Keraamiline plaat on kuumakindlast keraamikast ja selle all on küttekehad. See toimib täpselt samamoodi nagu tavaline, metallplaatidega elektripliit. · Keraamiline plaat eeldab, et pliidile asetatav nõu oleks korraliku, sileda ja puhta põhjaga. Kui anuma põhi ei ole ideaalselt sile, ei saa see pliidi plaadiga korralikult kontakti, palju kasulikku soojust läheb õhku ning kütab pannipõhja asemel tuba. · Integreeritava pliidi või ahju saab panna endale kõige mugavamasse kohta ja kõrgusele. · Integreeritava plaadi plussid: *Pliidiplaadi väljanägemine on tavalisest pliidiplaadist atraktiivsem ja meelitavam. Miks, seda ei oska ma selgitada, kuid nii see tõesti on. *Tööpinna sisse "uputatud" pliidiplaadil jäävad ära raskestipuhastatavad vahed pliidi ja kappide vahel. *Kasutaja saab plaadi kõrguse seada oma kasvule vastavaks.
pindala. Meie järgmiseks ülesandeks on õppida leidma kõverjoonega piiratud pinnatüki suurust integreerimise teel. 1) Esmalt tuleta meelde olulisemad integreerimisvalemid ja reeglid. 2) Summa (vahe) integraal võrdub liidetvate integraalide summaga(vahega) 3) Konstantse teguri võib tuua integraali märgi alt integraali ette. Newton-Leibnizi valem 4) Newton-Leibnizi valem määratud integraali arvutamiseks. 5) Määratud integraali arvutamiseks • leitakse integreeritava funktsiooni algfunktsioon; • leitakse algfunktsiooni väärtused ülemise ja alumise raja kohal; • lahutatakse algfunktsiooni väärtusest ülemise raja kohal algfunktsiooni väärtus alumise raja kohal. 6) 7) Näiteülesanded • Kasutatud allikad: www.google.ee
3) Olgu määratud integraalis alumine raja fikseeritud ja ülemine raja muutuv. Siis muutub ka integraali väärtus, s.t. integraal on ülemise raja funktsioon. Tähistame muutuva raja x'ga ning integreerimismuutuja t'ga. Et see integraal on ülemise raja funktsioon, tähistame ta (x). Kui f(x) on pidev funktsioon ja , siis kehtib võrdus: =f(x) Teisisõnu: määratud integraali tuletis ülemise raja järgi on võrdne integreeritava funktsiooniga, kusjuures integreerimismuutuja on asendatud ülemise rajaga. TÕESTUS Anname argumendile x positiivse või negatiivse muudu Dx, siis määratud integraali 6. omaduse järgi: Funktsiooni (x) muut: =(- (x)= ehk Rakendades viimasele integraalile keskväärtusteoreemi, saab funktsiooni muudu esitada: =f()(x+x)= f()
lugeda sirgeteks, mille pikkus avaldub l = x 2 + y 2 . Minnes üle diferentsiaalidele l dx 2 + y ' 2 dx 2 = dx 1 + y ' 2 . Kui summeerida saame määratud integraali b l = 1 + [ f ' ( x ) ] 2 dx . a PÄRATUD INTEGRAALID Määratud integraali olemasoluks peab funktsioon olema pidev ning rajad lõplikud. Mõnikord on vaja laiendada integraali mõistet juhtudele, kus üks või mõlemad eeldused ei ole täidetud, need on päratud integraalid: lõpmatute rajadega integraal ja katkeva integreeritava funktsiooniga integraal. A) LÕPMATUTE RAJADEGA PÄRATUD INTEGRAALID Olgu integreerimispiirkonnaks [a,+] b b Leiame integraali J = f ( x ) dx piirväärtuse lim J = lim f ( x ) dx b + b + a a
l dx 2 + y ' 2 dx 2 = dx 1 + y ' 2 . Kui summeerida saame määratud integraali b l = 1 + [ f ' ( x ) ] 2 dx . a Kehade pind- ja masskeskmed, tehnikas inertsmomendid, staatilised momendid PÄRATUD INTEGRAALID Määratud integraali olemasoluks peab funktsioon olema pidev ning rajad lõplikud. Mõnikord on vaja laiendada integraali mõistet juhtudele, kus üks või mõlemad eeldused ei ole täidetud, need on päratud integraalid: lõpmatute rajadega integraal ja katkeva integreeritava funktsiooniga integraal. A) LÕPMATUTE RAJADEGA PÄRATUD INTEGRAALID Olgu integreerimispiirkonnaks [a,+] b b Leiame integraali J = f ( x ) dx piirväärtuse lim J = lim f ( x ) dx b + b + a a
C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx , kus k = const 5
Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Integraali seos tuletisega- Integreerimine on tuletise vastandtehe, seega kui tuletis 2x2-2x on 4x-2 , siis integraal 4x-2 on 2x2-2x+c. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava. [ f ( x) dx ] = f ( x ) Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant. F ( x ) dx = F ( x ) +C Mõnede (xa, sin x, 1/x) integreerimisvalemite tuletamine- Tuletamine: 6 dx = ln x + C , Tõestus : Avaldame x absoluutväärtuse Kui x > 0 ( ln x ) = ( ln x ) = 1 ja kui
20. Mis on antud funktsiooni y = f(x) algfunktsioon? Mis on antud funktsiooni y= f(x) määramata integraal? Algfunktsioon on y=F(x) piirkonnas X, kui F'(x)=f(x) iga x kuulub hulka X korral Määramata integraal avaldis F(x) + C, kus y=F(x), on funktsiooni y=f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant. 21. Nimetada määramata integraali omadusi. · ( f (x)dx)' = f (x), st määramata integraali tuletis on võrdne integreeritava funktsiooniga · (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx · af(x)dx = a f(x)dx 22. Milline on määratud integraali geomeetriline tähendus? Integraal on võrdne sellise kõverjoonelise trapetsi pindalaga, mida piiravad sirged y = 0, x = a, x = b ja joon y = f(x). 23. Nimetada määratud integraali omadusi. · Aditiivsus: kui c [a; b] , siis = +
C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx , kus k = const 5
Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus F(x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse st . Määramata integraali tuletis on võrdne integreeritava funktsiooniga st ( )'= f(x). Tõestus: ( )'= (F(x)+C)'=F'(x)= f(x). d( )= ( )'dx = f(x)dx = F'(x)dx= dF(x). Operaatorit L:V->W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: a)L(f+g)= L(f) + L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R (homogeensus). Määramata integraal on lineaarne operaator, st = + ja/või =c (c ). 2
Määramata integraali tuletis on tingimuste f(x) = O(1), g(x) = O(1) (x [, ]) põhjal(( )- f( )) 0. võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ())'= f(x). Tõestus: ( ())'= Seega () = lim 0 () = lim ( () + (( ) - f( )) ) =
peaks siis funktsioon (x) olema funktsiooni f(x) ALGFUNKTSIOON... sõnastame selle teoreemi: TEOREEM x a Kui f(x) on pidev funktsioon ja (x) = f(t) dt, siis kehtib võrdus '(x) = f(x) ehk x a [ f(t) dt]'= f(x) , teisiti öeldes: Määratud integraali tuletis ülemise raja järgi (x väärtuse järgi, mis tähistab vaadeldava muutliku pikkusega lõigu lõpppunkti) on võrdne integreeritava funktsiooniga, kusjuures integreerimismuutuja on asendatud ülemise rajaga eeldusel, et integreeritav funktsioon on pidev. Siinkohal ei tasu unustada, et ülemine rada tähistab lihtsalt seda x väärtust, kus lõppeb see lõik, kus funktsiooni f(x) uurime. TÕESTUS Kuna me tahame tõestada võrdust '(x) = f(x), siis oleks vast hea avaldada definitsiooni järgi '(x): ( x + x ) - ( x ) lim '(x) = x 0 x
b-ni b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c 4.3 Määratud integraali arvutamine b Määratud integraali a f (x)dx arvutamiseks 1. leitakse integreeritava funktsiooni f algfunktsioon F kõiki määramata integraali leidmise reegleid ja meetodeid kasutades; b 2. arvutatakse vahe F (b) - F (a) = F (x) . a 1 3 Näide 4.1 Arvutada integraal - 2x)dx. 0 (x
( f [ (t )] (t )dt ) x = ( f [ (t )] (t )dt ) t dt dx . Määramata integraali tuletis integreerimismuutuja järgi võrdub integreeritava funktsiooniga, seega ( f [ (t )](t )dt ) t = f [ ( t )] ( t ) . Eelduse kohaselt on ( t ) 0 , seega pöördfunktsiooni tuletiseks on antud funktsiooni tuletise pöördväärtus ehk dt 1 = ( x ) = .
- -Simpsoni valemiga jagame integreerimise -piirkonna ideaalsete reaktorite põhitüübid -ja viibimisaja on -vedelikud või gaasilised ained. Heterogeenne n-ks ja arvutame integreeritava -funktsiooni võrrandites.-12.Reaktsiooni kiirusekonstant- 23.Milline on Le Chatelier' printsiibi tähtsus -katalüüs hõlmab reaktsioonil rohkem -kui üht faasi.- jaotused neist?-Põhitübid: perioodiline reaktoor PR, koefitsent k -nim-kse reaktsiooni kiirusekonstandiks -pöördreaktsioonide teostamisel reaktoris
Määramata integraali tuletis on f (¿ ξi) ∆ xi SΠn n võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ∫ f ( x ) dx )’= f(x). Tõestus: ( ∫ f ( x ) dx Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑¿ . i=1 )’= (F(x)+C)’=F’(x)= f(x)
7. Mis on algfunktsioon? Esitada 2 näidet! Kõiki f-ne , mis rahuldavad võrdust , nimetatakse f-ni algf-nideks. Näited: , 8. Leida funktsiooni algfunktsioon? Kontroll: 9. Leida funktsiooni algfunktsioon? Kontroll: 10. Millega võrdub algfunktsioon tuletis? Esitada 2 näidet Algf-ni tuletis on võrdne integreeritava f-niga. Näited: Olgu algf-n , siis selle tuletis on , kui ma selle integreerin käsuga "Integrate" saan jälle . Integrate asemel võib ka kasutada . Selliseid näiteid võib tuua veelgi. 11. Defineerige määramata integraal! Esitage 2 näidet määramata integraali arvutuse kohta! F-ni määramata integraaliks pirkonnas X nimetatakse avaldist .
ja (x) on piiprotsessis x b ekvivalentsed, siis p¨aratu integraali (5.15) koonduvusest j¨areldub p¨aratu integraali (5.16) koonduvus ja p¨aratu integ- raali (5.15) hajuvusest p¨aratu integraali (5.16) hajuvus. Teoreem 5'. P¨aratu integraali (5.16) absoluutsest koonduvusest j¨areldub selle koonduvus. 5.8 M¨ a¨ aratud integraali ligikaudne arvutamine Newton-Leibnizi valemi kasutamine m¨a¨aratud in- tegraali arvutamiseks n~ouab integreeritava funktsiooni algfunktsiooni leid- 2 sin x 1 mist. On aga suhteliselt lihtsaid funktsioone, n¨aiteks e-x , ja , mil- x ln x lel elementaarfunktsioonide hulgas algfunktsioon puudub ja Newton-Leibnizi 16 y yk-1 S
Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 5 / 34 Ma¨ aramata ¨ integraal Ma¨ aramata ¨ integraal Ma¨ aramata ¨ integraali tuletis ja diferentsiaal Lause Ma¨ aramata ¨ ~ integraali tuletis on vordne integreeritava funktsiooniga, st f (x) dx = f (x). ~ Toestus. f (x) dx = (F (x) + C) = F (x) = f (x). d f (x) dx = f (x) dx dx = f (x) dx = F (x) dx = dF (x). ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 6 / 34
xdx = + C. 2 Teeme m¨a¨aramata integraali definitsioonist m~oningad j¨areldused. J¨ areldus 1.4. f (x)dx = f (x), st m¨aa¨ramata integraali tuletis on v~ordne integreerita- va funktsiooniga. T~oepoolest, definitsiooni kohaselt f (x)dx = (F (x) + C) = f (x). areldus 1.5. d f (x)dx = f (x)dx, st m¨aa¨ramata integraali diferentsiaal on v~ordne J¨ integreeritava avaldisega. V¨aide j¨areldub sellest, et funktsiooni diferentsiaaliks on funktsiooni tuletise ja argumendi dife- rentsiaali korrutis: d f (x)dx = f (x)dx dx = f (x)dx J¨ areldus 1.6. dF (x) = F (x) + C, st m¨aa¨ramata integraal funktsiooni diferentsiaalist on v~ordne selle funktsiooni ja suvalise konstandi summaga. T~oepoolest, kui F (x) = f (x), siis dF (x) = F (x)dx = f (x)dx = F (x) + C. 2 P~
Tekstuaalset metafunktsiooni saab jälgida formaalselt, kirjeldades vorme ja väljendeid. Tekstianalüüsi eesmärk on funktsioone analüüsida: kogu aeg on põhiküsimus, mis eesmärk ja millise tähenduse konstrueerijana mingi tähendus esineb. Väljendi tähendus sõltub kontekstist ja osalejatevahelisest suhtest. Tsitaat loob autentsuse tunde, aga loob distantsi tegelikkusest. Refereeringus on teksti autori tähtsus suurem, sest seal põimuvad integreeritava mõtted autori omadega. Tsitaat on eraldiseisev, seal ei saa sulanduda. Tekstianalüüsis vaadatakse tegelikke olemasolevaid tekste. Ehtsad tekstid esinevad olukordades ja seostes, mida üldistatuna nimetatakse kontekstiks, mis mõjutab ja määrab tekstide tähenduse tõlgendamise. Teksti kirjutaja kontekst Teksti lugeja kontekst … Teksti enda seisukohast vaadeldakse kõige sagedamini teksti kontekstina teisi tekste – need
sin 0 15 0, 067 0 0 0 1.9.1 Kolmekordse integraali rakendusi 1.9.1.1 Keha ruumala. Kolmekordne integraal sobib hästi keha ruumala arvutamiseks. Nimelt kui võtame integreeritava funktsiooni f x, y, z 1, siis kolmekordne integraal üle piirkonna V väljendab piirkonna V ruumala: V dxdydz. V Näide 40. Leida pindadega x 0, y x2, y 1, z 0 ja z 1 x piiratud keha ruumala 1 1 1 x 1 1 V dxdydz dx dy dz dx 1 x dy
Kui integreerimine algab konsooli vabast otsast siis on integreerimiskonstandid sinna otsa rakendatud punktkoormused P ja M. Punktkoormuste vahelisel alal on põikjõu funktsioon konstantne ja paindemoment kui konstandi esimene integraal on lineaarne funktsioon. Ühtlane lauskoormus suunaga ülevalt alla põhjustab lineaarselt kahaneva põikjõu funktsiooni. Lineaarse funktsiooni esimene integraal on ruutfunktsioon. Selle funktsiooni kasvu kiirus on aga seda suurem, mida suurem on integreeritava funktsiooni väärtus. Negatiivne põikjõud põhjustab kahaneva paindemomendi funktsiooni. Järelikult lauskoormuse poolt põhjustatud paindemoment on ruutparabool, mille lagipunkt on kohas, kus põikjõud vahetab märki. Kui põikjõud talas puudub, on paindemoment konstantne. Epüüride koostamisel kanname sisejõu (Q, M) positiivsed väärtused y-teljest alla poole Ülesanne: tala Q ja M epüürimine lihtsa koormusskeemi korral.
unoom Tm-n (x) on astmefunktsioonide summa, millele saab rakendada tabeli valemeid 1 ja 2. Seega koondub raskuspunkt ratsionaalfunktsiooni St (x) , kus t < n , (5.8) Qn (x) integraali avaldamisele. Kui m < n, siis j¨a¨ ab jagamise etapp vahele, sest integreeritava funktsiooni lugeja on juba algselt v¨aiksema astmega kui nimetaja, st funktsioon on kujul (5.8). 2. Ratsionaalfunktsiooni (5.8) lahutamine osamurdude summaks. Alustame murru nimetaja teguriteks lahutamisest. Nimelt on v~oimalik t~oestada, et su- valise pol¨ unoomi Qn (x) saab lahutada teguriteks j¨argmisel kujul: Qn (x) = c · (x - a)k · . . . · (x2 + px + q)l · . . . , (5.9) milles esineb teatud l~oplik arv tegureid kujul (x - a)k erinevate konstantidega
unoom Tm-n (x) on astmefunktsioonide summa, millele saab rakendada tabeli valemeid 1 ja 2. Seega koondub raskuspunkt ratsionaalfunktsiooni St (x) , kus t < n , (5.8) Qn (x) integraali avaldamisele. Kui m < n, siis j¨a¨ab jagamise etapp vahele, sest integreeritava funktsiooni lugeja on juba algselt v¨aiksema astmega kui nimetaja, st funktsioon on kujul (5.8). 2. Ratsionaalfunktsiooni (5.8) lahutamine osamurdude summaks. Alustame murru nimetaja teguriteks lahutamisest. Nimelt on v~oimalik t~oestada, et su- valise pol¨ unoomi Qn (x) saab lahutada teguriteks j¨argmisel kujul: Qn (x) = c · (x - a)k · . . . · (x2 + px + q)l · . . . , (5.9) milles esineb teatud l~oplik arv tegureid kujul (x - a)k erinevate konstantidega
annaabi.ee 
