Kordamine IV 1. Kolmnurga küljed on 6,0 cm; 5,4 cm ja 3,6 cm. Kolmnurka on lõigatud pikkuselt keskmise küljega paralleelse sirgega. Tekkinud trapetsi lühem haaron 2,0 cm. Leia trapetsi lühema haara pikkus. 2. Ristküliku KLMN kohta on antud: PL = 15 cm, PN = 4 cm ja cos = 0,8. Arvuta, mitu korda on ristküliku pindala suurem kui trapetsi KLPN pindala. N P M K L 3. Ristküliku diagonaal on 28 cm ning ta moodustab pikema küljega nurga 30°. Tee joonis ja arvuta : 3.1. nurk lühema külje ja diagonaali vahel 3.2. lühema külje pikkus. 4. Ristküliku ABCD külg AB = 16 cm ja BC = 6 cm ning DE = CE. Leia kolmnurga ABE ümbermõõt ja pindala. Selgita lahendust. 5. Antud on kolmnurgad ABC ja AFD. 5.1. Põhjenda, et need kolmnurgad on sarnased. 5.2. Arvuta lõigu DF pikkus, kui AC = 10 cm, BC = 12 cm ja AF = 6 cm. C 75°
2 x + y b 4 b2 - 4 12. - 2 : 2 b + 3 b + 3b b + 8b + 15 x + 6x + 5 2 16 13. + x - 5 x +5 x +3 2 2y + 6 y +1 14. - 2 : 2 y - 4 y - 16 y - 3 y - 4 15. Kolmnurga tippudeks on punktid (-6; 3); (2; -3) ja (4; 6). Joonesta antud kolmnurk koordinaatteljestikus. Joonesta mediaanid ja leia jooniselt mediaanide lõikepunkti koordinaadid. 16. Joonesta funktsioon y = -2x + 4 graafik. Kirjuta välja graafiku ning koordinaattelgede lõikepunktide koordinaadid. Leia punkt, mille ordinaat on 6. 17. Joonesta funktsiooni y = x 2 -1 graafik. Leia lõikepunktid koordinaattelgedega ja punk, mille abstsiss on -2. 18. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = x + 2 ja ruutfunktsiooni
Vastus.0,5a ; 0,5h e) Jaota arv 36 kaheks teguriks nii, et ruutude summa oleks vähim. Vastus. 6;6 f) Müüri ääres tuleb kolmest küljest piirata 120m pikkuse taraga ristkülikukujuline maatükk. 1) Avaldage maatüki pindala ühe muutuja funktsioonina. 2) Leidke maatüki mõõtmed nii, et 120m pikkise taraga oleks piiratud suurim pindala. Vastus. 1) S(x) = -2x2 + 120x 2) 30m ja 60m g) Plekitahvlist tuleb välja lõigata täisnurkne kolmnurk, mille pindala ruut on maksimaalne. Leidke selle kolmnurga kaatetite pikkused, kui hüpotenuus on 20cm. Vastus. mõlema kaateti pikkus on 10 2 cm h) Leida seos vähima täispindalaga silindri raadiuse r ja kõrguse h vahel antud ruumala V korral. Vastus: h= 2r i) On vaja valmistada kaaneta kast, mille ruumala on V ja põhjaservade pikkused suhtuvad nagu 1: 2.
1. Lihtsusta 5a a 2 ab b 2 a 3 b3 1) : -1 1 5a 25a 2 10a 1 5a 2 a 5ab b 5 2 2a 9 8 2a 3 2) 2 : 2 2a 3 3 2a 4a 9 4a 12a 9 2 1 1 1 3a 2 6a 1 3) : 2 2 6a 27a 1 1 3a 9a 3 a a 2. Turist kavatses matkata 252 km. Kuna ta läbis iga päev 3 km rohkem kui kavatsetud, siis kestis matk planeeritust 2 päeva vähem. M
3) kõik ühtevärvi pallid. 3. Leia kõik reaalarvude paarid (x;y), mis rahuldavad võrrandit 2 x +1 = 4 y 2 +1 ja võrratust 2 x 2 y . 4. Kahe positiivse arvu vahe moodustab 1/19 nende kuupide vahest, nend4e korrutis on aga ½ võrra väiksem nende ruutude poolsummast. Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veiniklaasi kõrgus on h. Mitu protsenti klaasi ruumalast on täidetud, kui klaasi fvalatakse veini poole kõrguseni? 8. Milliste muutuja x Väärtuste korral saavutab funktsioon f ( x ) = 2 8 x - 9 4 x + 12 2 x + 1997 oma suurima ja vähima väärtuse lõigus [-1;1] ? Leia need funktsiooni väärtused. 9
1 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. SEMANTILINE KOLMNURK Loogika määratlemisest Sõna loogika näib olevat kujunenud kreeka väljendist logik¾ tscnh, mis tähendab mõtlemise või arutlemise kunsti. Kui püüda mõista, mis on loogika, siis üks võimalus on lähtuda selle sõna kasutamisviisidest tavakeeles. Eesti keelt kõneldes saab sõna loogika Kasutada erinevates tähendustes: · sündmuste, asjade või süsteemide loogika, s.o sisemine korrapära, mis võimaldab
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
V=a·b·c St = 2 · (a · b + a · c + b · c) Näide Näide: Olgu risttahuka servad a=2cm, Risttahuka servad a=2cm, b=3cm, c=4cm, siis täispindala b=3cm, c=4cm, siis tema ruumala St=2 · (2 · 3 + 2 · 4 + 3 · 4)=2·26=52cm2. V = 2 · 3 · 4 = 24 cm3. Kolmnurkne püstprisma Kolmnurkse püstprisma põhiservad on a, b, c; põhja kõrgus on h ja prisma enda kõrgus on H. Prisma ruumala saame Prisma täispindala leiame samm haaval. kui põhja pindala korrutame 1) Leiame põhja ümbermõõdu prisma kõrgusega: P=a+b+c 2) Leiame külgpindala V = Sp · H Sk = P · H 3) Leiame põhja pindala
siinus, koosinus ja tangens. 20 21 β 16 29 12 20 3. Leia α tan 24̊ 17’= cos 37̊ = sin 52̊ 33’= 4. Leia nurk α, kui cos α=0,8645 sin α=0,2574 tan α=0,4284 5. Lahenda täisnurkne kolmnurk, kui (10 punkti) ☺ a=15 m ja α=45̊ 23’ ☺ a=8 dm ja b=6 dm 6. Rombi diagonaal on 12,8 cm ja teravnurk 52̊. Arvuta rombi nurgad, pindala ja ümbermõõt. 7. Võrdhaarse trapetsi teravnurk on 53̊, lühem alused on 18 cm ja 12 cm. Arvuta trapetsi ümbermõõt ja pindala. 8. Päikese kõrgus on 34̊. Lipuvarda varju pikkus on 8,6 m. Leia lipuvarda pikkus. 9. Kaldtee on 12,6 m pikk ja selle tõusunurk on 7 °. Kui kõrgele see kaldtee viib? 10
B-7 Leia võrrandi tan x -3 lahendite summa. ( ) B-8 Leia parameetri a väärtus mille korral funktsiooni y = cos 2 (a 2 + 2a - 28) x periood on . 20 B-9 Leia kahekohaline arv ( või nende arvude summa), mille korral numbrite vahetamisel väheneb arv 28,125 % võrra. B-10 Püramiidi ABCS põhitahuka on täisnurkne kolmnurk , kaatetitega AB = 3 ja BC = 4. Külgserva CS pikkus on 5 ja see külgserv on risti põhitahuga ABC. Servadel AC ja BC 2 Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium on valitud vastavalt punktid M ja N nii, et AM = NB = 3. Lõiketasand läheb läbi punktide M, N ja S. Leia põhitahu ja lõiketasndi vahelise nurga tangens.
trapetsi kõrgus. a+b 2b + b 3b 3b S= h= h= h; S = h 2 2 2 2 = , kui põiknurgad paralleelsete sirgete lõikamisel 3. sirgega, d-ga. Nelinurk A1BCD on romb: alusnurgad ei ole täisnurgad, diagonaalid poolitavad nurgad, vastasküljed on paralleelsed. Järelikult lühem alus võrdub haaraga c = b. Kolmnurk CEB on täisnurkne. Pythagorase teoreemi järgi saame 2 2 b 2 b 3b 2 3b 2 b h = c - = b - = 2 2 h= = 3. 2 4 4 4 2 3b b 3b 2 3 4S S= 3= b2 = 2 2 4 3 3 4S S 3 S 3 2
Kordamine I Arvuta 1 4 16 3 1. 2,5 - + :1 = 4 15 25 5 1 2 4 2. 2,7 2 + 3,4 - 1 : 1 = 12 3 9 1 2 5 1 1 3. 1 + 2 4 - 3 : 2 = 6 15 8 6 27 1 5 7 4. 1,2 + 2,7 2 -3 : 2 = 12 6 18 7 11 5 5. 2 : 2,1 1 -1 + 2 -1 = 8 14 6 2 2 1 5 6. 3 - 2,25 1 : = 3 6 6 4 1 7. On antud avaldis : 0,6 +1,6 . Arvuta kirjalikult: 1) selle avaldise täpne väärtus; 2) leitud 5 6 väärtusest 25% võrra väiksem arv. 2 5 8. On antud avaldis 2,75 - : 2,5 . Arvuta kirjalikult: 1) selle avaldise täpne väärtus; 2) leitud 3 6 väärtusest 20% võrra suurem arv. 1 4 9. L
CD = 1,519 2 + 0,93 2 - 2 1,519 0,93 cos 25 0,782 km. · Teekond postkontorisse C pikenes: Talust A: AD + DC - AC 0,93 + 0,782 - 0,804 0,91 km võrra. Talust B: BD + DC - BC 0,93 + 0,782 - 1,519 0,19 km võrra. Kommentaarid. Ülesandega kontrolliti kolmnurga lahendamise oskust. Eksaminandilt oodati kolmnurga sisenurkade summa teadmist, siinus- ja koosinusteoreem rakendamise oskust. Väga üllatav oli see, et paljud eksaminandid arvasid, et antud kolmnurk on täisnurkne ja lahendasid ülesande Phytagorase teoreemi kasutades (ja seda isegi siis, kui 3. nurk oli õigesti leitud!). Ootamatult problemaatiliseks osutus mõõtkava tundmine ja ümardamine. Etteantud täpsusega tuli ümardada vaid lõppvastus, kuid paljud eksaminandid ümardasid kõiki vahetehteid ja said vastuse, mis oli väga ebatäpne. Jällegi oli tõsiseks probleemiks vastuste kriitiline hindamine
kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) 12. Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.) 13. Täisnurkne kolmnurk. Pythagorase teoreem (a2+b2=c2), Eukleidese teoreem (a2=fc ja b2=gc).Teoreem hüpotenuusile tõmmatud kõrgusest (h2=fg), Thalese teoreem (diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk). 14. Võrdkülgne kolmnurk.(a=b=c) a 3 a2 3 Kõrguse ja pindala avaldamine külje kaudu. h= jaS = 2 4 NELINURGAD
1. Lahenda kolmnurk ja arvuta selle pindala, kui tipud on K(4; 2; 10), L(10; -2; 8) ja M(-2; 0; 6). Leia küljele LM tõmmatud mediaani pikkus ja küljega KL paralleelse kesklõigu vektor. 2. Kasuta segakorrutist ja vektorkorrutist ning leia rööptahuka ABCDEFGH ruumala ja kõrgus, kui B(-2; 4; -3), C( 4; -3; 2); D(3; 2; -1) ja G(2; -1; 5) 3. Nelinurga ABCD tipud on A(9; 3; -8), B(7; 5; -9), C(-5; -1; 0) ja D(-11; -7; -7). 3.1. Veendu, et see nelinurk on trapets. Tee kindlaks, millised lõigud on trapetsi alusteks. 3.2. Kas trapets on võrdhaarne? 3.3. Leia trapetsi kesklõigu otspunktid. 3.4. Leia trapetsi haarade pikenduste vahelise nurga koosinus. 4. Rööptahuka kolme külje vektorid on järgmised: a = (-2; 4, 6 ) ; = (5;6;-4) ja b c = (-1;6;-7) . 4.1. Leia selle rööptahuka ruumala
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) 12. Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.) 13. Täisnurkne kolmnurk. Pythagorase teoreem (a2+b2=c2), Eukleidese teoreem (a2=fc ja b2=gc).Teoreem hüpotenuusile tõmmatud kõrgusest (h2=fg), Thalese teoreem (diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk). 14. Võrdkülgne kolmnurk.(a=b=c) a 3 a2 3 Kõrguse ja pindala avaldamine külje kaudu. h jaS 2 4 NELINURGAD
2 ruutvõrrandi x +px+q=0 lahendid. x1=3 x2=10 NB pöördteoreem võimaldab lihtsamaid x1 x2=30 seega vabaliige on 30 ruutvõrrandeid ka peast lahendada x1+x2=13 seega lineaarliikme kordaja on 2 -13 võrrand x -13x+30=0 5.ptk Ringjoon ja korrapärane kolmnurk TAGASI Õpitulemused Näited 1.Ringjoone kaar ja kõõl - kaar: ringjoone osa, Ül.1060 saadakse vähemalt kahe punkti märkimisel Ringjoone punktist on joonestatud kaks ringjoonele; tähistamine: kirjuatatakse raadiusega võrdset kõõlu. Leida kõõlude otspunktide tähised (vajadusel lisatakse veel vaheline nurk.
otspunkti ringjoonel ja on risti raadiusega on puutuja. antud nurgad =120°, =30° uurida joonisele tekkinud kolmnurka üks teravnurk on antud NB puutujate lõikepunkt on puutepunktidest teine teravnurk =180°-120°=60° võrdsetel kaugustel kolmnurk on täisnurkne, sest tema teravnurgad on kokku 90° raadiuse ja sirge vaheline nurk on täisnurk kuna sirge t läbib raadiuse otspunkti ja on seal raadiusega risti, siis sirge t on puutuja 12.Kolmnurga ümberringjoon - keskpunkt: konstrueerimine kolmnurga kõigi külgede keskristsirged
Võrdhaarset trapetsil · Aluse lähisnurgad on võrdsed · Diagonaalid on võrdsed · On ümberringjoon. KORRAPÄRANE HULKNURK korrapärase hulknurga küljed ( a n ) on võrdsed ja sisenurgad () on võrdsed. ( n - 2) 180° Sisenurk: = kus n on hulknurga nurkade arv n Korrapärasel hulknurgal on ühise keskpunktiga sise- ja ümberringjoon. Siseringjoone raadiuseks on keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik ehk apoteem r=m Ümberringjoone raadius on keskpunktist tippu tõmmatud lõik. a m Pindala: S = n n = pr 2 R2 2 S = n sin 2 n Korrapärane kuusnurk Külg võrdub ümberringjoone raadiusega a 6 = R a 3 r =m = 2 S = 3am = pr RINGJOON JA RING 2/6
....................................... 19 7. Geomeetriliste kehade kujutamine ........................................................................................................... 22 Püramiidi lõikamine tasandiga ......................................................................................................................... 22 8. Geomeetriliste kehade lõikumine.............................................................................................................. 23 Kahe prisma lõikumine .................................................................................................................................... 23 Kolmas osa. Tehniline joonestamine.............................................................................................................. 27 Kujutised .......................................................................................................................................................... 27 9. Vaated............................
5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. 12. 2. korrapärase püramiidi tipust külgtahule tõmmatud kõrgus. 13. Aritmeetiline keskmine suuruste summa jagatis nende suuruste arvuga. 14. Aritmeetiline ruutjuur mittenegatiivne arv, mille ruut võrdub antud arvuga. 15. Arvtelg, arvsirge reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud arvude 0 ja 1 kujutised ning sellega määratud ka teiste reaalarvude kujutised.
V = a2 h S t = 2S p + S k 3 V =Sp h Ülesanded 1. Kuubi serva pikkus on 8dm. Leia kuubi täispindala, ruumala, põhja diagonaal ja kuubi diagonaal. 2. Risttahuka põhiservad on 6cm ja 8cm. Kõrgus on kolm korda suurem kui pikem põhiserv. Leia risttahuka täispindala, ruumala, põhja diagonaal ja risttahuka diagonaal. 3. Korrapärase nelinurkse püstprisma põhja ümbermõõt on 48mm. Prisma kõrgus on pool põhiservast. Leia prisma täispindala, ruumala, põhja diagonaal, külgtahu diagonaal ja prisma diagonaal. 4. Püstprisma põhjaks on täisnurkne kolmnurk kaatetitega 3m ja 4m. Prisma kõrgus on neli korda pikem kui põhja hüpotenuus. Leia prisma täispindala ja ruumala. 5. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 16cm ja kõrgus 15cm. Leia püramiidi täispindala ja ruumala. 6
nuputamisülesanded töölehed Didaktilised mängud 29. nädal 1.3. Mitmesuguseid peastarvutamine, õpik lk 7780 *teab, milline kujund on 16.aprill- ülesandeid. kolmnurk, selle suuline küsitlus, tv lk 3033 kolmnurk 20.aprill Geomeetrilised kujundid tipud, küljed, kirjalik arvutamine, *oskab nimetada ja näidata 4.5. Kolmnurk. nurgad, rühmatöö, paaristöö, kolmnurga tippe, külgi ja Kolmnurga ümbermõõt. erikülgne iseseisev töö, õpik lk 8182 nurki
SEMANTILINE KOLMNURK: TEEMA 1!! 1 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. SEMANTILINE KOLMNURK Loogika määratlemisest Sõna loogika näib olevat kujunenud kreeka väljendist logik¾ tšcnh, mis tähendab mõtlemise või arutlemise kunsti. Kui püüda mõista, mis on loogika, siis üks võimalus on lähtuda selle sõna kasutamisviisidest tavakeeles. Eesti keelt kõneldes saab sõna loogika Kasutada erinevates tähendustes: • sündmuste, asjade või süsteemide loogika, s.o sisemine korrapära, mis võimaldab
See eeldab, et tundides kasutatakse mitmesuguseid näitlikke vahendeid. Õpetus ei anna soovitud tulemusi, kui õpilased ainult jälgivad õpetaja või kaasõpilase tegevust. Õpilane peab saama iseseisvalt töötada, peab ise kõik läbi tegema. Põhimõtteks on see, et kogu geomeetrilise materjali omandamine peab “silmadest, kätest ja jalgadest läbi käima”. 2) Milliseid tasandilisi kujundeid õpetatakse I kooliastmes ? Tasandilisi kujundeid: ruut, ring, kolmnurk, ristkülik. Tasandilisi kujundeid vaadeldakse ruumiliste kujundite osadena. 3) Milliseid hulktahukaid ja milliseid pöördkehi õpetatakse I kooliastmes? Kuup, kera, kolmnurkne püramiid, risttahukas II Ülesannete lahendamine: arvutusülesanded (arvutusseaduste rakendamine, tehete järjekord), osa ja terviku leidmine (murrud), avaldiste koostamine ja lugemine (vt. 2.osa konspektis lk 16), ühikute teisendamine,
x x AD=DB 3) KKK = = =k c = x2 + h2 AC CB AB a Täisnurkne kolmnurk H D´ C´ Täisnurkne trapets (Pythagorase teoreem) H´ Risttahukas Kuup b x=a–b a2 + b2 = c2 A´ B´ d = x +h
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111; 24x2 + 5x 1 24x2 + 6x
h² +2h -80 = 0 h = -1 1 80 = -1 81 = -1 9 h 1 = -10 või h 2 = 8 h 1 = -10 ei sobi ülesannete tingimustega, sest kolmnurga kõrgus on reaalne suurus ( h>0) h = 8 (cm), alus on siis 8 +2 = 10(cm) 8 10 5 Kontroll: = 40 (cm²) 2 1 Vastus: h = 8 cm 280 Analüüsi 279, ainult kolmnurk on täisnurkne x ( x 5) 52 jne 2 x2 281 Analüüsi 279 ja 280 162 jne 2 282 Olgu ristküliku (RK) kõrgus h, alus on siis 3h 3h h = 108 h 3h 3h² = 108/:3 h² = 36 h = 36 = 6 (cm)
e) nööbid on ühte värvi Vastus. a) 0,58(3) b) 0,02(7) c) 0,3(8) d) 0 c) 0,6(1) l) Leia tõenäosus, et 1 lasuga tabatakse märklaua viirutatud pinda, kui iga punkti tabamine on võrdtõenäone teise punkti tabamisega ning tabamine on kindel sündmus. a) Ruudus on ring b) Korrapärases kuusnurgas on kolmnurk 4 4 0,215 Vastus. a) b) 0,(3) m) Juhulikult võetud vihikul on köitmisviga tõenäosusega 0,4. Kumb on tõenäosem, kas kolmest koolivihikust on kaks köitmisveaga või kahest vihikust mõlemad on köitmisveaga. Vastus. P3(2) >P2(2) n) 85% CD plaatidest on kõrgkvaliteedilised
Vastus: Tõenäosus, et võetud pallid on sama värvi, on 19/40 ja 4 kollase palli saamise tõenäosus on 1/21. 5. (15p) Sektorisse, mille raadius on R ja kesknurk , on kujundatud ring. Avaldage ringi raadius ning ringi sektori pindalade suhe. Avaldage see suhe, kui = 60 o . Lahendus: Ringjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega r. Seega R r . a) VOAB on täisnurkne kolmnurk. Saame leida ringi raadiuse r. AO = R r; BO r sin = = ( R - r) sin = r ; 2 AO R - r 2 Rsin -rsin = r r+rsin = Rsin r1 + sin = R sin
h² +2h -80 = 0 h = -1 ± 1 +80 = -1 ± 81 = -1 ± 9 h 1 = -10 või h 2 = 8 h 1 = -10 ei sobi ülesannete tingimustega, sest kolmnurga kõrgus on reaalne suurus ( h>0) h = 8 (cm), alus on siis 8 +2 = 10(cm) 8 ×10 5 Kontroll: = 40 (cm²) 2 1 Vastus: h = 8 cm 280 Analüüsi 279, ainult kolmnurk on täisnurkne x( x + 5) = 52 jne 2 x2 281 Analüüsi 279 ja 280 = 162 jne 2 282 Olgu ristküliku (RK) kõrgus h, alus on siis 3h 3h × h = 108 h 3h 3h² = 108/:3 h² = 36 h = 36 = 6 (cm)
Õppekavad ja õpikud koolimatemaatikas 1. Matemaatikaõpetuse areng eesti koolis 1.1. Eestikeelse hariduse algus Esimesed katsed eesti soost lastele haridust anda emakeeles tehti 17. sajandi keskel. Talurahva haridusele alusepanijaks loetakse Bengt Gottfried Forseliust (1660 - 1688). Ta oli soome päritoluga, tema isa oli Tallinna toomkooli õpetaja. B.G. Forselius õppis juba lapsepõlves selgeks eesti keele. 1684. a sai ta enda käsutusse tühjalt seisvad Papimõisa hooned (nende asukohta märgib praegu mälestuskivi Tartus Tähe tänavas Forseliuse Gümnaasiumi vastas). Seal otsustas ta eesti poistest koolitada köstreid ja talupoegade lastele õpetajaid. Forselius oli ainus õpetaja selles koolis - Forseliuse seminaris. Õpilased olid enamuses pärit Tartumaalt. Õppeaeg - 2 aastat. Seminaris õpiti lugemist, kirjutamist, usuõpe- tust, kirikulaulu, raamatuköitmist, natuke rehkendamist ja saksa keelt. Forselius kirjutas ise ka aabitsa, mille esimene trükk ilmus