Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Funktsiooni tuletised 12. klass kordamine". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
tuletisedTULETISED Astmeline:=n* nt. =5* Trigonomeetrilised: (=cosx = - sinx = Logaritmfunk. tuletised: (; ' Eksponentfunk tuletised: ' = *1 (e lne=1)= Tuletised : ' = ' (x)' = 1 (c)'=0 (-x)' = -1 Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletis 1.Summa tuletis (u+v)' = u' + v' Nt. + (= + 2. Vahe tuletis (u-v)' = u'-v' 3. Korrutise tuletis (u*v)' = u'*v + u*v' 4. Jagatise tuletis (
Valemid ja Mõisted Funktsiooni f(x) tuletis kohal x: f ( x + x) - f ( x) f ( x) = lim x 0 x Funktsiooni jagatise tuletis u u v - uv = v v2 Funktsiooni summa tuletis (u+v)'=u'+v' Funktsiooni korrutise tuletis (c*u)'=c*u' (u*v)'=c'u+cu' Astmefunktsiooni tuletis (xa)'=axa-1 (x)'=1/(2x) Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Logaritmfunktsiooni tuletised (logax)'=1/(x ln a) (lnx)'=1/x Eksponent funktsiooni tuletised (ax)'=axln a (ex)'=ex Liitfunktsioon F ( x) = f (u ) g ( x) Veel reegleid funktsioonide tuletiste kohta: x = 1 1 1 = 2 x x c = 0 Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z Funktsiooni tuletis
F'(x)=k ekstreeemumkohad kasvam ja kahanemine liikumise ' Puutuja võrrand F (x)=0 X F'(x)>0 ; XF'(x)<0 kiirus y-y0=k(x-x0) Min koht Max koht Kumerus Nõgusus F''(x)>0 F''(x)<0 F''(x)<0 F''(x)>0 Käänukoht F''(x)=0 1. Leia funktsioonide tuletised 2 - 3x 1) y=2x5-3,8x4+x2-2 2) y = x -1 3)y=(x+1)sinx-x cos x 4)y=2tanx lnx 5)y=xsinx 6) y=cos 2x- sin2x 3 - 2x + x 2 7)y=tanx cosx 8) y = 9) y=sin2x
Funktsiooni mõiste ja omadused. Elementaarfunktsioonid. 2. Jada piirväärtus. Arv e. 3. Funktsiooni piirväärtus. Joone asümptoodid. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Funktsiooni pidevus. Lõigul pidevate funktsioonide omadused. 4. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel
( 3 = 3 x x)' 2 3 ja ruutjuurealune x ei tohi olla null, sest vastasel juhul pole funktsioonid määratletavad. 2) MÄÄRAMATA INTEGRAAL Pole raske taibata, et ühel funktsioonil võib olla mitu, kui isegi mitte lõpmata hulk algfunktsioone. Uurime: On antud funktsioonid: Leiame nende kõikide tuletised: Kõikide ühine tulemus: x3 x 3 3 ' f(x) = 3 = x2 2 x x3 x3
Funktsioonide tuletised: (e ) = e x x (a ) = a x x ln a c = 0 ( ln x ) = 1 x = 1 x ( x ) = 2x 2 ( log a x ) = 1 x ln a ( x ) = 3x 3 2 (sin x ) = cos x 1 1 =- 2 (cos x ) = -sin x x x ( x ) = 2 1 x ( tan x ) = 1 cos 2 x (x ) = nx n n -1 [ u ( x ) + v( x ) ] = u ( x ) + v ( x ) [ u ( x ) - v( x ) ] = u ( x ) - v ( x ) [c u ( x )] = c u ( x ) (
FUNKTSIOONIDE TULETISED Funktsiooni y=f(x)tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f ( x + x)- f ( x) f ' ( x)= lim ¿ x 0 x Funktsiooni summa ja vahe tuletis [f (x) + g (x) ]' = f ' (x) + g ' (x) [f (x) - g (x) ]' = f ' (x) - g ' (x) Funktsiooni korrutise tuletis [f (x) * g (x) ]'= f ' (x) *g (x) + f (x) * g ' (x) Funktsiooni jagatise tuletis [ ] f (x) g(x) '= f ' ( x)g (x )- f ( x )g ' ( x) [ g ( x) ] 2 TULETISTE VÄÄRTUSED: (x a )' = a * x a-1 ( a x )' = a x * ln a (e x )' = e x 1 -1 ( )' = 2 x x 1 (log a x)' = xln a 1 (ln x )' = x (sin x)' = cos x (cos x)' = - sind x 1 (tan x)' = cos 2 x 1 x=
Määramatused Tähtsamad tuletised y = f ( u ) u = g( x) y = f u g x - 0 0 0 0 1 0 c = 0 0 x = 1 [ f ( x ) ] = f ( x ) ( ln f ( x ) ) Piirväärtus
Lause 2. Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad puntis x ja on konstant, siis selles punktis on diferentseeruvad ka funktsioonid cf(x), ja täiendaval eeldusel ka f(x)/g(x), kusjuures Tõesta neid. Kerge. 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Liitfunktsiooni tuletis: Lause 1. Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures N1. Leiame funktsiooni y=sin2x tuletise. Olgu u=sinx ja y=u2. Seega Näitan, et teatud eeldustel peab paika seos N2. Leian tuletise: Lause 2. Kui lõigul [a, b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Ehk Tõestus. Leian funktsiooni N
1. Diferentsiaalvõrrandi üld- ja erilahend. Väärtus ja raja ülesanne Def 1.1 Võrrandit, milles osalevad sõltumatu muutuja, tundmatu funktsioon ja selle tuletised nim diferentsiaalvõrrandiks. (1.1) F(x, y(), y'(), ...)=0 Kui otsitav funktsioon y sõltub ainult ühest muutujast, siis seda nim harilikuks diferentsiaalvõrrandiks. Kui otsitav funktsioon sõltub mitmest muutujast, siis on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrranditega. Kõrgema järguga tuletis dif.võr määrab ära selle võrrandi järgu. Esimest järku dif võrrand on (1.2) Def 1.2 N-järku dif.võr (1
Def1. Piirväärtust limx 0y/x nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x. T1. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x, siis on funktsioon pidev sellel kohal. T2. Kui on olemas tuletised f' (x ) ja g' (x ), siis on olemas ka tuletised: a) [f(x)+g(x)]', b) [f(x)-g(x)]', c) [f(x)g(x)]', d) [f(x)/g(x)]',(kui g(x)0), kusjuures kehtivad järgmised seosed: a) [f(x)+ g(x)]' =f'(x)+g'(x), b) [f(x)-g(x)]' =f' (x)-g' (x), c) [f(x)g (x)]' = f'(x)g (x)+f(x)g '(x), d) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g2(x) , (kui g(x) 0). T3. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x ja funktsioonil f on olemas tuletis vastaval kohal u = (x ), siis on ka liitfunktsioonil F olemas tuletis kohal x, kusjuures kehtib seos F' (x ) = f' (u)' (x ). T4
Tuletised võimaldavad: 1. Nimetada asju ja nähtusi neile iseloomuliku tu nnuse järgi 2. Märkida kogu 3. Väljendada naissugu 4. Väljendada suhtumist ja hinnangut ning täpsustada Tuletised võimaldavad: 1. Nimetada asju ja nähtusi neile iseloomuliku tu nnuse järgi 2. Märkida kogu 3. Väljendada naissugu 4. Väljendada suhtumist ja hinnangut ning täpsustada suurust. 1. Asju ja nähtusi märkivad tuletised; kõige rohkem liiteid. Tegevuse väljendamine: mine -liiteline teonimi. TEGEVUS: -mine : istumine, sittumine, -us: armastus, sittus, suurust. 1. Asju ja nähtusi märkivad tuletised; kõige rohkem liiteid. Tegevuse väljendamine: mine -liiteline teonimi
Nimisõnatuletus 1.Asju ja nähtusi märkivad tuletised 2.abstraktse tähendusega nimisõnad -us -lus -mus -ndus -lik+us = likkus 3.Isikunimetused : sööma sööja 4.Eset, looma, taime või muud sellist märkivad tuletised 5.Rühma ja kogu märkivad tuletise 6.Naissugu väljendavad tuletised 7.Suhtumist ja väiksuse mõõdet väjendavad tuletised -lane liide 1.Nimest moodustatud tuletised: Dehli = dehlilane, Muhu = muhulane 2.Võõrnime kuju säilib üldjuhul ka tuletises: Rostock = rostocklane, Taiwan = taiwanlane Võib kasutada ka ülakoma : Bordeaux = bordeaux'lane 3.Sidekriipsuga nimest moodustatud üks sõna : Kohtla-Järve = kohtlajärvelane 4
= (sin x ) cos x - sin x(cos x ) cos 2 x = ( ) cos 2 x - - sin 2 x = 1 2 cos x cos 2 x Ülesanne (kodus): Leida y = cot x tuletis. 6 Liitfunktsiooni diferentseerimine Teoreem Kui funktsioonidel ( x) ja f (u ) on lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja u = (x), siis on liitfunktsioonil F ( x) = f [ ( x)] kohal x lõplik tuletis F (x), mis avaldub kujul F ' ( x) = f (u ) ( x). Märkus Kui funktsioon y = F(x) on selline, et teda võib esitada kujul y = f (u), u = (v), v = (x), siis F´(x) = f´(u) ´(v) ´(x). 7 Näide 1 On antud funktsioon y = sin[(ln x)3]. Leida y'(x). dy
ristkoordinaadid 16. Kirjeldada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamist. Diferentsiaalvõrrandi F=(x,y,y') lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y = y (x), mille asendamisel võrrandisse saame samasuse. Näide Näidata, et funktsioon on diferentsiaalvõrrandi lahend (C1 ja C2 on suvalised konstandid). ja asendades lahendi y (x) ning 2. järku tuletise algvõrrandisse, saame samasuse: ( sin cos ) ( sin cos ) 0 1 2 1 2 - C x - C x + C x +C x 3 Lahendus: Leiame tuletised (POLE VAJA) Näide y'+1=0 y=-x sest(-x)'=1 y=-x+c, c=const(-;) Eralduvate muutujatega DV Eralduvate muutujatea diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul...jne(Slaid21-22jne, loeng10) Tõestamisülesanded 1. Tuletada funktsiooni y = sin x tuletise valem. Teoreem: Funktsiooni y = sin x tuletis on cos x. x + x - x x + x + x y = sin( x + x ) - sin x = 2 sin * cos
MATEMAATILINE ANALÜÜS I Kui leidub punkt * lõigult , nii, et iga teise punkti korral samalt lõigult kehtib võrratus ! * ! , siis nimetatakse arvu ! * funktsiooni ! vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul , . 14) Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. Funktsiooni ! tuletis punktis on defineeritud: ! ! !a lim ,+ Kui funktsioon ! omab punktis lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 15) Funktsiooni diferentsiaali definitsioon
ax(a>0) korral (a x )' = a x (ln a x )' = a x (ln a x )' = a x ( x ln a )' = a x ln a astmefunktsioon x a ( x 0) korral aga ( x )' = x (ln x )' = x a a a a (ln x )' = x a(ln x )' = x a 1x = ax a a a a -1 20. Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised y = sin x y = sin ( x + x ) - sin x = sin x cos x + cos x sin x - sin x = cos x sin x - sin x(1 - cos x ) cos x sin x - sin x(1 - cos x ) sin x 1 - cos x lim = cos x lim - sin x lim = x 0 x x 0 x x 0 x = cos x - sin x lim (1 - cos x )(1 + cos x ) = cos x - sin x lim sin 2 x =
eksisteerib kaldas., kui ei, siis mitte. 35. Määramata integraali omadused Selles punktis tõestame kolm määramata integraali omadust ja kasutame neid omadusi integreerimisel. Omadus 1. [ f ( x ) + g ( x )]dx = f ( x )dx + g ( x )dx , s.t. kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga. Kaks määramata integraali on võrdsed, kui nad erinevad teineteisest ülimalt konstandi võrra ehk nende tuletised on võrdsed. Näitame seda. Võttes vasakult poolt tuletise, saame punkti 4.1.1 järelduse 1 abil, et ( [ f ( x ) +g ( x )]dx ) = f ( x ) +g ( x ) . Paremalt poolt tuletist võttes kasutame sama järeldust ja tuletise vastavat omadust: ( f ( x )dx +g ( x )dx ) =( f ( x )dx ) +( g ( x )dx) = f ( x ) +g ( x ) . Omadus 2
Inertsmoment #DIV/0! I, kg*m² Mida rohkem on =f(M) graafik sarnane sirgele Linear, seda ligilähedasem on saadud tulemus (idealiseeritud) teoreetilisele kujule Tuletised Jõumomendi jaoks Tuletised Nurkkiirenduse jaoks m D t h h1 D t #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! Uc(m) Uc(D) Uc(t) Uc(h) Uc(h)
Sõnamoodustus Liitmine Tuletamine Otsetuletus Tagasituletus Liitsõnad Põhiosa + täiendosa Tuletised Nimisõnatuletis Produktiivsed ja ebaproduktiivsed tuletised Tegusõnade vormistik EESTI KEEL VENE KEEL Pöörded Ainsus 1.pöördkond Mitmus 2.pöördkond Kõneliigid Jaatav kõne Eitav kõne Aeg Olevik Olevik
Tuletise leidmine diferentseerimine. Diferentsiaalarvutus matemaatilise analüüsi osa, mis käsitleb tuletise leidmist, omadusi ja rakendusi. Funktsiooni f diferentseeruvus punktis x lõpliku tuletise f (x) olemasolu.selles Punktis. Pidevus ja diferentseeruvus: iga punktis x diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis. 2.Tehetega seotud diferentseerimisreeglid Teoreem 9. Kui funktsioonidel u = u (x) ja v = v (x) eksisteerivad lõplikud tuletised u punktis x ,siis ka funktsioonidel u+v, uv, uv, eksisteerivad lõplikud tuletised v punktis x, kusjuures 10 (u ± v) =u ± v, 20 (uv) =u v+ vu, 30 (cv) = cu, c=const u u v - v u 40 ( ) = , v( x) 0. v v2 3. Liitfunktsiooni tuletis Teoreem 10. Kui funktsioonidel u = (x) ja y = f (u ) eksisteerivad lõplikud tuletised
Integraal on funktsiooni piirväärtuste summa. 2. Esitada ja tõestada määramata integraali f ( x ) dx. omadused. · TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga: On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx . Nende integraalide summa: f(x) dx + g(x) dx = [f(x) + g(x)] dx TÕESTUSEKS LEIAME TULETISE MÕLEMAST POOLEST, NII VASAKUST KUI KA PAREMAST ja tuletised peavad andma sama tulemuse, teeme tagurpidise tehte, kontrollime, kas mõlemad funktsioonid on ühe sama funktsiooni algfunktsiooniks: ([f(x) + g(x)] dx)' = f(x) + g(x) ( f(x) dx + g(x) dx )' = (f(x) dx)' + ( g(x) dx )' = f(x) + g(x) f(x) + g(x) = f(x) + g(x) · TEOREEM 2: Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette; kui a = const, siis af(x) dx = a f(x) dx
Kontrolltöö Organismide koostis 1) Lõpeta laused a) 4 enamlevinud keemilist elementi rakus on Hapnik (O), Süsinik (C), Vesinik (H), Lämmastik (N). b) Ateroskleroos (veresoonte lupjumine) on sageli põhjustatud kolesterooli piisivast liiast veres. c) Aminohappejäägid valgu molekulist on seotud peptiid sidemetega. d) Nukleotiid koosneb 1) lämmastikualusest 2) viiesüsinikulisest suhkrust 3) ühest fosfaatrühmast. e) Loomorganismides säilitatakse glükoosivarud peamiselt maksas ja lihastes loomse tärklise ehk glükogeeni molekulidena. f) Valgu primaarstruktuuriks nimetatakse aminohapete täpset ja unikaalset järjestust. g) Valgu denaturatsiooniks nimetatakse valgu struktuuri alandamist väliste tegurite toimel. 2) Leia õige vastus a) Valgud koosnevad 1) aminohapete jääkidest b) Sahhariidide põhiülesanne rakus on 2) olla energeetiliseks varuaineks c) Steroidid on 1) vees mittelahustuvad lipiidid 3) Leia omavahel sobivad paarid ja ühenda numbrid t
1. Antud on funktsioonid f(x) = logx ja g(x) = -1 1.1. Skitseeri ühes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud; 1.2. Leia millistes punktides on nende funktsioonide väärtused võrdsed; 1.3. Leia milliste argumendi x väärtuste korral on funktsiooni f(x) väärtused väiksemad funktsiooni g(x) väärtustest; 1.4. Leia funktsiooni f(x) väärtus, kui x = 10 cos 4 2. On antud funktsioon y =x 3 -5x 2 . Leia selle funktsiooni 2.1. nullkohad; 2.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 2.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 2.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 2.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 2.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 5. 3. Antud on funktsioonid f(x) = sin2x ja g(x) = sinx. 3.1. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 3.2. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud lõigus [0;2] ; 3.3. leia
tuletis. Kahe funktsiooni korrutise tuletis. Astmefunktsiooni tuletis. Kahe funktsiooni jagatise tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Funktsiooni teine tuletis. Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised. Eksponent- ja logaritmfunktsioon i tuletis. Tuletiste tabel. Puutuja tõus. Õpilane: Lõiming läbiva Tuletise rakendused Joone puutuja 1) koostab funktsiooni graafiku teemaga võrrand. puutuja võrrandi; keskkond ja
dx = -dt, x = -a t = a, x = 0 t = 0] = = = [määratud integraali väärtus ei sõltu argumendi tähistusest] = . Lause3 Kui paaritu funktsioon f(x) on integreeruv lõigul [-a, a], siis . Tõestus. Kui funktsioon y = f(x) on paaritu funktsioon, siis saame [teostame esimeses liidetavas muutujate vahetuse x = -t, dx = -dt, x = -a t = a, x = 0 t = 0] = . Lause4 Kui funktsioonide u(x) ja v(x) tuletised u'(x) ja v'(x) on integreeruvad lõigul [a; b], siis . Integraali rakendused Lause1 Kui f(x) ja g(x) on integreeruvad funktsioonid lõigul [a; b] ning f(x) g(x), siis joonega y = f(x), y = g(x), x = a ja x = b piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala S avaldub kujul . Lause2 Olgu lõigul [a; b] pidev funktsioon y = f(x) 0 antud parameetriliste võrranditega , kusjuures (t) on rangelt monotoonne pidevalt diferentseeruv funktsioon lõigul [; ]
Liite abil saame moodustada uut mõistet väljendava sõna. (Eesti eestlane, must - mustikas) Liite abil saame täpsustada tuletusaluses märgitud tähendust. (Laulja lauljanna) Liide võimaldab muuta tuletusaluse sõnaliiki vastavalt sellele,millise lauseliikmena sõna esineb. (arukas om, arukus nim, arukalt määrus) Tuletise tähendus. Tuletustüve tähendus Kontekst Tava, kokkulepe (põlvik, sõrmik, malend) -lane. Lane- tuletised märgivad isikut, eeskätt isikut rahvuse, päritolu või elukoha järgi. Eestlane, rootslane. Aga mesilane, koerlane, pärdiklane. Omadussõnatuletus. -ne, -line, -lik -tu, -kas, -jas, -ik, -lane, -s -ne määrdumine, väline, juhuslik, ajutine kokkupuude millegiga. piima+ne, pudru+ne, tolmu+ne suurus, maht, ulatus vms. tunni+ne, majakõrgu+ne, vaksane (vaksapikkune) -line 1. Tuletised, mis näitavad mingi olulise, olemusliku tunnuse olemasolu. joone+line, täpi+line 2
Matemaatika valemid VÕRRANDID JA VÕRRATUSED ruutvõrrand murdvõrrand nimetaja ei võrdu nulliga! vajadusel leian ühise nimetaja kontroll! juurvõrrand võtan mõlemad pooled ruutu trigonomeetriline võrrand - logaritm eksponentfunktsioon ja eksponentvõrrandid 1. eksponentvõrrand 2. eksponentvõrrand 3. kolmeliikmeline eksponentvõrrand ehk logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2. asendusvõte 3. logaritmi definitsiooni kasutamine võrrandisüsteem ja võrratussüsteem liitmis- või asendusvõte! GEOMEETRIA Tasandilised kujundid kolmnurk Heroni valem: r – siseringjoone raadius täisnurkne kolmnurk koosinusteoreem siinusteoreem R – ümberringjoone raadius ruut ristkülik rööpkülik trapets romb ringjoon, ring, sektor
Võttes x = b, saame F(b) = G(b) + C = G(b) + F(a): Seega G(b) = f (x)dx = F(b) - F(a) 21. Muutujavahetus määratud integraalis Lause Kui f(x) on lõigul [a, b] pidev funktsioon ja on pidevalt diferentseeruv funktsioon lõigul , kusjuures ja siis Kui ja on pidevalt diferentseeruv lõigul, kusjuures ja , siis 22. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. Kui funktsioonide ja tuletised on integreeruvad lõigul , siis Tõestus Kui ja on integreeruvad lõigul , siis on integreeruvad ka ja . Kahe integreeruva funktsiooni korrus on integreeruv, seega on integreeruv Integreerime lõigul 23. Taylori valemi jääkliikme integraalkuju Kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a kõik tuletised kuini järguni n , siis saame n- järku Taylori valemi f(x) =
2) lim 3 4 = lim 4 2 = = x- x - 3x x- x x -3 0-3 3 2x limx (( 2x) 2 2 3) lim = (L H) = = lim = = 0. x x - ex (x - ex ) x 1 - ex - 2. Leida tuletised y (x) (2p): 2e2x + x y= 2 + sin x, y= , 2x3 + 2 Lahendus. 1 1 1) y = ( 2 + sin x) = (2 + sin x) = cos x. 2 2 + sin x 2 2 + sin x
lõigul [a; b]. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3
Mata eksami kordamisküsimused 1. Determenandi põhiomadused. Alam D ja minoor. Crameri meetodil võrrandsüsteemi lahendamine · Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud ümber paigutada. See omadus väljendab determinantideridade ja veergude samaväärsust. · Kui determinandis kaks rida omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. · Determinandi mingi rea kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga korrutub kogu determinant selle teguriga. See omadus võimaldab D-i rea või veeru elementide ühist tegurit D-i märgi ette tuua, mis harilikult lihtsab tunduvalt arvutusi. · Kui D-s on kaks rida omavahel võrdsad, siis D võrdub nulliga. Seega on eelmise omaduse tõttu D võrdne nulliga ka siis kui D-i kaks rida on võrdelised. · Kui D-s mingi rea iga element kujutab kahhe liidetava summa siis laguneb D kahe sama järku D- i summaks, kui esimeses D-s koosneb vaad
Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised. (tapsemini, mitte ulalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f(a)) funktsiooni graafikule. Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hulgal X, kui sellefunktsiooni graafik on kumer hulga X igas punktis.
annaabi.ee 
