Referaat Ligikaudsed arvud Sisukord Sisukord................................................................................................................................ -2- Sissejuhatus.......................................................................................................................... -3- Ligikaudne arv ja selle tüvenumbrid.................................................................................... -3- Ligikaudse arvutuse eeskirjad............................................................................................... -4- Kokkuvõte.............................................................................................................................-4- Kasutatud kirjandus............................................................................................................. -5-
n 22 a an 1 1 1 5) = n Näiteks: = 2 = = 0, 25 b b 2 2 4 6) Murru astendamisel võime astendajad korrutada ning saadud tulemusega astendada antud alust. Ligikaudsed arvud Täpsed ja ligikaudsed arvud Kõik mõõtmisel saadud tulemused on ligikaudsed. Samuti ka ümardamisel saadud arvud. Arvu tüvenumbrid Ligikaudse arvu tüvenumbriteks loetakse kõiki õigeid numbreid, v.a. kümnendmurru alguses olevad nullid ning täisarvu lõpus olevad numbrid. Näiteks: · Arvu 26,4 tüvenumbrid on 2, 6 ja 4 · Arvu 0,0270 tüvenumbrid on 2, 7 ja 0 · Arvu 4800,320 tüvenumbrid on 4, 8, 0, 0, 3, 2 ja 0. Absoluutväärtuselt suured ja väikesed arvud esitatakse sageli nn. standardkujul a · 10k . Näit.: · 26,4 = 2,64 10 · 3742,6 = 3,7426 103 · 0,0000245 = 2,45 10-5
Meie vaatame selliseid arve, mille korral järeldub arvu kirjutisest kohe ka arvu vea ülemmäär. See tähendab seda, et arv kirjutatakse õigete numbritega. Õigeks loetakse numbrit, mille kümnendkohale vastav ühik on suurem vea ülemmäärast. Ligikaudse arvu tüvenumbriteks nimetatakse selle arvu kirjutises olevaid õigeid numbreid, välja arvatud kümnendmurru alguses olevad nullid ehk avanullid. Tüvenumbrid moodustavad arvu tüve. Niisiis, tüvenumbrid algavad alati nullist erineva numbriga. Viimasele tüvenumbrile vastav kümnendjärk määrab ligikaudse arvu vea ülemmäära. Arvu tüvenumbrid ei muutu siis, kui: **muuta koma asukohta arvus **korrutada arvu 10 mingi astmega **jagada arvu 10 mingi astmega Näiteks: arvudel 30,17; 3,017; 0,030017; ja 3017 on ühed ja samad tüvenumbrid. Need on 3 - 0 - 1 - 7 (kolm - null - üks - seitse). Ligikaudse arvu murdosa lõpust ei tohi nulle lihtsalt ära jätta.
Ligikaudne arv ja selle tüvenumbrid .Ligikaudse arvutuse eeskirjad Matemaatika referaat : Nimi : Klass : Õpetaja Tallinn 2011 Sisukord 2 Mis on ligikaudsed arvud?..........................................3 .1 Mis on tüvenumbrid?................................................3 .2 Ligikaudse arvutuse eeskirjad.......................................4 .3 Kasutatud kirjandus..................................................6 .4 ?Mis on ligikaudsed arvud .1 3 Ligikaudne arv (ka lähend või lähismurd) mingi arvuga A (ülesande lahendiga, mõõdetava pikkusega vms.) ligikaudu võrduv arv a
Gustav Adolfi Gümnaasium Ligikaudne arv ja selle tüvenumbrid Ligikaudse arvutuse eeskirjad Allar Henri Kivi 8.a Kristel Eik Tallinn, 2011 Sissejuhatus Ligikaudse täisarvu tüvenumbriteks loetakse selle arvu kõik numbrid, välja arvatud lõpus olevad nullid. Ligikaudse kümnendmurru tüvenumbrid on kõik selle arvu numbrid, välja arvatud arvu alguses olevad niinimetatud avanullid [1] Ligikaudse arvu tüvenumbrid Ligikaudse arvu tüvenumbriks nimetatakse selle arvu kirjutuses olevaid õigeid numbreid. Olgu meil mingi ligikaudne arv X mis on saadud ümardamise, mõõtmise või arvutamise tulemusena. Kui kirjutame arvu standardkujul, siis saame selle esitada kujul X = a · 10n. Arvu A numbreid nimetatakse arvu X tüvenumbriteks. [1] Näide
Ligikaudsed arvud Ligikaudse arvu tüvenumbriteks nimetatakse selle arvu kirjutises olevaid õigeid numbreid, välja arvatud kümnendmurru alguses olevad nullid (avanullid). Tüvenumbrid moodustavad arvu tüve. Tüvenumbrid algavad alati nullist erineva numbriga ning viimasele tüvenumbrile vastav kümnendjärk määrab ligikaudse arvu vea ülemmäära. Praktilistes ülesannetes kasutame arve, mis on saadud mõõtmise teel. Need iseloomustavad antud suurust vaid ligikaudselt, erinedes täpsest suurusest teatava vea võrra. Täpse arvu A ja tema ligikaudse väärtuse ehk lähendi korral nimetatakse lähendi veaks suurust | A- |. Tavaliselt me täpset arvu A ei tea, seega pole teada ka lähendi viga. Saab
Astendades arvu ligikaudse väärtusega tehakse ümardamisviga. Suurim võimalik viga on pool selle järgu ühikust milleni ümardati. Kümnelisteni ümardades ei saa viga olla suurem kui 5, sajalisteni aga 50. Ümardamisel tasub alati mõelda millise järguni on kasulik ümardada nt kooli õpilasi sajalisteni, väikelinna elanikke tuhandelisteni. Ümardamisel tekkinuid nulle ei kustutata, sest need näitavad missuguse järguühikuni on ümardatud. Ligikaudse arvu tüvenumbrid Saades ligikaudse arvu x, kas ümardamisel, mõõtmisel või arvutamisel, siis standardkujul esitame selle x= a*10n . Arvu a numbreid nimetatakse arvu x tüvenumbriteks. nt 0,04050000 102030000 Kümnendmurru lõpunullid on tüvenumbrid, avanullid aga mitte. Täisarvu lõpus olevad nulle ei loeta tüvenumbriteks, sest pole teada millist arvu ümardati. Kui ümardatav arv on teada, saame öelda millised on tüvenumbrid.
astendamine, astme astendamine, võrdsete alustega astmete jagamine, jagatise astendamine 28.Arvu standardkuju - arvu üldkuju , kus 1) k z ja 1 a<10 2)ühe bakteriraku mass on 0,000000005g g 3)Päikese kaugus maast on ligikaudu 150 000 000 000m= 29.Ligikaudse täisarvu tüvenumbrid - selle arvu 3722 3800 ümardasin 2 tüvenumbrini kõik numbrid, välja arvatud lõpunullid, mis asendavad ümardamisel kõrvaldatud numbreid 67 892 67890 ümardasin 4 tüvenumbrini tänava pikkus on 600m: tüvenumber on 6 (kas ka kümneliste number 0?) lauaplaadi mõõtmed on 85 cm ja 140 cm:
Mis on number? Mis on arv? Number on arvusüsteemis olev järguväärtus. Arv koosneb numbritest. 10. Kuidas avaldub arvu väärtus? Arvu väärtus avaldub järgneva korrutiste summana: N = . . . . + a3 p3 + a2 p2 + a1 p1 + a0 p0 + a-1 p-1 + a-2 p-2 + . . . . , kus a on järk jap on arvusüsteemi alus. 11. Millise numbri lisamine täisosa ette või murdosa lõppu ei muuda arvu väärtust? Nulli lisamine täisosaette või murdosa lõppu ei muuda arvu väärtust. 12. Mis on arvu tüvenumbrid? Tüvenumbrid on arvu numbrid alates madalaimast mittenullisest numbristkuni kõrgeima mittenullise numbrini. 13. Millist teisendust nimetame ka arvu ,,väärtuse leidmiseks"? Väärtuse leidmise all mõeldaksekümnendsüsteemi teisendamist. 14. Mida näitab arvu järel olev indeks? Arvu järel olev indeks näitab kasutatavat arvusüsteemi. 15. Milline on lihtsaim võimalik arvusüsteem? Lihtsaim arvusüsteem on kahendsüsteem. 16.
oleks võimalikult väike. N : 1)Ümardades kümnelisteni : 2349 2350 ; 243 240 2) Ümardades sajalisteni : 285 290 ; 236 200 3) Ümardades tuhandelisteni : 2488 2000 ; 4809 5000 4) Ümardades kümnendmurde : 1)) kümnendikeni = 3,52 4,0 2)) sajandikeni = 5,442 5,00 3)) ühelisteni = 5,897 6 Ümardamisel tekkinud nulle arvude lõpust ei kustutata, sest need näitavad millise järguühikuni on ümardatud ! 3. Ligikaudse arvu tüvenumbrid. Kui meil on ligikaudne arv x, mis on saadud ümardamise tulemusena ning tahame seda esitada standardkujul, saame selle nii : x = a * 10 Arvu a numbreid nimetatakse arvu x tüvenumbriteks. Näiteks : 1234 = 1,234 * 10 12,34 = 1,234 * 10 Tavaliselt täisarvu lõpus olevaid nulle tüvenumbriteks ei loeta, sest pole teada millist arvu ümardati. Näiteks arv 50 000 võib olla saadud arvust 49,876.
Ringjoont, mis asub kolmnurga sees ja mis puutub kolmnurga kõiki külgi, nimetatakse kolmnurga siseringjooneks. Mittetäielik ruutvõrrand nimetatakse ruutvõrrandit, milles kas lineaarliikme kordaja või vabaliige on null. Kui korrutis on null, siis on vähemalt üks teguritest null. Alati 2 lahendit. Lineaarfunktsioon- y = ax + b, mlles ax= lineaarliige ja b= vabaliige. Lahendite arve on 1. Vastava funktsiooni graafik on sirge. Ligikaudse arvu tüvenumbrid- Kui ligikaudsetes arvude 112340; 4,0528 ja 0,0328 koma ja nullid arvu algusest ja lõpust jätta, siis arve 11234; 40528 ja 326 nim. esialgsete arvude tüvedeks. Arvu tüves esinevad numbrid on arvu tüvenumbrid. Seega esimesel arvul on 5, teisel arvul 5 ja kolmandal arvul 3 tüvenumbrit. Näide: Arvu 37,4 tüvenumbrid on 3, 7 ja 4 arvu 0,073 tüvenumbrid on 7 ja 3 arvu 0,0730 tüvenumbrid on 7, 3 ja 0 arvu 26000 tüvenumbrid on 2 ja 6 (me ei tea missuguse järguni on ümardatud).
Igas järgus ai võib olla p erinevat numbrimärki. Kui p=10, siis ai oleks 0...9. Mis on number? Mis on arv? Arv koosneb numbritest. Järgu väärtus on selles arvujärgus asuva numbri väärtus. Kuidas avaldub arvu väärtus? Arvu väärtus N tuleneb korrutiste summast N=.... a3*p3+a2*p2..... Näiteks 123=1*100+2*10+3*1. Millise numbri lisamine täisosa ette või murdosa lõppu ei muuda arvu väärtus? 0-i lisamine. Mis on arvu tüvenumber? Tüvenumbrid on arvu numbrid alates kõrgeimast mittenullisest numbrist kuni madalaima mittenullise numbrini. Nt 0.024500 tüvenumbrid on 245 Millist teisendust nimetatakse ka arvu väärtuse leidmiseks? 10nd süsteemi teisendamist, kuna arvu väärtus on eranditult seotud ainult 10ndsüsteemiga. Mida näitab arvu järel olev indeks? Millises süsteemis ta on. Milline on lihtsaim võimalik arvusüsteem? Kahendsüsteem Kuidas on määratud arvujärkude kaalud kahendsüsteemis?
Üksliikme korrutamisel arvutatakse enne numbrid ja seejärel tähed.
4xy2·(-3x2y4z)=4·(-3)·(x·x2)·(y2·y4)·z= -12x3
Üksliikmed
Üksliikme jagamisel arvutatakse enne numbrid ja seejärel tähed.
Arvu standardkuju
x=a·10n 1
. . . 00000123.450000000 . . . . 10 Diskreetne matemaatika murdarvudega ei tegele. Kõikide edaspidi vaadeldavate arvude madalaima järgu kaal on p0 = 1 ( järjestikuste arvude genereerimise / loendamise / inkrementeerimise näide 10ndsüsteemis ) Igas järgus a i saab olla p erinevat numbrimärki ehk järguväärtust. Tüvenumbrid 02 = 010 100002 = 1610 1000002 = 3210 1100002 = 4810 Ü Arvu tüvenumbrid on arvu numbrid alates kõrgeimast mittenullisest 12 = 110 100012 = 1710 1000012 = 3310 1100012 = 4910 T numbrist kuni madalaima mittenullise numbrini.
hulki ringjoontena, mille sees võivad näidatud olla ka hulgaelemendid Võimsus: lõpliku hulga võimsus on elementide arv selles hulgas Arvusüsteemid Arvusüsteemi alus: järguväärtuste arv Järgu kaal: arvujärgu väärtus, saadakse alust arvujärgu indeksiga astendades Olulised järgud: intervalli olulised järgud on tema vektorite need 2ndjärgud, mille väärtus on kõigil vektoritel kogu intervalli ulatuses konstantne Tüvenumbrid: numbrid kõrgeimast mittenullilisest numbrist madalaima mittenullilise numbrini Loogikaalgebra Loogikaalgebra: Boole'i algebra lihtsaim erijuht, kus alushulgaks on {0;1} Loogikamuutuja: muutuja, mis saab omandada ainult väärtusi 0 või 1 Loogikafunktsioonid Algterm: avaldise koosseisu kuuluv loogikamuutuja, selle inversioon või konstant 1 või konstant 0 Argumentvektor: loogikamuutujate komplekt, mis esitab funktsiooni igale üksikule muutujale omistatavat väärtust 1 või 0
6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine arvu 10 aste, siis öeldakse, et arv on kirjutatud standardkujul. N: 20000 = 2 *10 4 5000000000 = 5 * 10 9 9.Ligikaudse arvu tüvenumbrid Ligikaudse täisarvu tüvenumbriteks loetakse selle arvu kõik numbrid, välja arvatud lõpus olevad nullid. N: 1234 = 1,234*10 3 12,34 = 1,234*10 1 10.Ligikaudsete arvude summa ja vahe. Ligikaudsete arvude summa ja vahes säilitatakse kõige madalam järk, mis on kõigis lähteandmetes teada. N: 23,4 + 123 = 146,4 146 1999 + 2,989 = 2001,989 2002 11.Ligikaudsete arvude korrutis ja jagatis Ligikaudsete arvude korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui neid on
...................................................................................... 11 Täpsed ja ligikaudsed arvud............................................................................................... 12 Absoluutne viga..................................................................................................................12 Relatiivne viga (suhteline viga)..........................................................................................12 Arvu tüvenumbrid...................................................................................................................12 Arvu standardkuju.................................................................................................................. 12 II Võrrandid ja võrratused.......................................................................................................... 12 Võrrandid.............................................................................................
esitus ja 8süsteemne esitus“. 10. Millise numbri lisamine täisosa ette või murdosa lõppu ei murda arvu väärtust? „Kasutamata“ arvujärgud ai on täidetud 0-dega. Täisosa ees ja murdosa järel asuvad `0`-d ei mõjuta arvu väärtust: 123.4510 = ...0000123.45000 ... 10 11. Mida näitab arvu järel olev indeks (kui ta on olemas)? Arvu järel indeks näitab kindla koha täisosal või murdosal. 12. Mis on arvu tüvenumbrid? On arvu numbrid alates kõrgeimast mittenullisest nnumbrist kuni madalaima mittenullise numbrini. Kuigi madalaim ja kõrgeim tüvenumber pole kumbki 0, võivad nende „vahel“ olla tüvenumbriteks ka `0`- d. Näide, arvus 0.0000120003000 on tüvenumbriteks 120003. 13. Millist teisendust nimetatakse ka arvu väärtuse leidmiseks? 14. Milline on kõige lihtsam võimalik arvusüsteem? 15. Kuidas arvutuvad arvujärkude kaalud kahendsüsteemis? 16
lim ±C = ∞±C =∞ x 9 4 Määramatus Lisaks veale kasutatakse mõõtetulemuse täpsuse iseloomustamiseks ka määramatust. Viimane neist kahest on eelistatum, kuid nõuab palju enam arvutusi. Määramatus kirjutatakse arvulise vastuse järele sulgudesse, nii et vastuse ja määramatuse pa- rempoolseimad numbrid (mitte tüvenumbrid) on sama järguga. Järelikult peab määramatus olema esitatud samasuguse täpsusega kui vastus ise. Kui määramatuses peaks olema koma, siis seda ei märgita. Näiteks I = 11,0(12) A korral on voolutugevus 11,0 A ja selle määrama- tus on 1,2 A. Määramatus tuleb esitada alati koos usaldusnivooga (vaata peatükki "‘4.4 Studenti kordajad"’). Vastuses võib tüvenumbreid olla maksimaalselt niipalju, kui väikseima tüvenumbrite arvuga al- gandmetes
Mis on arv? Number on arvusüsteemis olev järguväärtus. Arv koosneb numbritest. 10. Kuidas avaldub arvu väärtus? Arvu väärtus avaldub järgneva korrutiste summana: , kus a on järk ja p on arvusüsteemi alus. 11. Millise numbri lisamine täisosa ette või murdosa lõppu ei muuda arvu väärtust? Nulli lisamine täisosa ette või murdosa lõppu ei muuda arvu väärtust. 12. Mis on arvu tüvenumbrid? Tüvenumbrid on arvu numbrid alates madalaimast mittenullisest numbrist kuni kõrgeima mittenullise numbrini. 13. Millist teisendust nimetame ka arvu „väärtuse leidmiseks“? Väärtuse leidmise all mõeldakse kümnendsüsteemi teisendamist. 14. Mida näitab arvu järel olev indeks? Arvu järel olev indeks näitab kasutatavat arvusüsteemi. 15. Milline on lihtsaim võimalik arvusüsteem? Lihtsaim arvusüsteem on kahendsüsteem. 16
järkudeks, väiksema kaaluga madalamateks. Täisosa madalaima järgu kaal on kõikides arvusüsteemides 1, kuna suvaline arv astmel 0 võrdub 1-ga. Igas järgus 𝑎𝑖 saab olla p erinevat järguväärtust. Järgu väärtus on selles arvujärgus asuva numbri väärtus. Arv koosneb numbritest. Iga aluse p korral avaldub arvu väärtus 𝑵=..+𝑎1𝑝1+𝑎0𝑝0+𝑎−1𝑝−1+. . Täisosa ees ja murdosa järel asuvad 0-d ei mõjuta arvu väärtust (000123.45000). Arvu tüvenumbrid on arvu numbrid alates kõrgeimast mittenullisest numbrist kuni madalaima mittenullise numbrini. Väärtuse leidmine ja 10ndsüsteemi teisendamine on sünonüümid. Indeks näitab süsteemikuuluvust. Kahendsüsteem on lihtsaim võimalik positsiooniline arvusüsteem. Arvusüsteemi aluse muutmisega kaasneb ka järgukaalude muutus, mis kahendsüsteemis on arvu 10 astmete asemel arvu 2 astmed. 10-2 2-ga jagamine, jagamise jäägid (0 ja 1) on 2ndarvu järkude väärtusteks (nt 3710=1001012).
Täisosa madalaima järgu kaal on kõikides arvusüsteemides 1, kuna suvaline arv astmel 0 võrdub 1-ga. Igas järgus 𝑎𝑖 saab olla p erinevat järguväärtust. Järgu väärtus on selles arvujärgus asuva numbri väärtus. Arv koosneb numbritest. Iga aluse p korral avaldub arvu väärtus 𝑵 =. . +𝑎1 𝑝1 + 𝑎0 𝑝0 + 𝑎−1 𝑝−1 +. . Täisosa ees ja murdosa järel asuvad 0-d ei mõjuta arvu väärtust (000123.45000). Arvu tüvenumbrid on arvu numbrid alates kõrgeimast mittenullisest numbrist kuni madalaima mittenullise numbrini. Väärtuse leidmine ja 10ndsüsteemi teisendamine on sünonüümid. Indeks näitab süsteemikuuluvust. Kahendsüsteem on lihtsaim võimalik positsiooniline arvusüsteem. Arvusüsteemi aluse muutmisega kaasneb ka järgukaalude muutus, mis kahendsüsteemis on arvu 10 astmete asemel arvu 2 astmed. 10-2 2-ga jagamine, jagamise jäägid (0 ja 1) on 2ndarvu järkude väärtusteks (nt 3710 = 1001012 ).
valitud muudetava suuruse väärtused, selle kõrvalolevasse tulpa kantakse muutuva suuruse mõõdetud väärtused. Tabeli päisesse tuleb alati märkida suuruse nimetus, tähis ja mõõtühik. Tabel muutub keerukamaks, kui sinna koondatakse kordusmõõtmiste tulemused ja arvutatud suurused. Näiteks kui uuritakse keha pikkuse sõltuvust mõjuvast jõust, siis esimesse tulpa kantakse meie poolt valitud jõu väärtused ja teise vastavad keha pikkused. Tabelisse kantakse tavaliselt tüvenumbrid, kümne astmed kirjutatakse päisesse. Selleks on kasutusel kaks erinevat moodust. Ühel juhul kantakse päisesse kordaja, millega tuleb tabelis olevat arvu korrutada, teisel juhul näidatakse päises arvu, millega on tabelis olevat suurust juba korrutatud. Eelistada tuleks esimest varianti, sest siis ei teki eksimisi. Näide Vaatame tabeli osa, kuhu on kantud ainete joonpaisumise tegurid kahel erineval moel. Aine Joonpaisumistegur, 10-6 K-1 Joonpaisumistegur x 106 K-1
annaabi.ee 
