sisendiga loogikaelement. Ülejäänud loogikaelemendid omavad 2 või enam sisendit. 2. JA-element teeb sisendite loogilist korrutamist ehk konjunktsiooni. (AND) 3. VÕI-element teeb oma sisendite loogilist liitmist ehk disjunktsiooni. (OR) _______ 7. Ekvivalents realiseeritakse asendusseose x 1 x 2 = x 1 x 2 kaudu: 4. JA-EI element teeb oma sisendite konjunktsiooni inversiooni. (NAND) --------------------------------------------------------------------
esitada suvalist loogikaavaldist. Süsteemi täielikkuse kriteerium. Vt lk 281 alt. Milline loogikafunktsioonide süsteem on nõrgalt täielik? Milline on nõrgalt täieliku süsteemi tunnus? Mõlemad lk 285 üleval. Milline loogikafunktsioonide süsteem on baas? Baas on minimaalne täielik loogikafunktsioonide süsteem. Mitu baasi saab koostada 2-muutuja loogikafunktsioonidest f0....f15? 17 baasi. Millised loogikatehted moodustavad üksi baasi? Konjuktsiooni inversioon ja disjunktsiooni inversioon Mis on shefferi baas? Mis on pierce´i baas? Sheffer on Ja-Ei baas, kojunktsiooni inversioon. Pierce´i baas on VÕI-EI baas, disjunktsiooni inversioon. Kuidas saab suvalise loogikaavaldise teisendada JA-EI baasi ning VÕI-EI baasi. Rakendades kas KNK-le või DNK-le vastavalt topeltinversiooni ja rakendades järgnevalt DeMorgani seadust. Millistest tehetest koosnevad implikatiivsed baasid? Implikatsioonist ning kas konstandist 0 või inversioon.
Inversiooni tähistatakse erinevates allikates erinevalt: A A A' Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loogiliste konstruktsioonide abil liitlauseid: Aritmeetilise liitmise tehtemärki ' + ' sobib kasutada VÕI-tehte ehk disjunktsiooni tehtemärgina sellepärast, et disjunktsioon on "tavalise" " kui palka ei tõsteta või tööaega ei vähendata, siis algab streik " aritmeetilise liitmise analoog loogikas. " ülemus on kohal ainult siis, kui tema auto on maja ees" ( Sümbol ' ' on siin ja edaspidi kasutusel tähenduses " on samaväärne" ) Liitlause koosseisu kuuluvat lauset nimetatakse ka osalauseks.
vastuolu seadus topelteituse seadus 3. "TAUTOLOOGIA" on lause, mis on alati vr? False 4. Vali loetelust alternatiivne nimetus neile loogika tehetele! Disjunktsioon - VI-tehe Konjunktsioon - JA-tehe Implikatsioon - jreldamine 5. Milliseid kvantoreid on vimalik eitada? Olemasolu kvantorit 6. Millised kvantorid on olemas? Olemasolukvantor ldsusekvantor 7. Kui loogikaavaldises pole sulgudega mratud tehete jrjekorda,siis KONJUNKTSIOONI, INVERSIOONI, DISJUNKTSIOONI leidumisel tehaksekigepealt... a-inversioon b-konjunktsioon c-disjunktsioon 8. Mitu erinevat tehet kasutatakse lausearvutuses? 5 9. Loogika tehetel on olemas vrsnalised nimetused! Loogiline korrutamine - konjunktsioon Eitus - Inversioon Jreldamistehe - Implikatsioon Loogiline liitmine - disjunktsioon Loogiline lahutamine - puudub 10. Mida thendab humrgiga eksistentsikvantor? Humrk tpsustab, et leidub "tpselt 1".
Vali üks või enam: distributsioon ekvivalents disjunktsioon konjunktsioon implikatsioon inversioon Küsimus 8 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Mida tähendab hüüumärgiga eksistentsikvantor? Vali üks: hüüumärk täpsustab, et "leidub täpselt 1" hüüumärk muudab kvantori tähenduse vastupidiseks hüüumärk rõhutab kvantori suurt tähtsust Küsimus 9 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Kui loogikaavaldises pole sulgudega määratud tehete järjekorda, siis KONJUNKTSIOONi, DISJUNKTSIOONi ja INVERSIOONi leidumisel avaldises . . . kõige esimesena tehakse loogikaavaldises INVERSIOON ...selle järel järgmisena tehakse KONJUNKTSIOON ...ja viimasena tehakse DISJUNKTSIOON Küsimus 10 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Vali loetelust õige alternatiivne nimetus nendele loogikatehetele. implikatsioon on järeldamine
Küsimus 8 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Milliseid kvantoreid on võimalik EITADA? Vali üks või enam: olemasolu kvantorit tõekvantorit lausekvantorit ühtegi kvantorit ei saa eitada Küsimus 9 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Kui loogikaavaldises pole sulgudega määratud tehete järjekorda, siis KONJUNKTSIOONi, DISJUNKTSIOONi ja INVERSIOONi leidumisel avaldises . . . kõige esimesena tehakse loogikaavaldises INVERSIOON ...selle järel järgmisena tehakse KONJUNKTSIOON ...ja viimasena tehakse DISJUNKTSIOON Küsimus 10 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Millised kvantorid on olemas? Vali üks või enam: Üldsuse kvantor Loogikakvantor
samaselt tõesed lausearvutusvalemite võrdused. Õpi Loogikaseadused selgeks!(LK 22-23) Milline binaarne loogikatehe ei ole kommutatiivne. Selleks peaks olema implikatsioon. Millist avaldise teisendusvõimalust esitab distributiivsusseadus? Sulgude ette toomist. Millise loogikaväärtusega disjunktsioon ei muuda avaldise väärtust? 0 väärtuse puhul? Millise loogikaväärtusega konjuktsioon ei muuda avaldise väärtust? 1 väärtuse puhul? Milline on disjunktsiooni tulemus, kui vähemalt üks operandidest on loogikaväärtus 1? Tulemuseks on 1 Milline on konjuktsiooni tulemus, kui vähemalt üks operandidest on loogikaväärtus 0? Tulemuseks on 0. Mitme muutuja jaoks on DeMorgani seadus laiendatav? Piiramatult suurele muutujatearvule. Milleks loogikaseadusi rakendatakse? Et saada formaalsete teisenduste abil valemitest uusi, esialgsega samaväärseid valemeid. Mida võiks veel meelde jätta:
2 olek on erinev f7 disjunktsioon O111 väljundis on f7=X1+X2 e. Loogikaline signaal 1 kui kas liitmine e. või ühes sisendis 1 VÕI on 1. f8 Pierce´i tehe e. 1OOO väljundis on f 8= X 1+ X 2 disjunktsiooni signaal 0 kui 1 inversioon e. kas või ühes VÕI-EI süsteemis on 1 f9 ekvivalentsuse 1OO1 väljundis on f9=X1X2+ e. Sama- signaal 1 ainult 1 väärsus siis kui sisenditel X 1 = on ühesugused
Loogiline liitmine on Eitus on Järeldamistehe on Question 6 Kui loogikaavaldises pole sulgudega määratud tehete järjekorda, siis KONJUNKTSIOONi, Correct DISJUNKTSIOONi ja INVERSIOONi leidumisel avaldises . . . Lehekülg 1/3 24.11.2012 19:38 KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST - lausearvutus file:///C:/Users/CPU/Desktop/Diskmati_TESTID_moodle__'s_-_100%... Mark 1 out of 1
5. Neelamisseadused a. F&(FvG)F FvF&GF 1 6. De Morgani seadused a. (F&G)=FvG (FvG)=F&G 7. Kahekordse eituse seadus a. FF 8. Liikmete elimineerimise reeglid a. F&T=F F&V=V FvT=T FvV=F 9. Implikatsiooni avaldis konjukstiooni ja disjunktsiooni kaudu a. FG(F&G) FGFvG 10. Konjuktsiooni ja disjunktsiooni avaldis omplikatiooni kaudu a. F&G=(FG) FvG=FG 11. Ekvivalentsi avaldis teiste tehete kaudu a. FGF&GvF&G FG(FG)&(GF) Järeldumine on olukord, kus mingi lause loetakse tõeseks, viidates mingite teiste lausete tõesusele. Järeldumine võib aset leida mitmel põhjusel. Def. Ütleme, et valemitest F1, F2, ..
Disjunktiivsel normaalkujul 12.Üldjaatava väite terminite (subjekt – S, predikaat – P) mahud on: Sõltuvuses väite sisust. S+,P+ S-,P+ S-,P- S+,P- 13.Ühekohalise predikaadi tõehulga elementideks on: Tõeväärtused Indiviidid Eeldused Väited Baashulgad 14.Teostades ekvivalentsitehete eituse, saame (samade operandide vahelise) … Range disjunktsiooni. Konjunktsiooni Tautoloogia Disjunktsiooni Implikatsiooni 15.(Puhta) hüpoteelilise süllogismi kehtivuse tagab see, kui … Esimese eelduse alus on lõppjärelduse tagajärg Esimese eelduse alus on teise eelduse alus Esimese eelduse tagajärg on teise eelduse alus Esimese eelduse tagajärg on lõppjärelduse alus Esimese eelduse tagajärg on teise eelduse tagajärg
mitteoluline Küsimus 17 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Milliseid 2-muutuja loogikafunktsioone esitavad need tõeväärtustabelid ? kolmas tõeväärtustabel (3) on konjunktsiooni inversioon neljas tõeväärtustabel (4) on välistav VÕI teine tõeväärtustabel (2) on pöördimplikatsioon esimene tõeväärtustabel (1) on disjunktsiooni inversioon viies tõeväärtustabel (5) on ekvivalents Küsimus 18 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 sisesta õige vastus arvuna: Mitu kahendvektorit kuulub 5-mõõtmelisse Boole'i ruumi? Vastus: 32 Küsimus 19 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 sisesta lahtrisse õige vastus küsimusele: Kuidas nimetatakse kahendvektorite (kindlate omadustega) hulka, kus on 1 või 2 või 4 või 8 või 16 jne kahendvektorit ja mille vektoresitus koosneb sümbolitest 0 1
Lausearvutuses kasutatakse 5 loogikatehet: 1 unaarne ja 4 binaarne. Unaarsel loogikatehtel on 1 operand ja binaarsel loogikatehtel on 2 operandi. 8. Millisel tingimusel on kaks loogikaavaldist omavahel võrdsed? Kaks loogikaavaldist on võrdsed, kui nad arvutavad muutujate väärtustamisel samad väärtused. 9. Kuidas saadakse mingi loogikavaldise jaoks tema duaalne kuju? Loogikaavaldise duaalne kuju saadakse konjunktsiooni asendamisel disjunktsiooniga, disjunktsiooni asendamisel konjunktsiooniga, konstandi 0 asendamisel konstandiga 1 ning konstandi 1 asendamisel konstandiga 0. 10. Milline seos on omavahel hulgaalgebral ja loogikaalgebral? Loogikaalgebra ja hulgaalgebra on isomorfsed. Kõik loogikaalgebra seadused kehtivad ka hulgaalgebras, kui teha asendused: konjunktsioon – ühisosa, disjunktsioon – ühend, konstant 0 – tühi hulk, konstant 1 – universaalhulk. 11. Milleks kasutatakse loogikatehete asendusseoseid
Väidete süsteem on vastuoluline siis, kui tõesustabelis pole ühtegi rida, kus väited oleksid kõik korraga tõesed. Kui aga leidub rida, milles süsteemi väited on korraga tõesed, siis oleme leidnud kontranäite väitele, et selle süsteemi kõik väited ei saa korraga tõesed olla. Laused on ekvivalentsed, kui nende tõeväärtused langevad kokku (tabeli kaks viimast veergu mõlema lause kohta on samade tõeväärtusnumbritega). Reeglid: õ 287 Kommutatiivsus (disjunktsiooni ja konjunktsiooni korral): (P v q) = (q v p) Assotsiatiivsus Distributiivsus Liiasus P=pvp p=p&p Kahekordne eitus p = - - p De Morgani teoreem –(p & q) = -p v –q -(p v q) = -p & -q Konjunktsiooni eitus on eituste disjunktsioon ja vastupidi Materiaalne implikatsioon p->q= -p v q Ümberpööramine p-> q = -q -> -p Materiaalne ekvivalents Täiendavad LA reeglid: Taandamise reeglid: P&1=p
o Disjunktsioon (märk ∨) väljendab seost „või“. Näiteks „Helen laulab või Mart laulab“ on valemkujul A ∨ B. Sidesõna „või“ kasutatakse siin mittevälistavas tähenduses: „Kas A või B või mõlemad“. Igapäevases keeles on käibel ka välistav „või“: „Kas A või B, 1 aga mitte mõlemad“, näiteks „Ma külvan põllule rukist või panen põllule kartulid“. Disjunktsiooni all mõistame mittevälistavat „võid“. o Implikatsioon (märk →) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni „kui . . . , siis . . . “. Näiteks „Kui Sven terve aasta korralikult õpib, siis suudab ta kevadel eksamid hõlpsasti ära teha“ või „Kui kehtib teoreem P, siis kehtib teoreem Q“. Mõlemad laused võib kirja panna valemiga A → B. o Ekvivalents (märk ↔) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost „parajasti
"Tautoloogia" on lause, mille tõeväärtus on alati VALE. Tõene Väär Küsimus 2 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Mida tähendab hüüumärgiga eksistentsikvantor? Vali üks: hüüumärk muudab kvantori tähenduse vastupidiseks hüüumärk täpsustab, et "leidub täpselt 1" hüüumärk rõhutab kvantori suurt tähtsust Küsimus 3 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Kui loogikaavaldises pole sulgudega määratud tehete järjekorda, siis KONJUNKTSIOONi, DISJUNKTSIOONi ja INVERSIOONi leidumisel avaldises . . . Vastus 1 kõige esimesena tehakse loogikaavaldises INVERSIOON Vastus 2 ...selle järel järgmisena tehakse KONJUNKTSIOON Vastus 3 ...ja viimasena tehakse DISJUNKTSIOON
elemente seal lihtsalt pole. Konjunktsiooni võib piltlikult võrrelda kaht paralleelselt voolavat jõge ületavate sildadega. Selleks, et kuiva jalaga üle mõlema jõe saada, peavad mõlemad sillad terved olema. 7 DISUNKTSIOON (disjunction) Tõeväärtuste Boole’i algebras defineeritakse muutujate p ja q disjunktsioon kui binaarne tehe, mille tulem on suurim operandide väärtustest: p ∨ q = max (p, q). Disjunktsiooni kui lausearvutuse tehte tulemi tõeväärtus on sellele tehtele vastava tõeväärtusfunktsiooniga määratud. Ka disjunktsiooni korral pole tulemi tõeväärtus tehte kirjeldamiseks piisav. Lausete p ja q disjunktsioon on konkreetse kujuga lause, mille ehituse määrab see, et ta on just lausete p ja q disjunktsioon. D7.3.3 Disjunktsioon on lausearvutuses binaarne tehe, mis seab operandidele p ja q vastavusse liitlause p ∨ q. Seda lauset nimetatakse lausete p ja q disjunktsiooniks ning
Konjunktsiooni võib piltlikult võrrelda kaht paralleelselt voolavat jõge ületavate sildadega. Selleks, et kuiva jalaga üle mõlema jõe saada, peavad mõlemad sillad terved olema. 7 DISUNKTSIOON (disjunction) Tõeväärtuste Boole'i algebras defineeritakse muutujate p ja q disjunktsioon kui binaarne tehe, mille tulem on suurim operandide väärtustest: p q = max (p, q). Disjunktsiooni kui lausearvutuse tehte tulemi tõeväärtus on sellele tehtele vastava tõeväärtusfunktsiooniga määratud. Ka disjunktsiooni korral pole tulemi tõeväärtus tehte kirjeldamiseks piisav. Lausete p ja q disjunktsioon on konkreetse kujuga lause, mille ehituse määrab see, et ta on just lausete p ja q disjunktsioon. D7.3.3 Disjunktsioon on lausearvutuses binaarne tehe, mis seab operandidele p ja q vastavusse liitlause p q. Seda lauset nimetatakse lausete p ja q disjunktsiooniks ning
Kuna 1 1 = 0 , siis liites tehtega konstante 1 : 1 1 1 = 1 Loogikaalgebra põhiseoste hulgas leidus distributiivsusseadus, mille kohaselt konjunktsioon on distributiivne disjunktsiooni suhtes: 1 1 1 1 = 0 1 1 1 1 1 = 1 x(y z) = xy xz 1 1 1 1 1 1 = 0
Tabel lk 174 Milline on ainus oluline 1muutuja loogikafunktsioon? Inversioon Kuidas võib nimetada 0 muutuja loogikafunktsiooni? Konstant 1 või konstant 0 Mitu erinevat 2muutuja loogikafunktsiooni on olemas? 16, tabel lk 175-176 Millised 2muutuja funktsioonid sõltuvad mõlemast oma muutujast? F1,f2,f4,f6,f7,f8,f9,f11,f13,f14 Milline erinevus on implikatsioonil ja pöördimplikatsioonil? Implikatsioonil on x1-x2 seos, pöördimplikatsioonil vastupidi, x2-x1 Mis on Pierce´i nool? F8, on disjunktsiooni inversioon ja esitatakse märgiga pierci nool. Vt lk 177 Mis on Shefferi kriips? F14, on konjuktsiooni inversioon ja esitatakse ka märgiga shefferi kriips, vt lk 177 Mitu erinevat 3muutuja loogikafunktsiooni 0 on olemas? 256 Miks nimetatakse loogikatehet + summa mooduliga 2 ja välistav või? Summa mooduliga 2, kuna funktsiooni väärtus osutub muutujaväärtuste kõigi nelja kombinatsiooni korral võrdseks muutujate aritmeetilise summaga, millele on rakendatud moodulit 2.
Väidetesüsteemi, mis ei ole vastuoluline nimetatakse KOOSKÕLALISEKS. LITERAAL on lausemuutuja(pos) või lausemuutuja eitus(neg). Mingi lausemuutuja hulga puhul saame koostada ELEMENTAARKONJUNKTSIOONI ehk konjunkti( ehk lihtkonjunktsiooni), milles erinevad literaalid on omavahel seotud konjunktsiooni abil. Sama hulga puhul saame koostada ka ELEMENTAARDISJUNKTSIOONI ehk disjunkti, milles erinevad literaalid on omavahel seotud disjunktsiooni abil. Valemi F DISJUNKTIIVSEKS NORMAALKUJUKS nimetatakse valemiga F samaväärset valemit, mis kujutab endast erinevate lihtkonjunktsioonide disjunktsiooni. Nt A1 & B1... v A2 & B2... v ... PREDIKAATLOOGIKA Hulgal M määratud ühekohaline predikaat ehk UNAARNE PREDIKAAT Px on kujutus(funktsioon), mis seab igale hulga M elemendile(indiviidile) x vastavusse ühe kindla tõeväärtuse tõene(1) või väär(0). Hulka M, mille predikaat on määratud, nimetatakse selle predikaadi
T Selle reegli verbaalseks esituseks sobiks: keeruka(ma)d loogikaavaldised, kuna ka avaldised arvutuvad / asenduvad T loogikaväärtusteks 0 või 1 . "disjunktsiooni ühele poolele võib juurde korrutada teise poole inversiooni (avaldise väärtust sellega muutmata)". /¯¯ näide: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
$ '" ********* f ( x1 x2 ) = x ∨ x disjunktsiooni inversioon 1 [ [ = [ ↔ x ekvivalents 110 [ x = teise muutuja inversioon ,
(Reegli autoriks peetakse Aristotelest.) 3_fl_i-v VÄLISTATUD KOLMANDA SEADUS (ld principum exclusi tertii; ik law (principle) of the excluded third (middle) ): Kahest väitest, millest üks eitab seda, mida teine jaatab, on üks tingimata tõene ja teine väär ning kolmandat võimalust ei ole. Sümbolkujul: (p ¬p) , kus p tähistab otsustust (väidet), ¬ eitust ning disjunktsiooni (vähemalt ühe väite tõesust). Reegel välistab kompromissi vasturääkivas arutluses. Ei saa olla, et lause ja selle eitus on korraga väärad või korraga tõesed. (Reegli autoriks peetakse Aristotelest.) KÜLLALDASE ALUSE SEADUS (ld principum rationis sufficientis; ik principle of sufficient reason): Ühtki lauset ei saa pidada tõeseks ega vääraks ilma küllaldase aluseta. Reegli autoriks on G.W. Leibnitz. (Reegli kuuluvus klassikalisse loogikasse on vaieldav.)
t v t v v t t t v v v v t t v t t v v t t v t v v t v v v v t v v t t v v v v v t v Tõeväärtuste arvestusel peame silmas seda, et valemi tõeväärtuse arvutamise puhul mängivad rolli kõigi tema osalausete tõeväärtused. Seega a) esimese tehte tõeväärtuse saime nii: vaatasime tulpasid A ja C ning arvutasime välja nende disjunktsiooni tõeväärtuse ; b) teise tulba saime nii: vaatasime tulpa B implikatsiooni eeldusena ja eelmise tehte tõeväärtust implikatsiooni järeldusena ning arvutasime vastava tõeväärtuse lähtuvalt implikatsiooni tõeväärtuse reeglist; c) kolmanda tehte saime nii: eitasime eelmise tehte tõeväärtust; d) neljanda tehte saime nii: vaatasime tulba A ja eelmise tehte tõeväärtust ning arvutasime nende konjunktsiooni tõeväärtuse.
Hulgateooria valemid Valemite õigsus ja põhjendatus Hulgateooria tähestiku põhisümbolid Î elemendiks olemise seos = võrdseks olemise seos Ø eituse operaator & konjunktsiooni operaator („on see ja on too“) Ú disjunktsiooni operaator („on see või on too“) É implikatsiooni operaator („kui on see, siis on too“) Û ekvivalentsi operaator („see ja too on samaväärsed“) " üldsuse kvantor („kõik“) $ olemasolu kvantor („mõni“) Hulkade tähisteks on tavaliselt mingi „klassikalise alfabeedi“ (nt kreeka või ladina tähestiku) tähemärgid Märkus. Lisaks tähistele (millel peavad olema tähendused) on meil edaspidi vaja
· B1 ={ f8 } Teisenduseks on sobivaim lähtuda KNK-st, inverteerida funktsiooni kahekordselt ning rakendada De Morgani seadust. Resultaat: f(x1, x2, x3) = ( x1 ( x2 x2 ) ) ( x1 x3 ) · B2 ={ f14 } Teisenduseks sobib funktsiooni DNK-d inverteerida kahekordselt ja rakendada De Morgani seadust. Resultaat: f(x1, x2, x3) = ( x1 x1 ) (( x2 x2 ) x3 ) · B3 ={ f1 , f12 } Lähtuda võib suvalisest normaalkujust, ellimineerides mittelubatud disjunktsiooni. Erinevus baasist B2 seisneb selles, et baas B3 lubab kasutada "puhast" konjunktsiooni (ilma inversioonita). Resultaat: f(x1, x2, x3) = ( x1 & x2 ) & ( x1 & x 3 ) 27 · B4 ={ f7 , f12 } Teisendus analoogiline teisendusega baassüsteemi B3 . Erinevusena baasist B1 märgime "puhta" disjunktsiooni kasutamise võimalust. Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 ( x2 x3 ) · B5 ={ f12 , f13 } Teisenduseks kasutame järgmisi abivalemeid:
B1 ={ f8 } Teisenduseks on sobivaim lähtuda KNK-st, inverteerida funktsiooni kahekordselt ning rakendada De Morgani seadust. Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 x2 x2 x1 x3 B2 ={ f14 } Teisenduseks sobib funktsiooni DNK-d inverteerida kahekordselt ja rakendada De Morgani seadust. Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 x1 x2 x2 x3 B3 ={ f1 , f12 } Lähtuda võib suvalisest normaalkujust, ellimineerides mittelubatud disjunktsiooni. Erinevus baasist B2 seisneb selles, et baas B3 lubab kasutada "puhast" konjunktsiooni (ilma inversioonita). Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 & x2 & x1 & x 3 B4 ={ f7 , f12 } Teisendus analoogiline teisendusega baassüsteemi B3 . Erinevusena baasist B1 märgime "puhta" disjunktsiooni kasutamise võimalust. Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 x2 x3 B5 ={ f12 , f13 } Teisenduseks kasutame järgmisi abivalemeid: x1 x2 x 1 x2 x1 & x2 x1 x 2
transistoridel (piisab kahest sisendist). Inventer ehk EI element. Koosmeb kahest järjestikku ühendatud eri tüüpi kanaliga väljatransistorist. vdd-toide NING-EI (NAND) – realiseerib konjuktsiooni eitust. Väljund on kõrgel nivool siis, kui vähemalt ühe sisendi nivoo on madalal ja vastavalt väljund on madalal nivool, kui kõik sisendid on kõrgel nivool. Valmistatakse kuni kaheksa sisendiga loogikaelemente. VÕI-EI – realiseerib disjunktsiooni eitust. Väljund on madalal nivool siis, kui vähemalt ühe sisendi nivoo on kõrge ja vastavalt on ta väljund kõrge nivool, kui kõik sisendid on madalal nivool. Kahe sisendiga skeem koosneb neljast transistorist. 10. Asünkroonsed trigerid (olekutabelid, skeemi tingmärgid). Triger- elementaarne mäluelement 1 biti hoidmiseks. On kahe püsitasakaaluseisundiga lülitus. Sisaldab kaht transistorit või muud aktiivelmenti, mis on vastastikku seotud tagasisidega
Täielikule konjunktiivsele normaalkujule viimise algoritmi sammud 1) Elimineerida valemist implikatsioonid ja ekvivalentsid. 2) Viia eitused vahetult lausemuutujate ette, jätta ära kahekordsed eitused. 3) Viia disjunktsioonid konjunktsioonidest sügavamale. 4) Jätta ära samaselt tõesed ja korduvad liikmed ning liikmetest korduvad literaalid. 3 elementaarkonjuktsioonide disjunktsiooni 4 SML õpik lk. 27 4 5) Lisada liikmetele puuduvad lausemuutujad ning viia uuesti disjunktsioonid konjunktsioonidest sügavamale. 6) Järjestada igas liikmes literaalid ja jätta ära korduvad liikmed. Formaalse aksiomaatilise teooria üldskeem. Teooria korrektsus ja täielikkus semantika suhtes. Formaalse aksiomaatilise teooria üldskeem
0↔0=1 1↔1=1 0↔1=0 𝑥⊕𝑥=0 𝑥⊕1=𝑥̅ 𝑥⊕0=𝑥 𝑥⊕𝑥̅=1 0⊕1=1 1⊕1=0 1⊕1⊕1=1 0⊕0=0 1→0=0 1→1=1 0→1=1 0→0=1 LOOGIKAFUNKTSIOONID 1-muutuja loogikafunktsioone on 4. Ainus oluline 1-muutuja funktsioon on inversioon 𝑓(𝑥)=𝑥̅. 0-muutuja loogikafunktsioon ei sõltu funktsiooni muutujast x. 2-muutuja loogikafunktsioone on 16. 2-muutuja loogikafunktsioonid sõltuvad kõik oma mõlemast muutujast va. esimene ja teine. Disjunktsiooni inversiooni esitatakse märgiga ↓ (Pierce’i nool) 𝑥1∨𝑥2= ̅ 𝑥1↓𝑥2 . Konjunktsiooni inversiooni esitatakse märgiga | (Shefferi kriips) 𝑥1𝑥2̅=𝑥1|𝑥2 . 3-muutuja loogikafunktsioone on 256. ⊕ nimetus „summa mooduliga 2“ tuleneb sellest, et F-ni väärtus osutub muutujaväärtuste kõigi nelja kombinatsiooni korral võrdseks muutujate aritmeetilise summaga, millele on rakendatud moodulit 2:
L1 L2 Väljund 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 ■ Siin peaks teadma, mis loogika tehet iga antud loogikaelement tähendab ■ See tabel ongi pmst tõeväärtustabel, kui meenutame veits kallist DMEd, siis saame aru, et see tabel käib disjunktsiooni ehk VÕItehte kohta, millele vastav loogikaelement on a ■ Vastus: a b. Milline joonisel kujutatud loogikaelementidest töötab vastavalt selles kahendväärtuste tabelis kirjeldatule? L1 L2 Väljund 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0
b. Olgu vaatluse all komplekt lausemuutujaid 1, 2,..., n, lisades vajaduse järgi eitusi, moodustame literaalid 1, 2,..., n ning koostame valemi 1 & 2 & ... & n. Sellist valemit nimetatakse täielikuks elementaarkonjunktsiooniks. c. Lausearvutuse valemi täielikuks disjunktiivseks elementaarkonjunktsiooniks (TDNK) nimetatakse valemiga samaväärset valemit, mis kujutab endast erinevate täielike elementaarkonjunktsioonide disjunktsiooni. TDNK on tõene parajasti nendel väärtustustel, mis vastavad normaalkuju liikmetele. d. TDNK leidumine. Teoreem. Kui valem ei ole samaselt väär, siis tal leidub täielik disjunktiivne normaalkuju. e. Valemi TDNK jaoks on üheselt määratud seal esinevate täielike elementaarkonjunktsioonide hulk, see peab vastama esialgse valemi tõeväärtuse veerule. Seega on TDNK määratud ühesel kuni elementaarkonjunktsioonide järjestuse täpsuseni
Ütleme, et valemitest F1, F2, ..., Fn järeldub valem G, kui igal neis valemeis esinevate muutujate väärtustusel, millel F1, F2, ..., Fn on tõesed, on ka G tõene Lausearvutuse põhisamaväärsused eraldi lehel!! 2. NORMAALKUJUD Lausearvutuse valemi F täielikuks disjunktiivseks normaalkujuks (TDNK) nimetatakse valemiga F samaväärset valemit, mis kujutab endast erinevate täielike elementaarkonjuktsioonide disjunktsiooni o Täielik disjunktiivne normaalkuju on tõene parajasti nendel väärtustustel, mis vastavad normaalkuju liikmetele o X111 & ... & Xn1n X121 & ... & Xn2n ... X1m1 & ... & Xnmn on tõene väärtustustel (11, ..., 1n), (21, ..., 2n), ..., (m1, ..., mn) ja väär kõigil ülejäänud väärtustustel o TDNK-le viimine: Koostame valemi põhjal tõeväärtustabeli Vaatame vaid neid ridu, mil valem on tõene
1⊕1⊕1=1 0⊕0=0 1→0=0 1→1=1 0→1=1 0→0=1 OK LOOGIKAFUNKTSIOONID 1-muutuja loogikafunktsioone on 4. Ainus oluline 1-muutuja funktsioon on inversioon 𝑓(𝑥) = 𝑥̅ . 0- muutuja loogikafunktsioon ei sõltu funktsiooni muutujast x. 2-muutuja loogikafunktsioone on 16. 2- muutuja loogikafunktsioonid sõltuvad kõik oma mõlemast muutujast va. esimene ja teine. Disjunktsiooni inversiooni esitatakse märgiga ↓ (Pierce’i nool) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥1 ∨ 𝑥2 = 𝑥1 ↓ 𝑥2 . Konjunktsiooni inversiooni esitatakse märgiga | (Shefferi kriips) 𝑥 ̅̅̅̅̅̅ 1 𝑥2 = 𝑥1 |𝑥2 . 3-muutuja loogikafunktsioone on 256
· V(G) annab haruadekvaatsete testide soovitatava arvu · tekib keerukuse ja arendusaja hinnang · keerukust saab hinnata juba projekti staadiumis, s.t enne programmi tegelikku koostamist · saab kasutada arenduses oleva mooduli hindamiskriteeriumina, ühe mooduli V(G) mõõt peaks olema 10 Kui If-lause tingimus on loogiline avaldis, siis tekivad selle avaldise läbimisel sisuliselt programmi harud, kuigi näiliselt selliseid harusid ei ole. Näiteks võidakse disjunktsiooni puhul hinnata tingimus tõeseks juba esimese komponendi tõesuse korral; järgmisi komponente siis enam ei hinnata ega testita. Neid harusid saab programmi graafis kujutada. Järgmine haruadekvaatsusest tugevam nõue ongi elementaartingimuste adekvaatsus - ka loogilise avaldise harud peavad olema testide käigus läbitud. Ka see on üsna mõistlik kriteerium ja praktikas kasutusel. Viimase kriteeriumina sellest klassist vaatame nõuet, et programmi testimisel peavad
ning loeb neid meelsasti. Disjunktiivne (liigitav) on liitotsustus, milles lihtotsustused on ühendatud sõna "või", aga samuti "kas ... või..." abil. Viimane nimetatakse välistavaks disjunktsiooniks ehk dilemmaks, mida iseloomustab kontradiktoorsele seosele rajatud liigitamine ( A & mitte-A). Näiteks, Kirjutusmasin võeti kasutusele 1857. või 1876. aastal. See otsustus on välistav disjunktiivne ehk dilemmaline, siinjuures abisõna "kas"on juurdemõeldav. Järgmises näites disjunktsiooni liikmed ei pruugi üksteist välistada: A.V. tuli maailmameistriks tänu heale füüsilisele ettevalmistusele, või heale stardipositsioonile, või treeneri asjalikule juhendamisele, või heale varustusele. Implikatiivne (tingiv) on liitotsustus, milles kaks lihtotsustust on ühendatud siduvate sõnadega "kui ..., siis ...". Kuid mitte kõik liitlaused, milles esinevad nimetatud siduvad sõnad ei ole implikatiivsed otsustused. Näiteks, Kui saapad ja
1 kui kas või f 7 = x1 + x2 x11 Y liitmine VÕI ühes sisendis f 7 = x1vx2 x2 on üks Digitaaltehnika konspekt 11 Piere'i tehe e. Väljundis on f8 = x1 x2 f8 disjunktsiooni 1000 0 kui kasvõi f8 = x1vx2 x11 Y eitamine ühes sisendis x2 VÕI-EI on 1 f8 = x1 gx2 f9 Samaväärsus 1001 Väljundis on f 9 = x1 gx2 + x1= Y
x2 f8 x1 x2 x1 f8 Piere’i tehe e. disjunktsiooni eitamine VÕI-EI 1000 Väljundis on 0 kui kasvõi ühes sisendis on 1 f8 x1vx2 1 Y
Boole'i ehk loogikafunktsioonide teisendamiseks eraldatakse nende hulgast nn elementaarfunktsioonid. Nendeks on esiteks kõik mõeldavad kahe muutuja funktsioonid, sealhulgas eespool vaadeldud inversioon, disjunktsioon ja konjunktsioon; kahe muutuja funktsioone on kokku 16. Teiseks kuuluvad elementaarfunktsioonide hulka kõik rohkem kui kahe argumendiga funktsioonid, milles argumendid on omavahel seotud kas ainult disjunktsiooni- või ainult konjunktsioonitehtega. Boole'i funktsiooni standardesituseks on tema normaalkuju. Loogikafunktsiooni normaalkuju koosneb elementaarkonjunktsioonidest (konjunktsioonitehte abil seotud otsestest või inverteeritud muutujatest, kus iga muutuja esineb vaid üks kord). Kui loogikafunktsioon on esitatud elementaarkonjunktsioonide disjunktsioonina, nimetatakse esitusviisi funktsiooni disjunktiivseks normaalkujuks (DNK). Vähem
liik, rabades leidub ka ning Alpides. On fossiilselt leitud ka Kesk- Euroopas. Vaevakask armastab külmemat kliimat ning kliima muutudes on see arktiliseks ja alpiinnseks eristunud. Konvergents. Evolutsioonilselt kaugete taksonite muutumine sarnasteks (,,valed disjunktsioonid") arenenud sarnasteks seetõttu, et ökoloogiline roll ja eluviis nõuab just sellist eluvormi. Meenutavad disjunktsiooni, sest nii sarnased välimuselt, kuid evolutsioonilselt pole kunagi koos olnud. Nt urson (Ameerikad) ja okassiga (vana maailm), kapibaara (am) ja kääbusjõehobu (aaf), pakat (am) ja vesihirvik(aaf), aguuti (am) ja pisiantiloop (aaf), hallmasaama (am) ja kollaselg-kabrik (aaf). Pärisimetajate ja kukkurloomade sarnasus. Kaktus ja piimalill. Ökogeograafilised seaduspärad. · Biogeograafia ,,seadused" · Oluliste ökoloogiliste tunnuste muutumine ruumis (nt kehamassi suurus).
Kui aga x = L, juhib voolu ülemine transistor ja väljund on H. Väljundi väärtus on seega vastupidine sisendi väärtusele (inversioon). Ümberlülitumisel LH või HL tekib voolu hüpe, mis põhjustab soojenemist. Seepärast on mikroskeemidel jahutus. CMOS ja-ei-element – konjunktsiooni eitus. Ehitus transistorite tasemel: üleval kaks rööbiti pMOS-i ja alla jadamisi kaks nMOS-i. Voolu tarbimine sama mis ei-elemendi juures. CMOS või-ei-element – disjunktsiooni eitus. Üleval JADAMISI kaks pMOS-i, all kaks rööbiti nMOS-i. 27 CMOS ja- ja või-elemendid – CMOS-i tehnoloogias on lihtsaim ei-element, järgnevad ja-ei ning või-ei-element. Ja- ning või-elemendi valmistamiseks tuleb ja-ei ja või-ei-elemendi väljundisse lisada täiendav ei-element. Bipolaarsed tehnoloogiad – kasutatakse bipolaarseid dioode ja transistoreid, kus
erijuhtu, kus kasutatakse ainult tõesusastmeid 0 ja 1. Samas peab hägusloogika semantika olema vastavuses loogikareeglitega ja meie intuitsiooniga ning lahendama soriitide paradoksid. Me asendasime tõeväärtused tõene ja väär vastavalt reaalarvudega 1 ja 0. Sellisel juhul on mõistlik vaadelda tõesusastme x eitust kui tõesusastet 1 x. Tõesusastmete x ja y konjunktsiooni väärtuseks võib võtta neist arvudest väiksema. Nende disjunktsiooni väärtuseks sobib aga suurem arvudest x ja y. Nii annavad klassikalised loogikatehted ja hägustehted tõesusastmetel 1 ja 0 sama tulemuse. Miinimum- ja maksimumfunktsioonide kasutamine on antud juhul loomulik, sest nendel funktsioonidel on konjunktsiooniga ja disjunktsiooniga palju samaseid omadusi. Nad on näiteks kommutatiivsed ja assotsiatiivsed. 44_fl_vi-x F(A) = 0.75; F(¬A) = 0.25;
_ eitus ehk negatsioon ehk inversioon. Muutuja ,,a" eitust tähistatakse ,,a" ning loetakse ,,MITTE ,,a""; konjunktsioon ehk loogiline korrutamine. Muutujate ,,a" ja ,,b" konjuktsiooni võib tähistada mitmel viisil: a & b, a b , a * b või lihtsalt ab ning loetakse ,,a" JA(NING) ,,b"; disjunktsioon ehk loogiline liitmine. Muutujate ,,a" ja ,,b" disjunktsiooni võib tähistada kas a b või a + b ning loetakse ,,a" VÕI ,,b". Seost, mis esitab ühe kahend- ehk Boole´i muutuja sõltuvust ühest või mitmest kahend- ehk Boole´i muutujast nimetatakse Boole´i ehk loogikafunktsiooniks z = f(a,b,c,...). Kahendmuutujad a,b,c,... on selle funktsiooni argumendid. Boole´i funktsioonide hulgast eraldatakse nn elementaarfunktsioonid, millisteks on
5. De Morgani seaduse tõestus kontaktskeemide abil Boole'i ehk loogikafunktsioonide teisendamiseks eraldatakse nende hulgast nn elementaarfunktsioonid. Nendeks on esiteks kõik mõeldavad kahe muutuja funktsioonid, sealhulgas eespool vaadeldud inversioon, disjunktsioon ja konjunktsioon; kahe muutuja funktsioone on kokku 16 (tabel 1.5). Teiseks kuuluvad elementaarfunktsioonide hulka kõik rohkem kui kahe argumendiga funktsioonid, milles argumendid on omavahel seotud kas ainult disjunktsiooni- või ainult konjunktsioonitehtega. Tabel 1.5 a b f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 "0" & a b ⊕ ∨ ~ b a & "1" ab ba ba ab 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
annaabi.ee 
