Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Diskreetne matemaatika II - teine kodutöö". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
male, abcd, rattasõit, jalgrattasõit, matkamine, diskreetne, matemaatika, olga, dalton, alamhulgad, malelaua, oletan, lahutamise, positiivset, täisarvu, fibonacci, põhjendus, panen, katmata, ruutu, horisontaalse, kusjuures, sobivate, vaatan, jjji, esitan, näidatud, tähistavad, arvuks, tehe, omaga, koguarv, mainitud, paljudele, määramiseksDiskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 5 Olga Dalton 104493 IAPB21 ÜLESANNE 1. Leian etteantud puu Prüferi koodi. 1) Kõige väiksema märgendiga leht on 1 ja selle naabertipp 2. Panen 2 Prüferi koodi kirja ja eemaldan lehe 1 ja temaga seotud serva. 2) Nüüd on kõige väiksema märgendiga leht 2 ja selle naabertipp 0.
Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 1 Olga Dalton 104493 IAPB21 1. (a) Kuna A on positiivsete täisarvude hulk, mille viimane number on 3, siis sisaldab hulk A arve 1,2,3, nendest paarisarv on 2. Seega on hulkade A ja B ühisosa {2} VV { { (b) 5-ga jagub iga arv, mis lõpeb kas 5 või 0-ga
Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 3 Olga Dalton 104493 IAPB21 ÜLESANNE 1 = 2 # + 8 $ , # = 1, $ = 1 Kirjutan välja karakteristliku võrrandi: $ - 2 - 8 = 0 Leian karakteristliku võrrandi lahendid. = 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3 # = 4 I $ = -2 Seega on rekurrentse võrrandi lahend: = I# 4 + I$ (-2) Leian I# ja c$ .
Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 4 Olga Dalton 104493 IAPB21 ÜLESANNE 1. $ - 2 0 (J 11) Toon x-i sulgude ette. ( - 2) 0 (J 11) Siit järeldub, et kas 11É või 11É( - 2), sest vastasel juhul ei saaks jäägiks 0-i. Seega on võrrandil kaks lahendit: # 0 (J 11) ja $ 2 (J 11), sest jäägi null annab - 2, seega peab $ ise andma jäägiks 2-e.
ka lahendeid (0;0;0;7) ja (0;7;0;0) jne, st lahendid erinevad üksteisest elementide järjestuse poolest ning et esinesid eelpool mainitud kordumised, siis tuleb erinevate lahendite leidmiseks kasutada kordumistega permutatsioone, nimelt 3 P4(3) + 7 P4(2) + P4 = ... = 120 lahendit. Vastus: Sellel määramata võrrandil on 120 erinevat mittenegatiivset täisarvulist lahendit. Harjutusülesanded 1. Mitu erinevat 11-tähelist sõna on võimalik moodustada tähtede ümberpaigutamisega sõnas matemaatika? 2. Kui mitmel erineval viisil saab nimes TEELE tähti selliselt ümber paigutada, et kolm tähte E ei satuks kõrvuti? 3. Mitu erinevat neljakohalist arvu saab koostada numbritest 0, 1, 3, 6, 8 ja 9, kui numbrid arvus ei tarvitse olla erinevad (arvu 0363 loeme kolme-, mitte neljakohaliseks)? 4. Auto registreerimisnumber koosnev kolmekohalisest arvust ja kolmetähelisest sõnast (ka arvu 031 loetakse kolmekohaliseks). Mitu
K¨ ull aga loetakse tehnilise f¨ uu¨sika eriala u ¨li˜opilastele funktsionaal- anal¨uu ¨si. Samas on eriseminaride raames k¨asitletud teemasid, kus viidatakse topoloogias kasutatavatele m˜oistetele ilma, et nende t¨apset t¨ahendust selgitatakse. On antud topoloogia m˜oistete intuitiivne selgitus. Tulenevalt sellest, luges autor m˜oned aastad tagasi diskreetse matemaatika kursuse raames ka 6 loengut topoloogia p˜ohim˜oistetest. K¨aesolev loengukons- pekt ongi nende kuue loengu u ¨mbert¨o¨otatud ja t¨aiendatud variant. Vormistatud on see eesm¨argiga, et tulevikus on se- minaride jaoks allikmaterjal, kust vajaduse korral tutvuda v˜oi tuletada meelde vajaminevaid topoloogia m˜oisteid. Autor 1 TOPOLOOGILINE RUUM 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon Olgu X mis tahes hulk ja P(X) tema k˜oigi alamhulkade hulk.
Relatsioonid ja funktsioonid 1. Relatsioon Lähtu me ees pooldefineeri tud hulkade Cartes ius e korrutis es t ehk ris tkorrutis es t (öeldaks e ka ots ekorrutis ) A × B tähendab kõiki järj es tatud paaride hulka (a,b), kus a A j a b B. N 1: A ntud on hulgad A= { 1,2} j a B={ 1} Leia me : A × B= { (1,1),(2,1)} B × A ={ (1,1),(1,2)} J äreldus : A × B B × A Hu lga A × B alam h ulk a R n im etatak s e b in aars eks relats ioon ik s hu lgas t A hu lk a B K ui (a,b) R, s iis kirj utataks e ka aRb. J uhul kui a pole s eotud b-ga s iis kirj utataks e a R b . Erij uhul kui B=A , s iis R on binaars e relats ioon hulgal A . (alterna tiivne levinud tähis tus on A x B : A B ) Relatsiooni (vastavuse) määramispiirkond D om(R )= { a A |leidub b B nii et (a,b) R } (doma in of R) Relatsiooni (vastavuse) muutumispiirkond R ange(R )= { b B | leidub a A nii et (a,b) R} (range of R) N 2: A ntud on hulgad A= { 2,3,4} j a B={ 3,4,5,6,7} . D efinee
Relatsioonid ja funktsioonid 1. Relatsioon on hulk paare Lähtu me ees pooldefineeri tud hulkade Cartes ius e korrutis es t ehk ris tkorrutis es t (öeldaks e ka ots ekorrutis ) A × B tähendab kõiki järj es tatud paaride hulka (a,b), kus a A j a b B. N 1: A ntud on hulgad A= { 1,2} j a B={ 1} Leia me : A × B= { (1,1),(2,1)} B × A ={ (1,1),(1,2)} J äreldus : A × B B × A Hu lga A × B alam h ulk a R n im etatak s e b in aars eks relats ioon ik s hu lgas t A hu lk a B K ui (a,b) R, s iis kirj utataks e ka aRb. J uhul kui a pole s eotud b-ga s iis kirj utataks e a R b . Erij uhul kui B=A , s iis R on binaars e relats ioon hulgal A . (alterna tiivne levinud tähis tus on A x B : A B ) Relatsiooni (vastavuse) määramispiirkond , tähis on Dom(R) D om(R )= { a A |leidub b B nii et (a,b) R } (doma in of R) Relatsiooni (vastavuse) muutumispiirkond R ange(R )= { b B | leidub a A nii et (a,b) R} (range of R) N 2: A ntud on hulgad A= {
Rn+1 =Rn ∘R GRAAFID 33. Graafi definitsioon. Tipud, servad. Multigraaf. Täisgraaf, nullgraaf, täiendgraaf. Kaalutud graaf. Intsidentsus. Naabertipud. Graafi naabrusmaatriks. Alamgraaf. Regulaarne graaf. [2] Graaf, tipud, servad o Graaf on punktide hulk (tavaliselt lõplik), kus mõned punktid on ühendatud joontega. o DEF. Graaf on paar G = (V,E), kus V on mittetühi hulk ning E hulk, mille elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad. Hulga V elemente nimetatakse graafi tippudeks, hulga E elemente aga servadeks. Ülaltoodud graafi puhul näiteks on V = {A,B,C,D,E} Ja E = {{A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {C,E}}. 30 Multigraaf o DEF: Et toodud definitsioonis loetakse servadeks ainult tippude hulga kaheelemendilisi alamhulki, siis ei tohi graafis esineda silmuseid, st servi mis ühendavad mingit tippu
Seosed Seoseks (ehk vastavuseks, sageli ka relatsiooniks või suhteks) hulkade ja vahel nimetatakse otsekorrutise × mistahes osahulka. Seega, seos hulkade ja vahel on järjestatud paaride (,) hulk, kus ja . Teisiti öeldes, seos on mingi osahulk ×. Paari (,)× korral öeldakse, et elemendid ja on seoses ning tähistatakse ka . Mõnikord öeldakse osahulga kohta, et see on seose graafik. Kui =, ehk kui ×, siis räägitakse seosest hulgal . Näide 1. Olgu ={2,3} ja ={1,2,3,4,5,6}. Siis 1={(2,2),(2,3),(3,1), (3,5)} on binaarne seos hulkade ja vahel. Samade hulkade ja korral võime vaadelda veel palju teisi seoseid, näiteks seost 2, mis on antud tingimusega, et see koosneb paaridest (,), millede korral jagub arvuga . Siis 2={(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6)}. Näide 2. Olgu hulgaks kõigi naturaalarvude hulk ning seoseks osahulk hulgas ×, mis koosneb kõikidest paaridest (,), mille korral arv on arvu jagaja. Seega ={(,) ,, | }.
tavaliselt need teoreemid kokku üheks lauseks, kasutades ühte väljenditest ,,on tarvilik ja piisav," ,,siis ja ainult siis," ,,parajasti siis, kui.". Näide: Teoreem: Nelinurk on rööpkülik parajasti siis, kui tema diagonaalid poolitavad teineteist. Näide: Definitsioon: Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille diagonaalid poolitavad teineteist. Olemasolu ja üldistuse kvantorid Paljudes matemaatika lausetes esinevad sõnad ,,kõik," ,,iga," ,,leidub," ,,eksisteerib," ,,on olemas," ,,vähemalt üks.". Osa neist lausetest on tõesed, osa väärad. Selliste lausete kirjutamisel kasutatakse loogikas kahte märki. Üks neist on olemasolu kvantor (loetakse ka ,,leidub"), teine üldisuse kvantor (loetakse ka ,,iga"). Kvantori märgi taha tuleb alati kirjutada muutuja, millele see kvantor rakendub. Näide: x, x3 - 27 = 0 tähendab, et leidub x, mille korral x3 - 27 = 0.
Teoreetiline informaatika Kordamisküsimuste vastused Eero Ringmäe 1. Hulkade spetsifitseerimine, tehted hulkadega, hulgateooria paradoksid. Hulk: Korteezh järjestatud lõplik hulk. Hulk mingi arv elemente, mille vahel on leitav seos klassifitseeritud elementide kogum. Hulk samalaadsete objektide järjestamata kogum. Hulga esitamine: elementide loeteluna A = {2;3;4} predikaadi abil A = {x | P(x)} Tühihulk on iga hulga osahulk. Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend C = {x | x kuulub A &&
... ... ,= ... ,= ... . !! ... !" ! ! Lineaarseid võrratusi saab enamasti lahendada graafiliselt. Kui võrratused on vastuolulised, siis lahend puudub (ühine osa puudub). Leidub ka ülearuseid võrratusi, ehk mõni võrratus järeldub teisest/teistest. 6. LP ülesande graafiline lahendamine I meetod nivoojoonte abil N: z= 2x1-x2àmina, max x1+x2 4 (I) x1-2x2 -2 (II) x1, x2 0 *teen joonise ning leian, et nelinurk ABCD on lubatavate lahendite hulk Lisan joonisele nivoojoone z=0. Ülejäänud nivoojooned saab tõsta paralleelsete sirgetena. Nivoojoonte äärmise taseme viirutatud piirkonnas määravad miinimum- ja maksimumpunkti. II meetod põhineb lubatavate lahendite hulga 3. teoreemil, et ülesande min ja max saavutatakse mingite lubatavate lahendihulkade tipus. LP ülesandes on alati kolm võimalus 1) optimaalne lahend eksisteerib 2) sihifunktsioon on tõkestamata zmax= lõpmatus
Diskreetne matemaatika II Suulise eksami konspekt IABB 2011 [1]. Hulgad. Alam- ja ülemhulgad. Tehted hulkadega. [2]. Hulga võimsus. Kontiinumhüpotees. [3]. Järjendid. Permutatsioonid. Kombinatsioonid. [4]. Binoomi valem. Pascali kolmnurk. [5]. Liitmis- ja korrutamisreegel kombinatoorikas. [6]. Kordustega permutatsioonid. Multinoomkordajad. [7]. Elimineerimismeetod (juurde- ja mahaarvamise valem). [8]. Korratused ja subfaktoriaalid. [9]. Dirichlet` printsiip. [10]. Arvujadade genereerivad funktsioonid. Jadade ja genereerivate funktsioonide teisendamine. [11]. n objekti jaotamine k gruppi. [12]. Rekurrentsed võrrandid. Rekurrentsi lahendamine ad hoc meetodil ja iteratsioonimeetodil. [13]. Tasandi tükeldamine n sirgega ja n nurgaga. [14]. Lineaarsed rekurrentsed võrrandid. [15]. Rekurrentsete võrrandite lahendamine genereerivate funktsioonide meetodil. [16]. Fibonacci arvud. Üldliikm
ja S = (sij), siis kompositsiooni R S maatriks on maatriksite R ja S (Boole'i) korrutis: RS = (cij), kus ... f. **Relatsiooni astme maatriksi saab leida järjestikuse korrutamise teel: R1 = R, Rn+1 = Rn R Graafid 31) a. Graaf on paar G = (V, E), kus V on mittetühi hulk ja E on hulk, mille elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad. b. Hulga V elemente nimetatakse graafi tippudeks. c. Hulga E elemente nimetatakse graafi servadeks. d. Kui graaf sisaldab silmuseid ja/või kordseid servi, on tegemist multigraafiga. e. Kui n-tipulises graafis on olemas serv iga kahe tipupaari vahel, on tegemist täisgraafiga, märgitakse Kn. f. Kui n-tipulises graafis pole serva ühegi tipupaari vahel, on tegemist nullgraafiga, tähistatakse On. g
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral
Kui palju tudengeid
(minimaalselt ja maksimaalselt) pääseb eksamile?
· Vanal ajal toimunud lahingus sai palju sõdalasi kannatada. 70% lahingust osavõtjatest
kaotas lahingus silma, 75% - kõrva, 80% - käe ja 85% - jala. Kui palju sõdalastest
(minimaalselt ja maksimaalselt) jäi ilma nii silmast, kõrvast, käest kui ka jalast?
3
· Füüsika-matemaatika teaduskonna iga tudeng tunneb huvi kas füüsika või matemaatika
vastu. Kui palju tudengitest tunneb huvi mõlema ala vastu, kui on teada, et
matemaatikahuvilisi on 84% ja füüsikahuvilisi - 64%?
· Hulk A koosneb naturaalarvudest 1 kuni 1000. Leida, mitu hulga A elementi ei jagu ei
kolmega ega viiega.
VASTAVUSED
Antud 2 hulka A ja B ning reegel, kuidas hulga A elemendid on vastavuses hulga B
elementidega.
AxB :AB
Vastavuse määramispiirkond (domain):
D() = { a | b (
¨ TARTU ULIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Puhta matemaatika instituut Aivo Parring ALGEBRA JA GEOMEETRIA Tartu 2005 SISSEJUHATUS K¨aesolevate m¨arkmete j¨arele tekkis vajadus 2000/01 ~oppeaastal, kui muudeti tollase matemaatikateaduskonna ~oppekavasid. Selle tulemusena l¨ ulitati ~oppekavasse algebra ja anal¨ uu¨tilise geomeetria sissejuhatavaid pea- t¨ukke k¨asitlev aine "Algebra ja geomeetria". Vahepeal on elu edasi l¨ainud.
6. ELEKTRIAJAMITE ÜLESANDED Tootmises kasutatakse töömasinate käitamiseks rõhuvas enamuses elektriajameid. Ka pneumo- ja hüdroajamid saavad oma energia ikka elektrimootoritega käitatavatelt kompressoritelt ja hüdropumpadelt. Elektriajam koosneb elektrimootorist ja juhtimissüsteemist, mõnikord on vajalik veel muundur ja ülekanne. Elektriajamite kursuse põhieesmärk on valida võimsuse poolest otstarbekas elektrimootor, arvestades ka kiiruse reguleerimise vajadust ja võimalikult head kasutegurit. Järgnevad ülesanded käsitlevad selle valikuprotsessi erinevaid külgi. 6.1. Rööpergutusmootori mehaaniliste tunnusjoonte arvutus Ülesanne 6.1 Arvutada ja joonestada rööpergutusmootorile loomulik ja reostaattunnusjoon. Mootori nimivõimsus Pn = 20 kW, nimipinge Un = 220 V, ankruvool Ia = 105 A, nimi- pöörlemissagedus nn = 1000 min-1, ankruahela takistus (ankru- ja lisapooluste mähised) Ra = 0,2 ja ankruahelasse on lülitatud lisatakisti takistu
¨ TARTU ULIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Puhta matemaatika instituut Aivo Parring ALGEBRA JA GEOMEETRIA Tartu 2005 SISSEJUHATUS K¨aesolevate m¨arkmete j¨arele tekkis vajadus 2000/01 ˜oppeaastal, kui muudeti tollase matemaatikateaduskonna ˜oppekavasid. Selle tulemusena l¨ ulitati ˜oppekavasse algebra ja anal¨ uu¨tilise geomeetria sissejuhatavaid pea- t¨ukke k¨asitlev aine ”Algebra ja geomeetria”. Vahepeal on elu edasi l¨ainud.
Mitmemõõtmelise ruumi mõiste Def: On antud n reaalarvu x1...xn ja nende järjestatud jada (x1...xn)(-punkt) seda nim n- mõõtmelise ruumi punktiks. Rn={(x1,...,xn) | xi R, i=1,...,n}, P(x1,...,xn) punkt koordinaatidega xi n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarv�
cb bc h ac ah . 2 2 2 2 ac Siit cb cb bh ac ah ja h . a b 2) Kauguse h arvulise väärtuse saame nii nagu 1. lahenduses. 4. lahendus Antud: AB a , DC b, AD c. Leida: kolmnurga AOB kõrgus h. 1) Trapetsi pindala saab leida kolmnurkade pindalade kaudu. S ABCD S ADB S ABC S ABO S DOC . a b ac ac ah bc h Seega c . 2 2 2 2 2 ac Siit saame ac bc ac ac ah bc bh ja h . a b 2) Kauguse h arvulise väärtuse saame nii nagu 1. lahenduses.
1 Lõplikud automaadid ja regulaarsed keeled. DEF: Lõplik automaat on sellise arvuti mudel, millel puudub mälu (või seda on väga vähe). DEF: Automaadi M keeleks nimetatakse sõnede hulka A, mida M aktsepteerib. L(M)=A DEF: Keelt nimetatakse regulaarseks, kui seda aktsepteerib mingi deterministlik lõplik automaat. Reg. keelest saab teha lõpliku arvu sõnesid. Tehted regulaarsete keeltega: A∪B = {x|x ∈ A või x ∈ B} ühend nt good, girl, boy, bad A◦B ={xy|x ∈ A ja y ∈ B} konkatenatsioon nt goodboy, goodgirl, badboy, badgirl A∗ = {x1x2...xk|k>=0 ja iga xi ∈ A} sulund nt ε, good, bad, goodgood, badgood… 2 Regulaarsete keelte omadusi. Regulaarsed avaldised. Teoreem: Regularsete keelte hulk on kinnine ühendi suhtes. T: Aktsepteerigu automaat N1 = (Q1,Σ,δ1,Q10,F1) keelt A1 ja automaat N2 = (Q2,Σ,δ2,Q20,F2) keelt A2. Eeldame, et keeltel pole ühiseid olekuid. Ühendi A1 ∪ A2 aktsepteerib lõplik automaat N=(Q;Σ,δ,Q0,F), kus: • Q = {q0} ∪ Q1 �
Esimesel kontrolltööl sai arvestuse 20 tudengit, teisel 21 tudengit. Kui palju tudengeid
(minimaalselt ja maksimaalselt) pääseb eksamile?
Vanal ajal toimunud lahingus sai palju sõdalasi kannatada. 70% lahingust osavõtjatest kaotas
lahingus silma, 75% - kõrva, 80% - käe ja 85% - jala. Kui palju sõdalastest (minimaalselt ja
maksimaalselt) jäi ilma nii silmast, kõrvast, käest kui ka jalast?
Füüsika-matemaatika teaduskonna iga tudeng tunneb huvi kas füüsika või matemaatika
vastu. Kui palju tudengitest tunneb huvi mõlema ala vastu, kui on teada, et
matemaatikahuvilisi on 84% ja füüsikahuvilisi - 64%?
Hulk A koosneb naturaalarvudest 1 kuni 1000. Leida, mitu hulga A elementi ei jagu ei
kolmega ega viiega.
VASTAVUSED
Antud 2 hulka A ja B ning reegel, kuidas hulga A elemendid on vastavuses hulga B
elementidega.
Ax B : A B
Vastavuse määramispiirkond (domain):
D() = { a b (
Teisisõnu, Iga a € R leidub n € N : n > a 7) Iga kahe reaalarvu vahel leidub nii ratsionaal-kui ka irratsionaalarve (ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulga tihedus) – Kõigi ratsionaalarvude hulk Q on tihe hulgas R järgmises mõttes: kui a, b € R ja a < b, siis leidub selline ratsionaalarv r, et a < r < b. Irratsionaalarvude hulk RQ on tihe hulgas R: kui a,b € R ja a < b, siis leidub selline irratsionaalarv p, et a < p < b 2. Tõkestatud alamhulgad. Hulga ülemine ja alumina raja (*) Tõkestatud alamhulgad hulgas R. Öeldakse, et alamhulk X ⊂ R on ülalt tõkestatud, kui leidub selline M ∈ R, et võrratus x ≤ M kehtib iga x ∈ X korral. Arvu M nimetatakse sel juhul hulga X ülemiseks tõkkeks. Analoogiliselt nimetatakse hulka X ⊂ R alt tõkestatuks, kui leidub m ∈ R, et iga x ∈ X korral kehtib võrratus x ≥ m. Arvu m nimetatakse siis hulga X alumiseks tõkkeks.
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Elektroenergeetika instituut ALAJAAMAD AEK3025 5,0 AP 6 4-1-1 E K (eeldusaine AES3045 "Elektrivõrgud") TALLINN 2008 Loengukursus AEK 3025 ii Rein Oidram _____________________________________________________________________ SISUKORD 1. Sissejuhatus 2. Alajaama struktuur ja side elektrivõrguga 2.1. Alajaama põhitüübid 2.2. Alajaamade talitlustingimused 2.3. Elektrijaamade sidumine elektrivõrguga. 3. Alajaama põhiseadmed 3.1. Trafo ja autotrafo 3.1.1. Trafode ja autotrafode kasutamine elektrisüsteemis 3.1.2. Trafo soojuslik talitlus 3.1.3. Trafo isolatsiooni kulumine ja koormusvõime 3.1.4. Trafole lubatavad ülekoormused 3.1.5. Elektrivõrgu neutraali ühendamine maaga 3.1.5.1. Isoleeritud neutraaliga elektrivõrk 3.1.5.2. Resonantsmaa
Mis on Diskreetne Matemaatika ? Termineid: — verbaalne esitus on mistahes info esitamine lingvistilise keele abil. " diskreetne " ≡ " mitte pidev " ehk " astmeline " — formaalne esitus on mistahes info esitamine ilma lingvistilise keele abita ehk kokkulepitud sümbolite abil. vs. " Diskreetne Matemaatika " ↔ " Pidev Matemaatika " NB!
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. TT ja MatStat kui üksteise pöördteadused. Tõenäosusteooria on matemaatika osa, mis uurib juhuslike nähtuste üldisi seaduspärasusi sõltumatult nende nähtuste konkreetsetsest sisust ja annab meetodid nendele nähtustele mõjuvate juhuslike mõjude kvantitatiivseks hindamiseks. Juhuslikkusel põhinev lähenemine nõuab erilisi meetodeid, mida võimaldab tõenäosusteooria. Matemaatiline statistika on matemaatika osa, mis uurib statistiliste andmete kogumise, süstematiseerimise, töötlemise ja statistiliste järelduste tegemise meetodeid
Järgneva lause kohaselt järeldub aksioomist (P) alumise raja olemasolu igal alt tõkesta- tud alamhulgal. Lause 1.4 Täielikus järjestatud korpuses F leidub igal alt tõkestatud mittetühjal hulgal alu- mine raja. Tõestus. Iseseisvalt!z Järgmise lausega esitame edaspidiseks vajalikud arvutuseeskirjad supreemumi ning infii- mumi jaoks. Lause 1.5 Olgu X ja Y täieliku järjestatud korpuse F mittetühjad alamhulgad. (a) Kui X ja Y on ülalt tõkestatud, siis on ka hulk X + Y := {x + y | x ∈ X, y ∈ Y } ülalt tõkestatud ja sup (X + Y ) = sup X + sup Y. (1.7) ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 11 (b) Kui X ja Y on alt tõkestatud, siis on ka hulk X + Y alt tõkestatud ja inf (X + Y ) = inf X + inf Y.
sündmuse Ei, i = 1, 2, 3, et i-s mees P((A1A2A3A4)c) = 1 P(A1A2A3A4) tõenäosusfunktsiooni korral 0 ja kumulatiivse võtab oma mütsi. Tõenäosuse P(E1 E2 1 0,647 0,353. Täistõenäosuse valem tõenäosuse korral 1. E3) arvutamiseks, teame, et P(Ei )=1/3 k Diskreetne juhuslik suurus. Juhuslikku i = 1, 2, 3: P(EiEj)=1/6< ij : P(E1E2 H = . i suurust, millel on lõplik või loenduvalt lõplik võimalike väärtuste hulk,
Külgserva CS pikkus on 5 ja see külgserv on risti põhitahuga ABC. Servadel AC ja BC
2
Tiia Toobal 2008 II osa
Pärnu Koidula Gümnaasium
on valitud vastavalt punktid M ja N nii, et AM = NB = 3. Lõiketasand läheb läbi punktide
M, N ja S. Leia põhitahu ja lõiketasndi vahelise nurga tangens.
B-11 Nelinurgas ABCD on külg AB = 12. sin
Arvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja arvu bi selle imaginaarosaks. KOMPLEKSARVUD Kui a = 0, siis on tegemist imaginaararvuga bi, kui b = 0, siis saame arvu a + 0·i, mis on reaalarv a. Kui a = b = 0, siis siis saame tulemuseks arvu 0. KOMPLEKSARVU MÕISTE. TEHTED KOMPLEKSARVUDEGA Kaks kompleksarvu on omavahel võrdsed parajasti siis, kui nende reaalosad ja 1. Kompleksarvu mõiste imaginaarosad on vastavalt võrdsed: a + ib = c + id
Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks.
annaabi.ee 
