Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Diskreetne matemaatika - Vastavused; Relatsioonid - moodle testi vastused". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
refleksiivsus, sümmeetria, relatsiooni, graaf, järjestatud, ühene, antitransitiivsus, graafil, injektsioon, sürjektsioon, bijektsioon, täiend, kompositsioon, relatsioonidemoodustavad vastavuse . määramispiirkonna Vastavuses osalevad sihthulga elemendid moodustavad vastavuse . muutumispiirkonna Küsimus 3 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 sisesta õige sõna : Vastavuse W on selline vastavus, kuhu täiend kuuluvad vastavusse W mittekuuluvad järjestatud paarid Küsimus 4 Õige - Hinne 2,00 / 2,00 vali õiged mõisted : Vastavus on mis koosneb hulk järjestatud paaridest Küsimus 5 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 vali õige mõiste : Vastavuse W on selline vastavus, mis pöördvastavus seab vastavuse W sihthulga elementidele vastavaks tema lähtehulga elemente Küsimus 6
Vastavuses osalevad lähtehulga elemendid moodustavad vastavuse määramispiirkonna . Vastavuses osalevad sihthulga elemendid moodustavad vastavuse muutumispiirkonna . Küsimus 3 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 sisesta õige sõna : Vastavuse W täiend on selline vastavus, kuhu kuuluvad vastavusse W mittekuuluvad järjestatud paarid Küsimus 4 Õige Hindepunkte 2,00/2,00 vali õiged mõisted : Vastavus on hulk mis koosneb järjestatud paaridest Küsimus 5 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 vali õige mõiste : Vastavuse W pöördvastavus on selline vastavus, mis seab vastavuse W sihthulga elementidele
Question 3 sisesta õige sõna : Correct Vastavuse W täiend on selline vastavus, kuhu kuuluvad Mark 1.00 out of 1.00 vastavusse W mittekuuluvad järjestatud paarid Question 4 vali õiged mõisted : Correct Vastavus on hulk mis koosneb järjestatud paaridest Mark 2.00 out of 2.00 Question 5 vali õige mõiste :
38. Milline on Cantori täielik normaalkuju? Cantori täielik normaalkuju on selline ühisosade ühend või
ühendite ühisosa, kus igas tehtes osalevad kõik avaldises leiduvad hulgad.
39. Kuidas teisendatakse mittetäielik Cantori normaalkuju täielikuks? Mittetäieliku Cantori normaalkuju
teisendamiseks täielikule Cantori normaalkujule saab puudulikke hulki lisada kleepimisseadusega.
40. Mis on hulkade ristkorrutis? Hulkade ristkorrutis on hulga elementide järjestatud paaride hulk, kus
paari esimene element on esimeseks teguriks olevast hulgast ja paari viimane element on viimaseks
teguriks olevast hulgast.
41. Kuidas esitatakse järjestatud paari?
Asendusseosed on seosed, mille abil saab vahest ja sümmeetrilisest vahest ühendi või ühisosa. Cantori normaalkuju on hulgaavaldise kuju, mis sisaldab ainult ühend, ühisosa, täiend. Minimaalne Cantori normaalkuju on lihtsaim CNK. Täielik CNK on normaalkuju, mille iga avaldise osa sisaldab kõiki hulki. MCNKst saab TCNK kleepimisseaduse abil. Ristkorrutis on kahe hulga elemendite paaride koostamine. Järjestatud paare esitatakse loogsulgude vahel. Otseruut on hulga ristkorrutis iseendaga. Korteežid on järjestatud paarid, kolmikud, nelikud jne. Graafid: Graaf on objektide vaheliste seoste mudel. Graaf koosneb tippudest ja kaartest. Orienteeritud graafis saab ühest tipust teise minna ainult noolega suunatud kaare mööda. Orienteerimata graafil saab liikuda mistahes suunas kaarel.
Duaalsetes hulgaavaldistes asenduvad ∩/∪, ∪/∩, ∅/𝐼, 𝐼/∅ nt 𝐴̅ ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) ja 𝐴̅ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶). Hulgaavaldise Cantori normaalkuju (CNK) on ühendite ühisosa või ühisosade ühend. Täielik Cantori normaalkuju (TCNK) on selline ühisosade ühend (ühendite ühisosa), kus igas ühisosa(ühendi)tehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad. Kahe hulga ristkorrutis 𝐴𝑥𝐵 on järjestatud paaride < 𝑎, 𝑏 > hulk, kus paari esimene element on esimeseks teguriks olevast hulgast ja paari teine element on teiseks teguriks olevast hulgast : 𝐴𝑥𝐵 = { < 𝑎, 𝑏 > | 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 }. Hulkade otseruut on hulga otsekorrutis iseendaga 𝐴𝑥𝐴 = 𝐴2 = { < 𝑎, 𝑏 > | 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 }. Järjestatud paare, kolmikuid, nelikuid … jne nim korteežideks. Hulgaalgebra põhiseosed
..} Hulk koosneb hulgaelementidest. ( Hulk sisaldab elemente ) HULKADE VÕRDSUS : Hulgad on võrdsed , kui nad koosnevad samadest elementidest: Hulga esitamine Hulka tähistatakse suurtähtedega: A B C D {1 3 5} = {5 1 3} Hulka esitatakse: Hulgaelemendid ei ole hulgas üksteise suhtes kuidagi järjestatud. — tema elementide täieliku loeteluna loogsulgude vahel: Hulgas ei ole korduvaid elemente. { a, e, i, o, u, õ, ä, ö, ü } või {a e i o u õ ä ö ü} Igat hulgaelementi on hulgas "üks eksemplar" : { 1 3 3 5 5 5 } = { 1 3 5 } ( komast võib loobuda, kui iga hulgaelement esitub üksiku tähemärgi abil ) Hulgaelemendi e V tähistatakse: e ∈ V
3
1 2 = {
Pöördvastavus:
-1 = {
Diskreetse matemaatika elemendid 2013/2014 LAUSEARVUTUS. TÕESTUSED. 1. Lausearvutuse lausetele esitatavad tingimused. [1] o Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. o Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause ei saa olla nii tõene kui ka väär. o Nende nõuete põhjal kuuluvad vaadeldavate hulka ainult nii sugused laused, mis midagi väidavad, kusjuures sellel väitel on olemas ühene tõeväärtus. o . Välistatud kolmanda seaduse nõudel jäävad kõrvale kõik küsilaused ja paljud hüüdlaused, samuti kõik käsud ning mõttetud sõnaühendid. Mitte-vasturääkivuse seadus välistab mitmesugused paradoksid, näiteks „See lause siin on väär“, ja muud taolised väited, mille tõeväärtust pole võimalik üheselt määrata. o Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2. Lausearvutuse tehted
Seosed Seoseks (ehk vastavuseks, sageli ka relatsiooniks või suhteks) hulkade ja vahel nimetatakse otsekorrutise × mistahes osahulka. Seega, seos hulkade ja vahel on järjestatud paaride (,) hulk, kus ja . Teisiti öeldes, seos on mingi osahulk ×. Paari (,)× korral öeldakse, et elemendid ja on seoses ning tähistatakse ka . Mõnikord öeldakse osahulga kohta, et see on seose graafik. Kui =, ehk kui ×, siis räägitakse seosest hulgal . Näide 1. Olgu ={2,3} ja ={1,2,3,4,5,6}. Siis 1={(2,2),(2,3),(3,1), (3,5)} on binaarne seos hulkade ja vahel. Samade hulkade ja korral võime vaadelda veel palju teisi seoseid, näiteks seost 2, mis on antud
universaalse hulga elemendid, mis ei kuulu hulka A: A' = { x U | (x A) } = { x U | ¬(x A) }. f. Venni diagrammid, tehete algebralised omadus, nende tõestamine ja kontroll https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=78718 lk 5 12 16) a. Hulkade A ja B otsekorrutiseks e. Descartes'i korrutiseks nimetatakse hulka A × B, mille moodustavad kõik järjestatud paarid (a, b), kus a A ja b B: A × B = {(a, b) | a A & b B }. b. Hulga A n-ndaks otseastmeks An nimetatakse otsekorrutist A×...× A, kus A esineb n korda. c. Otsekorrutise omadused. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php? id=78718 lk 13 15. Funktsioonid ja relatsioonid 17) a. Def. Binaarseks seoseks ehk relatsiooniks hulkade X ja Y elementide vahel
ainult üksikutele hulgatähistele Grassmani valemid: esitavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu Hulga astmehulk: hulga kõikide osahulkade hulk Hulga täiend: hulka mittekuuluvate elementide hulk Hulk: algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum Hulkade ühend: elemendid, mis kuuluvad emba-kumba hulka Hulkade ühisosa: elemendid, mis kuuluvad mõlemasse hulka Hulkade ristkorrutis: järjestatud paaride hulk, kus esimene element on pärit esimesest teguriks olevast hulgast ja teine teisest teguriks olevast hulgast Hulkade sümmeetriline vahe: elemendid, mis kuuluvad ühte või teise hulka, aga mitte mõlemasse Hulkade vahe: elemendid, mis kuuluvad esimesse hulka ja ei kuulu teise hulka Loenduv hulk: hulk, mille elementide ja naturaalarvude vahel on võimalik sisse seada üksühene vastavus Loendamatu hulk: hulk, mille elementide ja naturaalarvude vahel ei ole võimalik sisse seada
Teoreetiline informaatika Kordamisküsimuste vastused Eero Ringmäe 1. Hulkade spetsifitseerimine, tehted hulkadega, hulgateooria paradoksid. Hulk: Korteezh järjestatud lõplik hulk. Hulk mingi arv elemente, mille vahel on leitav seos klassifitseeritud elementide kogum. Hulk samalaadsete objektide järjestamata kogum. Hulga esitamine: elementide loeteluna A = {2;3;4} predikaadi abil A = {x | P(x)} Tühihulk on iga hulga osahulk. Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted:
elementidest, mis kuuluvad hulka A, aga ei kuulu hulka B. AB={x:x A ja x B} 3 Kahe hulga A ja B sümmeetriliseks vaheks nimetatakse hulka AB, mis koosneb kõigist elementidest, mis kuuluvad kas hulka A või hulka B, aga mitte mõlemasse korraga. AB={x: (xA ja xB) või (xA ja xB)} Kahe hulga A ja B otsekorrutiseks nimetatakse hulka AxB, mis koosneb kõigist järjestatud paaridest (x,y), kus xA ja yB. AxB={(x,y) : xA ja yB}. Paarides on elementide järjekord oluline. Otsekorrutist AxA nimetatakse hulga A otseruuduks ja tähistatakse A2. Üldiselt, otsekorrutist Ax...xA, kus hulk A esineb n korda, nimetatakse hulga A n-daks otseastmeks ja tähistatakse An. Otsekorrutise omadused: 1. Otsekorrutis tühja hulgaga a. Ax= xA= 2. Distributiivsus a
Kui hulk A on hulga B osahulk, siis kirjutame A B. Kui hulk A ei ole hulga B osahulk, siis kirjutame A B. Kvantorite abil saame osahulgaks olemist ja mitteolemist kirja panna järgmiselt: A B tähendab, et x (x A x B) ja A B tähendab, et x (x A x B) Näide: 1. (0, 1) [0, 1]. 2. Hulgal {a, b} on järgmised osahulgad: , {a}, {b}, {a, b}. 3. 4. {} {, {}} Sisalduvusseose omadused Lause Hulkade sisalduvusseosel on järgmised omadused: 1. Refleksiivsus: Iga hulga A korral A A; 2. Antisümmeetrilisus: Kui A ja B on sellised hulgad, et A B ja B A, siis A = B; 3. Transitiivsus: Kui A, B ja C on sellised hulgad, et A B ja B C, siis A C; 4. Tühi hulk on iga hulga osahulk. TÕESTUS 2. Eeldame, et A B ja B A. Peame näitama, et A = B. Oletame vastuväiteliselt, et A B. Üldisust kitsendamata võime eeldada, et leidub element x nii, et x A ja x B. Kuna A B, siis x B
· Moivre valem: Algebralised süsteemid · algebralise süsteemi mõiste koosneb hulgamõistest ja algebralise tehte ehk arvutusoperatsiooni mõistest. · Olgu hulk M selline, mis koosneb näiteks arvudest, funktsioonidest, vektoritest, maatriksitest, sõnadest, sündmustest jne või ükskõik millistest ühelaadsetest objektidest. Edaspidi nim hulka M elementideks. M= {a,b,c,....} · Edasises loeme kehtivaks järgmised 3 omadust: (1-3) 1. a=a - refleksiivsus 2. a=b, siis ka b=a - sümmeetria 3. a=b ja b=c, siis a=c - transitiivsus · Neid 3 omadust nim ka Ekvivalentsi postulaadid. · Def1: Kui hulga M igale kahele kindlas järjekorras võetud elementide paarile (a;b) on seotud mingi eeskirja f alusel vastavusse üks kindel element f(a;b), siis öeldakse, et hulgas M on defineeritud ühene arvutusoperatsioon ehk ühene tehe. · Def2: Hulka M, kus on defineeritud vähemalt üks arvutusoperatisoon ehk tehe nim
Mis on hulgaavaldise Cantori normaalkuju?
Hulgaavaldise Cantori normaalkuju CNK on ühendite ühisosa või ühisosade ühend.
Milline on Cantori minimaalne normaalkuju? Milline on täielik normaalkuju?
Minimaalne on lihtsaim cantori normaalkuju. Täielik on selline cantori normaalkuju, kus igas
ühisosatehtes või ühenditehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad.
vt. kuidas neid teisendada(LK40, 44-46)
Mis on hulkade ristkorrutis?
Kahe hulga AxB ristkorrutis on järjestatud paaride
Ühendamise puhul peavad erinevate süsteemide teatavad muutujad olema samad või siis moodustub uus muutuja, mis on nende muutujate summa. Järjestiktihendus: esmalt tuleb fikseerida ühendustingimused: Y1=UII . Ühendamine toimub vastavalt muutujate järjestusele vektorites. Järjestikühenduse korral: U= U1, Y= YII olekuvektori määramiseks ja muude ühendusomaduste selgitamiseks kirjeldame osasüsteeme ja ühendamisseoseid olekugraafide abil. (olekugraaf on signaaligraafi( orienteeritud graaf, mille tipud esitavad signaale, kaared aga signaalidevahelisi seoseid) modifikatsioon lineaarse orienteeritud süsteemi olekuvõrrandite kirjeldamiseks graafina. Eripäraks on iga olekumuutuja kirjutamine kahe seotud graafi tipu abil).(X on x1 ja xII maatriks, selle abil on olekuvektor avaldatav) olekuvõrrand aga: sama tulemuse võib ka saada algebralisel teel kummagi osasüsteemi võrrandeid tihendades, kui oleme olekuvektori välja selgitanud
Tõestus: Määramispiirkond. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. 2)Jada koonduvusest järeldub selle jada tõkestatus Xn->a-->Xn=O(1) Muutumispiirkonna mõiste Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka Tõestus: nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni f graafik on 3)Kui jada piirväärtus a on nullist erinev, siis jada teatud elemendist alates on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. jada liikme absoluutväärtus suurem kui |a|/2 5. Funktsiooni põhilised esitusviisid (loetleda, selgitada, tuua näiteid). 4) Kui jada {Xn} koondub ja selle jada piirväärtuseks on arv a, siis koondub ka *Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse jada {|Xn|}, kusjuures selle jada piirväärtuseks on |a| st Xn-> a -> |Xn| ->|a|
tähestik, Σ on terminaalide tähestik (neil pole ühisosa), P ⊆ N×(N∪Σ)* on produktsioonide lõplik hulk, S on lähtesümbol (mitteterminaal). DEF: KV grammatikaga G = (N,Σ,P,S) genereeritav keel on sõnede hulk L(G)={ x | S * x ning x ∈Σ* } (iga x, mis kuulub terminaalide tähestikku ja on produtseeritav lähtesümbolist). DEF: Sõnede hulk L on KV keel, kui leidub KV grammatika G, nii et L=L(G). DEF: KV-grammatika G on ühene, kui iga sõne x ∈ L(G) korral leidub ainult 1 tuletuspuu (1 vasaktuletus). DEF: KV-keel L on ühene, kui kui leidub ühene KV-grammatika G , nii et L = L(G). Teoreem: Olgu L1 ja L2 ühesed keeled. Kui L1 ∩ L2 = ∅, siis on keel L1 ∪ L2 samuti ühene. T: Oletame, et L1-l ja L2-l on ühisosa. Keeled L2 = {anbncm | n,m > 0} ja L3 = {ambncn | n, m > 0} on ühesed, grammatikad on {S→AB, A→aAb, A→ab, B →cB, B →c} ja {S →AB, A→aA, A→a, B →bBc, B →bc}.
erinevate süsteemide teatavad muutujad olema samad või siis moodustub uus muutuja, mis on nende muutujate summa. Järjestiktihendus: esmalt tuleb fikseerida ühendustingimused: Y1=UII . Ühendamine toimub vastavalt muutujate järjestusele vektorites. Järjestikühenduse korral: U= U1, Y= YII olekuvektori määramiseks ja muude ühendusomaduste selgitamiseks kirjeldame osasüsteeme ja ühendamisseoseid olekugraafide abil. (olekugraaf on signaaligraafi( orienteeritud graaf, mille tipud esitavad signaale, kaared aga signaalidevahelisi seoseid) modifikatsioon lineaarse orienteeritud süsteemi olekuvõrrandite kirjeldamiseks graafina. Eripäraks on iga olekumuutuja kirjutamine kahe seotud graafi tipu abil).(X on x1 ja xII maatriks, selle abil on olekuvektor avaldatav) olekuvõrrand aga: sama tulemuse võib ka saada algebralisel teel kummagi osasüsteemi võrrandeid tihendades, kui oleme olekuvektori välja selgitanud
z = a 2 + b2 13. Kompleksarvu geomeetriline esitus- · Kujutada ühel teljel pole võimalik, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud) · Kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt 13.1. Reaaltelg ja (x-telg) 13.2. Imaginaartelg (y-telg) · Kuidas võrrelda kompleksarve? Pole järjestatud hulk. Aga ikkagi ... 14. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju- · Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi · Avaldame joonisel olevast täisnurksest kolmnurgast reaalosa a ja imaginaarosa b nurga (kompleksarvu argument) ja mooduli kaudu ning asendame algebralisel kujul antud kompleksarvu. · a + bi = r (cos + i sin ) Saame: · Paneme tähele, et lisades nurgale täispöördeid, saame alati sama kompleksarvu, seega ka
elementide arvu. Duaalsetes hulgaavaldistes asenduvad ∩/∪, ∪/∩, ∅/𝐼, 𝐼/∅ nt 𝐴̅∩(𝐵∪𝐶) ja 𝐴̅∪(𝐵∩𝐶). Hulgaavaldise Cantori normaalkuju (CNK) on ühendite ühisosa või ühisosade ühend. Täielik Cantori normaalkuju (TCNK) on selline ühisosade ühend (ühendite ühisosa), kus igas ühisosa(ühendi)tehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad. Kahe hulga ristkorrutis 𝐴𝑥𝐵 on järjestatud paaride <𝑎,𝑏> hulk, kus paari esimene element on esimeseks teguriks olevast hulgast ja paari teine element on teiseks teguriks olevast hulgast : 𝐴𝑥𝐵={ <𝑎,𝑏> | 𝑎∈𝐴∧𝑏∈𝐵 }. Hulkade otseruut on hulga otsekorrutis iseendaga 𝐴𝑥𝐴=𝐴2={ <𝑎,𝑏> | 𝑎∈𝐴∧𝑏∈𝐴 }. Järjestatud paare, kolmikuid, nelikuid … jne nim korteežideks. ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad
Mida nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks? (lk 3) Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Näiteks ühtlase liikumise korral on kiirus jääv suurus ja läbitud teepikkus muutuv suurus. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks 5. Defineerida ühene funktsioon, ühese funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. (lk 3 - 4) Ühene funktsioon on funktsioon vaid ühe muutujaga ehk y=f(x), puuduvad liitfunktsiooni omadused. Argument ehk muutuja on x ja sõltuv muutuja on y (sellel on oma kindel väärtus, mis sõltub x-st). Muutuva suuruse ehk x-i kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks 6. Millist funktsiooni nimetatakse mitmeseks? (lk 4)
H(z)=B(z)/A(z) = y(k)/u(k), kus H(z) on ülekandemaatriks. Diskreetne ülekandefunktsioon: Ülekandefunktsioon on lineaarse süsteemi ülekandemudeli põhikarakteristik. See määratakse väljund-ja sisendsuuruste operaatorkujutiste suhtega teisendatud süsteemivõrrandeis nullistel algtingimustel. Diskreetaja süsteemides kasutatakse z-teisendust. Ülekandefunktsiooni realiseeritavus: Füüsikalise realiseeritavuse tingimused: Aja orienteeritus (ajamomentide t hulk T={ti} on lineaarselt järjestatud reaalarvude hulk (R)); Muutujate reaalarvulisus (kõik süsteemimuutujad on esitatavad reaalarvuliste hetkväärtustega aja funktsioonidena); Põhjuslikkus (mistahes muutuja hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate samadele võivarasematele ajamomentidele vastavatest hetkväärtustest). Siirdeprotsessid ja nende arvutamine: Siirdeprotsessid on muutuvates tingimustes toimuvad dünaamilised protsessid süsteemis, mida põhjustavad muutuvad sisendsignaalid või süsteemisisene
[30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud. Puude esitamine arvuti mälus. [36]. Prüferi kood. Märgendatud puude loendamine. Cayley teoreem. [37]. Märgendamata puude arv. [38]. Kooskõlad graafis. Berge'i teoreem. [39]. Kooskõlad kahealuselises graafis. Halli teoreem. [40]. Tasandiline graaf. Euleri valem: seos tasandilise graafi tippude, servade ja tahkude arvude vahel. Eulri valemi rakendusi. [41]. Graafi tasandilisuse kriteeriumid. Kuratowski teoreem. [42]. Graafi tippude värvimise ülesanne. Brooksi teoreem (tõestuseta). [43]. Tasandilise lihtgraafi värvimine 6 ja 5 värviga. Neljavärviprobleem ja kaartide värvimine. I. OSA [1]. Hulgad. Alam- ja ülemhulgad. Tehted hulkadega. Hulk on koosvaadeldavate objektide kogum. *Eristatakse kaht erinvat hulgateooriat:
1. Defineerige ühe muutuja funktsiooni ning tooge näited. Intuitiivselt võib funktsiooni all mõista ,,eeskirja", mis seab igale antud sisendile vastavusse üheselt määratud väljundi. Ringi pindala sõltub ringjoone raadiusest, st ( ) Ühtlase kiirusega liikuva keha poolt läbitu teepikkus sõltub ajast, st ( ) Tagasisaadav summa hoiustamisele antud rahasummast sõltub hoiustamise perioodist ehk ajast 2. Mida nimetatakse funktsiooni graafikuks? Kas ringjoon sobib mingi funktsiooni graafikus? Kui reaalarvude hulga X igale elemendile on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud ainult üks reaalarv y, siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon f, ja kirjutatakse ( ) Funktsiooni ( )graafikuks nimetatakse punktide (x,y) hulka {( )} ( ) xy-tasandil. Funktsiooni graafik on joon võrrandiga ( ). Ringjoon ei saa olla mingi funktsiooni graafik, kuna vertikaalne joon lõik
On võimalik ainlult siis, kui funktsioonil on arvuline väärtus. 2. Analüütiline esitlusviis Funktsioon esitatakse valemi kujul, vajadusel lisatakse määramispiirkonna kirjeldus 3. Graafiline esitlusviis Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkordinaadistikus. · Funktsiooni f graafiku definitsioon Kui f(x)>0 siis on graafik ülalpool x-telge, kui x<0 siis on graafik allpool x-telge · Funktsioon on ühene, kui suvaline y teljega paralleelne sirge läbib graafikut ainult ühest punktist. · Funktsioon on mitmene, kui suvaline y teljega paralleelne sirge läbib graafikut vähemalt kahest punktist. 3. · Paarisfunktsioon kui iga korral kehtib võrdus · Paaritufunkstioon kui iga korral kehtib võrdus · Perioodiliseks nimetame funktsiooni, kui leidub konstant nii, et iga korral kehtib võrdus Väikseim selline konstant on funktsiooni periood
N ä iteks j ärj es tus s eos < tähendab naturaalarvu paaride hulka {(a,b): a< b} N ende tehete korral on kas utus el ka tähis tus kuj ul aRb näiteks a< b Ü les anne: A ntud on hulgad A= { 1,2,3,4} j a B= A .D efineerida relats ioon aRb nii et a< = b,leida s elle relats iooni mä äramis p iirkond j a muutu mi s piirkond. R = { (a,b): a< = b} R = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} D om (R )= A R ange (R )= A 2. Relatsiooni esitamine (R.Palm järgi) R elats iooni võib es itada paaride loendina nagu ees pool, eriti j uhul kui paare on vähe. Teine võima lus relats ioonide es itamis eks on suunatud graaf. K as utame hulga A j a hulga B ele ment e gaafi tippudena (punktid joonis el) ja tõmb ame kaare punktis t a A punktini b B juhul kui paar (a,b) kuulub vas tavas s e relats iooni. Tule mus ena s aame graafi kus kaared viivad hulgas t A hulka B j a hulkade s ee s kaari pole
oma määramispiirkonnas seatud vastavusse ühe kindla y väärtus. Eeldame, et ka argument x on funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud. St. iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, on funktsioon üksühene. Üksühesust saab määrata ka nt graafiku abil - kui suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib f-ni graafikut maksimaalselt ühes punktis, on funktsioon ühene. Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame y= f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja muutuja vahetavad kohad, samuti vahetavad kohad määramis- ja muutumispiirkond. g[ f(x) ] = x, f[ g(y) ] = y
& , = 0 kus & on mingi ja sisaldav avaldis. =O 4 N , 4 Q) , Q* =P 4 Süsteem määrab iga 4 Q) , Q* korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega , = O 4 , P 4 . Kui muutuja 4 jookseb läbi kogu lõigu Q) , Q* , siis 4-le vastav punkt kujundab tasandile teatud joone. Süsteemi võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat 4 selle joone parameetriks. 7) Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Koonduvad ja hajuvad jadad. Muutuva suuruse kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Olgu järjestatud muutuv suurus. Arvu nimetatakse muutuva suuruse piirväärtuseks, kui
N ä iteks j ärj es tus s eos < tähendab naturaalarvu paaride hulka {(a,b): a< b} N ende tehete korral on kas utus el ka tähis tus kuj ul aRb näiteks a< b Ü les anne: A ntud on hulgad A= { 1,2,3,4} j a B= A .D efineerida relats ioon aRb nii et a< = b,leida s elle relats iooni mä äramis p iirkond j a muutu mi s piirkond. R = { (a,b): a< = b} R = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} D om (R )= A R ange (R )= A 2. Relatsiooni esitamine (R.Palm järgi) R elats iooni võib es itada paaride loendina nagu ees pool, eriti j uhul kui paare on vähe. Teine võima lus relats ioonide es itamis eks on suunatud graaf. K as utame hulga A j a hulga B ele ment e gaafi tippudena (punktid joonis el) ja tõmb ame kaare punktis t a A punktini b B juhul kui paar (a,b) kuulub vas tavas s e relats iooni. Tule mus ena s aame graafi kus kaared viivad hulgas t A hulka B j a hulkade s ee s kaari pole
annaabi.ee 
