Matemaatika teaduskool - funktsioonid (0)

Kontrolltöö "Funktsioonid" lahendused  
 
 
Ülesanne 1.  Jäätisemüüja on pannud tähele, et päevane temperatuuri tõus 10C 
võrra annab lisatulu 30 eurot. Kui temperatuur oli 140C, siis päevane läbimüük 
oli 540 eurot. 
a) Moodustada avaldis , millega saab iseloomustada läbimüüki y kui 
temperatuuri tähistada x. 
b) Kui suur on läbimüük, kui temperatuur on 70C? 
c) Milline peab olema temperatuur, et läbimüük oleks 800 eurot? 
d) Valmistada olukorda kirjeldava funktsiooni graafik . 
 
Lahendus. 
a) Rakendame sirge võrrandit tõusu ja ühe punkti kaudu:  y  y  k(x  x ). 
1
1
30
Meil punkt (14; 540) ja  k 
 30, seega  y  540  (
30 x 
14 .  
1
Saame sirge võrrandiks  y  30x  120 . 
b) Kui x = 7, siis läbimüük on  f (7)  30  7  120  330  eurot 
c) Kui y = 800, siis temperatuur on: 800  30x  120  x
0
0
 ,
22 7  23 C   
d) Valmistame funktsiooni  y  30x  120  graafiku: 
Temper. 7
14 0
läbimüük 330
540 120
 
Jäätise läbim üük
600
500
400
300
200
100
0
0
2
4
6
8
10
12
14
 
 
Ülesanne 2. Õpilane valmistub maksimaalselt 100 punkti andvaks bioloogia  
testiks. Ollakse arvamusel, et üks tund lisaõppimist tõstaks testi tulemust 2,5 
punkti. Selgus, et õppides lisaks 4 tundi, sai õpilane 30 punkti. 
a) Moodustada avaldis, mis kirjeldaks lisaks õppimist, kus tulemust tähistab y ja 
ettevalmistusaega x. 
b) Kui palju punkte oleks õpilane saanud õppides lisaks 8 tundi? 
c) Kui palju aega peaks lisaks õppima, et saada 100 punkti?  
d) Valmistada õppimist kirjeldava funktsiooni graafik. 
 
Lahendus. 
5
2
a) Teada on  k 
 5
2  ja punkt (4; 30), seega  y  30 
5
2
x  4)  ehk 
1
y 
5
2 x  20  
b) Kui x = 8, siis y = 40, seega õppides lisaks 8 tundi, oleks õpilane saanud 40 
punkti. 
c) Kui y = 100, siis 100 
5
2 x  20  x  32 . Maksimum tulemuse oleks 
saanud ennustuslikult 32 tunni lisaõppimise järel. 
d)  
Tunnid  0 8 
32
Punktid 20 40 
100
 
Õpitulem used
100
80
d
ti
60
nk
40
pu
20
0
0
8
16
24
32
tunnid
 
 
Ülesanne 3. 1850. aastal kasutasid inimesed väga vähe toorõli. Nii vähe, et seda 
võiks lugeda nulliks. 1960. aastal oli aga toorõli kasutus oluliselt kasvanud 
ulatudes 600 miljardi kuupmeetrini aastas. 
a) Kui lugeda, et toorõli kasutus kasvas lineaarselt, milline oli toorõli kasutuse 
kasv ühes aastas? 
b) Leida toorõli kasutuse kasvamist kirjeldav avaldis, võttes tarbimise y ja aastad 
x. 
c) Milline oli toorõli kasutus aastal 1940? 
d) Valmistada olukorda illustreeriv joonis. 
 
Lahendus. 
600  0
600
a) Ühes aastas oleks toorõli kasutus  k 

 ,
5 45  miljardit 
1960  1850
110
kuupmeetrit . 
b) Lisaks tõusule on teada punkt (1850; 0), tarbimist kirjeldav avaldis on: 
y  0  ,
5
45 x 
1850  y  ,
5 45x  10083  
c) aastal 1940 tarbiti toorõli  f
1940
 ,
5 45 1940  10083  490  miljardit 
kuupmeetrit. 
d)  
aasta 1850 
1960 
kogus 0 
600 
 
toorõli kasutus
700
it
600
eetr 500
400
uupm 300
t k
di 200
iljar 100
m
0
1850
1870
1890
1910
1930
1950
aasta
 
 
 
Ülesanne 4. Mari oli 9-aastaselt 132,5 cm pikk. Paaril viimasel aastal on ta 
kasvanud 5,5 cm aastas. 
a) Koostada avaldis, mis kirjeldab Mari kasvamist 7-ndast kuni 18-eluaastani, 
võttes eluea  x ja ennustatava pikkuse y. 
b) Kui pikk on Mari 13-aastaselt? 
c) Kui vanalt on Mari 138 cm pikk? 
d) Kui pikk oli Mari 7- ja 18-aastaselt? 
e) Illustreerida graafikuga Mari kasvamist vaadeldud perioodil.   
 
Lahendus. 
a) Tõus k = 5,5 ja punkt (9; 132,5), seega  y 
5
132

5
5
x  9)  ehk 
y 
5
5 x  83  
b) 
f
13
 5
5 13  83 
5
154 , Mari on 13-aastaselt pikk 154,5 cm 
c) 138 
5
5 x  83 
5
5 x  55  x  10 . Mari on 138 cm pikk 10-aastaselt 
d) 
f (7) 
5
121  ja  f
18
 182. Mari oli 7-aastaselt 121,5 cm pikk ja 18-
aastaselt 182 cm pikk. 
e) Valmistame saadud funktsiooni graafiku: 
 
vanus 
9 13 18
7
pikkus 132,5 154,5  182
121,5
 
Mari kasv
200
150
s
u
k 100
k
pi
50
0
7
8
9
10 11 12
13 14 15 16 17 18
vanus
 
 
Ülesanne 5. Paarismajas elava perekond Laane energiakulu  oli 2200 kWh, selle 
eest tuli koos kindla nn ampritasuga tasuda 269 eurot. Nende naabril oli kulu 
3500 kWh, mille eest tuli naabril tasuda 425 eurot. 
a) Koostada elektrienergia tarbimist kogu majas kirjeldav avaldis, tähistades 
energia tarbimist x ja kulu eurodes y. 
b) Milline oli 1 kWh elektrienergia hind? 
c) Kui suur oli tasutavas arves sisalduv püsiv ampritasu? 
d) Valmistada elektrienergia tarbimist kirjeldava funktsiooni graafik. 
 
Lahendus. 
a) Antud on 2 punkti: (2200; 269) ja (3500; 425), siis sirge avaldub kujul 
y  269
x  2200

 y  12
0
x  5   
425  269
3500  2200
b) 1 kWh elektrienergia hind on sama, mis selle sirge tõus, seega 0,12 eurot või 
425  269
pikemalt  
 12
0
 eurot 
3500  2200
c) Ka ampritasu saame kohe lineaarvõrrandist, selleks on algordinaat b = 5 
eurot. Võime aga pikemalt leida:  2200  12
0
 264eurot, maksta tuli aga 269 
eurot, seega ampritasu oli 5 eurot. 
d) Valmistame  y  12
0
x  5  graafiku: 
kulu 2200 
3500 
tasu 269 
425 
 
Elektrienergia tarbimine
450
400
350
ro
eu 300
250
200
2200
2400
2600
2800
3000
3200
3400
kWh
 
  
Ülesanne 6. Bakterite mass kasvab ööpäevas 3 korda, hetkel on mass 250 
grammi. 
a) Moodustada funktsioon y, mis kirjeldab bakterite massi kasvamist ööpäevas 
(tähistada x) 
b) Leida bakterite mass 3,5 ööpäeva pärast. 
c) Leida bakterite mass enne 2,5 ööpäeva. 
d) Leida bakterite mass 12 tunni möödudes  
e) Valmistada bakterite massi kasvu kirjeldava funktsiooni graafik 
 
Lahendus. 
a) 
x
y  250  3  
b) 3,5 ööpäevaga kasvas bakterite mass  250  3 ,
3 5  11700g 
7
11 kg 
c) Enne 2,5 ööpäeva oli bakterite mass  250  
3 2,5  16  g 
12
d) Ööpäevas on 24 tundi, seega 12 tundi on 
 5
0  ööpäeva, bakterite mass on 
24
siis 
250  30,5  433  g 
e) Funktsiooni 
x
y  250  3  graafik: 
ööpäevad -2,5
0  0,5
2,5
bakterid  16
250 
433
3900
 
bakterite m ass 
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
 
 
Ülesanne 7. Liibanoni rahvaarv 1982. aastal oli 3,2 miljonit ja see kasvas 3,1% 
aastas. Soome rahvaarv oli samal ajal 4,8 miljonit ja see kasvas 0,3% aastas. 
a) Moodustada rahvaarvu kasvu kirjeldav funktsioon Liibanonis. 
b) Moodustada rahvaarvu kasvu kirjeldav funktsioon Soomes 
c) Mitme aasta pärast võime selle ennustuse kohaselt öelda, et rahvaarvud 
Soome ja Liibanonis on võrdsed? 
d) Illustreerida olukorda graafiliselt, leidke graafikult, milline on võrdne 
rahvaarv. 
 
Lahendus. 
a) Liibanoni rahvaarv: 3,1% = 0,031 
x
x
y  ,
3 2  1
( 
031
0
 y  ,
3 2  031
1
 
b) Soome rahvaarv: 
x
y 
8
4  003
1
 
x
031
1
x
x
8
4
c) Rahvaarvud võrdsed, kui  ,
3 2  ,
1 031 
8
4  003
1


 ehk 
1 003x
3 2

x
1 031 
8
4

 
  0279
1
x  5
1  log 0279
1
x  log 5
1  x  log ,
1 0279  log 5
1  
 003
1

3 2
log 5
1
x 

7
14
 15 aastat,  
log 0279
1
seega rahvaarvud võrdsustusid aastal 1982 + 15 = 1997. aastal. 
d) Illustreerime olukorda graafiliselt: 
aastad 0 5 
10
15
Liibanon  3,2 
3,72772 4,342468 5,058596
Soome 4,8 
4,872433 
4,94596 5,020596
 
6
5,5
5
it
n
o 4,5
ilj
m
4
3,5
3
0
3
6
9
12
15
aastat
 
Rahvaarv on võrdne umbes 5 miljoni elaniku korral aastal 1997. 
 
Ülesanne 8. Pärast raiet jäi metsatükile hinnanguliselt alles 1500 tihumeetrit 
puitu. Puidu iga-aastane juurdekasv on keskmiselt 2% aastas. 
a) koostada puidu kogust sellel maatükil kirjeldav funktsioon y, tähistades 
aastaid x. 
b) Palju puitu on sellel metsatükil 10 aasta pärast? 
c) Mitme aasta pärast on puidu kogus sellel metsatükil 3-kordne? 
d) Valmistada olukorda kirjeldava funktsiooni graafik. 
 
Lahendus.  
a) 2% = 0,02, seega otsitud funktsioon on 
x
y  1500  02
1
 
b) 10 aasta pärast on selle metsatükil umbes 1500  02
1
10  1830 tihumeetrit 
puitu 
c) Metsatükil on siis 1500  3   4500   tihumeetrit puitu, praegu on 1500 
tihumeetrit, seega  4500  1500  02
1
x  02
1
x  3  log ,
1 02 x  log 3  
log 3
x log ,
1 02  log 3  x 
 56  aasta pärast 
log 02
1
d)  
aastad 
0 10 56
kogus  1500 1830 4500
 
5000
4000
id 3000
2000
tihumeetr
1000
0
0
10
20
30
40
50
60
aastad
 
 
Ülesanne 9. Auto maksis 16000 eurot. Väidetavalt kaotab auto igal aastal 8% 
oma väärtusest. 
a) Koostada auto väärtust kirjeldav funktsioon y, tähistades aastaid x. 
b) Milline on selle auto väärtus 10 aasta pärast? 
c) Mitme aasta pärast on auto kaotanud poole oma väärtusest? 
d) Valmistada olukorda kirjeldava funktsiooni graafik 
 
Lahendus. 
a) 8% = 0,08, funktsiooniks on 
x
y  16000  1
(  ,
0
08
 ehk 
x
y  16000  92
0
 
b) 10 aasta pärast on auto väärtus 16000  92
0
10  6950 eurot 
c) Pool väärtusest on  5
0 16000   8000  , seega 
x
8000  16000  92
0
 
log 5
0
92
0
x  5
0  log 92
0
x  log 5
0  x log 92
0
 log 5
0  x 
 3
8 , 
log 92
0
seega 8 aasta pärast 
d)  
aastad 0 
8,3 
10
väärtus 
16000 8000 6950
 
Auto väärtus
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
8,3
10
 
 
Ülesanne 10. Firma kulutab  x teleri valmistamiseks 
3
y  x  200x  4000  
eurot. Firma müüb telereid hinnaga 1400 eurot tükk . 
a) Mitu eurot kulub 10 teleri valmistamiseks?  
b) Arvutada kasum, mille firma saab 10 teleri valmistamisest. 
c) Mitu telerit peab firma valmistama ja müüma, et saadud kasum oleks 
maksimaalne? 
d) Valmistada kasumit kirjeldava funktsiooni graafik.  
e) Mis juhtub kasumiga pärast maksimumi saavutamist ja kuidas see kajastub  
graafikul? 
 
Lahendus. 
a) 10 teleri valmistamiseks kulub  f
10
 103  200 10  4000  7000  eurot 
b) 10 telerit müüakse hinnaga 10 1400  14000  eurot, kulutati 7000 eurot, seega 
kasum on 14000  7000  7000  eurot 
c) Koostame kasumifunktsiooni:  y  1400
3
 x  x  200x  4000  ehk 
3
y  x  1200x  4000  
Kasum maksimaalne, kui y' = 0, meil  y'  3 2
 x  1200 . 
Seega vaja lahendada võrrand   3 2
x
 1200  0. 
 3 2
x
 1200  0 
 3 2
 x  1200
2

 x  400  
Siit 
x  20
 , millest sobib positiivne lahend  x = 20. 
Kasum on maksimaalne 20 teleri tootmisel. 
d)  
teler 0 
5 
10 
15
20
25
30
35
40 
kasum -4000 
1875 
7000 
10625 12000 10375
5000
-4875
-20000 
 
 
 
kasum
15000
10000
5000
0
0
10
20
30
40
50
-5000
-10000
-15000
-20000
-25000
 
 
 
e) Pärast maksimumi (20 telerit, 12000 eurot) saavutamist hakkab kasum 
vähenema, jõudes umbes 32 teleri tootmisel juba kahjumisse, graafikul kajastub 
see kasumifunktsiooni graafiku kahanemises.