Kell, mille suhtes keha liigub kiirusega v näitab aja vahemiku t, ehk omaaeg on minimaalsem. 6) Milline suurus ERT ei sõltu taustsüsteemi valikust? Valem Valguskiirus 7) Massi sõltuvus liikumise kiirusest. Valem : Keha mass sõltub liikumise kiirusest. (m)-mass mõõdetuna süsteemis mille suhtes toimub liikumine (m0)-seisumass (v)- keha kiirus vaatleja suhtes (c) - apsoluutkiirus 8) Massi ja energia ekvivalentsi valem? E = mc2 ekvivalentsi energia (E) ja massi (m) valguse kiirus vaakumis (c2) 9) Seisu energia - Energia, mis vabaneb elementaarosakeste muundumisel seisumassita osakesteks. 10) Ülesanded 11) Omaajaks nimetatakse ajavahemikku kella suhtes, mis on liikumatu uuritava keha jaoks. 12) Ekvivalentsusprintsiip: inertsi ja gravitatsiooni nähtused on loomult ühtsed ja füüsikaliselt sama olemuslikud. 13) ÜRT põhivõrrand ja tähtede tähendused. G-einsteini tensor(16komponenti)
Hulgateooria valemid Valemite õigsus ja põhjendatus Hulgateooria tähestiku põhisümbolid Î elemendiks olemise seos = võrdseks olemise seos Ø eituse operaator & konjunktsiooni operaator („on see ja on too“) Ú disjunktsiooni operaator („on see või on too“) É implikatsiooni operaator („kui on see, siis on too“) Û ekvivalentsi operaator („see ja too on samaväärsed“) " üldsuse kvantor („kõik“) $ olemasolu kvantor („mõni“) Hulkade tähisteks on tavaliselt mingi „klassikalise alfabeedi“ (nt kreeka või ladina tähestiku) tähemärgid Märkus. Lisaks tähistele (millel peavad olema tähendused) on meil edaspidi vaja mitmeid nn abisümboleid, nagu nt sulud, punktid, komad, semikoolonid jms Kokkulepe. Vajadusel võtame kasutusele uusi tähiseid kirjutiste tähistamiseks. Üheks
Lause on väär vaid siis, kui mõlemad p ja q on väärad (0). Implikatsioon p →q. Lause on väär ainult siis, kui p on tõene ja q on väär. Implikatsioon on tõene parajasti siis, kui tehte esimeselt komponendilt teisele liikudes ei teki tõekadu. Lühemalt: lausearvutuses on kasutusel materiaalne implikatsioon, mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär. Ekvivalents p↔q. Loomulikus keeles on ekvivalentsi indikaatoriteks väljendid … siis ja ainult siis, kui … ; … parajasti siis, kui … ; tarvilik ja piisav tingimus; ühekorraga. Lause on tõene siis, kui oponendid on korraga tõesed või väärad. Antiekvivalents p ⊕q (välistav disjunktsioon) Emb-kumb, kas...või... p ⊕q on tõene parajasti siis, kui p ja q tõeväärtused on erinevad. Lausearvutuse tehete järjekord: 1) tehted sulgudes 2) tehted eitusega 3) konjunktsioon 4) disjunktsioon 5) implikatsioon 6) ekvivalents
arvutusoperatsiooni mõistest. · Olgu hulk M selline, mis koosneb näiteks arvudest, funktsioonidest, vektoritest, maatriksitest, sõnadest, sündmustest jne või ükskõik millistest ühelaadsetest objektidest. Edaspidi nim hulka M elementideks. M= {a,b,c,....} · Edasises loeme kehtivaks järgmised 3 omadust: (1-3) 1. a=a - refleksiivsus 2. a=b, siis ka b=a - sümmeetria 3. a=b ja b=c, siis a=c - transitiivsus · Neid 3 omadust nim ka Ekvivalentsi postulaadid. · Def1: Kui hulga M igale kahele kindlas järjekorras võetud elementide paarile (a;b) on seotud mingi eeskirja f alusel vastavusse üks kindel element f(a;b), siis öeldakse, et hulgas M on defineeritud ühene arvutusoperatsioon ehk ühene tehe. · Def2: Hulka M, kus on defineeritud vähemalt üks arvutusoperatisoon ehk tehe nim algebraliseks süsteemiks. Kui mistahes a ja b korral hulgast M ilmneb ka, et f(a;b) M, siis öeldakse, et hulk M
Kui struktuurilis-metakeeleliste erinevuste tõttu ei saa teatud stilistilisi efekte transponeerida ilma süntaktilist järgnevust või isegi sõnavara muutmata, siis kasutatakse keerulisemaid protseduure, mis lubavad tõlkijatele rangemat kontrolli nende tööde usaldusväärsusele. See tähendab, kui otsesest tõlget pole võimalik kasutada (nt puudub tähendus, annab uue tähenduse; on vastav väljend, kuid teisest registrist) kasutatakse kaudset: transpositsiooni, modulatsiooni, ekvivalentsi või adaptsiooni. Protseduur 4 Transpositsiooni (,,ümbervahetamine") on ühe sõnaklassi ümbervahetus teisega, tähendust muutmata (nt verb asendub nimisõnaga). See on eriline tõlkeprotseduur, mida saab kasutada ka ühe keele siseselt. On olemas kaks eri tüüpi transpositsiooni: kohustuslik ja valikuline. Kohustuslik: mineviku kontekstis ,,dès son lever" (upon her rising) - ,,as soon
Ü x1 x2 Võrreldes tehteid VÕI ja "välistav VÕI" ( OR ja XOR ) ilmneb T nende sarnasus. Erinevus on ainult argumendiväärtuste kombinatsiooni T Loogikatehe (ehk 2-he muutuja funktsioon) "summa mooduliga 2" on x1 x2 : 1 1 korral. ekvivalentsi inversioon: Tehe XOR väärtustub 1-ks siis, kui kas esimene või teine operand ________ _______ (kuid mitte mõlemad korraga) on 1. x1 x 2 = x 1 x 2 samuti: x1 x2 = x1 x2
määratud relatsioon x2 y R = {(x, y) : 2 = } y x on ekvivalents. 2 Lahendus. Võrdus xy2 = xy on samaväärne võrdusega x3 = y 3, sest põhi- hulga elemendid on positiivsed reaalarvud. Järelikult võib relatsiooni esitada kujul R = {(x, y) : x3 = y 3 }. Kontrollime ekvivalentsi omaduste kehtivust. · Relatsioon on refleksiivne, sest iga positiivse reaalarvu x korral kehtib x3 = x3 , st (x, x) R. · Relatsioon on sümmeetriline, sest kui x3 = y 3, siis ka y 3 = x3 , st kui (x, y) R, siis ka (y, x) R. · Relatsioon on transitiivne, sest kui x3 = y 3 ja y 3 = z 3 , x3 = z 3 , st kui (x, y) R ja (y, z) R, siis ka (x, z) R. Seega see relatsioon on ekvivalents. Materjal õpikus. Lk 9092 (ekvivalentsirelatsioon). Lk 9495, ülesanded
korral võrdseks muutujate aritmeetilise summaga, millele on rakendatud moodulit 2. välistav või, kuna erinevus või ja välistava või vahel on ainult see, et x1x2=11 puhul osutub välistava või puhul see 0-ks, kui või puhul on see 1. Operandiväärtused 1 nagu välistaksid vastastikku teineteise, sealt tulenebki välistav või nimetus. Millise loogikatehte inversiooniks on loogikatehe summa mooduliga 2? Ekvivalentsi. millise 2 tähelise lühendiga tähistatakse loogikatehet summa mooduliga 2? XOR (eXclusice OR) Kuidas avaldatakse tehet summa mooduliga 2 elementaarsete loogikatehete kaudu? Vt lk 180 ülevalt. Mida teeb avaldisele konstandi juurdeliitmine tehtega summa mooduliga 2? inverteerib avaldise väärtuse vastupidiseks. Milline on tulemus paaris ja paaritu arvu konstandi 1 kokkuliitmisel tehtega summa mooduliga 2?
Algebralised süsteemid Algebralise süsteemi mõiste kaasneb hulga mõistest ja algebralise tehte ehk arvutusoperatsiooni mõistest. Olgu hulk M selline, mis koosneb arvudest, funktsioonidest, vektoritest võik ükskõik millistest samalaadsetest elementidest, milliseid edaspidi nimetatakse hulga elementideks. M = {a; b; c;....} a = b korral loeme kehtivaks järgmised 3 omadust: ( ekvivalentsi postulaadid 1. a = a refleksiivsus 2. kui a = b, siis ka b = a sümmeetria 3. kui a = b ja b = c, siis ka a = c transitiivsus Def1 Kui hulga M igale kahele kindlas järjekorras võetud elemendi paarile (a; b ) on seotud mingi eeskirja f alusel vastavusse üks kindel element f (a; b), siis öeldakse, et hulgas M on defineeritud arvutusoperatsioon ehk tehe. Def2 Hulka, kus on määratud vähemalt üks arvutusoperatsioon
De Morgani seadused a. (F&G)=FvG (FvG)=F&G 7. Kahekordse eituse seadus a. FF 8. Liikmete elimineerimise reeglid a. F&T=F F&V=V FvT=T FvV=F 9. Implikatsiooni avaldis konjukstiooni ja disjunktsiooni kaudu a. FG(F&G) FGFvG 10. Konjuktsiooni ja disjunktsiooni avaldis omplikatiooni kaudu a. F&G=(FG) FvG=FG 11. Ekvivalentsi avaldis teiste tehete kaudu a. FGF&GvF&G FG(FG)&(GF) Järeldumine on olukord, kus mingi lause loetakse tõeseks, viidates mingite teiste lausete tõesusele. Järeldumine võib aset leida mitmel põhjusel. Def. Ütleme, et valemitest F1, F2, ..., Fn järeldub valem G, kui igal neis valemeid esinevate muutujate väärtustel, millel F1, F2, ..., Fn on tõesed, on ka G tõene. Asjaolu, et valemist F1, F2, ..., Fn järeldub valem G, tähistatakse F1, F2, ..
esitatakse märgiga | (Shefferi kriips) 𝑥1𝑥2̅=𝑥1|𝑥2 . 3-muutuja loogikafunktsioone on 256. ⊕ nimetus „summa mooduliga 2“ tuleneb sellest, et F-ni väärtus osutub muutujaväärtuste kõigi nelja kombinatsiooni korral võrdseks muutujate aritmeetilise summaga, millele on rakendatud moodulit 2: (0+0)𝑚𝑜𝑑2)=0𝑚𝑜𝑑2=0 ;(0+1)𝑚𝑜𝑑2=1𝑚𝑜𝑑2=1 ;(1+0)𝑚𝑜𝑑2=1𝑚𝑜𝑑2=1 ; (1+1)𝑚𝑜𝑑2=2𝑚𝑜𝑑2=0 . Summa mooduliga 2 on ekvivalentsi inversioon. Omadused 𝑥⊕𝑥=0 𝑥⊕1=𝑥̅ 𝑥⊕0=𝑥 𝑥⊕𝑥̅=1 0⊕1=1 1⊕1=0 1⊕1⊕1=1 DNK/KNK saab TDNK/TKNK kleepimisseadusega nt 𝑥1=𝑥1𝑥2∨𝑥1𝑥2̅ nt 𝑥1=(𝑥1∨𝑥2̅) (𝑥1∨𝑥2) DNK saab KNK-ks sulgude lahtikorrutamise/lahtiliitmise abil. 𝑓0(𝑥1𝑥2)=0 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 0 𝑓1(𝑥1𝑥2)=𝑥1𝑥2 𝑘𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑘𝑡𝑠𝑖𝑜𝑜𝑛
5
· Elemendi aA ekvivalentsiklass ekvivalentsisuhtes R - K(a) = { b | < a,b > R }
Ekvivalentsisuhe genereerib tükelduse P hulgal A.
Tükeldus P koosneb ekvivalentsiklassidest Ki , i=1,...,n.
P = { K1, K2, ..., Kn }, kus Ki , i=1,...,n;
Ki Kj = , i,j=1,...,n, i j;
Ki = A.
0-tükeldus (nulltükeldus) koosneb 1-elemendilistest ekvivalentsi klassidest, 1-tükelduses
(ühiktükelduses) on ainult üks ekvivalentsiklass.
Operatsioonid tükeldustega:
P1 · P2 : (a1 a2 (P1 · P2 )) (a1 a2 (P1 )& a1 a2 (P2 ))
P1 + P2 : (a1 a2 (P1 + P2 )) (a1 a2 (P1 )V a1 a2 (P2 ))
P1 P2 P1 · P2 = P1 [ Ki P1 ( Kj P2 [ Ki Kj ])]
Ülesandeid vastavuste ja suhete temaatikal
· A = { a,b,c,d,e } B = { x,y,z,w } C = { 1,2,3,4 }
1 A x B 1 = {
Ekvalentsisuhe R on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne. Elemendi aA ekvivalentsiklass ekvivalentsisuhtes R - K(a) = { b | < a,b > R } Ekvivalentsisuhe genereerib tükelduse P hulgal A. Tükeldus P koosneb ekvivalentsiklassidest Ki , i=1,...,n. P = { K1, K2, ..., Kn }, kus Ki , i=1,...,n; Ki Kj = , i,j=1,...,n, i j; Ki = A. 0-tükeldus (nulltükeldus) koosneb 1-elemendilistest ekvivalentsi klassidest, 1-tükelduses (ühiktükelduses) on ainult üks ekvivalentsiklass. Operatsioonid tükeldustega: P1 P2 : (a1 a2 (P1 P2 )) (a1 a2 (P1 )& a1 a2 (P2 )) P1 + P2 : (a1 a2 (P1 + P2 )) (a1 a2 (P1 )V a1 a2 (P2 )) P1 P2 P1 P2 = P1 [ Ki P1 ( Kj P2 [ Ki Kj ])] Ülesandeid vastavuste ja suhete temaatikal A = { a,b,c,d,e } B = { x,y,z,w } C = { 1,2,3,4 }
kuulub relats iooni j a 0 vas tas el korral. J uhul kui A = B s aame ruut maatr iks i. Ü les an n e Antud on hulk A ={ 1,2,3,4,5,6} . B= A . D efineeri me relats iooni aRb nii et b j agub a-ga (j aguvus relats ioon). Es itada s ee relats ioon maatriks i kuj ul. Täps us ta me, et ralats iooni maatriks es i tus pole ühene, s es t hulkade elemente s aab j ärj es tada mit me l viis il. M aatriks es itus on väga s obiv arvutis kas utamis eks . 3. Ekvivalentsi ja järjestusrelatsioon (R.Palm järgi) H ulgal A määratud relats iooni ni meta taks e R ef leks iivs ek s , kui iga a A korral (a,a) R iga element is eendaga paaris A n tiref lek s iivs ek s , kui iga a A korral (a,a) R ei s is alda paare is eendaga S üm m eetrilis ek s , kui iga (a,b) R korral alati ka (b,a) R (a,b) ja (b,a)s ees A n tisü m m eetrilis ek s , kui iga (a,b) R ja (b,a) R korral alati a= b ei tohi olla s ümmee tri lis i paare
kuulub relats iooni j a 0 vas tas el korral. J uhul kui A = B s aame ruut maatr iks i. Ü les an n e Antud on hulk A ={ 1,2,3,4,5,6} . B= A . D efineeri me relats iooni aRb nii et b j agub a-ga (j aguvus relats ioon). Es itada s ee relats ioon maatriks i kuj ul. Täps us ta me, et ralats iooni maatriks es i tus pole ühene, s es t hulkade elemente s aab j ärj es tada mit me l viis il. M aatriks es itus on väga s obiv arvutis kas utamis eks . J ärgmin e kord 3. Ekvivalentsi ja järjestusrelatsioon (R.Palm järgi) H ulgal A määratud relats iooni ni meta taks e R ef leks iivs ek s , kui iga a A korral (a,a) R A n tiref lek s iivs ek s , kui iga a A korral (a,a) R S üm m eetrilis ek s , kui iga (a,b) R korral alati ka (b,a) R A n tisü m m eetrilis ek s , kui iga (a,b) R ja (b,a) R korral alati a= b T ran s itiivs ek s , kui iga (a,b) R j a (b,c) R korral ka (a,c) R R efleks iivne on näiteks samas us relats ioon.
Kui signatuur on lõplik või loenduv, siis loenduvast suuremate kandjate vaatlemine pole vajalik t on juba olemasolev sisse toodud tähis ja c on uus konstant, mis tuuakse sisse Ütleme, et valem F on prefikskujul, kui F = Q1x1Q2x2 ... QnxnF , kus Q1, Q2, ... , Qn on kvantorid, x1, x2, ... , xn indiviidmuutujad ja F kvantoriteta valem, mida nimetatakse valemi F maatriksiks o Prefikskujule viimise algoritm: Avaldame implikatsiooni ja ekvivalentsi teiste tehete kaudu Viime eitused kvantorite alla Nimetame ümber seotud muutujad Toome kõik kvantorid sulgude ette 4. TÕESTUSTAKTIKAD Teoreemi üldkuju: kui on täidetud eeldused E1, ..., Ne, siis kehtib väide V Väide on kujul B&C Eeldus on kujul B&C Väide on kujul BvC Eeldus on kujul BvC Väide on kujul B->C Eeldus on kujul B->C Väide on kujul B Eeldus on kujul B
3-muutuja loogikafunktsioone on 256. ⊕ nimetus „summa mooduliga 2“ tuleneb sellest, et F-ni väärtus osutub muutujaväärtuste kõigi nelja kombinatsiooni korral võrdseks muutujate aritmeetilise summaga, millele on rakendatud moodulit 2: (0 + 0)𝑚𝑜𝑑2) = 0𝑚𝑜𝑑2 = 0 ; (0 + 1)𝑚𝑜𝑑2 = 1𝑚𝑜𝑑2 = 1 ; (1 + 0)𝑚𝑜𝑑2 = 1𝑚𝑜𝑑2 = 1 ; (1 + 1)𝑚𝑜𝑑2 = 2𝑚𝑜𝑑2 = 0 . Summa mooduliga 2 on ekvivalentsi inversioon. Omadused 𝑥 ⊕ 𝑥 = 0 𝑥 ⊕ 1 = 𝑥̅ 𝑥 ⊕ 0 = 𝑥 𝑥 ⊕ 𝑥̅ = 1 0 ⊕ 1 = 1 1 ⊕ 1 = 0 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1 DNK/KNK saab TDNK/TKNK kleepimisseadusega nt 𝑥1 = 𝑥1 𝑥2 ∨ 𝑥1 ̅̅̅ 𝑥2 nt 𝑥1 = (𝑥1 ∨ ̅̅̅)(𝑥 𝑥2 1 ∨ 𝑥2 ) DNK saab KNK-ks sulgude lahtikorrutamise/lahtiliitmise abil.
Eesti keeles võib sõnapaar kui...siis esineda ka muus tähenduses. Nt: Kui Juku õpib hoolega, siis Juhan tegeleb rohkem lõbutsemisega. (Pigem konjunktsioon.) Implikatsiooni saab avaldada teiste lausearvutuse tehete kaudu p q = ¬p q p q = ¬(p & ¬q) EKVIVALENTS: (equivalence): Lausete p ja q ekvivalentsiks nimetatakse lauset, mis on tõene parajasti siis, kui tema mõlemad komponentlaused on ühesuguse tõeväärtusega. Ekvivalentsi-seosele viitavad väljendid siis ja ainult siis kui (siiss), parajasti siis kui . Nt Kass näub siis ja ainult siis kui koer haugub. Tähistus: p q p q p ~ q p iff q Tõeväärtustabel: p q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Laused on ekvivalentsed, kui
põhjendusega, et sellise implikatsiooni tõesus sõltub vaid operandide tõeväärtustest. Lühemalt: lausearvutuses on kasutusel materiaalne implikatsioon, mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär. 9 EKVIVALENTS (biconditiona, equivalence) Tõeväärtuste Boole’i algebras defineeritakse muutujate p ja q ekvivalents kui binaarne tehe, mille tulem on tõene parajasti siis, kui tema operandide tõeväärtused on ühesugused. Ekvivalentsi kui lausearvutuse tehte tulemi tõeväärtus on sellele tehtele vastava tõeväärtusfunktsiooniga määratud. Lausete p ja q ekvivalents on konkreetse kujuga lause, mille ehituse määrab see, et ta on just lausete p ja q ekvivalents. D7.3.5 Ekvivalents ehk materiaalne ekvivalents on lausearvutuses binaarne tehe, mis annab operandide p ja q korral tulemiks liitlause p↔q. Seda lauset nimetatakse lausete p ja q
. . ,s} korral. p1 q1 pr qr · Seega r = s ja = ,..., = . 7. LOENG Tõestamise erinevad meetodid · Otsene tõestus o Matemaatiline induktsioon o Tõestus alamjuhtude põhjal · Kaudne tõestus o Kontrapositiivne tõestus o Vastuväiteline tõestus · Ekvivalentsi tõestus · Mitme samaväärsuse tõestus · Olemasolu tõestus o Konstruktiivne olemasolu tõestus o Mittekonstruktiivne olemasolu tõestus Otsene tõestus PQ Eeldame, et P on tõene ja näitame, et siis on ka Q tõene Iga järgmine samm toetub eelnevalt näidatud sammule või olemasolevale faktile. Loogiliselt õiges järjekorras arutledes jõutakse lõpuks tulemuseni. Lause Olgu m ja n täisarvud. Kui m ja n on paarisarvud, siis on seda ka m + n. TÕESTUS Olgu m ja n paarisarvud
Lühemalt: lausearvutuses on kasutusel materiaalne implikatsioon, mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär. 9 EKVIVALENTS (biconditiona, equivalence) Tõeväärtuste Boole'i algebras defineeritakse muutujate p ja q ekvivalents kui binaarne tehe, mille tulem on tõene parajasti siis, kui tema operandide tõeväärtused on ühesugused. Ekvivalentsi kui lausearvutuse tehte tulemi tõeväärtus on sellele tehtele vastava tõeväärtusfunktsiooniga määratud. Lausete p ja q ekvivalents on konkreetse kujuga lause, mille ehituse määrab see, et ta on just lausete p ja q ekvivalents. D7.3.5 Ekvivalents ehk materiaalne ekvivalents on lausearvutuses binaarne tehe, mis annab operandide p ja q korral tulemiks liitlause p q. Seda lauset nimetatakse lausete p ja q
Shefferi kriipsuks nimetatakse konjunktsiooni inversiooni. 9. Mitu erinevat 3-muutuja loogikafunktsiooni on olemas? Eksisteerib 256 3-muutuja loogikafunktsiooni. 10. Miks nimetatakse loogikatehet „summa mooduliga 2“ ja välistav VÕI“? Võrdsete operandide korral väärtustub funktsioon 0-ks. 11. Millest tuleneb lühend XOR? Lühend XOR tuleneb inglise keelsest sõnast eXcluseive OR. 12. Millise loogikatehte inversiooniks on loogikatehe summa mooduliga 2? Summa mooduliga 2 on ekvivalentsi inversioon. 13. Millise 3-tähelise lühendiga tähistatakse loogikatehet summa mooduliga 2? Summa mooduliga 2 tähistatakse XOR. 14. Kuidas avaldatakse tehet elementaarsete loogikatehete kaudu? ∨ 15. Mida teeb avaldisele konstandi 1 juurdeliitmine tehtega ? Avaldisele konstandi 1 juurdeliitmine tehtega inverteerib avaldise väärtuse vastupidiseks. 16. Milline on tulemus paaritu arvu konstantide 1 kokkuliitmisel tehtega ? Paaritu arvu konstantide 1
Veel suurema ülekatte määra puhul, on iga sisendi väärtuse puhul aktiivsed vähemalt kaks reeglit, seega on süsteemi väljund alati interpoleeritud kahest või enamast reeglist. See asjaolu muudab reegli globaalses väljundis teatud mõttes nähtamatuks (eristamatuks). Nähtus on viidud äärmuseni 1.0-se ülekatte puhul, kus kõik reeglid on ühekorraga täielikult aktiveeritud ja 3 Jang [9] ja mitmed teised autorid on oma töödes näidanud ekvivalentsi 0-ndat järku TS süsteemide ning radiaalbaasi närvivõrkude vahel. 1.10 Hägusate süsteemide läbipaistvus 25 süsteem väljastab konstantse väärtuse, milleks on väljundi liikmesfunktsioonide ühendi raskuskese. Vaatleme veelkord lähemalt 0.5-se ülekatte juhtumit ja nimetagem punkte, kus globaalne väljund on määratud vaid ühe, täielikult aktiveeritud
Paradoksid: Russelli ehk habemeajaja paradoks (hulga esitamine predikaadi abil): P(X) = true, kui argumendina esitatud hulk pole iseenda elemendiks. P(X) = false, kui argumendina esitet hulk on iseenda elemendiks. Kontrollime hulka Y = {X | P(X)} Eeldades, et Y kuuluks hulka Y, saame P(Y) = false => Y ei kuulu hulka Y Eeldades, et Y ei kuulu hulka Y, saame P(Y) = true => Y kuulub Y Paradokside elimineerimine hulkade hierarhia ja klassifitseerimisega. 2. Relatsioonid. Ekvivalentsi- ja järjestusseosed. Relatsioon ehk seos hulkade A ja B vahel on alamhulk A x B-le. Seos hulgal A on alamhulk A x A-le. Pöördrelatsioon R-1 on relatsiooni täiend. aRb -> Elemendid a ja b on seoses R Refleksiivsus - iga a korral aRa (a on iseendaga seoses) Sümmeetria iga a korral aRb => bRa (kõik seosed on vastastikused) Transitiivsus iga a korral aRb && bRc => aRc (põhimõtteliselt järjestusseos) Ekvivalentsiseoseks nimetatakse seost, mis on refleksiivne, sümmeetriline ja
o Kahekordse eituse seadus: ¬¬F ≡ F . o Liikmete elimineerimise reeglid, kus T on suvaline samaselt tõene valem ja V on suvaline samaselt väär valem: F&T≡F, F&V≡V, F ∨T ≡T , F∨V≡F. o Implikatsiooni avaldis konjunktsiooni ja disjunktsiooni kaudu: F → G ≡ ¬(F & ¬G), F → G ≡ ¬F ∨ G. o Konjunktsiooni ja disjunktsiooni avaldis implikatsiooni kaudu: F & G ≡ ¬(F → ¬G), F ∨ G ≡ ¬F → G. o Ekvivalentsi avaldis teiste tehete kaudu: F ↔ G ≡ F & G ∨ ¬F & ¬G, F ↔G ≡ (F → G) & (G → F Valemite teisendamine samaväärsuste abil 6 Samaväärsuste kasutamine teisendustes seisneb valemi mingi osavalemi asendamises temaga samaväärsega. Nagu algebras, säilitab selline osavalemi asendamine ka siin samaväärsuse ka terve valemi jaoks. Peamised kujud, millele teisendatakse, on: ○ esitused kahe tehte kaudu
Varem oli kuriteos vaid nähtud kurjategijat, keda sai piirata hirmutamisega. 19 saj hakati mõistma, et kuritegevus nakatas inimesi kui teatud tüüpi haigus. Tuli reformida krimanaalõigust. Kanti ja Hegeli kättemaksudeooria ei mõjunud, kuna keskkond oli selline. Tekkis reformistide koolkond, mille juhiks oli Saksa professor Karl Binding (1841-1920). Ta toonitas, et karistuse ülesanne on õiglaselt kätte maksta. Seetõttu nõuti, et sarnaseid juhtumeid tuleb sarnaselt käsitleda (ekvivalentsi printsiip), karistus peab olema kuriteoga samas proportsioonis (proportsionaalsusprintsiip); kurjategija pidi oma tegude eest vastutama (võla printsiip). 19 saj I poolel tegutses ka teine, Anselm von Feuerbachi (1775-1833) juhitud koolkond, mis lõi õpetuse karistusähvarduse psühholoogilise sundefekti kohta. See ei olnud karistus ja selle täideviimise õpetus vaid kriminaalseadus, mis sai kuritegevuse vastu
PÕ kaotama, kõik tahavad midagi juurde anda, ära võtta ei taha keegi. See tahab PÕ stabiilsuse ning isegi kasvu. · Objektiivsed / subjektiivsed õigused Subjektiivne õigus on kolmekohaline relatsioon õiguskandja, õiguse adressaadi ja õiguse eseme vahel. Selle relatsiooni saab ümber pöörata, see on loogilised ekvivalentne. RabE ObaE Objektiivne õigus on kahekohaline relatsioon. ObE (b on kohustatud E-ks) Mingit ekvivalentsi ei ole, sest a-d ei ole. Puhtobjektiivsed kohustused, kus see, kellel on kohustused, on kohutatud seda täitma, kuid kellelgi pole õigus temalt seda nõuda. Valijad valivad, järgmine kord antakse hinnang valitute tegevusele. Poliitiline vastutus on sellega seotud, kui hästi keegi täidab objektiivseid kohustusi. Seal hinnatakse lõppastmes, kui hästi on valitsus hakkama saanud oma ülesannetega. Subjektiivsetel õigustel nõuab §15 see, et seda peab saama ka nõuda
u ¨hesugused lahendihulgad, s.t esimese LVS-i iga lahend on teise LVS-i lahendiks ja vastupidi, teise LVS-i iga lahend on esimese LVS-i lahendiks. LVS-ide ekvivalentsuse t¨ahistamiseks kasutame s¨umbolit 3 Carl Friedrich Gauss (1777-1855), saksa matemaatik 8 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 7.2 Ekvivalentsi omadusi 1) Refleksiivsus: iga LVS on ekvivalentne iseendaga, s.t LV S LV S. 2) S¨ummeetria: kui LV S(1) LV S(2), siis LV S(2) LV S(1). 3) Transitiivsus: kui LV S(1) LV S(2) ja LV S(2) LV S(3), siis LV S(1) LV S(3). 7.3 LVS-i elementaarteisendused LVS-i esimest liiki elementaarteisenduseks nimetatakse LVS-i mis tahes v~orrandi l¨abikorrutamist nullist erineva arvuga. LVS-i teist liiki elementaarteisenduseks nimetatakse LVS-i min-
on väljendatud mingi määratlusetaolise vahendiga. Mis ei ole rangelt võttes korrektne, on öelda, et üks (võõrama keele) termin tähendab teist (tuttavama keele) terminit. Termin, eriti tuttava keele oma, on küll harjumuspärane vahend mõistele viitamiseks, kuid neist mõistetest või tähendustest endist rääkivas metadiskursuses võiks siiski ilmutatumalt rääkida tähendustest, et ei jääks muljet, nagu aetaks segi eri maailmu: designeerimist termini ja mõiste vahel ja ekvivalentsi või samatähenduslikkust kahe termini vahel. 11.7 Mõisteseosed Mõisteseosed on seosed mõistete vahel. Nende tüüpilised kasutusalad on mõistesüsteemide joonistamine, klassikaliste intensionaalsete või ekstensionaalsete määratluste kirjutamine ja masinloetavate tesaurus- te koostamine. Ülemmõiste ja alammõiste ehk laiem mõiste ja kitsam mõiste on vastavalt laiema ja kitsama mõistesisuga mõisted. Hierarhilist mõistesüsteemi on kõige harjumus-
annaabi.ee 
