TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Nimi perenimi HARILIK ITERATSIOONIMEETOD REFERAAT Juhendaja: nimi Tallinn 2016 Sisukord Mis on iteratsioonimeetod?..............................................................................................................3 Harilik iteratsioonimeetod...............................................................................................................4 Meetodi realisatsioon.......................................................................................................................8 Näide 1)........................................................................................................................................8 Näide 2)........................................................................................................................................9 Allikad................................................
Üldistades Fourier' teisendust mitme muutujaga diferentsiaalvõrranditele määramispiirkonnaga Rn, saab 𝑛→∞ Uurime rea ∑∞ 𝑛 𝑘=1 1 = 1 + 1+. . . +1+. . . koonduvust. Et 𝑆𝑛 = ∑𝑘=1 1 = 𝑛 siis lim 𝑆𝑛 = lim 𝑛 = +∞ , seega see rida on hajuv. 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi. Liikmeti integreerimine: Kui lõigul ka neid lihtsustada algebralisteks võrranditeks.
Koonduvusraadius- R. Näitab millise raadiusega rida koondub Leiame kui I x-a I ¿R (koondub). Kui I x-a I ¿R siis hajub Koonduvusintervall- Koonduvuspiirkonnas (-intervall) koondub astmerida absoluutselt, väljaspool koonduvuspiirkonda aga hajub. Otspunktides võib rida koonduda või hajuda- tuleb eraldi uurida ridade ∞ ∞ koonduvust. Leida:Uurime rida ∑ cn (−R) n ja ∑ cn R n koonduvust n=0 n=0 (need on ainsad otspunktid kus astmerida võib olla ringimisi koonduv) 35.Fourier rea rakendusi Lained Vibratsioon Saad analüüsida mistahes signaale, mis sisaldavad mingisuguseid mustreid, laineid(valguslainet, valgusspektrit).
arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et , siis on uuritav rida koonduv. 2. Integraaltunnus
arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et , siis on uuritav rida koonduv. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine.
arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et , siis on uuritav rida koonduv. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine.
11) nimetatakse absoluutselt koon- duvaks, kui koondub p¨aratu integraal |f (x)|dx. a Teoreem 5. P¨aratu integraali (5.11) absoluutsest koonduvusest j¨areldub selle koonduvus. N¨aide 8. Uurime p¨aratu integraali arctan xdx 1 1 + x2 koonduvust. Pooll~oigul [0; ) on t¨aidetud tingimus arctan x . N¨aite 6 p~ohjal 2 dx arctan x p¨aratu integraal 2 koondub. V~ottes teoreemis 3 f (x) = ja 0 1+x 1 + x2
Greenwichi meridiaani lõikepunkti, y- telg on koosnev kaart NL63) Gaussi-Krügeri projektsioonis pööratud x teljest ekvaatoritasandis 90° ida poole. on mõõtkava telgmeridiaanil 1,0000. kuubid. , T = planeedi 7. Loetle fundamentaalsed geodeetilised 21. Kirjelda meridiaanide koonduvust ellipsoidil tiirlemisperiood, a = planeedi orbiidi suur konstandid (7). fM- geotsentriline ja TM ning L-Est projektsioonides: pooltelg gravitatsioonikonstant, a0-ekvatoriaalraadius, J2- Maa kumerus tingib meridiaanide koonduvuse. Selle Satelliitide tiirlemiseperioodide ruudud on dünaamiline lapikus e geopotensiaali normaalne termini alla mahub kaks mõistet
näite põhjal), samas rida u n = = 1 + + + ... hajub (harmooniline rida). n =1 n =0 n + 1 2 3 2.4. Arvridade tähtsamad koonduvustunnused. Rida u1 + u 2 + ... + u n + ... = u n (1) n =1 nimetatakse positiivseks reaks, kui un 0, n=1,2,.... Positiivsete ridade koonduvust saab kindlaks teha järgmiste tunnuste abil. Võrdluslause. Kui positiivsete ridade (1) ja v1 + v 2 + ... + v n + ... = v n (2) n =1 korral un vn , n= 1,2,..., siis rea (2) koonduvusest järeldub rea (1) koonduvus ja rea (1) hajuvusest järeldub rea (2) hajuvus. D´Alembert´i tunnus. Kui eksisteerib piirväärtus
n =1 n n n n 23. Arvridade tähtsamad koonduvustunnused (esimene võrdlustunnus, d´Alembert´i tunnus, Cauchy tunnus, Leibnizi tunnus). Arvridade tähtsamad koonduvustunnused. Rida u1 + u 2 + ... + u n + ... = u n (1) n =1 nimetatakse positiivseks reaks, kui un 0, n=1,2,... Positiivsete ridade koonduvust saab kindlaks teha järgmiste tunnuste abil: · Võrdluslause. Kui positiivsete ridade (1) ja v1 + v 2 + ... + v n + ... = v n (2) n =1 korral un vn , n= 1,2,..., siis rea (2) koonduvusest järeldub rea (1) koonduvus ja rea (1) hajuvusest järeldub rea (2) hajuvus. · D´Alembert´i tunnus
Avaldist u1+u2+...+un+...= nim. arvreaks (33.1.). Arve u1+u2+...+un+... nim. seejuures realiikmeteks. Rea esimese n liikme summat nim. rea n-ndaks osasummaks: sn= u1+u2+...+un. Kui eksisteerib piirväärtus , siis seda nim. rea (33.1.) summaks ja öeldakse, et rida koondub. Kui piirväärtus ei eksisteeri (näiteks sn, kui n), siis öeldakse, et rida (33.1.) hajub ja tal puudub summa. Teoreem 33.1. Lõpliku arvu rea (33.1.) liikmete ärajätmine ei mõjuta rea koonduvust. Teoreemi 33.1. tõestus: (1) u1+u2+u3+... jätame ära mõned liikmed (k tükki), nende summa olgu Ck (1) rea summaks oleks oleks Sn Uue rea summaks oleks n-k Tõestame, et kui , siis eksisteerib Sn=Ck+ n-k (võtame piirväärtuse, Ck=const; kui rida koondub, siis lisades/eemaldades elemente, rida ikka koondub) S=Ck+ Analoogiliselt, kui eksisteerib , siis eksisteerib Teoreem 33.2
Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 3. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimeetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. TEOORIAKÜSIMUSED nr 15 1. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Rea koonduvus tarvilik tunnus: Ei garanteeri rea koonduvust, rida võib koonduda kui küsimus jääb lahtiseks (kas on tingimisi koonduv või absoluutselt koonduv). 2. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv. U=u1+u2+u3+...+ui+... V=v1+v2+v3+...+vi+... U+v = (u1+v1) + (u2+v2)...+(ui+vi)+... Kui rida U on koonduv, on koonduv ka cU (c on suvaline konstant) cU=cu1+cu2+...+cui+... 3. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus.
Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 59. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. 60. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Rea koonduvus tarvilik tunnus: Ei garanteeri rea koonduvust, rida võib koonduda kui küsimus jääb lahtiseks (kas on tingimisi koonduv või absoluutselt koonduv). 61. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Koonduvaid ridu võib liikmeti liita ja tulemuseks saadud rida on koonduv. Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv. U=u1+u2+u3+...+ui+... V=v1+v2+v3+...+vi+... ... 62. Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste. Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida
ridadest, sest tal tekkis hirm, et julge nooruki avastused ridade koonduvuse alal põhjustavad viimati tema enese taevamehaanika hiiglaehituse kokkuvarisemise. ,,Maailmasüsteem" pääses tookord ainult karvapealt hävingust: kui Maa peaaegu ringikujuline orbiit olnuks ainult pisut elliptilisem, oleksid lõpmatud read, millele Laplace oma arvutused üles oli ehitanud ohates, harjunud. Õnnekombel oli saatus Laplace'i selle katastroofi eest säästnud. Olles oma ridade koonduvust Cauchy meetodil hoolikalt kontrollinud, leidis ta kergendatult ohates, et asi klapib siiski. 1. Jaanuaril 1800 valiti cauchy seenior, kes Pariisiga salaja sidet oli pidanud, senati sekretäriks. Tema töökoht asus luxembourge'i palees. Büroo ühes nurgas tohtis noor Cauchy oma uurimistöödega tegelda. Nii juhtus, et ta kohtas tihti lagrange'i, kes oli tol ajal Polütehnilise Kooli professor ja pidi sageli teenistusasjus sekretär Cauchy juures käima. Lagrange hakkas
-n ehk valem, mis võimaldab leida y-i väärtuse igal ajaperioodil, kusjuures see funkt. peab olema kooskõlas def.võrr.-iga ja altingimustega. yt+1+ayt=c , yt=A(-a)t + c/(1+a) (a-1) , yt=A(-a)t +ct= A+ct (a=-1) Määratud lahend: yt=(yo- c/(1+a)) (-a)t + c/(1+a) , yt=yo +ct *Tasakaalu dünaamiline stabiilsus ... sõltub avaldisest Ab t. Küsimuseks, kas yc0, kui t. Ajagraafik on mitteostsilleeruv kui b>0, ostsilleeruv kui b<0, hajuv kui |b|>1, koonduv kui |b|<1. b=1 koonduvust tasakaaluväärtuseks ei anna. *Ämblikuvõrgumudel: 1 hüvisega turu mudel. Qs on f.-n mitte hinnast vaadeldaval perioodil vaid sellele eelneva perioodi hinnast. Qs,t+1=S(Pt) ehk Qs,t=S(Pt-1), nõudlusf.-n Qdt=(Pt). Turu mudel: Qdt= Qst , Qdt=-Pt , Qst=-Pt-1 . Vastav dif.võrr.: Pt+Pt-1=+ Pt+1+ (/)Pt = (+ )/ , Pt=[P0- ( +)/( +)] (-/ )t + [(+ )/ (+ )] *Mittelineaarsed diferentsvõrrandid: Üldkujul esitatavad valemiga yt+1=f(yt). Kvalitatiiv-graafiline meetod on analoog vastavale meetodile
Kõige tuntum fraktal on Mandelbroti fraktal. Seega tuleks fraktali joonistamiseks käia läbi see komplekstasandi piirkond, Olgu c kompleksarv. Moodustame jada ning iga erineva c puhul kontrollida koonduvust. Koonduvuse kontrollimine ei z0 = 0 ole aga lihtne, sest näiteks kui võtta c = 0,2501, siis jääb veel 900 järjestikuse z n +1 = z n2 + c. n = 0, 1, 2, 3, ... jada liikme korral resultaat ringi x2 + y2 4 sisse. Tegelikult aga see väärtus
on lõplik, kuid päratu integraal f (x)dx on hajuv. (Iseseisvalt!)z −∞ Näide 5.4. Olgu q > 0 ja a > 0, uurime päratu integraali Z ∞ 1 dx (5.24) a xq Rl koonduvust. Juhul q = 1 kehtib võrdus F (l) := a x1 dx = ln l − ln a iga l > a korral, on selge, et lõplikku piirväärtust lim F (l) sel juhul ei eksisteeri. Seevastu, kui q 6= 1, siis l→∞ 1 1 F (l) = (1−q)lq−1 − (1−q)aq−1 ja lõplik piirväärtus lim F (l) on olemas parajasti siis, kui q > 1. l→∞ Niisiis, integraal (5
Trahv on seda suurem, mida suurem on piiririkkumine. Põhimõtteliselt tähendab selle meetodi kasutamine lisatingimustega optimeerimisülesande teisendamist tingimusteta optimeerimisülesandeks. Meetod sobib väga hästi ka võrratusekujuliste lisatingimuste arvestamiseks. Trahvifunktsioon T peab olema kumer, monotoonselt kasvav, kui muutuja y kaugeneb lubatavast piirist ja 0, kui muutuja u asub lubatavas piirkonnas. Trahvifunktsioonide kasutamine halvendab iteratiivsete optimeerimismeetodite koonduvust, kui optimeerimise algoritmid on küllaltki lihtsad. Üldjuhul võivad optimeerimisülesanded sisaldada nii võrrandikujulisi kui ka võrratusekujulisi lisatingimusi. Lagrange'i meetodiga lahendamine: Võrrandite kujul antud piirangutega (tingimuslik) optimeerimisülesanne taandatakse piiranguteta (tingimusteta) optimeerimisülesandeks ja seejärel lahendatakse. 1. Koostada Lagrange funktsioon, leida sadulpunkt, 2. Koostada optimaalsustingimused, 3.
f(x)dx Päratut integraali nimetatakse koonduvaks, kui ta eksisteerib ja on lõplik. Vastasel juhul nimetatakse päratut integraali hajuvaks Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Teoreem 5.5. Kui iga x ≥ a korral kehtivad võrratused 0 ≤ f(x) ≤ g(x) ja integraal R ∞ a g(x)dx koondub, siis koondub ka integraal R ∞ a f(x)dx. Teoreem 5.6. Kui R ∞ a |f(x)|dx koondub, siis koondub ka R ∞ a f(x)dx. Näide. Hindame päratu integraali R ∞ 1 sin xdx x2 koonduvust. Kuna iga x korral kehtib võrratus ¯ ¯ ¯ ¯ sin x x 2¯¯¯¯≤1x2 Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c ∈ (a, b). Järelikult eksisteerib määratud integraal Z c a f(x)dx iga c ∈ (a, b) korral. Olgu funktsioon f pidev poollõigul (a, b] ja olgu a selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f
11) nimetatakse absoluutselt koon- duvaks, kui koondub p¨aratu integraal |f (x)|dx. a Teoreem 5. P¨aratu integraali (5.11) absoluutsest koonduvusest j¨areldub selle koonduvus. N¨aide 8. Uurime p¨aratu integraali arctan xdx 1 1 + x2 koonduvust. Pooll~oigul [0; ) on t¨aidetud tingimus arctan x . N¨aite 6 p~ohjal 2 dx arctan x p¨aratu integraal 2 koondub. V~ottes teoreemis 3 f (x) = ja 0 1+x 1 + x2
Tarvilik tingimus rea koonduvuseks (*) Defineerida arvrea mõiste ja arvrea koonduvus ning hajuvus: Olgu (uk) mingi arvjada. Avaldist u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . . , mida me edaspidi tavaliselt märgime kujul nimetame arvreaks (ehk lühidalt reaks) Kui piirväärtus s on lõplik, siis ütleme, et rida on koonduv (summaks s). Mittekoonduvat rida nimetatakse hajuvaks. Selgitada, miks rea suvalise arvu esimeste liikmete ärajätmine ei mõjuta rea koonduvust või hajuvust (s.t. tõestada lause 9.2). Rida koondub parajasti siis, kui koondub rida suvalise p ∈ IN korral. Tarvilik tingimus rea koonduvuseks. Ridade puhul on põhiküsimus selles, kuidas antud rea korral teha kindlaks, kas ta koondub või hajub. Tõestada tarvilik tingimus rea koonduvuseks (lause 9.3). Kui rida koondub, siis Kui rida koondub, siis eksisteerib lõplik piirväärtus Kuna
tegraali arvulist v¨a¨ artust leida. Selleks v~oib kasutada nn. hindamisteoreeme. Esitame siinkohal kaks taolist teoreemi ilma t~oestusteta. Teoreem 5.5. Kui iga x a korral kehtivad v~ 0 f (x) g(x) ja orratused integraal a g(x)dx koondub, siis koondub ka integraal a f (x)dx. -x aide. Hindame p¨aratu integraali 1 e x2dx koonduvust. Kuna ex on kas- N¨ vav funktsioon, siis kehtib ex e1 = e iga x 1 korral, Sellest v~orratusest tuletame e-x = e1x 1e iga x 1 korral. Seega kehtib j¨argmine hinnag: e-x 1 iga x 1 korral. x2 e x2 Selles v~orratuses paremal pool oleva funktsiooni integraal koondub, sest eespool- toodud n¨aite 1 p~ohjal
tegraali arvulist v¨a¨artust leida. Selleks v~oib kasutada nn. hindamisteoreeme. Esitame siinkohal kaks taolist teoreemi ilma t~oestusteta. Teoreem 5.5. Kui iga x a korral kehtivad v~ orratused 0 f (x) g(x) ja integraal a g(x)dx koondub, siis koondub ka integraal a f (x)dx. -x aide. Hindame p¨aratu integraali 1 e x2dx koonduvust. Kuna ex on kas- N¨ vav funktsioon, siis kehtib ex e1 = e iga x 1 korral, Sellest v~orratusest tuletame e-x = e1x 1e iga x 1 korral. Seega kehtib j¨argmine hinnag: e-x 1 iga x 1 korral. x2 e x2 Selles v~orratuses paremal pool oleva funktsiooni integraal koondub, sest eespool- toodud n¨aite 1 p~ohjal
¨ Uldistatud valimread Me defineerime uldistatud ¨ valimread (t R, W > 0): k (SW f )(t) = f( )s(Wt - k ). (1) W k=- Et saavutada uhtlast ¨ koonduvust f C(R) korral f - SW (f ) 0, W , peab vastav tuum s C(R) rahuldama teatud tingimusi: s(u - k ) = 1 (u R) ja sup |s(u - k)| < uR k=- k=- ¨ Esimene tingimus tahendab, ¨
annaabi.ee 
