Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Reaalarvulise astendajaga aste a0 = 1; a 0 a1 = a a-n = (1/a)n; a 0 a(m/n) = nam am * an = am+n am : an = am-n (am)n = am*n n a * b = na * nb n a/b = na/ nb n m a = nm n am = nkamk (a*b)n = an * bn (a/b)n = an/bn
x2=1. Siit saime kaks lahendit. · Teame ka, et arvu 1 astendades mistahes reaalarvuga, saame alati ühe. Seega võib võrrandil olla lahendeid, kui astme alus võrdub ühega. x+2=1; x3=-1. · Veel teame, et kui negatiivset arvu astendada paarisarvulise astendajaga, siis saame positiivse arvu. Järelikult, kui arvu -1 astendada paarisarvulise astendajaga, saame ühe. Võrdsustame astme aluse -1-ga, saame x+2=-1; x4=-3. Nüüd peame veel kontrollima, kas siis, kui x=-3 on astendaja paarisarv. (-3)2-(-3)=9+3=12. Seega ka lahend x4=-3 rahuldab võrrandit.
1 1 1 1 1 . 4 4 4 4 64 1 kilobait = 210 baiti = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 baiti 1024 baiti. = algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Negatiivse arvu astendamine Näited (2)3 (2) (2) (2) 8. (0,5) 4 (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) 0,0625. Järeldus viimastest näidetest: Kui negatiivset arvu astendada paarisarvulise astendajaga, on tulemus positiivne, kui paarituarvulise astendajaga, on tulemus negatiivne. Negatiivset arvu astendades tuleb see alati sulgudesse panna: (4) 2 (4) (4) 16; aga: 42 4 4 16. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Astendajad 0 ja 1 Astme an leidmist nimetatakse astendamiseks, arvu a astendatavaks (e. astme aluseks) ning arvu n astendajaks (ehk astmenäitajaks).
Kui astendaja on 1 või 0, siis defineeritakse arvu aste nii: a1 a a 0 1, kui a 0 Näited 1 1 1 01 0 1 0 1 0,0030 1 ( ) 0 1 Negatiivne astendaja. Negatiivse astendajaga aste defineeritakse võrdusega n 1 a n kui a 0. a Näited 1 1 1 1 2 3 2 ; 2 3 ; 3 9 (2) 3 8 1 2 1 1 2 5
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3; a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2); a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2); Teeme ülesanded. Rühmitamisvõte: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y) Meeldetuletuseks: Kahe negatiivse arvu korrutamisel (samuti jagamisel) saame tulemuseks positiivse arvu; Miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees. ASTME MÕISTE ÜLDISTAMINE TÄISARVULISTE ASTENDAJAGA ASTE Astendamine on võrdsete tegurite korrutise a a a a = an leidmine, kus an on aste, n tegurita astendatav ja n astendaja. Näide: 34 = 3 3 3 3 = 81 Pea meeles! iga arv astmes 1 on see arv ise: a1 = a iga arv astmes 0 on võrdne ühega: a0 = 1 REEGLID m (a b) = a b a m-n = n n n
8 · Teine seos KA VAHE ON SUMMA Kui meil on näiteks tehe ( a - b ) , tuleb seda võtta kui a + ( -b ) n n , mis tähendab seda, et saadavas avaldises tuleb kõigi liikmete, mis sisaldavad 'b'-d märgid kirjutada vastupidiselt, välja arvatud juhul, kui 'b' on paarisarvulise astendajaga. NÄITEKS: ( a - b) a + ( -b ) 3 3 = = a - 3a b + 3ab - b 3 2 2 3 ( a - b) a + ( -b ) 5 5 = = a - 5a b + 10a b - 10a b + 5ab - b 5 4 3 2 2 3 4 5 · Kolmas seos ROHKEMATE LIIKMETEGA SUMMA ASTENDAMINE
: = b n b ∘m ristkülik P= 2(a+b) S= a · b Täisarvulise astendajaga aste an = a · a · ... · a a1 = a a0 = 1 P= 4a S= a · h + = 180º n tegurit romb Aritmeetiline ruutjuur
7. a b a b a a 8. , kui b0 b b 2 Astmed ja juured Tehted astmetega: 1. a m a n a m n 2. a m : a n a m n 3. a b n an bn n a an 4. b bn 5. a m n a m n Negatiivse astendajaga aste 1 a n , kus a R, a 0, n N . an Arvu 10 astmed Eesliide Tähis Kordsus Eesliide Tähis Kordsus eksa- E 10 18 ato- a 10-18
7. a b a b a a 8. , kui b0 b b 2 Astmed ja juured Tehted astmetega: 1. a m a n a m n 2. a m : a n a mn 3. a b n an bn n a an 4. b bn 5. a m n a m n Negatiivse astendajaga aste 1 a n , kus a R, a 0, n N . an Arvu 10 astmed Eesliide Tähis Kordsus Eesliide Tähis Kordsus eksa- E 10 18 ato- a 10-18 peta- P 1015 femto- f 10-15
m küljepikkus Kera Ruumala: · r3 Pindala: S = 4 · · r2 O - keskpunkt, r - raadius Valemid Tehted harilike murdudega Võrde põhiomadus Täisarvulise astendajaga aste an = a · a · ... · a a1 = a a0 = 1 n tegurit Aritmeetiline ruutjuur Ruutjuur korrutisest: Ruutjuur jagatisest: Tehted astmetega Võrdsete alustega astmete Võrdsete alustega astmete Korrutise Jagatise Astme
1. Reaalarvud ja avaldised Põhiteadmised: · Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused; · arvtelje vahemik, lõik ja poollõigud; · arvu absoluutväärtus; · ratsionaalarvulise astendajaga aste; · ratsionaal- ja irratsionaalavaldised; · protsent; · aritmeetiline ja geomeetriline keskmine; · korrutamise abivalemid. Põhioskused · Võrrandi ja võrratuse lahendihulga, funktsioonimääramis-, muutumis-, positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade ning kasvamis- ja kahanemisvahemike kujutamine punktihulkadena; · astmeid ja juuri sisaldavate avaldiste lihtsustamine; · protsendi mõiste kasutamine: protsendi leidmine arvust, arvu leidmine protsendi järgi,
MA1 - Reaalarvud. Võrrandid 1. Teemad Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused. Reaalarvude piirkonnad arvteljel. Reaalarvu absoluutväärtus. Protsentülesanded. Astme mõiste üldistamine: täisarvulise ja ratsionaalarvulise astendajaga aste. N- es juur. Tehted astmete ja juurtega. Ratsionaal- ja irratsionaalavaldiste lihtsustamine. Irratsionaalsusest vabanemine. Lineaar-, ruut-, murd- ja juurvõrrandid. Võrrandite koostamine. Lihtsamate tekstülesannete lahendamine. 2. Tarkuseterad 2.1 Arvuhulgad Loendamisel kasutatavad arvud Arv 0 Kas 0N? Naturaalarvud N
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 1. Reaalarvud ja avaldised Põhiteadmised: · Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused; · arvtelje vahemik, lõik ja poollõigud; · arvu absoluutväärtus; · ratsionaalarvulise astendajaga aste; · ratsionaal- ja irratsionaalavaldised; · protsent; · aritmeetiline ja geomeetriline keskmine; · korrutamise abivalemid. Põhioskused · Võrrandi ja võrratuse lahendihulga, funktsioonimääramis-, muutumis-, positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade ning kasvamis- ja kahanemisvahemike kujutamine punktihulkadena; · astmeid ja juuri sisaldavate avaldiste lihtsustamine;
Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited. 7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10. 4000 = 4 ∙ 10³ 3. Korrutise ja jagatise astendamine, astme astendamine Mis tahes aluse nullis aste on 1. Negatiivse astendajaga aste on võrdne absoluutväärtuselt sama suure positiivse arvu astendajaga astme pöördväärtusega. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. 4. Üksliikmed, sarnaste liikmete koondamine.
Lihtsustamiseks kasutatakse: 1) Ühise teguri sulgude ette toomist. Kui on vaja muuta avaldises märke, tuleb sulgude ette tuua miinusmärk. 2) Ühise nimetaja leidmist: kui kõigi liikmete nimetajad on lahti kirjutatud, siis ühiseks nimetajaks valitakse kõige suurem nimetaja ja lisatakse teistest nimetajatest see, mida valitud nimetajas pole. Kui on tegemist astmetega, tuleb ühisesse nimetajasse suurima astendajaga tegur. 3) Abivalemeid: ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) 4) Ruutkolmliikme lahutamist teguriteks: ax + bx + c = a( x - x1 )( x - x 2 ) 2 Ruutvõrrandi lahendivalem - b ± b 2 - 4ac x=
Türi 2012 Sisukord Ristsõnad............................................................3-7 Vastused..............................................................11-17 3 Aste Paremale 2. -7 absoluutväärtus on 4. Arv mida astendan 5. Iga arv astmes 1 on võrdne arvu 6. -2 on arvu 2 7. Alus koos astendajaga 8. Arv, millega astendan Alla 1. Kui astendaja on 0 siis aste võrdub 3. Negatiivse aluse kirjutan 4 Protsent Paremale 4. Osa jagatud tervikuga on 5. Osamäär korrutatud tervikuga on 7. 75% tervest on 8. Tervik jagatud osamääraga on Alla 1. Tuhandik osa tervikust on 2. 25% tervest on 3. Protsentides antud osamäär on 6. 50% tervest on 5
hulk I ja absoluutväärtuse; reaalarvude hulk 3) märgib arvteljel reaalarvude R, nende piirkondi; omadused. 4) teisendab naturaalarve Reaalarvude kahendsüsteemi; piirkonnad 5) esitab arvu juure arvteljel. ratsionaalarvulise astendajaga Arvu astmena ja vastupidi; absoluutväärtus. 6) sooritab tehteid astmete ning Arvusüsteemid võrdsete juurijatega juurtega; (kahendsüsteemi 7) teisendab lihtsamaid ratsionaal- näitel). ja irratsionaalavaldisi; Ratsionaal- ja 8) lahendab rakendussisuga irratsionaalavaldis ülesandeid (sh
Vastus. Võrrandi lahendiks on x = 2. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Juurvõrrandi definitsioon ja lahendamine Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb juuritavas. Näited Võrrandid 4 x 1 4 x 8 ja x 2 1 on juurvõrrandid, kuid võrrand x 7 2 3 ei ole juurvõrrand. Juurvõrrandi lahendamiseks astendatakse enne sobivalt teisendatud võrrandi mõlemat poolt ühe ja sama astendajaga. Lahendamisel saadud muutuja väärtusi tuleb tingimata esialgse võrrandi abil kontrollida, sest võrrandi mõlema poole astendamisel paarisarvuga on võimalus võõrlahendite tekkimiseks. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näiteid juurvõrrandi lahendamisest (1) Näide 1 Lahendame võrrandi x 2 3. Lahendus Kuna x 2 | x |, (vt
Näited 2a (5 2c) 2 ratsionaalne avaldis: (3x 2 y 3 )3 irratsionaalne avaldis: x2 y2 irratsionaalne avaldis: x2 / 3 y3/ 2 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Üksliikmed (e. monoomid) Arvulise teguri ja ühe või mitme tähelise sümboli naturaalarvulise astendajaga astme korrutist nimetatakse üksliikmeks e. monoomiks. 3 2 5 2 Näited üksliikmed: 11ab c ; d ; 2d ; 5; 1 x; 4 2 ei ole üksliikmed: 1/ 3 5
1.8 Kümnendsüsteemi arvude teisendamine erinevatesse arvusüsteemidesse Et teisendada kümnendsüsteemi arv arvusüsteemi, mille aluseks on n, jagame antud arvu alusega n. Kirjutame välja saadud jagatise ja jäägi. Jagame seejärel saadud jagatise taas alusega n ja kirjutame välja jagatise ning jäägi. Jätkame kirjeldatud jagamist, kuni jagatis on 0. Otsitud arvu saame, kui kirjutame saadud jäägid üksteise järele alustades viimasest. 1.9 Täisarvulise astendajaga astendajaga · an=a·a·a·a (n tegurit) · a1=a · (a·b)n=an·bn · (a/b)n=an/bn · (an)m=anm · am·an=am+n · am/an=an-n 1.10 Ruutjuur a=b, kus b0 ja b2=a · a·b=a·b · a/b=a/b · na+ma=(n+m)a · a2=|a| 1.11 Arvu n-es juur 2k-ndaks juureks mittenegatiivsest arvust a nimetatakse sellist mittenegatiivset arvu b, mille 2k-s aste on a (2k+1)ks juureks arvust a nimetatakse sellist arvu b, mille (2k+1)-ne aste on a 1.12 Juurte omadusi
ja arvutada; astme või korrutise või jagatise astendamisel tuleb mõelda, kas teha enne tehe = = = = sulgudes või astendajatega = = (0,05 0, 5 =(0,5 5 =10 17.Avaldise vabastamine negatiivsest Õ ül.140,156 astendajast - negatiivse astendajaga aste tõsta lugejast nimetajasse või vastupidi, muutes ; astendaja positiivseks; võimalusel lihtsustada 18.Peastarvutamine astmetega - kasutan viit Õ ül.82,103,123,131,132 astendamise põhivalemit, mõnda neist tagurpidi , 19.Arvu 10 astmed - kasutatakse arvu Õ ül.59,69,115 kirjutamisel standardkujul = ja 20.Tähtavaldise väärtuse arvutamine - kirjutada Õ ül.108
astendame astme alust. nt : a(astmes n) * a(astmes m) = a (astmes n+m) 3(astmes4)* 3 (ruudus) = 3(astmes 6) = 729 5. Astemete astendamine. Too nide. * Astmete astendamisel antendajad korrutame ja siis astendame. nt: (a astmes n) astmes m = a astmes mn ; (2 astmes -3) astmes 4 = 2 astmes -12 6. Astmete jagamine. * Sama alusega astmete jagamisel me lahutame astendajad ja siis astendame astme alust. 7.Negatiivne astendaja. Too nide . * Negatiivse astendajaga aste thendab murdu , mille lugejaks on arv ks ja nimetajaks sama aste positiivne astendaja. nt: a ( astmes -m) = 1 / a(astmes m) 2(astmes -3) = 1 / 2(astmes 3 ) = 1 / 8 (PS! kaldkriips ( / ) = murrujoon ) 8. Arvu standartkuju. Too nide . * Arvu standartkuju on see, kui me esitame arvu kahe teguri korrutisena, kus ks tegur on arv, mis on hest suurem ja kmnest viksem, teiseks teguriks on 10'ne aste. nt: 256 000 000 = 2,56 * 10 ( astmes 8 ) ; 0,000 0054 = 5,4 * 10 (astmes -6) 9
t1 = -3; t 2 = -0,5 arcsin ( - 0,5) = -30 0 ( ) Vastus : x = ( - 1) - 300 + n 180 0 , n Z n 4. Homogeensed võrrandid Võrrandi iga liidetava trigonomeetriliste funktsioonide astendajate summa on ühesugune. Lahendamiseks jagatakse kõik liikmed läbi ülesandes esineva kõrgeima astendajaga koosinusega. 3 cos x + 5 sin x = 0 : cos x Näide: 3 cos x 5 sin x + =0 5 tan x = -3 : 5 arctan ( - 0,6) = -310 cos x cos x tan x = -0,6 Vastus : x = -310 + n 180 0 , n Z 3 + 5 tan x = 0 Näide: 4 sin x + 2 sin x cos x = 3 2 ( 4 sin 2 x + 2 sin x cos x = 3 sin 2 x + cos 2 x ) Võrrandis olevad täisarvud saab
Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine arvu 10 aste, siis öeldakse, et arv on kirjutatud standardkujul. N: 20000 = 2 *10 4 5000000000 = 5 * 10 9 9.Ligikaudse arvu tüvenumbrid Ligikaudse täisarvu tüvenumbriteks loetakse selle arvu kõik numbrid, välja arvatud lõpus olevad nullid. N: 1234 = 1,234*10 3 12,34 = 1,234*10 1 10.Ligikaudsete arvude summa ja vahe.
Liigid: 1. Hajuv jada (liikmed kasvavad). 2. Hääbuv jada (liikmed järjest vähenevad). Liikmete leidmine: Liikmete leidmiseks tuleb eelnev liige korrutada q-ga ja eelnevate liikmete leidmiseks tuleb järgnev liige jagada q-ga. Üldliikme valem: an=a1q a1=an/q q=an/a1 Summa valem(hajuv jada): Sn=a1(1-q ) / 1-q q=an / a1 Summa valem(hääbuv jada): Sn=a1 / 1-q 18. Astendamine: · Astendamine on astme a leidmine. · Negatiivse astendajaga aste def. Võrdusega: a = 1/a , kui a0 19. Eksponentfunktsioon: Mõiste: Eksponentfunktsioonideks nim. funktsioone y=a , kus a>0 ja a1. 20. Tõenäosus: Sündmuste liigid: Sündmuse tõenäosus on arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust teatud tingimustel. Suhteline sagedus näitab, kui suur on tõenäosus mingi sündmuse toimumiseks. Tõenäosuse leiame, kui jagame soodsate (või oodatud) võimaluste arvu kõikide võimaluste arvuga.
18 18 6 = 3 18 0 10. Vähim ühiskordne. 1) Antud arvude vähim ühiskordseks nimetatakse arvu, mis jagub iga antud arvuga. 2) Antud arvude vähimaks ühiskordseks(VÜK) nimetatakse vähimast 0-st erinevat arvu, mis jagub iga antud arvuga. 3) Algoritm leidmiseks. a) Lahutame antud arvud algteguriteks. b) Saadud algarvude astmete seast valime kõigi erinevate algarvude suurima astendajaga astmed. c) Nende astmete korrutis ongi VÜK. VÜK(360; 140; 35) = 23 32 51 71 = 8 9 5 7 = 2520 360 2 140 2 35 5 180 2 70 2 7 7 90 2 35 5 1 45 3 7 7 15 3 1 5 5 1 4) Iga naturaalarvu a ja b korral kehtib võrdus : a b = SÜT(a; b) VÜK(a; b) 11. Ratsionaalarvud.
Tehted astmete ja juurtega. Täisarvulise astendajaga aste 1. Arvuta. 1) 52 2) ( 5)2 5) 32 2 7) - 3 1 9) -
................................................... 8 Astendamine............................................................................................................................. 8 Naturaalarvuline astendaja................................................................................................... 8 Tehted astmetega.................................................................................................................. 8 Negatiivse täisarvulise astendajaga aste...............................................................................9 Arvu 10 astmed.....................................................................................................................9 Juurimine.................................................................................................................................. 9 Ruutjuur....................................................................................................................
2.4 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS. FUNKTSIOONI PIDEVUS Vaatleme funktsioone, mis on määratud valemiga y = f(x). Selliseid funktsioone võib liigitada nende määramispiirkonna järgi. Funktsioonid, mis on määratud kogu reaalarvude hulgas. Need on funktsioonid, mille väärtusi on võimalik arvutada argumendi x iga väärtuse korral. Sellised funktsioonid on lineaarfunktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c , aga ka naturaalarvulise astendajaga astmefunktsioon y = x n . Kõigile neile on ühine see, et funktsioonide graafikud on pidevad jooned ja kogu graafiku saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata pideva joonega. Öeldakse, et vaadeldavad funktsioonid on pidevad kogu arvteljel. Funktsioonid, mille määramispiirkond koosneb arvtelje ühest osast. Leidub funktsioone, mis on määratud vaid arvtelje ühel osal: poolsirgel, vahemikus või lõigul. Nende funktsioonide väärtusi saab arvutada kas argumendi x teatavast
liikme märgi vastupidiseks. 2) Võrratuse korrutamisel positiivse suurusega säilib võrratus; võrratuse korrutamisel negatiivse suurusega muutub võrratus vastupidiseks. 3) Samapidiseid võrratusi võib liikmeti liita. 4) Võrratusest võib liikmeti lahutada vastupidise võrratuse; tulemuses säilib esimese võrratuse märk. 5) Positiivsete pooltega samapidiseid võrratusi võib liikmeti korrutada. 6) Positiivsete pooltega võrratuse pooli võib astendada sama astendajaga. Võrratuse lahendamisel tuleb alati silmas pidada, et lahendite piirkondade hulka ei tohi sattuda tundmatu lubamatuid väärtusi, so selliseid väärtusi, mille puhul mõni võrratuses sisalduv avaldis kaotab mõtte. Võrratuse määramispiirkonnaks (MP) nimetatakse tundmatu kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral kõik võrratuses sisalduvad avaldised omavad tähendust 4 (on arvutatavad)
Kui , siis t = 4/3. JUURVÕRRAND Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb juuremärgi all. Lahendamisel tuleb kõigepealt lahti saada juuremärgist. Selleks tõstetakse võrrandi mõlemad pooled sobivasse astmesse (kui juurijad on erinevad, siis sobib selleks astendajaks kõikide juurijate vähim ühiskordne). Kui valitud astendajaks on paarisarv, siis võime saada mittesamaväärse võrrandi. St saadud lahendeid tuleb kontrollida, sest paarisarvulise astendajaga astendamisel võivad tekkida võõrlahendid. Üks võimalus seda teha, on vaadata, kas lahendi asendamisel algvõrrandisse tekib samasus, teine võimalus on leida võrrandi määramispiirkond ja siis uurida, kas saadud lahendid sinna kuuluvad. Näide 27 Lahenda võrrand. 2x 4 x Lahendus: Jätame võrrandi vasakule poolele ainult juure ja tõstame siis mõlemad pooled ruutu: 2 x x4 2 2 x x 2 8 x 16;
* px a omavahel jagada, siis 1 1 a b , kulutused jagunevad samas proportsioonis px * 2 2 bc b ab kasulikkusfunktsiooni astendajatega: mida suurem on ühe hüvise koguse astendaja teise hüvise koguse astendajaga võrreldes, seda rohkem tarbija hüvise ostmiseks suhteliselt kulutab. Tuletagem meelde, et astendajate suhe näitas eelistatust! Ülesanne 1.5. Ratsionaalselt käituv tarbija on oma eelarve jaganud kahest hüvisest koosnevate tarbimiskomplektide ostmiseks nii, et kummagi komplekti ostmiseks on 12 ühikut raha. Olgu kõigi hüviste hinnad võrdsed ( pi 3, i 1,...,4 ) . Komplekt A koosneb hüvisekogustest q1 ja q2 ,
Kui tegureid on üle kahe, siis tuleb summeerida kõigi tegurite suhtelised vead. Jagamistehte suhteline viga on jagaja ja jagatava suhteliste vigade summa. Põhjus on sama mis lahutamise juures: eeldame halvimat. • Astendamine ja juurimine Kui muutuja K võetakse astmele n, siis korrutatakse muutujat K iseendaga n korda. See- ga tuleb astendamise suhtelise vea leidmiseks vastavalt valemile (8) liita muutuja K suh- telist viga n korda ehk korrutada K suhtelist viga astendajaga n. Astendamise suhteline viga on ∆K δ =n = n · δK (9) K √ Kuna n A = A1/n , siis on juurimistehte suhteline viga 1 ∆K δK δ√ = = (10)
10)) ja (1 - x 2 ) võtab oma maksimaalse väärtuse kohal n 2 1 (1 - x ) dx on tõkestatud ristküliku kõrgusega (1 - 2 ) ja alusega 2 n n x = , seepärast (1 - ) , kus 0 < < 1 . On hästi teada, et igasugune positiivne 1 väiksem arvu n-nda astendajaga väärtus väheneb kiiremini, kui ükskõik, mis n-is astendaja suudab mingit 1 arvu kasvatada. Kõnealune piir (1 - ) 2 n käitub domineerivalt piiri n üle, kui n ja 2 seetõttu
1) abil elementaarfunktsioonide tu- letisi. Alustame konstantsest funktsioonint y = c. Siis f (x) = c ja f (x + 0 x) = c ning y = c - c = 0. Konstandi tuletis c = limx0 = 0. Siit x saame esimese reegli: konstandi tuletis v~ordub nulliga: c = 0. Teiseks vaatleme naturaalarvulise astendajaga astmefunktsiooni y = xn . Antud juhul f (x) = xn , f (x + x) = (x + x)n ja funktsiooni muut y = (x + x)n - xn . Newtoni binoomvalemi abil y = xn + nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn - xn = nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn . Siit y = nxn-1 + Cn2 xn-2 x + ... + xn-1 . x ja y (xn ) = lim = nxn-1 , x0 x
. . . . . . . . . 63 3.3.3 Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni tõkestatusest . . . . . . . . . 64 3.3.4 Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest . 65 3.3.5 Pöördfunktsiooni pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4 Elementaarfunktsioonid, nende pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4.1 Ratsionaalse astendajaga astme- ja eksponentfunktsioon . . . . . . . 68 3.4.2 Eksponentfunktsioon y = ax , kus x ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4.3 Logaritm- ja astmefunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4.4 Trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid . . . . . 74 3.5 Ühtlaselt pidevad funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5
suse arutelu enam teisiti ümber lükata ei osatud, uputati ta merre. Meie tänapäevase sümboli leiutas 1525. aastal Christoph Rudolff, kes on ka ja märkide autor. Kas oskad näha mõnd head põhjust, miks kasutusele on võetud just sellised märgid ja mitte teistsugused? 112 Ratsionaalarvuline astendaja Ratsionaalarvulise astendajaga tutvumiseks on hea alustada jälle analoogiast kor- rutamisega ja mõelda, mida tähendab ratsionaalarvudega korrutamine. Oluline on arvu aste meelde tuletada, et korrutamisel pole tehete järjekord oluline. Näiteks korrutades arvu 12 arvuga , teame, et võime seda teha mitmel viisil. Võime esmalt jagada 12 arvuga 4 ning seejärel korrutada arvuga 3:
annaabi.ee 
