Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Matemaatika teaduskool - funktsioonid". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
graafik, lahend, 2200, temper, läbim, avaldis, 3500, 1400, elektrienergia, liibanon, liibanoni, 0279, 8000, kuupmeetrit, 4500, tunnid, illustreerida, majas, pikemalt, maksimumi, kajastub, jäätisemüüja, pannud, rakendame, bioloogia, 1910, paaril, eluea, laane, energiakulu, arves, 2400, 2600, 2800, 3400, möödudes, bakterid, 3900, otsitud, kulutabTabelarvutust kasutades võime me muuta ka algandmeid, "läbi mängides" erinevaid võimalusi, uurida "mis juhtub, kui..". Näiteks võime leida, kuidas muutuvad summaarsed kulud, kui õnnestub vähendada fikseeritud kulusid 2500 kroonini päevas või kui muutuvkulud ühiku kohta suurenevad 7 kroonini. Peale kulufunktsiooni tabuleerimist võime kulude muutumise iseloomustamiseks kasutada graafikut. Joonis 15 Kulufunktsiooni graafik ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 12 Müües teenust või toodet, saab firma tulu (revenue). Tulufunktsioon on funktsionaalne seos müüdud tooteühikute (või tegevusmahu) ja brutotulu R vahel. Lihtsaimal juhul on seos võrdeline ja võrdeteguriks on hind (price) p. Tulufunktsioon = nõutav kogus · hind
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x
2) kas f ( x ) = x3 - 4x on paaritu funktsioon. 1 3) funktsiooni nullkohad, positiivsus ja negatiivsuspiirkonnad. 2 Vastus: 1) -15, 15 a3 -4a , x3 +3ax2 + (3a2 -4)x , 2) f(-x) = -f(x) 3) X+ = (-2; 0) U ( 2; ) X- = ( - ; -2 ) U ( 0 ; 2 ) b) Joonisel on esitatud funktsiooni graafik. Leidke funktsiooni graafikult 1) nullkohad 2) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond 3) kasvamis- ja kahanemisvahemikud 4) maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid Vastus: 1) x1= -1,6 x2 = 3,1
(3000) = 3000 + 6 × 3000 = 3000 + 18000 = 21000. Vastus: 3000 ajalehe trükkimisel tehtavad kulutused on 21 000 kr päevas. Kulufunktsiooni teadmine võimaldab leida kogukulusid suvalise tootmismahu korral. Tööd teeb lihtsamaks tabelarvutuse vahendite kasutamine, kus meil on võimalik muuta ka algandmeid ning mängida läbi erinevaid võimalusi. Kulufunktsiooni iseloomustamiseks saame kasutada ka vastavat graafikut. Näide 2-4 Kulufunktsiooni graafik 25 000 Kogukulud C(q), kr 20 000 15 000 10 000 5 000 0 0 1 000 2 000 3 000 4 000
1) Arvutada eelarvestatud kasum ja kasumilävi (tk), lähtudes toodangu planeeritud struktuurist 2) Oletame, et müüakse 8000 väikest, 8000 keskmist ja 4000 suurt kotti Arvutada uus kasum ja kasumilävi Ülesanne 3.6 Leida puuduvad summad (tuh. Kroonides), näidates arvutused. Varude jäägid ei muutunud Müügikäive 9200 Kas. põhimat. 3500 Põhitüüliste palk 2100 Tootmise lisakulude muutuvosa 1000 Tootmise lisakulude püsivosa 500 Müüdud toodangu omamaks. muutuvosa Müüdud toodangu maksumus tootmisomahinnas Müügi ja halduskulude püsiosa 800 Brutokasum Piirkasum D Esmaskulud Konverteerimiskulud F Ärikasum G Ülesanne 3.7 Arvutada puuduvad summad kroonides, v
Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis esitub valemina kujul y=ax kus a on positiivne ühest erinev reaalarv ning muutuja x on reaalarv. Uuri eksponentfunktsioonide omadusi graafiku põhjal avades faili lingil: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/eksponent.pdf Saime teada, et eksponentfunktsiooni korral 1) positiivsusvahemik ühtib määramispiirkonnaga; 2) puuduvad nullkohad; 3) graafik läbib punkti (0;1); 4) funktsioon on kasvav, kui a ¿ 1 ja kahanev, kui 0
1) 2) 3) 4) 3 4 5 2 3 1- log 3 6 - log 4 0 ,125 3. Arvuta avaldise 27 -4 väärtus. 1) 0 2) 7,875 3) 7,875 4) 3,875 4. On antud perioodilise funktsiooni y = f ( x ) graafik, on teada, et funktsiooni periood T = 4, leia f (10) . 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5. Leia kõigi täisarvude summa, mis jäävad lõigule [-5;7] ja kuuluvad funktsiooni y = 2 - log 2 ( 2 + 4 x - x 2 ) määramispiirkonda. 1) 7 2) 4 3) 5 4) 13 6. Leia funktsiooni suurima ja vähima väärtuse korrutis. 1) -2,25 2) 2,25 3) -2,125 4) 2,125 y = f ( x)
4.5. Optimeerimisülesanded Optimaalne on olemasolevate võimaluste ( kitsenduste) j apüstitatud juhtimismärgi korral saavutav parim tulemus. Optimeerimine on olemasolevate kitsendustele ning püstitatud optimaalsuskriteeriumile vastava lahendileidmine. Lahenduse etapid: 1. Tee kindlaks, millist suurust on vaja optimeerida, mis on funktsioon; avalda funktsioon argumendi kaudu , ehk leia matemaatiline avaldis , mis seob neid suurusi. 2. Kasutadesekstreemumite määramise tehnikat (pp. 4.1 4.4.), optimeeri leitud funktsioon . Näide 4.7. Firmal on 50 autot ja neid renditakse välja nädala kaupa. Kogemus näitab, et kui nädalarent on 1000 kr, renditakse välja kõik autod. Summa tõstmisel 40 krooni võrra väheneb autode rentijate arv ühe võrra. Milline nädalarent annab firmale suurima kogutulu? Mitu autot siis välja renditakse? Lahendus:
3 2 3 z= +acos +sin 5 ax+b 2a 2b+a a+b 4b-ax 3 3 2 3x NB! 4 y= +(a -2b) + sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad bx+2,7 4b 4 z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni,
4 by 3 y= x +b - ln z= +acos +sin 5 ax+b 3 2a 2b+a a+b 4b-ax 3 3 3x +(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust 4 a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3
4 by 3 y= x +b - ln z= +acos +sin 5 ax+b 3 2a 2b+a a+b 4b-ax 3 3 3x +(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust 4 a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3
4 by 3 y= x +b - ln z= +acos +sin 5 ax+b 3 2a 2b+a a+b 4b-ax 3 3 3x +(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b 4 z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3
4 by 3 y= x +b - ln z= +acos +sin 5 ax+b 3 2a 2b+a a+b 4b-ax 3 3 3x +(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust 4 a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111;
Konrolli ka skolmnurk on täisnurkne. Leia pindala. 26. Rong läbis esimeses sekundis peale liikuma hakkamist 0,4 meetrit, igas järgmises sekundis aga 0,5 meetrit rohkem kui eelmises. Leia rondi poolt 1,2 minutiga läbitud tee pikkus. 27. Merevesi sisaldan 5% soola. Kui palju magedat vett tuleb lisada 60 kg mereveele, et saada segu, mis sisaldab 4% soola? 28. Leia funktsiooni y = 2x³ + 3x² -2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud. Joonesta graafik. 29. Trapetsi alused on a ja (a + 3 +1) ning nurgad pikema aluse juures 30º ja 45º. Leia pindala. 30. Lahenda võrrand 4 x 3 4 x - 2 x -2 32 x - 0,75 = 0 31. Jüri ja Mari vanused on mõlemad algarvud. Kui lahutame Jüri vanusest 2 ja liidame Mari vanusele 2 on saadud arvude korrutis on 4 võrra suurem, kui vastupidi toimides. Kui vanad on Jüri ja Mari? sin 4 - cos 4 + cos 2 32. Tõesta samasus = cos 2
4 by 3 y= x +b - ln z= +acos +sin 5 ax+b 3 2a 2b+a a+b 4b-ax 3 3 3x +(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b 4 z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3
4b a x 3 3 3 x NB! 4 y ( a 2 b) 2 sin x 2 2 2,5 y b x 2,7 4b 4 z cos( x) a sin y sin 3 2 Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad ab a b avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e ae x 3 a x 2 2
3 y= x +b - ln 2 3 z= +acos +sin4 by 5 ax+b 2a 2b+a a+b NB! 4b-ax 3 3 2 3x Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 y= +(a -2b) + sin x2 2,5y avaldise absoluutväärtust +asin 3 y 2+sin2 ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e
3 y= x +b - ln 2 3 z= +acos +sin4 by 5 ax+b 2a 2b+a a+b NB! 4b-ax 3 3 2 3x Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 y= +(a -2b) + sin x2 2,5y avaldise absoluutväärtust +asin 3 y 2+sin2 ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e
4b a x 3 3 3 x NB! y ( a 2 b) 2 sin x 2 2,5 y 4 b x 2,7 4 b 4 z cos( x) a sin 3 y 2 sin 2 Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad ab a b avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e ae x 3 a x 2 2
7. Stereomeetria. Riigieksamiülesannete koostamisel lähtutakse riiklikus õppekavas esitatud nõuetest (vt ,,Põhikooli ja gümnaasiumi riiklik õppekava"; http://www.riigiteataja.ee/ert/act.jsp?id=174787 ). Eksamiülesannete lahenduste näiteid (2008/2009 õ-a riigieksami põhjal) a a 1 -2 2 1. (10 punkti) Lihtsustage avaldis 2 - 2 2 - b ja leidke avaldise a - 2 ab + b 2 (a + b ) a täpne väärtus, kui a = -4 + log 5 125 ja b = 3 2 . a (a + b ) - a (a - b )
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3
Võiste Norak Arnold 5755394 Võiste Piirsalu Irma 5185485 Võiste Salumets Erno 5493863 Isikukood 35408240148 36203030988 45104120460 46709190988 38211130833 34204170615 44012150956 47110060467 35302070214 37111200348 48007150516 44601210234 45209010485 36110070151 37906080465 34404190222 37708220891 38008200347 47508150058 37006180544 Puidu hinnad Sort Liik 1 2 3 4 5 haab 1000 950 900 850 800 kask 1400 1330 1260 1190 1120 kuusk 1600 1520 1440 1360 1280 lepp 1300 1240 1170 1110 1040 mänd 1500 1430 1350 1280 1200 saar 1700 1620 1530 1450 1360 tamm 2200 2090 1980 1870 1760 vaher 1900 1810 1710 1620 1520 Funktsioonide uurimine. Ülesande püstitus Koostada rakendus, mis võimaldab teha kolme ühemuutuja funktsiooni: F1, F2 ja F3 = F1 +
kolmes võrdses osas: täna, 60 päeva hiljem ja 120 päeva hiljem. Kui suur on viimati kokku lepitud osamakse, kui intressimäär oli 15% ning fookuspäev on lepitud kokku tänaseks? Lahendus. Olgu otsitava osamakse suurus x. Kanname olulised andmed järgmisele skeemile. 19 Fookuspäev 70 päeva varem Täna 50 päeva hiljem Esialgne graafik 800 EUR-i E1 E2 1500 EUR-i Uus x graafik E3 x E4 x Täna 60 päeva 120 päeva
504.064.38 (, , , , , .), . ..................................................................................................4 1. ..............5 1.1. ....................................................................................5 1.2. .........................................................................................5 1.3. .....................................................................................6 1.4. ....................................................................................7 1.5. ........................................................................................7 2. 30 /.....................................................................9 2.1. ..................................................................................9 2.2. .......
1. Ökonomeetria mõiste ja ülesanded. Ökonomeetria komponendid. MÕISTE: Ökonomeetria on teadus ja kunst kasutada statistilisi tehnikaid ja majandusteooriaid majanduslike andmete analüüsimisel. ÜLESANDED: 1) Majanduslike nähtuste vaheliste seoste kvantitatiivne kirjeldamine 2) Majandusteoreetiliste hüpoteeside kontrollimine 3) Majandusnäitajate ja majandusarengu prognoosimine KOMPONENDID: · Majandusteooria · Andmed · Statistilised ja matemaatilised meetodid 2. Ökonomeetrilise mudeli olemus, mudeli komponendid. Ökonomeetrilise modelleerimise etapid. MUDELI OLEMUS: · Mudel on lihtsustatud ettekujutus reaalsest objektist, protsessist või nähtusest · Mudel on tegelikkuse abstraktsioon, üldistus · Mudel peab peegeldama ainult olulist, jätma teatud probleemi käsitlemisel kõrvale mitteolulise ÖKONOMEETRILISE MUDELI OLEMUS: Ökonomeetriline mudel on matemaatilise mudeli eriliik, mis koosneb üldjuhul algebralistest võrrandit
120 2800 Muuda diagrammitüüpi, nii et saaksid tootmismahu väärtuste kujuta 100 2500 kasutada intervallskaalat. 200 4000 Näpunäide Vali tüübiks Scatter (XY) 250 4750 Kulude sõltuvus tootmismahust 5000 4500 4000 3500 Kulud, kr 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 100 200 300 Tootmismaht smahu väärtuste kujutamiseks Jaotised Skaalajaotised
Kihi h E1 E2 E3 R C F0 cm MPa MPa MPa MPa MPa 1. Tihe asfaltbetoon TAB 16 4 2400 1200 3600 2,4 I 2. Kompleks stab. freesipuru 5 1400 800 2200 1,6 TS32 3. Kompleks st. Pinnas 12 600 4. Killustik alus 20 400 5. Keskliiv 20 120 0,006 40 6. Muldepinnas (tolmliiv) 20 66 0.012 35 7. Looduslik pinnas (raske 27 0,008 11 tolmune saviliiv)
Rahavood( tuh. EUR) Nõutav tulumäär on kõigi projektide puhul 5% Millist projekti eelistada ja miks? aasta/projekt 1 2 3 0 -2000 -2000 -2000 1 600 1200 200 2 800 -400 400 3 600 1800 400 4 800 -400 300 5 600 1400 800 3. Forma Inc tegeleb koduelektroonoka tootmisega ja müüb oma toodangus 3-l turul: Saksamaal, Suurbr Rootsis. Ettevõtte on kõikide riikides tulumaksukohustuslane. Ettevõtte andmed 201(1): Saksamaa Suurbrit Rootsi EUR GBP SEK Kasum enne makse (tuh.) 9000 8000 5000 Ettevõtte t/m määr % 40% 15% 45%
N. Kui palju tuleb tal tööd teha? Lahendus: Algandmed s = 19 m F = 210 N A=? Töö leiame valemi järgi cos , kuna nurk on 0 , siis cos 0 Seega 210 N * 19 m = 3990 J Vastus : Jüril tuleb teha tööd 3990 J 55. Traktor veab rege 20 m edasi, kusjuures vedav jõud 5000 N moodustab horisontaalpinnaga 36.9- kraadise nurga. Regi koos palkidega kaalub 4700 N. Hõõrdejõud on 3500 N. Leida iga jõu poolt tehtav töö ja kõigi jõudude summaarne töö. Lahendus: Joonised 1) Vedava jõu poolt tehtav töö s = 20 m cos = 5000*20*cos36,9° 79968 Nm = 80 kJ = 5000 N 2 Raskuse poolt tehtav töö Φ 36,9° = cos = cos 90° = 0 P = 14700 N 3 Hõõrdejõu poolt tehtav töö θ 80°
...........................................................................36 Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid......................................................................................37 Kahe sirge vaheline nurk........................................................................................................ 38 Ringjoonevõrrand................................................................................................................... 38 Ruutfunktsiooni graafik, selle joonestamine.......................................................................... 39 Pöördvõrdelise sõltuvuse graafik............................................................................................39 4 I Reaalarvud ja avaldised Arvuhulgad Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
Mikro- ja makroökonoomika I loeng: Mikro ja makroökonoomika põhimõisted · Mikro- ja makroökonoomika uurib, kuidas ühiskond jaotab oma piiratud ressursse inimvajaduste rahuldamiseks. · Mikroökonoomika uurimisobjektiks on küsimus kuidas kodumajapidamised ja ettevõted teevad majanduslikke valikuid piiratud ressurside tingimustes. ( · Mikroökonoomika uurib individuaalset valikut ja seda mõjutavad majandusjõude. o Turu mudel (nõudlus, pakkumine, nende elastsus) o Tarbija valikuteooria (kasulikkuse teooria, tarbimise optimeerimine) o Firma teooria (tootmine, kulud ja turustruktuur) · Makroökonoomika tegeleb majanduse koondnäitajate analüüsiga, mille eesmärgiks on kaasa aidata parimate majanduspoliitiliste otsuste vastuvõtmisele. · Makroökonoomika uurib majandust tervikuna selliste agregaatnäitajate abil nagu sisemajanduse koguprodukt, töötusemäär, hõive
EESTI MEREAKADEEMIA RAKENDUSMEHAANIKA ÕPPETOOL MTA 5298 RAKENDUSMEHAANIKA LOENGUMATERJAL Koostanud: dotsent I. Penkov TALLINN 2010 EESSÕNA Selleks, et aru saada kuidas see või teine masin töötab, peab teadma millistest osadest see koosneb ning kuidas need osad mõjutavad teineteist. Selleks aga, et taolist masinat konstrueerida tuleb arvutada ka iga seesolevat detaili. Masinaelementide arvutusmeetodid põhinevad tugevusõpetuse printsiipides, kus vaadeldakse konstruktsioonide jäikust, tugevust ja stabiilsust. Tuuakse esile arvutamise põhihüpoteesid ning detailide deformatsioonide sõltuvuse väliskoormustest ja elastsusparameetritest. Detailide pinguse analüüs lubab optimeerida konstruktsiooni massi, mõõdu ja ökonoomsuse parameetrite kaudu. Masinate projekteerimisel omab suurt tähtsust detailide materjali õige valik. Masinaehitusel kasutatavate materjalide nomenklatuur täieneb pidevalt, rakendatakse efekti
annaabi.ee 
