2.12. Määratud integraal
Olgu lõigul [a, b] määratud funktsioon f(x). Jaotan lõigu osalõikudeks [xi-1,xi], kusjuures
a=x0
1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja geomeetriline sisu. · Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon. Jaotame piirkonna D n tükiks S1,S2,...,Sn.Tähistagu Si samaaegselt nii i-ndat tükki kui ka i-nda tüki pindala.Valime igalt tükilt ühe punkti P ja moodustame järgmise summa: Vn= (P1) S1 + (P2) S2+...+ (Pn) Sn Seda summat Vn nim funktsiooni integraalsummaks piirkonnas D · Olgu (x,y) 0. siis saab integraalsummas olevat korrutist (P i) Si tõlgendada kui silindri ruumala, mille põhi on S i ja kõrgus (Pi) Selline silinder tähistatakse Zi-ga. IntegraalsummaVn on järelikult silindrite ühendi Z=Z1 U Z2 U...U Zn ruumala. Silindrite ühend Z on treppkeha, mille ülemine pind on tükiti tasapinnalineomades hüppeid erinevate kõrgustega naaber silindrite liitekohtades. 2
Valitakse mingi funktsioon u ja integreeritakse muutuja x asemel muutujat u. Eeldades et valitud funktsioon u on üksühene ja diferentseeruv, leitakse selle funktsiooni pöördfunktsioon. Leitud pöördfunktsioon kirjutatakse diferentsiaalide jagatisena, korrutatakse võrdust du-ga ning saadud funktsioonid asendadakse integraali all. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsummaks nimetatakse lõigul (a;b) pideva funktsiooni f osalõikude punktide summasid Määratud integraal: Kui lõigu (a;b) mistahes jaotuse korral. Kus max ja punktide p mistahes valiku korral integraalsumma läheneb ühele ja samale piirväärtusele s= Siis piirväärtust s nimetatakse f-ni määratud integraaliks lõigul (a;b). 30. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata. 31
1. Kahekordne integraal (integraalsumma, kahekordse integraali definitsioon, kahekordse integraali omadused (vastavad teoreemid tõestuseta)). n Moodustame summa: Vn = f ( P1 )s1 + f ( P2 )s 2 + ... + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i i =1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Teoreem 1. Kui funktsioon f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada puhul, s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkoonas si. Seda piirväärtust nimetatakse funktsioonif (x,y)
joontega nosaks: s1;s2;sn;mida nimetatakse osapiirkondadeks.Edaspidi mõistame sümbolite s1;s2;sn ka nende pindalasid. Võtame igas piirkonnas si mingi punkti Pi;saades nii npunkti: P1;P2;Pn:Olgu funktsiooni z= f(x;y) väärtused valitud punktides f(P1);f(P2);f(Pn):Moodustame summa Vn = n f (P1) × s i Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x;y) integraalsummaks i=1 üle piirkonda D o Kui piirkonna D igas punktis f 0; siis saab iga liidetavat f(Pi)si geomeetriliselt tõlgendada väikese silindri ruumalana, kusjuures silindri põhjaks on si ja kõrguseks f(Pi). Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa. o Kui funktsioon f(x; y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal
Kõvertrapetsi pindala arvutamise valem koos joonisega. Newton-Leibnizi valem. Summat s n nimetatakse integraalseks alamsummaks, summat sn integraalseks ülemsummaks. n s n = f ( 1 ) x1 + ( 2 ) x 2 + ... + ( n ) x n = f ( i ) xi i =1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f ( x ) integraalsummaks lõigul [ a, b] . Kui lõigu [ a, b] mistahes jaotuse korral, kus max xi 0 , ja 1 mistahes valiku korral n s n = f ( i ) xi lõigult [ xi -1 , xi ] , integraalsumma i =1 läheneb ühele ja samale piirväärtusele s , siis piirväärtust s nimetatakse funktsiooni f ( x ) määratud integraaliks lõigul [ a, b] ja b
Jaotame lõigu 0 , 1 osalõiguks punktidega U, , , ... , , kusjuures U " " "" . Tähistame järjekorras B-nda osalõigu pikkuse sümboliga J , st J J JW . Valime igal osalõigul 0 JW , J 1 ühe punkti XJ . Moodustame summa Y X X X Z XJ J J[ Seda summat nimetatakse funktsiooni integraalsummaks lõigul 0 , 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga , st max_ , , ... , `. Muudame lõigu 0 , 1 tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. Kui on pidev lõigul 0 , 1, siis on integraalsummal Y taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni määratud integraaliks lõigul 0 , 1 d
kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = ƒ (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon. Jaotame piirkonna D n tükiks ∆S1,∆S2,…,∆Sn.Tähistagu ∆Si samaaegselt nii i- ndat tükki kui ka i-nda tüki pindala.Valime igalt tükilt ühe punkti P ja moodustame järgmise summa: Vn= ƒ (P1) ∆S1 + ƒ (P2) ∆S2+…+ ƒ (Pn) ∆Sn Seda summat Vn nim funktsiooni ƒ integraalsummaks piirkonnas D Kahekordse integraali geomeetriline sisu : Olgu ƒ(x,y)≥0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui piirkonna D tükeldus muutub järjest peenemaks, st єn →0. Eelnevalt
Avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 32. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa: Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse Seega definitsiooni kohaselt
3. Kahekordse integraali definitsioon ja omadused: aditiivsus, lineaarsus, monotoonsus, absoluutne integreeruvus, keskväärtusteoreem, näide Vaatleme tasapinnal xy joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu selles piirkonnas antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jagame piirkonna D n osapiirkannaks, mille pindalad tähistame ΔS1, ΔS2 … ΔSn. Võtame igas piirkonnas punkti PiЄ ΔSi. Siis summat Vn=Σni=1f(Pi)ΔSi nimetame funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks. Kui eksisteerib piirväärtus, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jagamise viisist ega punktide Pi valikust osapiirkonnas, siis seda nimetatakse funktsiooni z=f(x,y) kahekordseks int-ks ja tähistatakse: ʃʃDf(P)dS=ʃʃDf(x,y)dxdy Omadused: Aditiivsus: Kui D=D1UD2, siis ʃʃDf(x,y)dxdy=ʃʃD1f(x,y)dxdy+ʃʃD2f(x,y)dxdy Lineaarsus: Kui funktsioonid z=f(x,y) ja z=g(x,y) on integreeruvad, siis ka funktsioon z=af(x,y)+bg(x,y) on integreeruv ja kehtib võrdus
.. ,sn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende pindasid. Võtame igas osapiirkonnas s1 (selle sees või rajajoonel) mingi punkti P1, saades nii n punkti: P1, P2, P3,..., Pn. Tähistame antud funktsiooni z=f(x,y) väärtusi valitud punktides sümbolitega f(P 1),...,f(Pn) ja moodustame korrutiste summa, mille liikmeteks on f(P1)s1: Summat nim. funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Kui piirkonna D igas punktis f0, siis saab iga liidetavat f(Pi)si geomeetriliselt tõlgendada väikese silindri ruumalana, kusjuures silindri põhjaks on si ja kõrguseks f(Pi). Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa, s.t. teatud ,,treppkeha" ruumala. Vaatleme funktsiooni z=f(x,y) integraalsummade suvalist jada Vn1, Vn2, Vn3,..., Vnn, mis on saadud antud piirkonna D jaotamisel osadeks si mitmel erineval viisil
geomeetriline sisu Vn = f ( P)dS = lim Vn = lim f ( pi , y)dy xi + lim = Kahemõõtmelises hulgas DR2 määratud funktsiooni f(x,y) integraalsummaks antud piirkonnas D nimetatakse summat D D 4. Kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides n Vn = f ( Pi )Si ristkülikukujulise piirkonna korral. Tuletada vastav valem
Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted a. Funktsiooni integraalsumma Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a,b]. Jaotame lõigu osalõiguks punktidega , kusjuures Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga , st Valime igal osalõigul [] ühe punkti . Moodustame summa Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a,b] b. Määratud integraali mõiste Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga , st . Muudame lõigu [a,b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a,b], siis on integraalsummal taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a,b] ja tähistatakse
Definitsioonid, lisaks ka korralik selgitus. Integraalsumma. On antud lõigul [a, b] esialgu pidev ja mittenegatiivne funktsioon y = f(x). Jaotame lõigu [a, b] n osaks punktidega a = x0, x1, x2 ... xn = b, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Igal lõigul pikkusega xi = xi xi 1 (ehk lõikudel [x0, x1], [x1, x2], ... [xn - 1, xn]) võtame punkti i ning arvutame funktsiooni vastava väärtuse f(i). Summat Sn = f(1)x1 + f(2)x2 +...+ f(n)xn = nimetatakse funktsiooni y = f(x) integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraal. Anname järgmise üldise definitsiooni loobudes eeldustest, et funktsioon y = f(x) on pidev ja mittenegatiivne. Funktsioon y = f(x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni nimetatakse piirväärtust ja tähistatakse sümboliga 22. Integraali keskväärtusteoreem (tõestusega). Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigul [a, b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et
. . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1 mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused xk , k = 1, 2, . . . , n erinevad. T¨ahistagu pikima osal~oigu pikkust st = max xk . 1kn Definitsioon 1. Kui piirv¨a¨artus lim sn 0
korrutised: n Sn = f(1)x1 + f(2)x2 +....+ f(n-1)xn-1 + f(n)xn = i =1 f( )x i i · Sellist summat nimetatakse funktsiooni f(x) integraalsummaks lõigul [a,b] · Kuna suvalise i puhul vastavalt suvaliselt lõigult [x i-1 , xi] kehtib põhimõte, et suurus i on alati suurem kui funktsiooni f(x) sellel lõigul olev minimaalne väärtus (m i) ja väiksem kui sellel lõigul asuv funktsiooni suurim väärtus (Mi) ning kuna kõik xi väärtused on nullist suuremad, siis järelikult kehtib ka võrdus, et mixi f(i)xi Mixi ja võrdus vastavate summade kohta:
Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa: Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse Seega definitsiooni kohaselt 37
, xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa: Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraali mõiste.Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n
x 0 , x 1 , x 2 , ... x n , kusjuures a=x 0< x 1 < x 2< ...< x n=b Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga x i , st x i=x i-x i-1 Valime igal osalõigul [ x i-1 ; x i ] ühe punkti pi . Moodustame summa n S n=f ( p 1 ) x1 + f ( p 2 ) x2 +...+ f ( pn ) x n= f ( pi ) x i Seda summat nimetatakse funktsiooni f i=1 integraalsummaks lõigul [a,b] Määratud integraali mõiste Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n , st n=max { x 1 , x 2 ,... , x n } . Muudame lõigu [a,b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a,b], siis on integraalsummal S n taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a,b] ja tähistatakse b
i =0 i i a kus a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, xi i xi +1 ja xi = xi +1 - xi . Selles definitsioonis on kasutatud kreeka tähestiku väikest tähte (ksii). n -1 Summat f ( ) x i i nimetatakse funktsiooni f ( x ) integraalsummaks lõigul [ a ; b ] . i =0 Funktsiooni, mille puhul ülaltoodud piirväärtus eksisteerib sõltumata jaotuspunktide xi ja osalõikudel argumendi väärtuste i valikust, nimetatakse lõigul [ a ; b ] integreeruvaks. Kui funktsioon on mingil lõigul pidev, siis on ta sellel lõigul integreeruv. Määratud integraali omadusi Olgu funktsioonid f ( x ) ja g ( x ) integreeruvad lõigul [ a ; b ] . b b b 1
i i a kus a x0 x1 x2 ... xn b, xi i xi 1 ja xi xi 1 xi . Selles definitsioonis on kasutatud kreeka tähestiku väikest tähte (ksii). n 1 Summat f x i i nimetatakse funktsiooni f x integraalsummaks lõigul a ; b . i 0 Funktsiooni, mille puhul ülaltoodud piirväärtus eksisteerib sõltumata jaotuspunktide xi ja osalõikudel argumendi väärtuste i valikust, nimetatakse lõigul a ; b integreeruvaks. Kui funktsioon on mingil lõigul pidev, siis on ta sellel lõigul integreeruv. Määratud integraali omadusi Olgu funktsioonid f x ja g x integreeruvad lõigul a ; b .
3):d(uv) = vdu + udv . Integreerime seda avaldist. Saame d(uv) = vdu + udv . Kuna d(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis uv + C = vdu + udv . Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, sest mõlemad määramata integraalid udv ja vdu sisaldavad juba määramata konstante. Viies vdu võrduse teisele poolele same udv = uv - vdu . (5.6) Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 36. Funktsiooni integraalsumma Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. ja maaratud integraali moisted. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse
definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. Kahekordse integraali omadused. Summat punktide Pj € Ωj valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsioonid f(x, y, z) kolmekordseks integraaliks diferentsiaalvõrrandit, mis on esitatav kujul M(x)dx + N(y)dy =0, kus M=M(x) ja N=N(y) on teadaolevad ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑃𝑘 )∆𝑠𝑘 nimetatakse kahe muutuja funktsiooni f(x,y) integraalsummaks piirkonnas D. Kahekordse üle piirkonna D ja tähistatakse ∭Ω 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑉.Lühidalt ∭Ω 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑉 = ∭Ω 𝑓(𝑃)𝑑𝑉 = ∭Ω 𝑓𝑑𝑉 ,st ühemuutuja funktisoonid.Vaatame võrrandit M(x)dx + N(y)dy =0, seega My=Nx=0. Kui ühelisidusas piirkonnas D
Olgu funktsioon f antud lõigus [a, b] , kus a < b . Jaotame lõigu [a, b] punktidega a = x0 < x1 < ... < x n = b osalõikudeks ei = [xi -1 , xi ] i {1,..., n} . Valime suvaliselt punktid i ei ja moodustame summa n = f ( i )xi , i =1 kus xi = xi - xi -1 . Seda summat nimetatakse funktsiooni f Riemanni integraalsummaks lõigus [a, b] . Olgu osalõikude ei suurim pikkus, s.o. = max xi 1 i n . Definitsioon: Arvu nimetatakse integraalsumma n = f ( i )xi i =1 piirväärtuseks protsessis 0 , kui iga arvu > 0 korral leidub arv > 0 nii, et kehtib võrratus I - < , kui < ,
2 R 2 cos t 0 2 R 2 cos cos 0 4 R2. 1.3 Kahekordne integraal Vaatleme xy-tasapinnal joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu selles piirkonnas antud pidev funktsioon z f x, y . Jagame piirkonna D n osapiirkonnaks, mida ja mille pindalad tähistame S 1 , S 2 , , S n . Võtame igas piirkonnas punkti P i S i . Siis summat n Vn i 1 f P i S i nimetame funktsiooni z f x, y integraalsummaks. Kui piirkonna D igas punktis f 0, siis see summa kujutab xyz-ruumi kõversilindrite summat Definitsioon. Kui eksisteerib piirväärus lim max S i 0 V n , mis ei sõltu piirkonna D osadeks jagamise viisist ega punktide P i valikust osapiirkonnas, siis seda nimetatakse funktsiooni z f x, y kahekordseks integraaliks ja tähiststakse f P dS f x, y dxdy. D D
. . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1 mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused xk , k = 1, 2, . . . , n erinevad. T¨ahistagu pikima osal~oigu pikkust st = max xk . 1kn Definitsioon 1. Kui piirv¨a¨artus lim sn 0
umboliga xi , st xi = xi - xi-1 . Valime igal osal~oigul [xi-1 , xi ] u ¨he punkti pi . Moodustame summa n Sn = f (p1 )x1 + f (p2 )x2 + . . . + f (pn )xn = f (pi )xi . (5.15) i=1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks l~oigul [a, b]. M¨ a¨ aratud integraali m~ oiste. T¨ahistame pikima osal~oigu pikkuse s¨ umboliga n , st n = max{x1 , x2 , . . . , xn }. Muudame l~oigu [a, b] t¨ ukeldust j¨arjest peenemaks selliselt, et pikima osal~oigu pikkus n l¨aheneb nullile. Kui f on pidev l~ oigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis l~oplik piirv¨a¨artus. 118 Seda piirv¨a¨artust nimetatakse funktsiooni f m¨
umboliga xi , st xi = xi - xi-1 . Valime igal osal~oigul [xi-1 , xi ] u ¨he punkti pi . Moodustame summa n Sn = f (p1 )x1 + f (p2 )x2 + . . . + f (pn )xn = f (pi )xi . (5.15) i=1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks l~oigul [a, b]. M¨ a¨aratud integraali m~ oiste. T¨ahistame pikima osal~oigu pikkuse s¨ umboliga n , st n = max{x1 , x2 , . . . , xn }. Muudame l~ oigu [a, b] t¨ ukeldust j¨arjest peenemaks selliselt, et pikima osal~oigu pikkus n l¨aheneb nullile. Kui f on pidev l~oigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis l~oplik piirv¨a¨artus. 118
annaabi.ee 
