alust. 2) am : an = a m-n Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9 Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust. 3) (a b)n = an bn Näiteks: (2 4)² = 2² 4² = 64 Korrutise astendamisel võime astendada iga teguri eraldi. 4) (am)n = am × n Näiteks: (3²)5 = 3 2 × 5 = 310 = 59049 Astme astendamisel võime astendajad korrutada ning saadud tulemusega astendada antud alust. n 22 a an 1 1 1 5) = n Näiteks: = 2 = = 0, 25 b b 2 2 4 6) Murru astendamisel võime astendajad korrutada ning saadud tulemusega astendada antud alust. Ligikaudsed arvud Täpsed ja ligikaudsed arvud Kõik mõõtmisel saadud tulemused on ligikaudsed
Korrutamisel kehtib sama reegel : + ja - =- -ja - = + - ja + = - Kahe ratsionaalarvu jagatis on ratsionaalarv, mille saamiseks 1) Jagame arvude absoluutväärtused 2) Seejärel võtame märgiks plussi, kui arvude märgid on ühesugused ja miinuse kui märgid on erinevad. Nt : -14: (7) = -2 Astendamine Astendamiseks nimetatakse astme an , kus a on astendatav ja n on astendaja. Astendaja näitab mitu korda on vaja astendavat iseendaga korrutada. Kui astendatav on negatiivne, siis astendamise tulemus on negatiivne vaid siis, kui astendaja on paaritu arv, kuna siis korrutatakse paaritu arv kordi negatiivset arvu. Protsent Protsendi leidmine. Üks protsent on sajandik tervikust ja seda tähistatakse 1%. Tervikut tähistatakse 100% 1% = 1/100 ehk 0.01 osa Arvust protsendi leidmiseks tuleb arv antud protsendile vastava osaga läbi korrutada Nt: 73% leidmiseks arvust 8 tuleb arv 8 läbi korrutada 73/100 = 0,73 . Seega 73% kaheksast
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega:
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega:
Kasutada võib ka erinevaid meetodeid, et neid suurusi leida Nt ühikruudumeetod või sukeldumismeetod Kõiki kehi ei ole võimalik mõõta mõõteriista skaalaga Seetõttu on välja mõeldud erinevaid mõõtmismeetodeid otseste ja kaudsete mõõtmiste jaoks Mõõtmismeetod on viis, kuidas mõõta füüsikalist suurust PINDALA MÕÕTMINE Kui otsitava keha kuju on ruut, on pindala leidmine lihtne Ühe külje pikkus tuleb korrutada iseendaga ehk tõsta ruutu Siit tuleb ka pindalaühik ruutmeeter 1m*1m =1m2 Kui keha on ristküliku kujuline, siis tuleb korrutada omavahel kahe erineva külje pikkused Tähis S PINDALA MÕÕTMINE Kui otsitava keha kuju ei ole tavaline kujund, siis on vaja pindala leidmiseks kasutada teisi meetodeid Nt saab kasutada ühikruudumeetodit Sel juhul jagatakse keha pind teadaoleva pindalaga ruutudeks Nt jagame toa ruutudeks Ühe ruudu pindala on 1m2
Nimetaja jääb 4 3 +1 endiseks. Nimetaja jääb endiseks Neljandikud Terve on jaotatud neljaks võrdseks osaks. 1 Iga osa suurus on 4 1 1 1 1 4 + + + = =1 4 4 4 4 4 Hariliku murru taandamine ja laiendamine Murru lugejat ja nimetajat võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Murru taandamisel või laiendamisel murru väärtus ei muutu. Murru põhiomadus Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat jagada ühe ja sama, nullist erineva arvuga. Murru taandamine Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat jagada ühe ja sama, nullist erineva arvuga. Murru põhiomadus
4 3 +1 endiseks. Nimetaja jääb endiseks Neljandikud Terve on jaotatud neljaks võrdseks osaks. 1 Iga osa suurus on 4 1 1 1 1 4 + + + = =1 4 4 4 4 4 Hariliku murru taandamine ja laiendamine Murru lugejat ja nimetajat võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Murru taandamisel või laiendamisel murru väärtus ei muutu. Murru põhiomadus Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat jagada ühe ja sama, nullist erineva arvuga. Murru taandamine Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat jagada ühe ja sama, nullist erineva arvuga.
Sarnaseid liidetavaid saab liita ja lahutada, seljuhul tehe tuleb teha kordajatega, muutuja osa jääb samaks. Sarnaste liidetavate liitmist, lahutamist nimetatakse koondamiseks. Korrutise lihtsustamine: Korrutise lihtsustamisel korrutatakse kõigepealt kordajad (arvud), seejärel muutujad tähestikulises järjekorras. Kahe muutuja ning arvu ja muutuja vahele ei pea korrutusmärki kirjutama. Sulgude avamine: Sulu ees või järel oleva arvuga või avaldisega tuleb sulus kõik liikmed korrutada. Miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees. Kui pärast sulgude avamist tekib sarnaseid liikmeid, siis tuleb need koondada. Võrrand: Võrrandiks nimetatakse võrdust, mis sisaldab muutajat ehk tundmatut. Muutuja väärtuse leidmist nimetatakse võrrandi lahendamiseks ning saadud muutuja väärtust võrrandi lahendiks. Muutuja väärtuseks peab olema arv, mis asendades võrrandisse muutja asemele saan tõese võrduse.
1) Võrdsete alustega astme korrutamine. *Võrdsete alustega astme korrutamisel astendajad liidetakse. am x an = a m+n 2)Võrdsete alustega astme jagamine. *Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. am : an = a m-n 3) Korrutise astendamine. *Korrutise astendamisel võib astendada iga tegur eraldi ja siis saadud tulemus korrutada. ( a x b )m am x bm 4) Jagatise astendamine. *Jagatise astendamisel võib astendada eraldi jagatava ja jagaja ja seejärel jagada üks tulemus teisega. ( a x b ) m am : bm 5) Astme astendamine, *Astme astendamisel astendajad korrutatakse. ( a m ) n = a mxn 6) Hulkliikme korrutamine üksliikmega. *Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliige iga liige läbi korrutada selle üksliikmega. ( a + b + c ) x d = ad + bd + cd 7) Hulkliikme jagamine üksliikmega.
3 mahalaadimiseni, mitte tagasisõidul.Tagasitulles on veok tühi ja seda ei saa arvestada veotöömahus, kui täiskoormaga sõitu). Aastane veotöömaht on 283 362,28 tonn kilomeetrit. Leiame tööjõukulu: TJK = 11700 (1+0,33+0,003)*12= 187 153,20 kr/aastas kus, 11700kr/kuus on brutopalk 33% on sotsiaalmaks 0,3% on töötuskindlustusmakse, et leida tööandjakulusid tuleb brutopalk korrutada 1,333 (sots.maks+töötuskindlustusmaks+1). Aasta tööjõukulude leidmiseks peame saadud ühe kuu tööandja kogu palgakukud korrutama 12 kuuga. Tükitöö: Brutopalgast moodustub tüktiöö hinne tonnile 23% ja kilomeetrile 77%. n TJK TJKq = Q = 17kr/t n TJK TJKp= = 1,59kr/tkm P Leiame aastase veotöömahu haagisel: Haagise massH = 2,2 tonni Haagise vedamisel tehtud tonn kilomeetrile: PH= 2,2*32 344,8km= 71 158,56 tkm
(Nt: SO42-, NO3-) Soola kirjutamine Sool koosneb metallist (laeng ühendis ehk o.a. tuleb kas rühma nümnri järgi või tabelist) ja anioonist (summaarne laeng tuleb tabelist). Näiteks vaatame soola Na SO4 1. Leiame o.a.-d (Na on IA element, seega tema o.a. on +1; SO4 laeng on tabelis -2). 2. Vaatame, kas miinuseid ja plusse on võrdselt (liidame kokku) +1 + (-2) = -1 Na SO4 Järelikult on miinuslaenguid hetkel rohkem. 3. Mis arvuga on vaja korrutada millist elementi, et o.a.-de summa oleks null? Antud näite puhul on vaja korrutada naatriumit kahega ehk naatriumi indeksiks kirjutame kahe 4. Ühend näeb seega välja järgmine Na2SO4 Teeme veel ühe näite. Vaatame soola Mg NO3 1. Leiame o.a.-d (Mg on IIA element, tema o.a. on +2; NO3 laeng on tabelis - 1) 2. Vaatame, kas miinuseid ja plusse on võrdselt (liidame kokku) +2 + (-1) = +1 Mg NO3 Järelikult on plusslaenguid hetkel rohkem. 3
jagamine 21. nädal 1. Kordamine. tähe arvväärtus, peastarvutamine, õpik lk 2832 *oskab leida puuduvat Tunnikontroll 13.veeb- 2.5. Mitmesuguseid ajaühikud suuline küsitlus, tv lk 10 tegurit, jagajat, jagatavat nr 14 17.veeb. ülesandeid. kirjalik arvutamine, lisaülesannete *oskab korrutada ja jagada rühmatöö, paaristöö, kogu miljoni piires Kontrolltöö iseseisev töö, ,,Nüüd on minu nr 8 nuputamisülesanded, kord" matemaatilised mängud 22
Protsendid © T. Lepikult 2010 Protsendi mõiste (1) Protsent (tähis %) on üks sajandik vaadeldavast tervikust (arvust, rahasummast, toodanguhulgast jne.): 1 1% = = 0,01. 100 Näide 1 Leiame, kui palju on 1% 150-st kilost. Lahendus Kuna 1% on üks sajandik, siis tuleb selleks, et leida 1% arvust, jagada see arv sajaga ehk korrutada ühe sajandikuga: 150 1% = 150 0,01 = 1,5. Vastus: 1% 150-st kilost on 1,5 kilo. Protsendi mõiste (2) Näide 2 Leiame, kui palju on 18% 500-st kroonist. Lahendus Esmalt leiame 1% arvust 500: 500 1% = 500 0,01 = 5. 18% mingist arvust on 18 korda rohkem kui 1% sellest arvust, seetõttu: 18% 500-st kroonist on 5 18 = 90 krooni. Vastus: 18% 500-st kroonist on 90 krooni
Protsendi märk on %. TERVIK ON 100% Selleks, et leida 1% arvust, tuleb see arv jagada 100-ga. I võimalus: Terviku leidmiseks antud protsendi järgi leiame 1% sellest tervikust ja tulemuse korrutame 100-ga. II võimalus: Terviku leidmiseks antud protsendi järgi tuleb protsendid teisenda murruks ja seejärel jagada antud osa suurus selle murruga. Et leida, mitu protsenti moodustab üks arv teisest, tuleb esimene arv jagada teisega ning saadud jagatis korrutada 100 protsendiga. Näide. Mitu protsenti on arv 6 arvust 24? (6:24)*100% = 25% Osa leidmine tervikust (1. põhiülesanne) Selleks et leida pprotsenti suurusest A, tuleb see suurus jagada sajaga ja korrutada arvuga p:.%100 % pAa= NB! Kui leiame osa tervikust protsendimäära järgi, siis suurust mõõtev ühik ei muutu: 5% kilogrammides antud suurusest on ikkagi mõõdetav kilogrammides, 30% kroonides antud summast annab ikka tulemuseks kroonid jne. Your
Matemaatiliseks ehk analüütiliseks avaldiseks nimetatakse eeskirja, mis määrab teatava skalaarse suuruse (ehk avaldise väärtuse) leidmiseks konstantide ja muutujatega sooritatavad tehted ning nende sooritamise järjekorra. Näited 1) 2 52 on matemaatiline avaldis, mille väärtus on 27. 2) r2 on matemaatiline avaldis, mille väärtuse leidmiseks tuleb esmalt leida muutuja r väärtuse ruut ja seejärel korrutada tulemust arvuga = 3,14... 3) log( 5 x 2 sin x) - selle matemaatilise avaldise väärtuse leidmiseks tuleb 1) leida siinus nurgast, mille suurus radiaanides on x; 2) leida muutuja x väärtuse ruut ja korrutada see viiega jne. 4) 32 - lihtsaimaks matemaatiliseks avaldiseks on konstant (arv). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Algebraline avaldis
a a b, 1 Segaarvuks nimetatakse naturaalarvu ja lihtmurru summat, kirjutatakse üldiselt ilma plussmärgita. b 3 3 2+ = 2 5 5 Segaarvu teisendamine liigmurruks Kui naturaalarvu korrutada murru nimetajaga ja liita sellele murru lugeja, saame liigmurru lugeja. 2 3 = 3 × 5 + 2 = 17 Murru nimetaja jääb samaks. 5 2 17 3 = 5 5 Murru põhiomadus Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat jagada või korrutada ühe ja sama, nullist erineva arvuga. 2 46 Laiendamine 1 1× 3 3 1= = = = = 2 4 6 2 2×3 6 Taandamine
Joon/joone 1:25 000 1:10 000 1:50 000 1:2000 pikkus 1-2/5.5cm 1375 550 2770 110 2-3/5,6cm 1400 560 2800 112 3-1/5.0cm 1250 500 2500 100 Kirjeldus: Kaardilt 1: 25 000 vastab 1cm 250m looduses. Et saada teada missugune maastikujoone pikkus vastaks samadele lõikudele tuleb kaardilt saadud pikkus korrutada vastavalt mõõtkavale, näiteks 5,5cm x 250= 1375m, seega 5,5cm kaardil vastab 2650m looduses. Ülesanne 2 Eesmärk: Etteantud väärtuse kahe punkti vahelise joone horisontaalprojektsiooni pikkus looduses abil arvutada joone pikkus kaardil. Mõõtkava on 1) 2000, 2) 5000, 3) 1:1000. Tabel 2. Horisontaalprojektsiooni pikkus looduses Horisontaalprojektsioon 1: 2000 1:5000 1:1000 i pikkus looduses/ Nr 56,75/10 2
astendada antud alust. 2) am : an = a m-n Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9 Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust. 3) (a b)n = an bn Näiteks: (2 4)² = 2² 4² = 64 Korrutise astendamisel võime astendada iga teguri eraldi. 4) (am)n = am × n Näiteks: (3²)5 = 3 2 × 5 = 310 = 59049 Astme astendamisel võime astendajad korrutada ning saadud tulemusega astendada antud alust. nn 2 a a 1 1 2 1 5) = n Näiteks: = 2 = = 0, 25 b b 2 2 4 Murru astendamisel võime astendajad korrutada ning saadud tulemusega astendada antud alust. Arvu 10 astmed:
sisemise osale, põlve tagumisele osale, kaela peale, samuti ka jalal enne suurt varvast. Pulsi kontrollimisel jälgitakse, kas südamelöögid järgnevad üksteisele ühtlaste vaheaegadega. Pulss on väiksem kui 60 korda minutis – bradükardia. Pulss on üle 100 korra minutis – tahhükardia. Pulssi saab veel mõõta pulssoksümeetriga. Pulss loetakse minuti jooksul, kasutades abiks sekundiosutit või sekundilugejat. Sageli piisab pulsi komplemisest 15 sekundi jooksul, saadud tulemus korrutada neljaga või 10 sekundi jooksul korrutada tulemus kuuega. Kõrgemat rõhku nimetatakse süstoolseks e. maksimaalseks vererõhuks, madalamat diastoolseks e. minimaalseks vererõhuks. Normaalne süstoolne vererõhk on 120-140mmHg. Vererõhu väärtus kõrgem kui 140/90 nim. arteriaalseks hüpertensiooniks e. kõrgenenud vererõhuks. Vererõhu väärtus alla 90/60 on arteriaalne hüpotoonia e. madal vererõhk. Vererõhu mõõtmise aparaadid: 1
2. Maatriksi põhimõisted. Lineaarsed tehted maat-ga. Maatriks on ja jääb arvutabeliks, tema väärtust kunagi ei arvestata. Maatriksi teisendamiseks kasutatakse samasväärsus teisendusi, s.t. teisendi M samaväärsed e. bivalentsed () · i=k - ruutmaatriks · ik ristkülkmaatriks A(aik); B(bik) i = 1, 2, 3... n; k = 1, 2, 3... n · M on võrdsed, kui aik = bik · A + B = C, aik + bik = cik · M võib korrutada arvuga, s.t. me peame korrutada kõiki M-i elemeente · M võib korrutada 3. Pöördmaatriks. M-ksi astak. Kronecker-Cappeli teoreem. Gaussi meetod. Kui m-s leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nulllist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse, et M-i astak on r. A-1 = (1/ |A|) A, kus |A| on M-i A determinant, nimetatakse M-i A pöördmaatriksiks. M-il A on olemas pöördmaatriks A-1 parajasti siis, kui ta on regulaarne, s.t. kui |A| 0.
1. Maatriksi definitsioon 2. Pöördmaatriksi definitsioon a) Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mille ridade ja veergude lõikekohtades Ruutmaatriksi A pöördmaatrksiks nimetatakse maatriksit A-1, mis rahuldab asuvad mingi fikseeritud hulga elemendid. Enamasti eeldatakse, et selle hulga võrdusi elemente saab liita ja korrutada. Kõige sagedamini on selleks hulgaks reaal- või AA-1=A-1A-E. kompleksarvude hulk. Üldisemalt võib selleks hulgaks olla suvaline korpus või Pöördmaatriks eksisteerib ainult siis, kui maatriks A on regulaarne (determinant isegi assotsiatiivne ühikelemendiga ring. A ei tohi võrduda 0ga)
Kaksliikmete korrutamine Kaksliikme korrutamisel kaksliikmega tuleb ühe kaksliikme kumbki liige korrutada teise kaksliikme kummagi liikmega ja tulemused liita. (a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd
keskosa täielikult vastu maad • Vabatehnika suusk peaks olema jäikuselt selline, et alati on suusa keskosa minimaalselt õhus Suusakeppide valik • Klassikastiili kepid peaksid ulatama maast õlgadeni • Uisustiili kepid peaksid ulatama maast kõrvadeni • Mägisemal maastikul eelistatakse lühemaid keppe • Tasasemal maastikul eelistatakse pikemaid keppe • Jälgitakse reeglit, et vabastiili keppide pikkus peaks olema enda pikkus korrutada 0.9ga, klassikastiili keppe valides peaks olema nende pikkus enda pikkus korrutada 0.85ga • Parimad suusakepid on tehtud 100% süsinikust • Suusakepi materjal peab olema jäik kuid mida jäigem kepp, seda rabedam Suusasaabaste valik • Suusasaapad peaksid olema mugavad ja need peaksid hoidma jalga korralikult sees kinni • Suusasaapad peavad olema kvaliteetsed • Suusasaabaste otsas peaks olema natuke ruumivaru • Kindlasti peab jälgima, et suusasaapad sobivad
Küsimus 1 Kas võimenduslülide järjestiklülitusel tuleb Õige Hinne 10,0 / 10,0 Vali üks: Flag question a. võimendustegurid liita b. võimendustegurid korrutada c. liita võimendustegurite pöördväärtused Õige vastus on: võimendustegurid korrutada. Küsimus 2 Milline neist probleemidest on kõige suuremaks Õige takistuseks metallilõikepinkide
ARVUTI AJASTU ALGUS Arvuti ajastu algus on märksa pikem, kui seda paljud ettegi kujutada oskaksid. Arvuti eelkäijad olid mitmesugused arvelauad, näiteks Roomas abakus ja Jaapanis soruban. Esimesed mehaanilised arvutid konstrueerisid 17. saj. prantsuse teadlane B. Pascal ja saksa teadlane G. W. Leibniz. Aastal 1694 täiustas Saksa matemaatik ja filosoof Gottfried Wilhem von Leibniz liitmismasinat, luues masina, mille abil oli võimalik ka korrutada. Nagu liitmismasin töötas ka see masin hammasrataste ja ketastega. Kuigi masin oli valmis ei hakatud seda laialdaselt tootma ega kasutama. Alles aastal 1820 hakkasid levima mehhaanilised arvutusmasinad -- kalkulaatorid. Sellel ajal leiutas prantslane Charles Xavier Thomas de Colmar masina, mis suutis liita, lahutada, korrutada ja jagada. See masin oli laialdaselt kasutusel kuni esimese maailmasõjani. Kuid pikemalt võiks peatuda arvuti lähiajalool
SAB saan kui korrutan kaardilt mõõdetud AB joone pikkuse (4,1cm) 200 meetriga. Kuna kaardi mõõtkava on 1:20 000, siis 1cm kaardilt on 200m looduses. Vastuseks saan 0,002. Seejärel arvutan palju on kaldenurk kraadides, protsentides ja promillides. Kraadides kaldenurga saamiseks jagan 1,875 (mis on saadud HB-HA) 820-ga (mis on SB) ning saadud tulemuse teisendan kraadideks kasutades kalkulaatorit. Tulemuseks sain 0° 7' 51". Kalde leidmiseks protsentides tuleb 1,875 jagada 820-ga ning korrutada 100-ga, promillides leidmiseks tuleb korrutada 1000-ga. Kalle protsentides on 0,22% ja promillides 2,28. Ülesanne 3. Joone AB pikiprofiili koostamine A-1= 0,4cm x 200= 80m 1-2= 0,2cm x 200= 40m 2-3= 3cm x 200= 600m 3-B= 0,5cm x 200= 100m Metoodika: Topograafilisel kaardil tähistan joone AB lõikepunktid horisontaalidega, saades punktid 1...3. Punktide A ja B vaheline kaugus on kaardil 4,1cm. Looduses on see 4,1×200=820m
Matemaatika eksam 1. Tehted astmetega Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited. 7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10. 4000 = 4 ∙ 10³ 3. Korrutise ja jagatise astendamine, astme astendamine Mis tahes aluse nullis aste on 1. Negatiivse astendajaga aste on võrdne absoluutväärtuselt sama suure positiivse arvu astendajaga astme pöördväärtusega. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada.
Nad on ka leiutanud kiilkirja. Sumerite kiilkiri. Esimesed linnaehitajad ·Niisutuskanalite ja kuivenduskraavide rajajad ·Ratta ja vankri leiutajad (sh potikeder) ·Adra leiutajad ·Kiilkirja leiutatud ·Mõõdu- ja kaaluühikud ·Vanimad koolid ·Vanimad raamatukogud ·Vanim eepos ,,Gilgamesh" ·Kümnend- ja kuuekümnendsüsteemi leiutajad, oskasid ka liita-lahutada, korrutada- jagada. Mari-Liis Karu 6.klass ,, Sumerite leiutised".
Ühenimeliste murdude liitmisel ja lahutamisel tuleb: 1.Kirjutada ühine nimetaja 2.Liita või lahutada lugejas 3.Koondada lugejas 4.Lahutada lugeja ja nimetaja teguriteks 5.Taandada 21 - lugeja ---------------------------- 21 - nimetaja Isenimeliste murdude liitmisel ja lahutamisel tuleb: 1. Lahutada nimetajad teguriteks 2. Leida ühine nimetaja 3. Leida laiendajad 4. Korrutada laiendajaid lugejatega ja liita ja lahutada lugejas 5. Avada lugejas sulud 6. Koondada lugejas 7. Lahutada lugeja teguriteks 8. Taandada
4y -16 < 8 ja 4y < 24 on samaväärsed Võrratuse põhiomadused Võrratusmärk ei muutu, kui võrratuse mõlema poolega liita või lahutada sama arv. 2x + 4 < 5x – 9 → 2x + 4 – 4 < 5x – 9 – 4 → 2x < 5x – 13 Järeldus: Võrratusmärk ei muutu, kui liidetavaid (liikmeid) viia ühelt poolelt teisele, muutes liidetava märgi vastupidiseks. 2x + 4 < 5x – 9 → 2x – 5x < – 9 – 4 Võrratusmärk ei muutu, kui võrratuse mõlemaid pooli korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga. 5x > 15 5 : → ׀x > 3 Võrratusmärk muutub vastupidiseks, kui võrratuse mõlemaid pooli korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse arvuga. –5x > 15 (5–) : → ׀x < –3 Võrratusmärk muutub vastupidiseks, kui vahetada võrratuse pooli. 2x + 3 < 6x → 6x > 2x + 3 Lineaarvõrratuse lahendamine Ühe tundmatuga lineaarvõrratus üldkujul on ax > b või ax < b.
kaugusele paigutatuna suurendavad kujutist kahel korral – esiteks suurendab objektiiv – s.t. Objektile lähemal olev lääts – kujutist 4-100x ja seejärel suurendab okulaar (ehk silma juures olev lääts) objektiivi poolt tekitatud tõelist kujutist veel kõige tüüpilisemalt 10x. See tähendab omakorda, et mikroskoopi vaadates ei näe kasutaja mitte oma objekti, vaid suurendatud kujutist objektist. Ja kujutise suurendusaste arvutamiseks tuleb korrutada läbi objektiivi suurendus ja okulaarisuurendus, et saada mikroskoobi kogusuurendus.
Ringjoon Ringjoone kõik punktid asetsevad ühel ja samal kaugusel ringjoone keskpunktist. Ringjoone pikkus on tema diameetrist (3,14) korda suurem. Ringjoone pikkuse arvutamise valemid: 1) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema diameeter d = 10 cm. Valem: C = d. C 10 ; C 31,4 cm 2) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema raadius r = 8 cm. Valem: C = 2r. C 2 3,14 8; C 50,24 cm. Ring Ring on rinjoonega piiratud tasandi osa koos seda piirava ringjoonega. Ringi pindala Selleks, et arvutada ringi pindala, tuleb korrutada raadiuse ruuduga. Valem: S = r²
Töö ja energia! ! Mehaaniline töö ja energia on mõlemad füüsikalised suurused. Jõud teeb mehaanilist tööd, kui keha läbib selle jõu mõjul teatud teepikkuse. Energia iseloomustab keha võimet teha tööd. Et teada saada mehaanilist jõudu, siis tuleb jõud korrutada selle jõu mõjul läbitud teepikkusega. Valem näeb välja selline A=F*s . Töö mõõtühik on 1J (dšaul). Aga et teada saada energiat, tuleb mõõta suurim töö, mida keha teeb. Mehaaniline energia liigitatakse kineetiliseks ja potenisaalseks energiaks. Liikuva keha energiat nimetatakse liikumise energiaks ehk kineetiliseks energiaks. Kehade asendist sõltuvat energiat nimetatakse potensiaalseks energiaks.
1. Kuidas liidetakse harilikke murdusid? Kõigepealt teisendatakse murrud ühenimelisteks. Harilike murdude liitmisel liidetakse murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. (Liigmurrud teisendame segaarvuks juhul, kui vastuseks on liigmurd.) 2. Kuidas korrutada harilikke murdusid? Harilike murdude korrutamisel korrutame lugeja lugejaga ning nimetaja nimetajaga. 3. Kuidas jagada harilikke murdusid? Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. 4. Kuidas teisendada segaarv kümnendmurruks? Selleks tuleb segaarv teisendada liigmurruks (nimetaja * täisosa + lugeja) ning seejärel teisendada liigmurd kümnendmurruks (lugeja / nimetaja) 5. Kuidas teisendada kümnendmurd segaarvuks? Täisosa jääb samaks, murdosast saab lugeja ning nimetaja valitakse vastavalt sellele, mitu numbrit on peale koma. 6. Kuidas liita negatiivseid arve? Selleks, et liita kaht negatiivset arvu on vaja:
5 2 10 1,8 3,6 4 3 12 2,8 8,4 3 0 0 3,8 0 2 0 0 4,8 0 1 0 0 5,8 0 Kokku: 28 190 33,2 Hälvet saab leida nii: Jagada 190 (f · x) 28'ga (sagedusega) saadakse umbes 6,8, siis tuleb lahutada see x'st: 10 6,8 = 3,2. Viimases veerus tuleb teha nii: Sagedus korrutada hälvega 2 · 3,2 = 6,4 Liita kõik saadud vastused kokku (33,2) ja jagada sagedusega. 33,2 : 28 = ca. 1,18
keskpunktist. Ringjoone pikkus on tema diameetrist (3,14) korda suurem. Ringjoone pikkuse arvutamise valemid: 1) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema diameeter d = 10 cm. Valem: C = d. C 10 ; C 31,4 cm 2) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema raadius r = 8 cm. Valem: C = 2r. C 2 3,14 8; C 50,24 cm. Ring Ring on rinjoonega piiratud tasandi osa koos seda piirava ringjoonega. Ringi pindala Selleks, et arvutada ringi pindala, tuleb korrutada raadiuse ruuduga. Valem: S = r² Ruut Ümbermõõt: P = 4 a Pindala: S = a² (vastus alati .. cm² !) Ristkülik - Ümbermõõt: P = 2 (a+b) Pindala: S = a b Kolmnurk Iga kolmnurkade nurkade summa on 180° Ümbermõõt: P = kl + lm + km (küljed). Pindala: Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poole korrutisega: S ABC = a b : 2. Seadused: 1) Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nende vahel olev nurk on vastavalt
korrutamise suhtes: a(ab)=(aa)b 4. skalaarkorrutis on distributiivne: (a+b)y= ay+by. Need omadused saavad põhjendada lähtudes skalaarkorrutise definitsioonist. (nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need veektorid on antud oma kordinaatide või komponentidega ortonormaalsel baasil. Teoreem 3 kui baas on ortonormaalne siis selleks et korrutada skalaarselt kahe vektorit, mis on antud oma koordinaatidega sellel baasil, tuleb korrutada vektorite vastavad koordinaadid ja need korrutised liita a*b=a1b1+a2b2+a3b3 Lõigu pikkus AB= (x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) Kahe vektori vektorkorrutis Vektorite a ja b vektorrkorrutis nim vektorit y mille pikkus on arvuliselt võrdne niisuguse rööpküliku pindalaga, mis on ehitatud vektoritele a ja b kui külgedele ja mis on risti nende vektoritega ning suunatud
VÕRRATUSED Võrratusmärgid on : > - on suurem < - on väiksem - on suurem või võrdne - on väiksem või võrdne Omadused: 1. a > b a - b > 0 a < b a-b < 0 2. Kui võrratuse mõlema poolega liita üks ja sama reaalarv, jääb võrratusmärk endiseks: a >b a+m>b+m a korrutada või jagada ühe ja sama positiivse teaalarvuga, jääb võrratusemärk endiseks: a > b k a > k b, kui k > 0 a < b k a < k b, kui k > 0 4. Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse reaalarvuga, muutub võrratusmärk vastupidiseks: a > b m a < m b, kui m < 0 a < b m a > m b, kui m < 0 ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED Kui võrratus sisaldab tundmatut, siis saab teda lahendada, s.t. leida tundmatu kõik need
töö, teeb ületunde, ( 3h) riigipühal pärast 22.00-i? TLS § 45 lg 1 Kui tööaeg langeb ööajale (kell 22.00 kuni 6.00), maksab tööandja töö eest 1,25-kordset töötasu, kui ei ole lepitud kokku, et töötasu sisaldab tasu ööajal töötamise eest. TLS § 45 lg 2 Kui tööaeg langeb riigipühale, maksab tööandja töö eest 2-kordset töötasu. Öötöö ja riigipühal tehtava töö eest tasu arvutamisel tuleb töötaja töötasu korrutada vastavalt kas 1,25 või 2-ga. Kui töötaja teeb öötööd riigipühal, siis nö baastasu topelt arvestama ei pea. Öötöö ja riigipühal tehtav töö on töötamine tavapärasest erinevas olukorras ning eritingimustes töötamise eest rahas hüvitamisel tuleb töötajale maksta täiendavalt. Lisatasu arvestades ei saa aga tekkida olukord, kus lisaks lisatasule saab töötaja ka topelt oma baastasu
Ühenimeliste murdude liitmisel liidetakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. Näited LAHUTAMINE Ühenimeliste murdude lahutamisel lahutatakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. Näited KORRUTAMINE Kahe hariliku murru korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks nimetajate korrutis. Näited JAGAMINE Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga, tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. Näited ERINIMELISED MURRUD LIITMINE Erinimeliste murdude liitmisel teisendatakse murrud ühenimelisteks (leitakse nimetajate vähim ühiskordne VÜK ja korrutakatse sellega mõlema murru lugejat ja nimetajat) ja seejärel liidetakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks Erinimeliste murdude lahutamisel teisendatakse murrud ühenimelisteks (leitakse nimetajate vähim ühiskordne VÜK ja korrutakatse sellega mõlema murru lugejat ja
Füüsika kordamine Mõisted: Liikumine keha asukoha muutumine ruumis aja jooksul Punktmass keha, mille mõõtmed jäetakse lihtsuse mõttes arvestamata Trajektor joon, mida mõõda keha liigub Ühtlane liikumine kui keha läbib võrdsetel ajahetkedel võrdse teepikkuse Mitte ühtlane liikumine kui keha läbib võrdsetes ajahetkedes erinevad teepikkused(vms) Kiirus näitab, kui suure teepikkuse läbib keha ühe ajaühiku jooksul Taustkeha keha, mille suhtes kirjeldatakse teise keha asukohta Taustsüsteem moodustub taustkehast, kordinaadistikust ning ajamõõtmise süsteemist Suhteline liikumine keha võib ühe keha suhtes liikuda, ning teise suhtes seista Nihe kaugus algpunktist linnulennult Teepikkus läbitud tee pikkus(mõõda trajektori) Vaba langemine Kehade kukkumine, kus puudub õhutakistus(vaakum) Valemid: V kiirus (1m/1s) s teepikkus (1m) t aeg (1s) a kiirendus (1m/1s2) Vo algkiirus (1m/1s) V...
Negatiivsete ja positiivsete arvudega arvutamine 1) Liidan samamärgilised arvud ja vastuses sama märk Lahutan erimärgilised arvud ja vastuses absoluutväärtuselt suurema arvu ees olev märk (see, mis on nullist kaugemal) 2) Märgid korrutamisel ja jagamisel Kaks samamärgilist annavad alati positiivse vastuse ja kaks erimärgilist annavad alati negatiivse vastuse Võrrandi omadused Kõiki liidetavaid võib jagada või korrutada ühe ja sama nullist erineva arvuga Liidetavaid võib viia vasakult paremale ja vastupidi kui muudad liidetava ees oleva märgi vastupidiseks Vii tundmatut sisaldavad liikmed võrrandi vasakule poole ja arvud paremale poole 1) a - 7 = -3 2) 25 y =11 3) 2x = 3 - x 4) b = 3b - 8 Korruta võrrandi mõlemat poolt sobiva arvuga, nii et vabaned murdudest x y 1 3 5 3
m2 423.5 0 0 0 0 jm 4540 0 0 0 0 0 0 0 0 m2 2498 0 0.2 499.6 0.66 m2 2498 0 0 0 0 m2 424 0 0 0 0 8274 10162.03 Maksud kokku ### 1,605.12 € 300.96 € 3.30 € 1. Leia rent kokku (kogus korrutada rendiga). 9.90 € 2. Leia puhkusetasu (Kulud2 töölehe töötasu korrutada 3.30 € 10%). 26.40 € 3. Leia puhkusetasu kokku (kogus korrutada puhkusetasuga). 349.80 € 4. Leia maksud (Kulud2 töölehe töötasu korrutada 33%). - € 5. Leia maksud kokku (kogus korrutada maksudega). 297.00 € 6. Liida kõik rendid kokku. - € 7
arvutada oli abakus. See leiutati arvatavasti Mesopotaamias. Euroopas kaotas abakus oma tähtsuse siis, kui hakkasi levima paber ja kirjutamine. Abakus 1642- Leiutati järgmine tähtis masin ja selleks oli Blaise Pascali leiutatud liitmismasin. Selle aparaadiga sai ainult liita. Blaise Pascal 1694-Täiustas Saksa matemaatik ja filosoof Gottfried Wilhem von Leibniz liitmismasinat, luues masina, mille abil oli võimalik ka korrutada. Gottfried Wilhelm von Leibniz 1820-aastal hakkasid levima mehhaanilised arvutusmasinad - kalkulaatorid. Sellel ajal leiutas prantslane Charles Xavier Thomas de Colmar masina, mis suutis liita, lahutada, korrutada ja jagada. Charles Xavier Thomas de Comar Tõeliste arvutite leiutaja on inglise matemaatika professor Charles Babbage (1799-1871). 1822- hakkas Babbage valmistama mehhaanilist arvutusmasinat, mille ta nimetas
esialgse või muutumisjärgsega. Näide 4. Töötajate brutopalk ühes firmas tõusis 970 eurolt 1350 euroni. Mitme protsendi võrra muutus brutopalk? algatõus (palga muut) 1350 970 = 380 EUR. Muut esialgse brutopalga suhtes protsentides rotsendid leiavad rohket rakendamist mitmesuguste suuruste (näiteks hinnad, palgad, maksud) muutumise kirjeldamisel ja võrdlemisel. Kui mingit arvu on vaja suurendada p%, siis võib selle arvu korrutada teguriga kui aga on vaja vähendada p% võrra, siis korrutada teguriga Suuruste võrdlemisel protsentides on küsimus tavaliselt selles, mitu protsenti on üks suurus teisest suurem või väiksem. Olgu mingi suuruse, näiteks ettevõtte toodangu väärtus kasvanud väärtuselt a väärtuseni b. Selleks, et leida, mitu protsenti on b suurem kui a, tuleb kõigepealt leida suuruse muut b a. Seejärel arvutame, mitu protsenti moodustab see muut suuruse lähteväärtusest.
ja seda palju kiiremini kui peast arvutades Vanim masin, mida võib nimetada arvutiks, on abakus Abakus leiutati arvatavasti Mesopotaamias ning seda u 3000 eKr Abakus 1694 täiustas Saksa matemaatik ja filosoof Gottfried Wilhem von Leibniz liitmismasinat Sai võimalikuks ka masina abil korrutamine 1820 hakkasid levima mehaanilised arvutusmasinad, kalkulaatorid prantslane Charles Xavier Thomas de Colmar leiutas masina mille abil sai korrutada, jagada, liita ja lahutada inglise matemaatika professor Charles Babbage (17991871) tõeline arvuti Esimese generatsiooni arvuti See oli 30 * 50 jala suuruse ruumi suurune ja kaalus 30 t Arvutil oli 18000 vaakum elektronlampi mida kasutati arvutuste teostamiseks kiirusel 5000 tehet sekundis. 1971 valmistas Intel esimese mikroprotsessori, nimega Intel4004 Intel4004'l oli 2300 transistorit, mis katsid 12 mm2 pinna Tänapäeva kiirete personaalarvutite
või lahutamisega. Tulemuse vea leidmiseks tuleb liita kõigi valemisse kuuluvate suuruste absoluutsed vead: 4. Mis vahe on absoluutsel ja suhtelisel veal? Arvu, mis näitab mõõtetulemuse erinevust mõõdetava suuruse tegelikust väärtusest, nimetatakse absoluutseks veaks. Suhteliseks veaks nimetatakse absoluutse vea ja tegeliku väärtuse suhet (tavaliselt protsentides). 5. Suhtelist viga kasutame siis, kui valemis tuleb vigaseid suurusi korrutada, jagada või asendada. 6. Kuidas on saadud täisdiferentsiaali valem? ; 7. Mille poolest on ruutjuurevalemid paremad ,,halva võimaluse valemitest"? Kuna ,,kõige halvema" võimaluse tõenäosus on seda väiksem, mida rohkem on argumente, siis soovitatakse kasutada ruutjuurevalemeid.
Keemiline toime - elektrivool eraldab juhist selle koostisosi Magnetiline toime - vooluga mhis mjutab magnetnela Galvanomeetri abil saab kindlaks teha voolu olemasolu juhis. Galvanomeetri phiosad on magnet ja selle teljele paigutatud mhisega raamike ning osuti. Mida suurem elektrilaeng, seda suurem voolutugevus juhis. Voolutugevus = elektrilaeng / aeg l = q/t 1amper(A) Voolutugevust mdetakse ampermeetriga. Nidu saamiseks tuleb lugeda jaotiste arv osutini ja korrutada jaotise vrtusega. Elektrivooli on 2 liiki: ALALISVOOL JA VAHELDUVVOOL ALALISVOOL - vool, mille sund ja tugevus ajas ei muutu VAHELDUVVOOL - vool, mille suund ja tugevus ajas perioodiliselt muutuvad
NB kaks kahe tundmatuga lineaarvõrrandit 46x-11y=-16 normaalkuju moodustavad lineaarvõrrandisüsteemi 2.Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi Ül.901 normaaalkuju - võrrand üldkujul ax+by=c 3x-5(3y-4)=-3(x-2)+6 kirjutatakse nii, et lineaarliikmed on 3x-15y+20=-3x+6+6 tähestikulises järjekorras; murde, sulge või 3x-15y+3x=6+6-20 sarnaseid liikmeid sisaldava võrrandi 6x-15y=-8 normaalkuju puhul: korrutada pooli murdude ühise nimetajaga, sulgudest vabanemisel kasutada korrutamise jaotuvuse seadust a(b+c)=ab+ac; viia tundmatuid sisaldavad liikmed võrrandi vasakule ning vabaliikmed paremale poolele; koondada ja kirjutada saadud liikmed nõutud järjekorras NB vaja kasutada kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel: enne ei hakka lahendama, kui süsteem on normaalkujul 3.Kahe tundmatuga võrrandi lahend - Ül.909
1. Ligikaudse arvu absoluutne viga on
...
annaabi.ee 
