vabaliikmete veeruga, kusjuures ülejäänud veerud jäävad oma endistele kohtadele. D = 0, siis selleks, et l.v.s oleks lahend ka sellisel juhul, peavad kehtima tingimused D 1 = D2 = ...=Dn, sellisel juhul on l.v.s rohkem kui üks lahend. Determinanti on võimalik arendada tema suvalise rea/veeru järgi. Kompleks arvutus i2 = -1 = a + bi a-kompleksarvu reaalosa bi imaginaarosa b imaginaarosa kordaja i imaginaarühik Olgu hulk C kõigi selliste(2 × 2)järku ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid teineteise vastandarvud. = ( a -b) (b a) Def1 Kui hulgas on määratud tehe/ arvutus operatsioon ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga
olemas lahend täisarvude hulgas Ä. Täisarvude hulgas ei ole lahendeid näiteks imaginaarosad (-5i ja -6i) pole võrdsed. Seega pole ka arvud omavahel võrdsed. võrrandil 2x = 3. Ratsionaalarvude hulgas  on sellel võrrandil lahend olemas. Teisel ja neljandal kompleksarvul on võrdsed nii reaalosa kui ka imaginaarosa. Seega Võrrandil x2 = 2 ei ole lahendeid ratsionaalarvude hulgas. Viimasel võrrandil on aga need arvud on omavahel võrdsed. Kas leiad veel võrdsete kompleksarvude paare ? olemas lahendid reaalarvude hulgas Ã. Reaalarvude hulga saame lisades ratsionaalarvude hulgale  irratsionaalarvude hulga Å: à = ½Å. Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks
X2 | Y2 jne NB! Funktsiooni väärtus kuvatakse ainult siis, kui see eksisteerib, st on lõplik reaalarvuline. Vastasel juhul, st kui funktsiooni väärtus kas ei ole määratud (on lõpmatu) või on kompleksarvuline, funktsiooni väärtuse asemele väljastatakse sõnaline vastus `puudub' või `kompleksarvuline' (viimasel juhul ei ole muidugi keelatud väljastada vastus kujul: reaalosa + i imaginaarosa). Matrikli 3 viimast numbrit on 071 -> Meetod 0 ja kuna funktsiooni 71 ei ole siis funktsioon 21. Tabulleerimise meetod(0. variant): On antud agrumendi alg- ja lõppväärtus A ja B, samm H ning sammu koeffitsient C; kusjuures peavad kehtima tingimused B > A ja H,C > 0. Funktsiooni väärtust arvutatakse punktides A, A + H, A + H + C*H, A + H + C*H + C2*H, ... (st samm võetakse iga kord teguriga C) kuni argumendi väärtus ei ületa B. . Tabuleeritav funktsioon: 2 x3/4
50,04 1,4019 104,04 1,8809 158,04 2,0003 52,04 1,4339 106,04 1,8889 160,04 2,0023 54,04 1,4643 108,04 1,8965 162,04 2,0042 Joonis 1. Siirdefunktsiooni graafik. Reguleerimisobjekti sageduskarakteristikud: Polaarkoordinaadistikku üleminekuks: Moodul: Nurk: Reguleerimisobjekti amplituud-faasi sageduskarakteristik komplekstasapinnal Reaal- ja imaginaarosa väärtused kui suureneb 0-ist lõpmatuseni: Tabel 2. Reguleerimisobjekti amplituud-faasi sageduskarakteristiku arvandmed Re() Im() Re() Im() 0 2,040 0 2,040 0 0,02 0,981 -1,276 1,609 -0,915 0,02 0,981 -1,276 1,609 -0,915 0,04 0,069 -1,098 1,100 -1,508 0,04 0,069 -1,098 1,100 -1,508 0,06 -0,280 -0,748 0,798 1,213
Kompleksarvude jagamisel laiendame jagatavat ja jagajat jagaja kaaskompleksarvuga (4 + 3i ) (4 + 3i )(5 - 2i ) 26 + 7i 26 7 ( 4 + 3i ) : (5 + 2i ) = = = = + i (5 + 2i ) (5 + 2i )(5 - 2i ) 29 29 29 Kompleksarvu geomeetriline esitus: Kompleksarve ei ole võimalik kujutada ühel teljel nii nagu reaalarve, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud). Seega kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt: Reaaltelg ja (x-telg) Imaginaartelg (y-telg) Kompleksarvu moodul: Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks. Punktile P vastava kompleksarvu moodul z = 2 2 + 32 = 13 Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a2 + b2 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju:
Kaaskompleksarv: Jägamine: Kaks kompleksarvu 1 x1 iy1 ja 2 x2 iy1 , mis Sümmeetriline maatriks: z1/z2 = (r1/r2)*(cos(1-2) + i sin(1-2)) Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest. kui AT A. Astendamine: Kompleksarv võrdub nulliga siis, kui x 0 ja iy 0, kus n = rn (cos n + sin n) x reaalosa yi immaginaarosa Juurimine: n
Test Loeng 1. Arvutüübid: · Naturaalarv positiivsed arvud (0 kaasa arvatud) ilma komakohata nt. 1,2,3,4, ... ,29 jne · Täisarv arvud ilma komakohtadeta, ka negatiivsed nt. 1, 2, 3, 45 jne · Ratsionaalarv on liht- ja liitmurrud.. väljendavad täisarvude arvude suhet üksteisesse · Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud. · Kompleksarv - arv, mis sisaldab reaalosa (tavaline reaalarv) ja imaginaarosa (reaalarv korrutatud i = ruutjuur(-1) ) Püsikoma- ja ujukoma-arv, nende võrdlemine. Püsikomaarv arvud nt. 0.000004, 0.0000213 Ujukoma arv- kui püsikomaarv on liiga pikk st. liiga palju nulle pärast koma, siis tuuakse sobiv 10 aste sulgudest välja. Nt 4*10-4 4,56*10-23 Loeng 2. Suurused: · Pikkus parameeter ruumi ulatuse mõõtmiseks, 1 m · Aeg parameeter ajavahemike mõõtmiseks, 1 s
1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi, (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on nn. imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = - 1 või i 2 = -1 . Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z 2 = a 2 + b2 i loetakse võrdseteks ( z1 = z 2 ) , kui a1 = a 2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. z = a + bi = 0 siis ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0. z = a + bi = r cos + i sin ehk z = r (cos + i sin ) Avaldist
nullist erinevat elementi. Kronecker-Capelli teoreem - Lineaarne võrrndisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed, so rank( A) = rank( AL). 10.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Lineaarvõrrandite süsteemi esimest, teist ja kolmandat tüüpi elementaarteisenduseks. Gaussi meetodi sisu. 11.Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise valemid. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi (1.3) kus a ja b
Võib nad moodustavad inversiooni. nim. kompleksarvudeks. Arvu a nim. kompleksarvu reaalosaks, arvu bi kommutatiivsus skalaariga korrutamise olla rohkem kui 1 lahend, k. A. Lõpmatus. Determinant on arv, mis seatakse vastavusse igale imaginaarosaks, b on imaginaarosa kordaja. suhtes ruutmaatriksile ja selle arvu väärtus leitakse ruutmaatriksi enda (a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i elementide korrutistest moodustatud summe põhjal, kasutades seejuures permutatsiooni ja inversiooni mõistet. (a+bi)-(c+di)=a+bi-c-di=(a-c)+(b-d)i
12. Kompleksarvu moodul- · Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks z = 2 2 + 32 = 13 · Punktile P vastava kompleksarvu moodul · Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a 2 + b2 13. Kompleksarvu geomeetriline esitus- · Kujutada ühel teljel pole võimalik, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud) · Kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt 13.1. Reaaltelg ja (x-telg) 13.2. Imaginaartelg (y-telg) · Kuidas võrrelda kompleksarve? Pole järjestatud hulk. Aga ikkagi ... 14. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju- · Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi · Avaldame joonisel olevast täisnurksest kolmnurgast reaalosa a ja
dx f ( x ) dx = dx F [ g ( x ) ] = dg F [ g ( x ) ] dx g ( x ) = f [ g ( x ) ] dx g ( x ) a . Kompleksarvud z = x + iy kus i 2 = -1 kaaskompleksarv z * = x - iy reaalosa x = Re z imaginaarosa y = Im z trigonomeetriline kuju z = z (cos +i sin ) , i eksponentkuju z=ze , NB! e i =cos +i sin kus moodul z = x2 + y2 , argument = Arg z = arg z + 2k ,
ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi , (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on niinimetatud imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = -1 või i 2 = -1 ; Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i loetakse võrdseteks ( z1 = z2 ) , kui a1 = a2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. z = a + bi = 0 siis ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0 .
Imaginaarühik defineeritakse seosega i²=-1 . Matemaatikud kasutavad kompleksarve II järku diferentsiaalvõrrandite teoorias, füüsikud ostsilleeruvate (võnkuvate) süsteemide kirjeldamisel, kus nad annavad tavaliste arvudega võrreldes märksa kompaktsema esituse. Nii on kvantmehaanika esitatav ainult kompleksarvude vahendusel, suurt ruumi ja aja kokkuhoidu annavad nad ka vahelduvvoolu teoorias. Ongi käes veel kaks lahendit, mis erinevad vaid imaginaarosa märgi poolest. Selliseid kompleksarvude paare nim. kaaskompleksarvudeks. Tehted kompleksarvudega Kahe kompleksarvu a+ib ja c+id summaks nimetatakse kompleksarvu (a+c)+i(b+d). Näiteks: (2+3i) + (1-5i) = 2+1+(3-5)i = 3-2i Analoogiliselt liitmisega toimub kompleksarvude lahutamine. Kahe kompleksarvu a+ib ja c+id korrutiseks nimetatakse kompleksarvu (ac-bd)+i(ad+bc). Näiteks: (2+3i) + (1-5i) = 2·1+2·(-5i)+3i·1+3i·(-5i) = 2-10i+3i-15i² = 2-7i-15·(-1) = 17-7i. Tuletis ja integraal.
imaginaarühik Meile juba tuttavat harmoonilist signaali 𝑠(𝑡) = 𝐴 · cos(2π𝑓𝑡 + 𝜑) saab Euleri valemit kasutades esitada kujul 𝑠(𝑡)= Re{𝐴𝑒𝑗(2π𝑓𝑡+ 𝜑) }= Re{𝐴𝑒 𝑗𝜑 𝑒 𝑗𝜔𝑡 }. Ajast sõltuva osa ejωtt eemaldamisele järele jäävat, eksponentsiaalselt kujul kompleksarvu, Aejφ nimetataksegi faasoriks Faasori reaalosa nimetatakse ka sünfaasseks komponendiks I (In-phase) ja tema imaginaarosa vastavalt kvadratuurseks komponendiks Q (Quadrature) PSK modulatsiooniga signaalide üheks kujutusviisiks on spetsiaalne faasor ehk konstellatsioonidiagramm Ülevaatlikuks viisiks faasmanipuleeritud signaalide kujutamisel on konstellatsioonidiagramm. BPSK nagu ka kõrgema tasemeliste faasmanipulatsioonide iseloomustamiseks ning näitlikustamiseks kasutatakse konstellatsioonidiagrammi, mis kujutab endast
ajaargumendi negatiivsete väärtuste puhul omavad nullise väärtuse. · Teisendus on lineaarne. ·Kujutise argument z on kompleksmuutuja z = p + jv = zMeJ¥, mis on Laplace'i teisenduse argumendiga sa+jco seostatud valemiga 2.1.1. Sellest tulenevad seosed p = eTcosT; = eaTsinT; zM =eT; =T (2.1.2) · ning =1/TIn zM; = r = 0,1,2... (2.1.3) Seejuures Iihtsaimad on seosed z muutuja mooduli ja faasi ning s-muutuja reaal ja imaginaarosa vahel. · Igale pidevaja funktsiooni Laplace'i kujutisele vastab ühene diskreetaja funktsiooni z-kujutis ahelana pidev diskreetne Ühene vastavus suunas diskreetselt muutujalt pidevale puudub, sest võimatu on isoleeritud diskreetide alusel määrata pidevaja funktsiooni hetkväärtusi taktisisestel ajamomentidel. 2.2 Diskreetne olekumudel Olekumudelis on seotud
3 2 C, - 2 C, - 2 / C, 2 /C 1 2 V. Kompleksarvud 1.3 Reaal- ja imaginaarosa Arvu a R nimetatakse kompleksarvu z = ab -b a C reaalosaks ja t¨ahistatakse a = Re z. Arvu b R nimetatakse kompleksarvu z = ab -ba C imaginaarosaks ja t¨ ahistatakse b = Im z. 1.4 ¨ Uhik, imaginaaru ¨ hik ja null Kompleksarvu I := ( 10 01 ) := 1, s.t teist j¨ arku u
Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor
karakteristliku võrrandi juurte kaudu. Diferentsiaalvõrrandi lahendi tüüp sõltub nüüd juurte tüübist: · Kui need on reaalarvud (st. ruutjuure alune avaldis on positiivne), on otsitavaks funktsiooniks (üldlahendiks) eksponentfunktsioon: millele vastab hääbuv liikumine. · Negatiivne juurealune avaldis viib kompleksarvuliste juurte juurde: kus on reaal- ja imaginaarosa. Üldlahendiks on nüüd mis sisaldab üheaegselt nii hääbuvat kui perioodilidelt muutuvat osa. · Lihtsaimat lahendit kus ja omavad ülaltoodud tähendust, nimetame sumbuvateks võnkumisteks ja neid võib ligikaudselt vaadelda kui eksponentsiaalselt kahaneva amplituudiga harmoonilisi võnkumisi. Seda, et toodud valem lähtevõrrandit rahuldab, saab igaüks kontrollida, võttes temast I
karakteristliku võrrandi juurte kaudu. Diferentsiaalvõrrandi lahendi tüüp sõltub nüüd juurte tüübist: · Kui need on reaalarvud (st. ruutjuure alune avaldis on positiivne), on otsitavaks funktsiooniks (üldlahendiks) eksponentfunktsioon: millele vastab hääbuv liikumine. · Negatiivne juurealune avaldis viib kompleksarvuliste juurte juurde: kus on reaal- ja imaginaarosa. Üldlahendiks on nüüd mis sisaldab üheaegselt nii hääbuvat kui perioodilidelt muutuvat osa. · Lihtsaimat lahendit kus ja omavad ülaltoodud tähendust, nimetame sumbuvateks võnkumisteks ja neid võib ligikaudselt vaadelda kui eksponentsiaalselt kahaneva amplituudiga harmoonilisi võnkumisi. Seda, et toodud valem lähtevõrrandit rahuldab, saab igaüks kontrollida, võttes temast I
Kompleksarve à = a + i b, kus imaginaarühik i = (- 1) ½, kasutatakse füüsikas selleks, et: 1) kiiresti tuletada üks reaalarvuline suurus teise põhjal, s.t. minna liikumise kiirendamiseks ajutiselt arvude imaginaarsesse (mittereaalsesse) piirkonda; 2) esitada omavahel seotud kujul (kompleksselt) kaks suurust, mis mõlemad kirjeldavad ühte ja sedasama loodusnähtust (üks suurus on siis vastava kompleksarvu reaal- ja teine imaginaarosa). Kompleksmeetod võnkumiste või lainete kirjeldamiseks esitab perioodiliselt muutuva suuruse eksponent- kujulise kompleksarvuna à = A e it, mille moodul A on selle suuruse amplituud, argument t on faas ja reaalosa A cos t on hälve. Põhitooniks nimetatakse omavõnkesagedusega (siin 1) toimuvat võnkumist, ülemtooniks (kõrgemaks harmooniliseks) aga võnkumist põhitooni sagedusest täisarv m korda suurema sagedusega m.
l -l f ( x ) sin l dx Sageduskarakteristiku leidmiseks tuleb ülekandefunktsiooni avaldises asenda s i- -i ga, kusjuures e saab asendada (cost-isint)-ga. Avaldise nimetajas tuleb eraldada reaalosa (imaginaarühikuta liikmed) ja imaginaarosa (imaginaarühikut sisaldavad liikmed). Nimetajas kujuneb avaldis a+ib või a-ib. Nimetajas imaginaarühikust vabanemiseks korrutame komplekssageduskarakteristiku W(i) avaldises lugeja ja nimetaja a+ib või a-ib-ga nii, et märk oleks vastupidine nimetaja avaldises oleva märgiga. Saame reaalosast ja imaginaarosast koosneva kompleksarvu. Polaarkoordinaatidesse viimiseks leitakse moodul: A() = ( Re()) + ( Im()) 2 2 ja argument:
Kompleksarve à = a + i b, kus imaginaarühik i = (- 1) ½, kasutatakse füüsikas selleks, et: 1) kiiresti tuletada üks reaalarvuline suurus teise põhjal, s.t. minna liikumise kiirendamiseks ajutiselt arvude imaginaarsesse (mittereaalsesse) piirkonda; 2) esitada omavahel seotud kujul (kompleksselt) kaks suurust, mis mõlemad kirjeldavad ühte ja sedasama loodusnähtust (üks suurus on siis vastava kompleksarvu reaal- ja teine imaginaarosa). Kompleksmeetod võnkumiste või lainete kirjeldamiseks esitab perioodiliselt muutuva suuruse eksponent- kujulise kompleksarvuna à = A e it, mille moodul A on selle suuruse amplituud, argument t on faas ja reaalosa A cos t on hälve. Põhitooniks nimetatakse omavõnkesagedusega (siin 1) toimuvat võnkumist, ülemtooniks (kõrgemaks harmooniliseks) aga võnkumist põhitooni sagedusest täisarv m korda suurema sagedusega m.
Kompleksarve à = a + i b, kus imaginaarühik i = (- 1) ½, kasutatakse füüsikas selleks, et: 1) kiiresti tuletada üks reaalarvuline suurus teise põhjal, s.t. minna liikumise kiirendamiseks ajutiselt arvude imaginaarsesse (mittereaalsesse) piirkonda; 2) esitada omavahel seotud kujul (kompleksselt) kaks suurust, mis mõlemad kirjeldavad ühte ja sedasama loodusnähtust (üks suurus on siis vastava kompleksarvu reaal- ja teine imaginaarosa). Kompleksmeetod võnkumiste või lainete kirjeldamiseks esitab perioodiliselt muutuva suuruse eksponent- kujulise kompleksarvuna à = A e it, mille moodul A on selle suuruse amplituud, argument t on faas ja reaalosa A cos t on hälve. Põhitooniks nimetatakse omavõnkesagedusega (siin 1) toimuvat võnkumist, ülemtooniks (kõrgemaks harmooniliseks) aga võnkumist põhitooni sagedusest täisarv m korda suurema sagedusega m.
Tuleb esile Võlad, vastassuunas Kvantmehhaanika, liikumine, külmakraadid signaalianalüüs Tehted kompleksarvudega Selgub, et kompleksarvud on väga toredad ja nendega saab teha kõike, mida reaalarvudega, ja veel rohkematki. Liitmine ja lahutamine Kompleksarve saab liita ja lahutada, tuleb lihtsalt liita ja lahutada eraldi reaal- ja imaginaarosa: näiteks . Nagu reaalarvude liitmisest võib mõelda kui liikumisest ühes või teises suunas reaalteljel, võib ka kompleks- arvude liitmisest mõelda geomeetriliselt. Seekord liigume lihtsalt komplekstasan- dil, vastava arvu samme reaaltelge mööda, vastava arvu imaginaartelge mööda. 93 Korrutamine ja jagamine
annaabi.ee 
