Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Hulkliikmed". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
sulgude, hulkliikmete, korrutamine, ruutude, kaksliikme, ruuduga, miinus, hulkliikmed, hulkliige, summat, kordajad, liitmine, sulud, astendajad, tuues, rühmitamisvõte, samade, tegurdamine, teistpidi, korrutamisel2.ptk Hulkliikmed 8.klass Õpitulemused Näited 1.Hulkliige - üksliikmete summa üksliikmed: ; ; ; 2.Hulkliikme liikmed ja kordajad - korrastatud hulkliige liikmed: üksliikmed, mille liitmisel hulkliige moodustub liikmed on ; -2 ; kordaja: iga liikme ees olen arv kordajad on 1; -2; 1 3.Korrastatud hulkliige - järjestada hulkliikme liikmed muutujate astendajate summa kahanemise järjekorras, võrdsete astendajate summa puhul lähtuda tähestikust, liikmed normaalkujulised, võimalusel koondada 4.Kaksliige - hulkliige, milles on kaks mittesarnast liiget 5.Kolmliige - hulkliige, milles on kolm mitte- sarnast liiget 6.Hulkliikmete liitmine - kui sulgude ees on plussmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks, s.t. ühe hulkliikme liikmed kirjutatakse teise
Tehetest ligikaudsete arvudega Ligikaudsete arvudega korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui mitu on neid vähima tüvenumbrite arvuga komponendis. Ligikaudsete arvude summa ja vahe tuleb ümardada kõigi komponentide ühise madalaima järguni. Näide: 2,40+18,879=21,279 ehk 21,28 Hulkliige Üksliikmete summat nimetatakse hulkliikmeks. Üksliikmeid, mille liitmisel hulkliige moodustub, nimetatakse hulkliikme liikmeteks ja nende kordajaid- hulkliikme kordajateks. Näide: 4c -3c+8c-c = Hulkliikmete liitmine ja lahutamine Kui sulgude ees on pluusmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks; kui sulgude ees on miinusmärk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Näide: (2x-5)-(x-7)+(15-9x)-(6x-3)= 2x-5-x+7+15-9x-6x+3=-14x+20=20-14x
6 1.1. 6x2y ; - a3bc5 ; 1,6xyz - üksliikmed 1 9 1.2. 3,5x2y3z ; 2 3 -2,7 x y z ; x2y3z - sarnased üksiilmed 5 6 1.3. 6 x2y- a3bc5+1,6xyz -hulkliige (üksliikmete summa) Hulkliikme kordajad 1.4. Korrastatud hulkliige ehk normaalkujuline hulkliige on hulkliige,kus liikmed on asetatud astmenäitajate summa kahanevasse järjekorda. 1.5. Kõige viimaseks kirjutatakse alati vabaliige. 1.6. Hulkliige, mis on kahe üksliikme summa nimetatakse kaksliikmeks. 1.7. Hulkliige, mis on kolme üksliikme summa nimetatakse kolmliikmeks. 2. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine 2.1. Kõigepealt tuleb avada sulud ja seejärel koondada sarnased liikmed. 2.2. Kehtivad reeglid: 2.2.1
*Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. am : an = a m-n 3) Korrutise astendamine. *Korrutise astendamisel võib astendada iga tegur eraldi ja siis saadud tulemus korrutada. ( a x b )m am x bm 4) Jagatise astendamine. *Jagatise astendamisel võib astendada eraldi jagatava ja jagaja ja seejärel jagada üks tulemus teisega. ( a x b ) m am : bm 5) Astme astendamine, *Astme astendamisel astendajad korrutatakse. ( a m ) n = a mxn 6) Hulkliikme korrutamine üksliikmega. *Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliige iga liige läbi korrutada selle üksliikmega. ( a + b + c ) x d = ad + bd + cd 7) Hulkliikme jagamine üksliikmega. *Hulkliikme jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige läbi jagada selle üksliikmega. ( a + b + c ) : d = a+b+c = a:d + b:d + c:d d 8) Hulkliikme korrutamine hulkliikmega. * Hulkliikme korrutamisel hulkliikmega tuleb ühe hulkliikme iga liige läbi korrutada teise hulkliikme iga
Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega: Hulkliikme korrutamisel hulkliikmega tuleb ühe hulkliikme iga liige läbi korrutada teise hulkliikme iga liikmega. (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 9)Ruutude vahe:
Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega: Hulkliikme korrutamisel hulkliikmega tuleb ühe hulkliikme iga liige läbi korrutada teise hulkliikme iga liikmega. (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 9)Ruutude vahe:
2ab ; ab ; 7ab Sarnased üksliikmed erinevad ainult eesoleva arvulise teguri poolest. NÄIDE 1: Avaldises 3x - 8 - 6x + 4 NÄIDE 2: 3x - 8 - 6x + 4 = (3 - 6)x + (-8 + 4) = -3x – 4 NÄIDE 3: x + 5y - y + 7x = (1 + 7)x + (5 - 1)y = 8x + 4y NÄIDE 4: 5m + 2n - 6 - 5m + 4 = (5 - 5)m + 2n + (-6 + 4) = 2n – 2 NÄIDE 5: 3a2 + 4xy - a2 + xy - 5xy - 2a2 = (3 - 1 - 2)a2 + (4 + 1 - 5)xy = 0 NÄIDE 5: 7yw – 4w² - 8w² - 10w² = 7yw – 22w² 5. Hulkliige, hulkliikmete liitmine ja lahutamine. Hulkliige on üksliikmete summa. 2a + b ; 2a + b + 7c + 2 ; 3yzx NÄIDE 1: (3 + 7v²) + (3 + 6v) = 3 + 7v² + 3 + 6v = 6 + 7v² + 6v NÄIDE 2: (-6w² - 4) – (5 + 7w² - 8w) = -6w² - 4 – 5 -7w² + 8w = 13w² - 9 + 8w NB! Miinus märk sulu ees, muudab märgi sulu sees!!! 6. Hulkliikmete korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame. a (b + c + d) = ab + ac + ad
Uued mõisted · Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete summat · Kahe liikme summa ja samade liikmete vahe korrutis võrdub nende liikmete ruutude vahega · Kahe liikme summa ruut võrdub esimese liikme ruut pluss kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut · Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruuduga miinus kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut · Kahe hulkliikme korrutamisel tuleb ühe hulkliikme iga liige korrutada teise hulkliikme iga liikmega, tulemused koondada · Kahe üksliikme summa ja nende üksliikmete vahe mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide summaga · Kahe üksliikme vahe ja nende üksliikmete summa mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide vahega
Näide Üksliikmete 3,7x, 5x3 ja - x2 lahutamisel üksliikmest 6 saame avaldise 6 3,7 x 5x 3 x 2 Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saadud avaldisi nimetatakse algebralisteks summadeks. Üksliikmete algebralises summas võib muuta liidetavate järjekorda. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Üksliikmete algebralise summa koondamine. Üksliikmete korrutamine ja jagamine Kui üksliikmete algebralises summas esineb sarnaseid liikmeid, siis need koondatakse, s. t. asendatakse kõik sarnased liikmed üheainsa liikmega, mille kordaja võrdub asendatavate liikmete kordajate summaga. Näited 4 x 2 3xy 5 x 2 xy x 2 4 xy abc 2 3x 3 2,5ac 2b (5 x)3 xy 122x 3 1,5abc 2 xy 125x 3 Üksliikmete korrutamisel kordajad korrutatakse ja ühesuguste täheliste tegurite astendajad liidetakse.
1. harilik murd Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. 2. kümnendmurd Kümnendmurd on komaga arv. N: 23,4 ;14,1 ; 3,8 ; 10,5 3.murru taandamine Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju
Hulkade ühendit tähistatakse märgiga . Näide 1: A = { m;;7}. B = { ; ; 7; b} A B = {m; ; 7; ; b } Hulkade A ja B ühisosa A B on hulk, mille moodustavad parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad hulka A ja hulka B. Näide 1 Hulkade {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} ühisosa on {2, 3}. Hulkliiget nimetatakse lineaaravaldiseks ehk esimese astme hulkliikmeks vaadeldavate muutuja suhtes, kui ühegi liikme aste nende muutujate suhtes ei ole suurem kui üks. Näiteks on hulkliige ax+bx+c lineaaravaldiseks kahe muutuja x ja y suhtes. Hulknurgaks nimetatakse geomeetrilist kujundit, mis on piiratud kinnise murdjoonega (hulknurka nimetatakse korrapäraseks ja kumeraks) ja diagonaaliks nimetatakse lõiku, mis ühendab kaht tippu, mis ei kuulu ühele ja samale küljele. Hüperbooliks (nimetatakse tasandile kuuluvate punktide hulka, mille iga punkti kauguste vahe absoluutväärtus kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on jääv suurus.)
Misted 8. klassile 1. Milline murd on harilik murd? * Harilik murd nitab, mitmeks vrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on vetud. 2. Milline murd on kmnendmurd? Too nide . * Kmnendmurd on komaga arv . nt : 2,14 ; 76,76 ; 16,36 3. Mida nimetatakse murru taandamiseks? * Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist he ja sama nullist erineva arvuga 4. Astmete korrutamine. Too nide. * he ja sama alusega astmete korrutamisel me liidame astendajad ja siis astendame astme alust. nt : a(astmes n) * a(astmes m) = a (astmes n+m) 3(astmes4)* 3 (ruudus) = 3(astmes 6) = 729 5. Astemete astendamine. Too nide. * Astmete astendamisel antendajad korrutame ja siis astendame. nt: (a astmes n) astmes m = a astmes mn ; (2 astmes -3) astmes 4 = 2 astmes -12 6. Astmete jagamine. * Sama alusega astmete jagamisel me lahutame astendajad ja siis astendame astme alust. 7
Reaalarvu absoluutväärtus: | | - absoluutväärtuse märgid. Nt. |-5| = 5 ; |5| = 5 Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. Teineteise vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed. 1 Ratsionaalarvude liitmine ja lahutamine: +(+a) = +a +(-a) = -a -(-a) = +a -a(+a) = -a Ratsionaalarvude korrutamine ja jagamine: (+)*(+) = + (+) : (+) = + ( - )* ( - ) = + (-):(-)=+ ( - ) * (+) = - (+) : ( - ) = - (+) * ( - ) = - ( - ) : (+) = - Kui negatiivseid tegureid on paarisarv on korrutis positiivne. Kui negatiivseid tegureid on paaritu arv on korrutis negatiivne. Kahe samamärgilise arvu jagatis on positiivne. Kahe erimärgilise arvu jagatis on negatiivne. Arvu aste: 2³=222=8 a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0).
a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b − c ) = ab − ac Sulgude avamine: a + (b + c ) = a + b + c a + (b − c ) = a + b − c a − (b + c ) = a − b − c a − (b − c ) = a − b + c Viimased kaks valemit ütlevad, et miinusmärk sulgude ees muudab märgid sulgude sees. Näiteks 9 − ( 3 + 4 ) = 9 − 3 − 4 ja 8 − ( 2 − 3) = 8 − 2 + 3 . 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega Näide 1. a) liitmine 15 + ( +8 ) = 15 + 8 = 23 18 + ( −27 ) = 18 − 27 = −9 (lahtiseletatult: −9 saame, kui suuremast arvust, milleks on 27, lahutame väiksema ja märgiks paneme suurema arvu märgi) 10 + ( −7 ) = 10 − 7 = 3
a+b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine: a + ( b + c) = a + b + c a - ( b + c) = a - b - c a + ( b - c) = a + b - c a - ( b - c) = a - b + c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent ( 1 % ) on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill ( 1 ) on üks tuhandik osa tervikust (arvust). a Arvude a ja b suhe protsentides on 100 % . b Kui p % arvust a on m, siis
2 V=6 -6-12=18 arv 6 ei ole lahend 2 V=1 -1-12=-12 arv 1 ei ole lahend 2 V=4 -4-12=0 arv 4 on lahend 12.Ruutvõrrandi teisendamine Ül.1327 normaalkujule - sulgude avamise ja 2v(v-5)=0 2 liikmete ümbertõstmise, koondamisega 2v -10v=0 a=2 b=-10 c=0 tekitada kuju, kus vasakul poolel on 2 2 esimesel kohal positiivse kordajaga (u+1) -2u =3 2 2 ruutliige, teisel kohal lineaarliige, u +2u+1-2u -3=0
ab ba a b c b c a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a b c a b c a bc ab c Jaotuvus ehk distributiivsus: a b c ab ac a b c ab ac Sulgude avamine: a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent 1 % on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill 1 ‰ on üks tuhandik osa tervikust (arvust). a Arvude a ja b suhe protsentides on 100 % .
Siin on ühest retsepti võimatu anda. Ositi integreerimise valem on rakendatav väga mitmesuguste funktsioonide integreerimisel, kaasa arvatud ka niisuguste integraalide korral, mille leidmine muude meetoditega on lühem ja lihtsam. Enam huvi pakuvad funktsioonid, mille 3 integreerimine muude meetoditega osutub võimatuks. Näiteks on ainult ositi integreeritavad: 1) hulkliikmete ja siinuste korrutised; 2) hulkliikmete ja koosinuste korrutised; 3) hulkliikmete ja eksponentfunktsioonide korrutised, kusjuures kõigil kolmel juhul ositi integreerimise valemis funktsiooniks u valitakse hulkliige ja diferentsiaaliks dv vastavalt siinuse ja argumendi diferentsiaali korrutis, koosinuse ja argumendi diferentsiaali korrutis või eksponentfunktsiooni ja argumendi diferentsiaali korrutis. 38. Ratsionaalavaldise täisosa eraldamine
t. D = b2 - 4ac 0). Esimesel juhul on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist 2Sõna "kompleksne" tähendab eesti keeles "liitne"; selle nimetuse andis arvudele lahendit, teisel juhul on lahendid võrdsed. a + bi esmakordselt saksa matemaatik Gauss (1777-1855). Missugused on aga ruutvõrrandi lahendid siis, kui võrrandi diskriminant on Kompleksarvude korrutamine ja jagamine negatiivne ? Vaatleme mõnda näidet. Korrutame arvud a + bi ja c + di. Kaksliikmete korrutamise reegli järgi 2 2 4 2 Näide 4. Lahendame võrrandid x + 16 = 0, x - 2x + 10 = 0 ja x - 3x - 4 = 0. (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac - bd + (ad + bc)i. Seega 1) Kui x2 + 16 = 0, siis x = ± -16 = ± 16·i2 = ± 4i. Seega x1 = -4i ja x2 = 4i
erineva naturaalarvuga 1.13 Juurte koondamine · Juuravaldisi, mis erinevad üksteisest ainult juure kordaja poolest või ei erine üldse, nimetatakse sarnasteks. · Koondada saab vaid summas, mille liidetavate hulgas leidub sarnaseid juuravaldisi 1.14 Astme mõiste üldistamine 1.15 Tehted astmete ja juurtega Avaldised 2.1 Ratsionaalavaldised · Ratsionaal on avaldis, milles võivad esineda muutujate ja/või arvude +, -, korrutamine, jagamine ning astendamine · Kui avaldis ei sisalda muutujaid jagajas, siis nimetatakse seda täisavaldiseks, vastasel juhul on tegemist murdavaldisega · Avaldist kujul a/b, kus a ja b on täisavaldised, nimetatakse algebraliseks murruks · Ratsionaalavaldiste teisendamine taandub tehetele algebraliste murdudega · Erinimeliste algebraliste murdude liitmisel (lahutamisel) laiendatakse need esmalt ühenimelisteks. Ühiseks
| a |= - a,absoluutväärtus Arvteljel tähendab reaalarvu kui a < 0. sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. Näide: |5|=5; |-6|=6; |-0,3|=0,3. RATSIOONALAVALDISTE LIHTSUSTAMINE Ratsionaalarvaldiseks nimetatakse avaldist, milles tehetena võivad esineda vaid arvude ja/või muutujate liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ning astendamine täisarvuga. Ratsionaalavaldises ei tohi esineda muutujat juuritavas. Kui muutuja esineb juuritavas, siis nimetatakse vastatakse vastavat avaldist irratsionaalavaldiseks. Näiteks avaldised ja on ratsionaalavaldised, kuid avaldis on irratsionaalavaldis. Ratsionaalavaldiste lihtsustamiseks kasutame matemaatilisi võtteid ja valemeid. x + 3 2x + 5 2x + 5 Sulgude ette toomine:
Jäägu see aga lahendajaile iseseisvaks tööks.) Samas saame selle punkti ka välja arvutada. Parabool on alati sümmeetriline. Järelikult, kui parabool lõikab x-telge ehk tal on nullkohad, siis kahe nullkoha keskpunkti läbibki parabooli sümmeetriatelg. Arvutame. Nullkohad saavad vaid siis olla, kui muutuja y = 0. See tähendab, et paneme võrrandi y = 2x2 6x võrduma väärtusega 0. Saame 0 = 2x2 6x. Antud juhul võtame muutuja x sulgude ette. Saame x(2x 6) = 0. Kasutame loogikat. Korrutise tulemus on ainult siis 0, kui üks korrutatavatest on 0. Meil on kaks korrutise tegurit: x ja 2x 6. Et korrutis tuleks null, peavad mõlemad võrduma nulliga. Nii saamegi, et x1 = 0 ja 2x 6 = 0. Viimasest seosest saame, et 2x = 6, millest x2 = 3. See läheb kokku ka meie joonisega. Nende kahe punkti keskkoha saame kätte, kui nende vahekauguse jagame kahega. [0 (3)] : 2 = 1,5.
..........................................................................32 Algebraliselt........................................................................................................................32 Nullvektor, vastandvektor...................................................................................................... 32 Vektorite lahutamine.............................................................................................................. 32 Vektori korrutamine arvuga....................................................................................................32 Vektorite kollineaarsus...........................................................................................................33 Ühikvektorid ja .....................................................................................................................33 Kahe vektori skalaarkorrutis....................................................................................
leian y väärtuse võrrandist x-y=12 28-y=12 y=16 Vastus. Rööpküliku küljed on 28 cm ja 16 cm. 27.Tekstülesanne (kolmnurk) - kolmnurga Ül.988 nurkade summa on 180°; kui saab antud on üks nurk, teise kahe nurga vahe, kasutada kahe nurga summat ja vahet, siis leida kolmnurga nurgad süsteem lahendada liitmisvõttega KOOSTAMINE KONTROLL teine nurk x 81° NB võimalusel kasutada kahe tundmatuga kolmas nurk y 53° võrrandisüsteemi nende vahe x-y (28°) 81°-53°=28° nende summa x+y 81°+53°=134°
Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. · Maatriksite lahutamine : esimese maatriksi ja teise maatriksi vastandmaatriksi summa. A B = A + (B)
ning k-permutatsioone Kombinatsioonid- k-kombinatsiooniks nimetatakse hulga A igat k-elemendilist alamhulka. (Nt. hulk[3] 2-kombinatsioonid: {12,13,23}). *Arvutada saab: [4]. Binoomi valem. Pascali kolmnurk. *Kombinatsioonide arvu tähist nimetatakse sageli ka binoomkordajaks. See tulenebgi aga (Newtoni) binoomivalemist. Binoomi valem-Valem, mis esitub kujul , ning sisuliselt kujutab ta endast ,,summa ruudu valemit" astmel n. Selgub aga, et binoomivalemi sulgude avamisega saame sellise üksliikmete summa, kus iga liikme kordaja e. binoomkordaja vastab sisuliselt kombinatsioonide arvule , kus k on konkreetse üksliikme x'i aste ning n on algse sulgavaldise aste. Näiteks: Toetused aga multinoomvalemile, saaksime binoom-koefitsente välja arvutada ka valemi abil, kus k1 on üksliikme esimese kordaja aste, k2 aga teise kordaja aste. Omadusi: *Binoomkordajad on sümmeetrilised alumise indeksi suhtes:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8. MAATRIKSID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Maatriksite liitmine ja lahutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Maatriksi korrutamine skalaariga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Mudelid Maatriksi transponeerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . .
1) Valitakse sobiv tasandusjoon
2) Normaalvõrranditesüsteemi abil leitakse empiirilist kõverat tasandava teoreetilise joone parameetrite
hinangud
3) Leitakse teoreetilise joone punktide väärtused ja konstrueeritakse tasandusjoon.
Näiteks: pannakse iibed aastate järgi ritta. Leita
Näiteks: pannakse iibed aastate järgi ritta. Leitakse T, nii et keskmine aasta T =0. Muidu –x
01.2000" viited lahtritele ja lahtriplokkidele (muutujad): - aadressid: B5, H13, C5:H28, $B$5, H$13, ..., Sheet2!B5, ... - nimed: a, x, x_1, c_, pikkus, palk, ... , Sheet2!palk, ... funktsiooniviidad ehk lihtsalt funktsioonid: SIN(B3), SQRT(a^2+b^2), SUM(C3:C103), MAX(palk), LEFT(nimi;1) Tehted ja tehtesümbolid, tehete prioriteedid 1. % protsent: 18% = 0,18 10%*130 = 13 2. ^ astendamine (Alt+94): (x+2)^2 (x+2)^(1/3) 3. * , / korrutamine, jagamine: a*b a/b 2*(a+b)/d 4. + , - liitmine, lahutamine: a+b a-b 5. & sidurdamine (tekstide ühendamine): enimi&" "&pnimi 6. = , <> , < , <= , > , >= võrdlustehted: A3>C4 palk<=5000 x>0 B2="N" NB! Võrdse prioriteediga tehteid täidetakse järjest vasakult paremale, tehete täitmise järjekorra määramiseks võib kasutada ümarsulge. =2,67*(13,7-2,68)/14,1 =B3*B4/B5 =B3/(B4*B5) =(a+b)/(x+y) =(a+b)/(1+x/(a+d)) =(a+b)^(1/3)
Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a. 2) Distributiivsus arvude liitmise suhtes: ( + )a = a + a. 3) Distributiivsus vektorite liitmise suhtes: (a + b) = a + b. 4) Arvu "üks" omadus: 1 a = a
Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a. 2) Distributiivsus arvude liitmise suhtes: ( + )a = a + a. 3) Distributiivsus vektorite liitmise suhtes: (a + b) = a + b. 4) Arvu "üks" omadus: 1 a = a
ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ruutmaatriks ridade arv = veergude arv m=n diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille kõik elemendid väljaspool peadiagonaali on 0. ühikmaatriks diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid on 1. tähistus E. 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). Korrutamine arvuga: maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse kõik tema elemendid selle arvuga. (m x n)-maatriksi A = (aij) korrutiseks reaalarvuga c nimetatakse (m x n)- maatriksit cA = (bij), kus indeksite i ja j kõigi väärtuste korral bij = caij Maatriksite liitmine: samamõõtmeliste maatrikside liitmisel summeeritakse nende vastavad elemendid. Kahe (m × n)-maatriksi A = (aij ) ja B = (bij ) summaks nimetatakse (m × n)-maatriksit A +
mentidega (A + B)ij := aij + bij Teiste s~onadega, maatriksite liitmisel liidame vastavad elemendid. N¨ aide: summa arvutamine Arvutame maatriksite summa 1 2 3 3 -2 1 1+3 2-2 3+1 + = 4 5 6 -6 4 -5 4-6 5+4 6-5 4 0 4 = -2 9 1 1.5 Maatriksi korrutamine arvuga Maatriksi A = (aij ) ja arvu R korrutiseks A nimetatakse maatriksit elementidega (A)ij := aij . Korrutis A defineeritak- se valemiga (A)ij := aij . Ilmselt A = A, sest (arvude korral) aij = aij . Teiste s~onadega, maatriksi korrutamisel arvuga korrutame an- tud arvuga maatriksi k~oik elemendid. II. Maatriksarvutus 3 N¨ aide: korrutise arvutamine Arvutame maatriksi ja arvu korrutise
annaabi.ee 
