla selgelt välja toodud. Tõestus on põhjendus, mille abil väidet tõestatakse, tavaliselt kas mõni põhimõte või faktiline näide. (teaduslik uuring, statistika, jutustus, autoriteetse isiku tsitaat, esemeline tõestus)
Õe eriala ei ole ühiskonnas ja kuna õdesid tunnustatakse ja tänatakse tervishoiusüsteemis väärtustatud, kuna tehtud töö eest KOV tasandil. õed ei pea töötasu piisavalt suureks, ja tunnevad, et nende tööd ei hinnata piisavalt, et maksta väärilist töötasu. Tõestus. Tallinna linnavalitsus korraldas Tõestus. TÜ sotsteaduslike uuringute piduliku vastuvõtu ja jagas tänukirju keskus RAKE kohaselt valiseb Eestis linna parimatele meedikutele. suur õdede puudus, kuna õed lähevad tööle välismaale, kus teenitakse õe töö eest rohkem palka. Viide https://www
Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus F(x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse st . Määramata integraali tuletis on võrdne integreeritava funktsiooniga st ( )'= f(x). Tõestus: ( )'= (F(x)+C)'=F'(x)= f(x). d( )= ( )'dx = f(x)dx = F'(x)dx= dF(x). Operaatorit L:V->W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: a)L(f+g)= L(f) + L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R (homogeensus). Määramata integraal on lineaarne operaator, st = + ja/või =c (c ). 2. Näidata, et määramata integraal on lineaarne operaator.
tervishoiusüsteemis väärtustatud tervishoiusüsteemis väärtustatud Seletus ,,Kuldaväärt abi" kampaania tegemine: ,,Aasta lõpuni Seletus Palgad on liiga väikesed. kestva kampaania eesmärgiks on tähelepanu juhtida õe ametile ja hetke olulisematele väljakutsele nii avalikkuse silmis kui ka tervishoiutöötajate seas." Tõestus 9. septembril 2014 toimus kampaania ,,Kuldaväärt Tõestus Õel on Tallinnas suuremad võimalused. Paljud abi" erafirmad maksavad õele suuremat palka, osa neist läheb ka ravimifirmadesse.» Viide allikale http://www.vmh.ee/kuldavaartabikampaaniavaartustab https://sakala.postimees
Seletus Lepe hõlmab kõikide erialade õdesid ja ämmaemandaid. Seletus Kindlasti tunnustaks õe eriala ja tooks uusi õdesid Samuti on läbi haigekassa eelarve kindlustatud riikliku juurde vääriline palk. See on viimaste aastate jooksul küll miinimumtunnitasu maksmine pere- ja kooliõdedele. tõusnud, kuid jääb ikka alla Eesti keskmise taseme. Tõestus Saavutatud tunnipalga alammäära lepe on kindlasti Tõestus Näteks on õel Tallinnas suuremad võimalused. Paljud märk, et Eesti ühiskond on hakanud tervishoiutöötajate tööd erafirmad maksavad õele suuremat palka, osa neist läheb ka senisest enam väärtustama. ravimifirmadesse Viide allikale http://www.delfi.ee/news/paevauudised/eesti/oed-palgalepe- http://sakala.postimees
võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ())'= f(x). Tõestus: ( ())'= Seega () = lim 0 () = lim ( () + (( ) - f( )) ) =
hinnatakse suhteliselt kõrgelt töökeskkonda. lahkuma. Nii arste kui ka õdesid kohustatakse täitma kõikvõimalikke lisaülesandeid, tihti ei anta võimalust keskenduda oma erialasele tööle. Tõestus Tõestus 2005. aasta alguses viisid Stockholm School of Economics in Riga (SSE Kui hooldusõde töötab Eestis täiskoormusega kahe koha peal ehk Riga) üliõpilased Martin Rekor ja Mirko Känd koostöös Eesti Õdede nädalas keskmiselt 80 tundi, siis jääb tema kahe koha palk alla Eesti Liidu ja AS Restaga läbi Eesti õdede rahulolu-uuringu "Rõõmsama homse keskmise ( 700-800 euro vahele)
4. Tõenäosuste liitmise lause (tõestusega). Üksteist välistavad sündmused. Tõenäosuste liitmise lause üksteist välistavate sündmuste puhul. Tõenäosuste liitmise lause. P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB). Kui sündmused A ja B on teineteist välistavad, st nad ei saa korraga toimuda, siis P(A+B)=P(A)+P(B). Kui sündmused A1, A2, ....,Ak on üksteist välistavad, siis P(A1+A2+...+Ak)=P(A1)+P(A2)+...+P(Ak). Tõestus ! P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB). Olgu mA sündmuse A toimumiseks soodsate juhtude arv, m A B sündmuse A B toimumiseks soodsate juhtude arv, mB sündmuse B A toimumiseks soodsate juhtude arv ja mAB sündmuste A ja B korraga toimumiseks soodsate juhtude arv. Siis P(A+B)= (mA-B+mAB+mB-A)/n=(mA-B+mAB+mB-A mAB)/n= (mA-B+mAB)/n+(mB-A+mAB)/n mAB/n =P(A)+P(B) P(AB). Kui A ja B ei saa korraga toimuda, st
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y'=f(x)*c'+f '(x)*c=0*f(x)+c*f '(x)=c*f '(x) Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x) Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt, toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid, saame
0 0 0 0 1 1 Samaselt tõesed, samaselt väärad ja kehtestatavad valemid. Def 3. Lvalemit F nimetatakse · samaselt tõeseks, kui ta on igal väärtusel tõene. · samaselt vääraks, kui ta on igal väärtusel väär. Def 4. Lvalemit F nim kehtestatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtusel tõene. Teoreem 1. Valem F on samaselt tõene parajasti siis, kui tema eitus on samaselt väär. Tõestus. Andes valemis F esinevatele lausemuutujatele suvalise väärtustuse, näeme, et valemite F ja ¬ F tõeväärtused on vastupidised. Järelikult kui F on igal väärtusel tõene, siis ¬ F on igal väärtusel väär ja ümberpöördult. Teoreem 2. Valem F on kehtestatav parajasti siis, kui tema eitus ¬ F ei ole samaselt tõene Tõestus. Kui F on keht., siis väärtustusel, kus F on tõene, on valem ¬ F väär ja ei saa seetõttu olla samaselt tõene
mõistuslikkuse vaimust kantud. · Thomase ratsionalism toetub Aristotelese metafüüsikale. Aristoteles määras ära selle aluse, millel seisab Thomase ratsionalism. · A. Thomas leiabki, et inimese lõplik õnn seisneb tema kõrgeima omaduse ehk mõistuse kasutamises (see kätkeb endas ja jumala nägemist). 4 5.2. Jumala olemasolu puudutavad tõestused Alljärgnevalt hakkab Thomas tõestama jumala olemasolu... 1.Tõestus Selles tõestuses on jumal "liikumatu liigutaja". Thomas ütleb: "On kindel ja ilmne meie meeltele, et maailmas mõned asjad liiguvad. Mis liigub, seda peab miski muu liigutama, sest miski ei liigu muidu kui potentsiaalsusena selle suhtes, mis teda liigutab...Sellepärast on võimatu, et miski oleks samas suhtes ja samal viisil nii liigutaja kui liigutatav, niisiis et ta liiguks iseenesest. Nii peab see, mis liigub, olema millegi muu liigutatud
Kas jumala olemasolu on võimalik tõestada? Tooge näiteid. (Esimesena selgitas oma seisukohta kristliku jumala kohta Ludwig Feuerbach, öeldes, et jumala mõiste on olulises sõltuvuse inimese enda sõltuvuse ja hüljatuse tundega. Ateist Karl Marx sõnas, et kristlik jumala kujutis on väljamõeldis.) Tänapäeval oleme harjunud mõtlema, et jumala olemasolu on võimatu tõestada. On olemas 4 klassikalist jumala tõestamise viisi. · Ontoloogiline tõestus. Eeldus, et on olemas idee täiuslikust olendist. Tema juurde kuulub olemine. Järelikult saame tuletada, et selline täiuslik olend eksisteerib (Anselm of Canterbury). · Kausaalne tõestus. Mis põhjustas asjade olemise? Keegi pidi alguses juba olema, peale keda kõik muud asjad tänaseni tulid. · Jumala geneetiline tõestus. Mis paneb asjad liikuma? Nt miks liigub Kuu ümber Maa? Suur pauk? Ehk lõi selle jumal. · Kosmoloogiline tõestus
Ekstreemumi piisavad tingimused (tõestusega). 21. Funktsiooni kumerus ja nõgusus, käänupunktid. max xi0 Teoreem kumerus- ja nõgusus-piirkonnast Tõestus: Kehtivad võrratused mi f(i)Mi i [xi- (tõestusega). 1,xi] 22. Asümptoodid. Kaldasümptoodi valemid. Funktsiooni täielik uurimine.
liiguks iseenesest. Nii peab see, mis liigub, olema millegi muu liigutatud. Kui jällegi see, mis esmaltmainitut liigutab, ka ise liiguks, siis peab teda mingi kolmas asi liigutama. Kuid see ei saa jätkuda lõpmatuseni, kuna sel juhul ei oleks esimest liigutajat ja selle tagajärjel ka ühtegi teist liigutajat... Sel põhjusel peab paratamatult jõudma esimese liigutajani, mida miski muu ei liiguta; ja igaüks saab aru, et see on Jumal." 2. Tõestus - põhjuslikkus Thomas ütleb: " Tajutavate asjade maailmas leiame mõjutavate põhjuste järjestuse. Ei ole teada juhtumit (ja selline ei oleks isegi võimalik), milles asi oleks iseennast mõjutav põhjus; ta peaks selle jaoks olema iseendale eelnev, mis on võimatu. Teisalt ei ole võimalik jälgida mõjutavaid põhjusi lõpmatuseni... Aga kui me jätame ära põhjuse, kaotame samas ka tagajärje. Kui niisiis ei oleks esimest põhjust mõjutavate põhjuste hulgas, ei oleks vahetuid
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on Tõepoolest, valem kehtib juhul n=1. y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul n-1 ja näitame, et sel juhul kehtib ta
1*(Normi ja kauguse def. Näidata, et reaalarvu abs.väärtus rahuldab normi ja aksioome)Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 1). *Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile seab vastavusse skalaari d(u,v), kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). *Lause: Reaalarvu absoluutväärtus rahuldab normi aksioome. Tõestus: 2*( -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused)Punkti - ümbrukseks nim. hulka *Reaalarvu a R korral saame U(a) = {x R|a - < x < a + }. *Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. *Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a + ), kus > 0. *Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M , ), kus M > 0.
Argumentide väljavõtuleht Õe eriala on eesti ühiskonnas ja tervishoiusüsteemis väärtustatud. 1. Argument Väide: Õe eriala ON eesti ühiskonnas ja tervishoiusüsteemis Väide: Õe eriala EI OLE eesti ühiskonnas ja väärtustatud tervishoiusüsteemis väärtustatud Seletus ja tõestus Seletus ja tõestus Õdede ja hooldajate vajadus meie vananevas ühiskonnas üha Eestis on juba aastaid puudus meditsiiniõdedest. Põhjus pole kasvab ja Eestis on puudu 4000 õde.Õed hakkaksid olema aga ainult väikeses palgas ega välismaale minekus, millest iseseisvad ja see vähendab arstide vastuvõtu koormust ja tihti juttu on, vaid suures töökoormuses, mis ei võimalda kiiremat patsientide juurdepääsu
integraaliks ja tähistatakse , . Kui funktsioonil leidub hulgal X algfunktsioon, siis öeldakse, et funktsioonil f ( x ) eksisteerib määramata integraal ( hulgal X ). Kehtivad järgmised seosed: Lause2 Kui eksisteerivad määramata integraalid ja , siis suvaliste konstantide ja korral eksisteerib ka integraal , kusjuures . Tõestus. Olgu ja . Seejuures ja . Näitame, et funktsiooni üheks algfunktsiooniks on . Tõesti, = [kasutame tuletise lineaarsuse omadust] = , st eksisteerib määramata integraal funktsioonist , ja [suvaliste konstantide lineaarkombinatsioon on suvaline konstant] = . Muutujate vahetus määramata integraalis x = (t)t T (T) = X D(t) -1 t = '(x) Tõestus. Kui funktsioon x = (t) (rangelt monotoonne), siis . Lause3 (muutujate vahetus määramata integraaliks)
USUNDIÕPETUSE KODUNETÖÖ 9p 5 Richard Dawkins on öelnud, et loodusteadustes pole võimalik märgata mingit märki Jumala tegevusest – uskuda Jumalat on sama kui uskuda «siniste sokkidega päkapikku – sisuliselt: Mida ma ei näe, seda pole olemas. Tõestus sellele, et Jumal on olemas oleks: 1. on olemas Jumala mõiste, mis tähistab täiuslikku olendit. 2. täiuslik olend, kes eksisteerib, on täiuslikum olendist, kes ei eksisteeri. 3. järelikult Jumal on olemas. Ma arvan, et nagu väikesed lapsed usuvad päkapikkudesse, kuigi tegelikult päkapikke ei ole olemas ja nad on nende jaoks väljamõeldud. Siis nagu eitus ütleb, olend, kes eksisteerib, on täiuslikum olendist, kes ei eksisteeri, seega nii nagu
d. Lausearvutuse valemit nimetatakse kehtestatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtustusel tõene. Sellise valemi tõeväärtuste veerus esineb väärtus 1. e. Seosed valemiklasside vahel e.i. Valem on samaselt tõene parajasti siis, kui tema eitus ¬ on samaselt väär. e.ii. Valem on kehtestatav parajasti siis, kui tema eitus ¬ ei ole samaselt tõene. e.iii. Tõestus. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=78717 lk 14. 4) a. Valemeid ja nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igal neis valemeis esinevate muutujate väärtustusel. b. Põhisamaväärsused. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=78717 lk 22. c. Samaväärsuste kasutamine teisendustes seisneb valemi mingi osavalemi asendamises temaga samaväärsega. Nagu algebras, säilitab selline osavalemi
*d() = . tõkestamatult nullile, siis seda sirget nimetatakse joone asümptoodiks. Funktsiooni y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni n-1-järku *vertikaalasümptoodid x=a; *kaldasümptoodid y=kx+b, diferentsiaalist. 1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning 4. Parameetriliselt antud funktsiooni tuletis. Kõrgemat järku tuletised parameetriliselt antud summa tuletis on tuletiste summa. funktsiooni korral. 2. Korrutise tuletise valemi tuletamine.Teoreem: Kui on olemas tuletised u'(x) ja v'(x), siis on olemas
Tõestused Omadus 1.4. Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t. mistahes X, Y Mat(m, n) korral kehtib X + Y = Y + X. Tõestus: Iga X = (xij) ja Y = (yij) korral hulgast Mat(m, n), tänu reaalar- vude liitmise kommutatiivsusele (1.11), saame X + Y = (xij + yij) = (yij + xij) = Y + X X + Y = Y + X Omadus 1.10. (X + Y ) = X + Y Tõestus (X + Y ) = ((xij) + (yij)) = ( (xij + yij)) = ( xij + yij) = = ( xij) + ( yij) = (xij) + (yij) = X + Y (X + Y ) = X + Y; Omadus 1.15. Mistahes maatriksi X Mat(m, n) ning vastavate ühikmaatriksite Em Mat(m,m) ja En Mat(n, n) korral XEn = X, EmX = X Tõestus Maatriksite X = (xij ), kus i Nm, j Nn, ja n-järku ühikmaatriksi E1 = (ij) korrutise XE1 = (yij) üldelement avaldub = = , , ,
skalaariga korrutamise suhtes) 8) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ λ∈R korral λ ( ⃗a + b⃗ )=λ ⃗a + λ ⃗b (distributiivsus liitmise suhtes) Vektor – vektorruumi element. Skalaar – reaalarv VAHETUD JÄRELDUSED AKSIOOMIDEST LAUSE: Vektorruumis leidub ainult üks nullvektor. Tõestus: Oletades väite vastaselt, et vektorruumis V on kaks erinevat nullvektorit ⃗ 01 ≠ 0⃗2 . Valides kõigepealt nullvektori rolli ⃗ 02 , seega ⃗ 01 + ⃗
Molekulaar füüsilne teooria : Kuna molekul on tohutult väike osake, siis kasutatakse tema kirjeldamiseks mudelit. Sellel mudelil on kolm alust : Aine koosneb osakestest(molekulid, aatomid). Tõestus: On võimalik pildistada ülisuuri molekule. Need osakesed liiguvad pidevalt ja korrapäratult. Tõestus: Nähtus difusioon- ainete iseeneselik segunemine. gaasid - kiire nt. lõhnaõlid, atsetoon, bensiin, eeter, piiritus jne vedelik - suhteliselt aeglane nt. värvi tilk vees, suhkru lahustumine vees jne. Tahke - praktiliselt puudub. Osakesed mõjutavad teineteist jõuga Tõestus: enamus kehi on raske kokku suruda ja venitada. Osakestel "meeldib" olla teineteisest kindlatel kaugustel. Kui nad lähenevad tekib tõukejõud ja kui kaugenevad tekib tõmbejõud (nagu vedru).
1 Saame 1+ 2= 2 ja 1 +2= 1 oleme saanud 1=1 +2 =2 , et 1 ja 2 olid V nullelemendid, siis on kõik V nullelemendid omavahel võrdsed, st. Saab olla vaid üks nullelement. 2.Sirgete kimp, mis sisaldab teineteisest erinevaid sirgeid üldvõrranditega s: A1x1+A2x2+A3=0; t: B1x1+B2x2+B3=0; koosneb parajasti nendest sirgetest, mille üldvõrrand avaldub kujul (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=0; kus ja on vabalt valitud reaalarvud, mis ei ole korraga nullid. Tõestus: 1) On vaja näidata, et uus võrrand kirjeldab alati antud kimpu kuuluvat sirget: Olgu P(p1,p2) antud kibu keskpunkt, st Ps ja Pt, mistõttu P koordinaadid peavad rahuldama mõlemat võrradit- A1P1+A2P2+A3=0 ja B1P1+B2P2+B3=0. Olgu ,R, siis (A1P1+A2P2+A3)+(B1P1+B2P2+B3)=*0+*0=0. Seega punkti P koordinaadid rahuldavad võrrandit (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=0. Paneme tähele, et (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=(A1+B1)x1+(A2+B2)x2+(A3+B3)=0 Seega
millisest n väärtusest suurus - xn ei ületa = 0,01 ? Jada. Definitsioon nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N. Näide: n = (1, , , ...) Jada piirväärtus. Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, ... piirväärtuseks, kui iga kuitahes vaikese positiivse arvu korral saab näidata sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a , a + ). Jada piirväärtust tähistatakse lim xn = a Tõestus: 9. Lõpmatult kahanevad, lõpmatult kasvavad ja tõkestatud suurused (näited). Kaks olulist teoreemi (näited). Lõpmatult kahanev. Muutuvat suurust a nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0. Näide: Lõpmatult kasvav. Muutuvat suurust a nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim = . Näide: Tõkestatud. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Näide: Teoreem1
.. , mis on qi aga võimatu, sest > 1 iga i {1, . . . ,s} korral. p1 q1 pr qr · Seega r = s ja = ,..., = . 7. LOENG Tõestamise erinevad meetodid · Otsene tõestus o Matemaatiline induktsioon o Tõestus alamjuhtude põhjal · Kaudne tõestus o Kontrapositiivne tõestus o Vastuväiteline tõestus · Ekvivalentsi tõestus · Mitme samaväärsuse tõestus · Olemasolu tõestus o Konstruktiivne olemasolu tõestus o Mittekonstruktiivne olemasolu tõestus Otsene tõestus PQ Eeldame, et P on tõene ja näitame, et siis on ka Q tõene Iga järgmine samm toetub eelnevalt näidatud sammule või olemasolevale faktile.
DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et . Kuna igas mingis punktis on piirväärtust omav suurus selle punkti teatud ümbruses esitatav piirväärtuse ja lõpmata väikese suuruse summana, siis , kusjuures . Seos on esitatav ka kujul , kusjuures suurus on piirprotsessis kõrgemat järku lõpmata väike võrreldes suurusega , sest ning sellest saab järeldada, et ja st, et Lause 2. Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad puntis x ja on konstant, siis selles
• Tema kirjutised on süstemaatilised ning mõistuslikkuse vaimust kantud. • Thomase ratsionalism toetub Aristotelese metafüüsikale. Aristoteles määras ära selle aluse, millel seisab Thomase ratsionalism. • A. Thomas leiabki, et inimese lõplik õnn seisneb tema kõrgeima omaduse ehk mõistuse kasutamises (see kätkeb endas ja jumala nägemist). Jumala olemasolu puudutavad tõestused 1.Tõestus Selles tõestuses on jumal “liikumatu liigutaja”. Thomas ütleb: “On kindel ja ilmne meie meeltele, et maailmas mõned asjad liiguvad. Mis liigub, seda peab miski muu liigutama, sest miski ei liigu muidu kui potentsiaalsusena selle suhtes, mis teda liigutab...Sellepärast on võimatu, et miski oleks samas suhtes ja samal viisil nii liigutaja kui liigutatav, niisiis et ta liiguks iseenesest. Nii peab see, mis liigub, olema millegi muu liigutatud
2.12. Määratud integraal
Olgu lõigul [a, b] määratud funktsioon f(x). Jaotan lõigu osalõikudeks [xi-1,xi], kusjuures
a=x0
järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui siis nimetame suuruseid a ja b ekvalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks. 3. Kui siis nimetame suurust a kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks b suhtes. Teoreem Kui a ja b on ekvalentsed lõpmatult kahanevad suurused siis on on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii a, kui b suhtes. Tõestus Vastavalt eeldusele on a ja b ekvalentselt lõpmatult kahanevad suurused Seega See võrdus näitab, et on kõrgemat järku kahanev suurus a suhtes. (b suhtes teostatakse analoogiliselt) · Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine Olgu a ja b lõpmatult kasvavad suurused piirprotsessis 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus siis on suurused a ja b sama järku 2. Ku siis nimetame suuruseid a ja b ekvalentselt lõpmatult kasvavateks suurusteks.
Kui sündmused või toimuvad A ja B korraga. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) A1+A2+...+An moodustavad sündmuste täieliku süsteemi Sündmuste A ja B korrutis AB on sündmus, mis toimub ja sündmuse B saab toimuda ainult üheda neist siis, kui toimuvad A ja B korraga. sündmustest, siis P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+... P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) *Sündmuste A ja B +P(An)P(B/An) Tõestus: kuna sündmused A1+A2+...+An vahe A-B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A, moodustavad sündmuste täieliku süsteemi, siis sündmuse aga ei toimu B B toimumisega koos toimub üks ja ainult üks sündmustest 3. Vastandsündmuse tõenäosus. Venni diagramm Ai, i=1,2,...n, st. Saame avaldada B=BA 1+BA2+...+BAn. Sündmused B=BA1+BA2+..
DEF2: Vektorite süsteem a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak on lineaarselt sõltumatu, kui vektoritest moodustatud lineaarkombinatsioon on võrdne nullvektoriga ainult siis, kui see kombinatsioon on triviaalne. LAUSE: Vektorite süsteem, mis sisaldab mingit vektorit korduvalt, on lineaarselt sõltuv. Tõestus: Olgu vektorite süsteemis a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak kaks võrdset vektorit. NT a p =⃗
. . . 81 3.6.1 Lähendamine treppfunktsioonidega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6.2 Lähendamine tükiti lineaarsete funktsioonidega . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.7 Heine-Boreli lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.1 Heine-Boreli lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.2 Bolzano–Cauchy teoreemide tõestus Heine-Boreli lemma abil . . . . . . . . . 84 3.7.3 Weierstrassi teoreemide tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . 85 3.7.4 Cantori teoreemi tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Diferentseeruvad funktsioonid 87 4.1 Diferentseeruvuse mõiste ja diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1
Eukleidese aksioomid : Tema põhiteos on 13nest raamatust koosnev "Elemendid", mis kujutab endast kogu Vana-Kreeka matemaatika suursaavutusi. Teos sisaldab geomeetria kõige varasema loogiliselt range ülesehituse. Selle 13nest raamatustt I VI on pühendatud planimeetriale, VII IX aritmeetikale, X ühismõõdututele suurustele, XI XIII stereomeetriale. Eukleidese poolt kasutatud teoreemide tõestamisviis on püsinud tänaseni. Iga tõestus algab eelduse ja väite esitamisega. Seejärel antakse tõestus koos viitamisega neile varem tõestatud lausetele või aksioomidele, millele rajaneb väite õigeks tunnistamine. Iga tõestus lõpeb sõnadega mida oligi tarvis tõestada. Eukleidesel oli võetud laused, mis oli aluseks ja millele rajanes kogu tema suurteos. Põhilaused jagas Eukleides kolme kategooriasse: definitsioonid, aksioomid ja postulaadid. Postulaadid. Nõutakse: 1. ...et igast punktist iga punktini võib tõmmata sirge. 2
MATANAAL 2.TEOORIA 22. INTEGRAALI KESKVÄÄRTUSTEOREEM Omadus 5 Kui funktsioon f ( x) on lõigul [ a , b] pidev, siis leidub sellel lõigul niisugune punkt , et kehtib võrdus b f (x )dx = a )f ( (b - ) a . (5) TÕESTUS f ( x) Vaatleme juhtu a < b . Kui m ja M on vastavalt funktsiooni vähimaks ja suurimaks väärtuseks löigul [ a , b] , siis valemi (4) kohaselt 1 b m f (x )dx M ...
....................................................................................9 4. Argumenteerimine ja loogika..........................................................................10 4.1. Loogikalised vead ja eksimused tõestuse demonstratsioonis.....................................................................................10 4.2. Demagoogilise ja teised mittelojaalsed põhjendid tõestuses...................10 4.3. Otsene ja kaudne tõestus......................................................................... 11 4.4. Liigitav- ja apagoogiline tõestusmaterjal...................................................12 5. Argumentatsioon..............................................................................................13 Kokkuvõte .............................................................................................................15 Kirjanduse loetelu ............................................
punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Lause: Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline δ > 0, Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis
1* Normi ka kauguse Def. 1o puudu ||f||∞ = sup|f(x)|(x∈X) 5*(Jada definitsioon. Koonduvad jadad , jada piirväärtus. Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈V Koonduva jada piirväärtuse omadused + tõestus) piirväärtuse ühesuse tõestus.jada Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N seab vastavusse skalaari ¿∨u∨¿ ∈ R , kusjuures on täidetud
f i 0 sest kõik . 1.4. Määratud integraali omadused Omadus 1. Kahe funktsiooni summa määratud integraal on võrdne nende funktsioonide määratud integraalide summaga: b b b ∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] dx=∫ f ( x ) dx +∫ g ( x ) dx . a a a Tõestus Määratud integraali definitsiooni järgi b n I =∫ [ f ( x )+ g ( x ) ] dx=lim ∑ [ f ( ξk ) + g ( ξk ) ] ∆ xk . a λ→ 0 k=1 Avaldades sulud summa märgi all saame ξ n f (¿¿ k )∆ x k + ∑ g (ξ k )∆ x k k=1 n ∑¿ k=1 ¿
0 < 1- < 1 - cos x x 9 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsiooni piirväärtuse omadused O M A D U S 1: Piirväärtuse ühesus Antud protsessis saab funktsioonil olla ainult üks piirväärtus. Tõestus: Tõestame vastuväiteliselt juhtumi x a . Oletame, et on olemas kahese väärtusega piirprotsess, s.t. f ( x ) , lim f ( x ) = A , lim f (x ) = B , A B . x a x a S.t. iga > 0 korral leidub 1 ( ) > 0 nii, et f (x ) - A < alati kui 0 < x - a < 1 ja iga > 0 korral leidub 2 ( ) > 0 nii, et f ( x ) - B < alati kui 0 < x - a < 2 . Valime = min ( 1 , 2 )
Funktsiooni pidevus antud punktis Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui lim f ( x ) = f ( a ) . Kui x a funktsioon f on pidev piirkonna X igas punktis, siis öeldakse, et funktsioon f on pidev piirkonnas X. Antud hulgal Kõikjal 10. Funktsiooni tuletis. Pidevus ja diferentseeruvus. Aritmeetiliste tehetega seotud diferentseerimisreeglid ( tõestus summa korral ). y Funktsiooni tuletis Kui on olemas piirväärtus lim , siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f x 0 x tuletiseks punktis x ja märgitakse sümbolitega: dy df ( x ) y = f ( x ) = = = y x = f x = y = f ( x ) dx dx
Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt. 7. Vektorruumis on täpselt üks nullvektor. 8. Cauchy-Bunjakovski võrratus 9. Kolmnurga võrratus 10. Vektorkorrutise vektori koordinaatide leidmise valem 11. Punkti kauguse sirgeni leidmise valem 12. Tasandi üldvõrrandi saamine parameetrilistest võrranditest 13. Taandatud võrranditega sirgete vahelise nurga tangensi valem 14. Ellipsi kanoonilise võrrandi tuletamine 15. Hüperbooli kaldasümptootid 16. Parabooli optilise omaduse tõestus 1. Kasutatavad tähistused - kuulub; element a kuulub hulka X / a hulgast X - sisaldub; hulk A sisaldub hulgas B - iga; - iga a hulgast X / iga a korral hulgast X - eksisteerib; - eksisteerib a hulgast X / leidub a hulgast X n summa x i =1
kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0 Teoreemid piirväärtuste kohta. Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et funktsiooni saaks esitada kujul f ( x) = a + ( x) , (x) on lõpmatult vähenev suurus, s.t. lim ( x) = 0 x x0 Tõestus: 1) Piisavus f ( x) = a + ( x) lim f ( x) = a x x0 Tõepoolest: lim f ( x) = lim (a + ( x) ) = a + lim ( x) = a x x0 x x0 x x0 >0, () >0, et 0< x-x0< (x) < Kuid ( x) = f ( x) - a Järelikult >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< seega lim f ( x) = a x x0 2) Tarvilikkus: lim f ( x) = a f ( x) = a + ( x) x x0
kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0 Teoreemid piirväärtuste kohta. Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et funktsiooni saaks esitada kujul f ( x) = a + ( x) , (x) on lõpmatult vähenev suurus, s.t. lim ( x) = 0 x x0 Tõestus: 1) Piisavus f ( x) = a + ( x) lim f ( x) = a x x0 Tõepoolest: lim f ( x) = lim (a + ( x) ) = a + lim ( x) = a x x0 x x0 x x0 >0, () >0, et 0< x-x0< (x) < Kuid ( x) = f ( x) - a Järelikult >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< seega lim f ( x) = a x x0 2) Tarvilikkus: lim f ( x) = a f ( x) = a + ( x) x x0
Sündmuste A ja B korrutis AB on sündmus, mis toimub siis, kui toimuvad A ja B korraga. P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) Sündmuste A ja B vahe A-B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A, aga ei toimu B. 4. Tõenäosuste liitmise lause (tõestusega). Üksteist välistavad sündmused. Tõenäosuste liitmise lause üksteist välistavate sündmuste puhul. Liitmise lause: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) m + m AB + m B - A m A- B + m AB + m B - A + m AB - m AB Tõestus: P ( A + B ) = A- B = = n n m + m AB m B - A + m AB m AB = A- B + - = P ( A) + P ( B ) - P ( AB ) n n n mA-B on A jaoks soodsate ja B jaoks mittesoodsate juhtude arv. Üksteist välistavad sündmused: Kui A ja B ei saa korraga toimuda, on nad üksteist
o. = {(,)| <}. Siis -1={(,) | (,)}={(,) | < }={(,) | > }, st seose < pöördseos on seos >. Seoste × ja × korrutiseks ehk kompositsiooniks nimetatakse seost ×, kus ={(,) | nii, et (,)(,)}. Sarnaselt eespool olevatele definitsioonidele, võime kahe seose korrutise definitsiooni tingimuse esitada ka kujul () (). Erijuhul, kui ja mõlemad on seosed hulgal , on ka nende korrutis seos samal hulgal . Lause 1. Kui ×, × ja ×, siis i. ()-1=-1-1; ii. ()=(). Tõestus. Tõestuseks on järgmised samaväärsuste ahelad: i. (,)()-1 (,) (,)(,) (,)-1(,)-1 (,)-1(,)-1 (,)-1-1. ii. (,) () (,)(,) (,)(,)(,) (,)(,) (,)(). Ekvivalentsusseos Olgu suvaline mittetühi hulk. Seost hulgal nimetatakse ekvivalentsusseoseks, kui ta on i. refleksiivne, s.t. kui ; ii. sümmeetriline, s.t. kui ; iii. transitiivne, s.t. kui . Kui on ekvivalentsusseos ja , siis öeldakse, et elemendid ja on ekvivalentsed (seose järgi)
tõeväärtuse, siis kirjutame tulemuse valemi alla, selle alla omakorda valemi osa analüüsimisel saadud tulemuse jne. Kui osutub, et mingil sammul on valemi osadel mitu sobivat varianti tõeväärtusi, siis jaguneb analüüs sellel sammul harudeks, mida jätkatakse üksteisest sõltumatult. Seosed valemiklasside vahel: o Teoreem 1: Valem F on samaselt tõene parajasti siis, kui tema eitus ¬F on samaselt väär. Tõestus. Andes valemis F esinevatele lausemuutujatele suvalise väärtustuse, näeme, et valemite F ja ¬F tõeväärtused on vastupidised. Järelikult kui F on igal väärtustusel tõene, siis ¬F on igal väärtustusel väär ja ümberpöördult. o Teoreem 2: Valem F on kehtestatav parajasti siis, kui tema eitus ¬F ei ole samaselt tõene. Tõestus. Kui F on kehtestatav, siis väärtustusel, kus F on tõene, on valem ¬F väär ja ei saa seetõttu olla samaselt tõene
seos järgmisena ∫ f ( x ) dx=¿ 0. (I. Tammeraid) a Määratud integraali omadused Omadus 1. Kahe funktsiooni summa määratud integraal on võrdne nende funktsioonide määratud integraalide summaga: 6 b b b ∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] dx=∫ f ( x ) dx +∫ g ( x ) dx . a a a Tõestus Määratud integraali definitsiooni järgi b n I =∫ [ f ( x )+ g ( x ) ] dx=lim ∑ [ f ( ξk ) + g ( ξk ) ] ∆ xk . a λ→ 0 k=1 Avaldades sulud summa märgi all saame ξ n f (¿¿ k )∆ x k + ∑ g (ξ k ) ∆ x k k=1 n ∑¿ k=1 ¿ ¿
annaabi.ee 
