· Seda tehet f nim kas liitimiseks või korrutamiseks. f liitmine- aditiivne- f(a+b)=a+b f korrutamine- multiplikatiivne- f(a*b)=a*b · Arvude vallas etendavad tähtsat osa arvud 0, 1, -a, a-1. Need mõisted võime üle kanda mistahes ühe või kahe arvutusoperatsiooniga määratud algebralistesele süsteemile. · Eeldame, et lisaks vaadeldav arvutusoperatsioon rahuldab nn assotsiatiivsuse seadust. Kehtivad järgmised: (a+b)+c= a+(b+c) (a*b)c= a(b*c) · Def3: Algebralist süsteemi M, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks. Kehtib: (a+b)+c=a+(b+c) - aditiivne poolrühm, liitmise assotsiatiivsus, lubatud liita (a*b)c= a*(b*c) multiplikatiivne poolrühm, korrutamise assotsiatiivsus · Öeldakse, et tegemist on kommutatiivsuse seadusega. Kehtivad järgmised: a+b=b+a - liitmise kommutatiivsus a*b=b*a korrutamise kommutatiivsus
Aksioomid: tehe, nim. algebraliseks süsteemiks. Kui determinandis on mingid 2 rida/veergu võrdsed või võrdelised, siis determinant võrdub nulliga. Algebralist süsteemi M, millest defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust, nim. poolrühmaks. Aditiivne poolrühm:kehtib ainult (a+b)+c=a+(b+c) 1. Eksisteerib vähemalt üks punkt
üldise ruutvõrrandi lahendivalemi abil. Diskrimnant Ruutvõrrandil on alati kaks lahendit, see on tagatud valemis sisalduva ruutjuurega. Erijuhtudel võivad lahendid kattuda (kokku langeda). Ruutvõrrandil võivad ka reaalarvulised lahendid puududa. Selline olukord tekib juhul, kui ruutjuure all olev avaldis on negatiivne. Juurealust avaldist nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. Biruutvõrrand Biruutvõrrandiks nimetatakse neljanda astme algebralist võrrandit, mis on teisendatav kujule kus x on tundmatu ja a 0. Võrrandi lahendamiseks tehakse asendus x2=y, mis annab
2) 3 2a 2 3 y ; 7x2 2 3) 4x 5 Algebralised avaldised ei ole: 1) 2 sin x cos2 x (avaldis sisaldab trigonomeetrilisi funktsioone); 2) 2 2 (avaldises esineb astendamine irratsionaalarvuga). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Ratsionaalne ja irratsionaalne avaldis Niisugust algebralist avaldist, kus ei esine juurimist, nimetatakse ratsionaalseks avaldiseks, vastasel juhul irratsionaalseks avaldiseks. Näited 2a (5 2c) 2 ratsionaalne avaldis: (3x 2 y 3 )3 irratsionaalne avaldis: x2 y2 irratsionaalne avaldis: x2 / 3 y3/ 2 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
nimetatakse algebraliseks süsteemiks. Kui mistahes a, b korral hulgast M järeldub, et ka tehte tulemus on hulgast M st hulk on kinni. Arvude vallas etendavad tähtsat rolli arvud 0, 1, -a, a-1. Need mõisted saame ülekanda mistahes ühe või kahe arvutusoperatsiooniga algebralisele süsteemile. Eeldame, et hulgas defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust: a + (b + c) = (a + b) + c. Def3 Algebralist süsteemi, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nimetatakse poolrühmaks. Aditiivne poolrühm- hulgas on defineeritud liitmine. a + (b + c) = (a + b) + c Multiplikatiivne poolrühm - hulgas on defineeritud korrutamine. ( a b ) c = a ( b c) Def4 Algebralises süsteemis, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadusi nimetatakse kommutatiivseks poolrühmaks.
28. Murdjooneks nimetatakse järjestikku ühendatud lõikudest koosnevat joont. 29. Erikülgset kolmnurka nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on erinevad. 30. Võrdhaarseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kaks külge on võrdsed. 31. Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kolm kõlge on võrdsed. 32. Ristuvateks sirgeteks nimetatakse sirgeid, mis lõikumisel moodustavad täisnurga. 33. Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete algebralist summat. 34. Sarnasteks liidetavateks nimetatakse liidetavaid, mis ei erine üksteisest üldse või ainult kordaja poolest. 35. Arvu absoluutväärtuseks nimetatakse arvu arvteljel kujutava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. 36. Arvu a n- daks astmes nimetatakse arvu a n- kordset korrutist. 37. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ristkülikut. 38. Ruuduks nimetatakse rombi, mille lähisnurgad on võrdsed. · Kahe sirge lõikamine kolmanda sirgega
.. yn absoluutväärtuste summa (mikromeetrites) jagamisel kauguste arvuga n saame profiili hälvete aritmeetilise keskmise keskjoone suhtes. Suurima ja vähima piirrnõõtme vahet nimetatakse tolerantsiks. Näiteks mõõtmel O 20 -0,020-0.053 on 20 nimimõõde, suurim piirmõõde O19,98, vähim piirmõõde O19,947 ja tolerants 0,033. Suurima pürmõõtme ja nimimõõtme algebralist vahet nimetatakse ülemiseks h ä I b e ks ja vähima pürmõõtme ja nimimõõtme algebralist vahet alumiseks hälbeks. Eeltoodud näites on ülemine hälve 0,020 ja alumine -0,053. Ühise nimimõõtmega kokkupuutuvate pindade puhul nimetatakse avaks ja võlliks igasuguse kujuga hõlmavat ja hõlmatavat pinda. Ist määrab liite ühenduse tugevuse (pingu) või selle suhtelise liikumisvabaduse (lõtku). Vajalikud istud saadakse võrdsete nimimõõtmete juures ava ja võlli tegelike mõõtmete erinevusega sõltuvalt põhihälvetest
..,xn.
DEF 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehks murdratsionaalseks funktsiooniks nim. kahe polünoomi
jagatisena esitatavat funktsiooni f(x)= Qm(x)/Pn(x)
DEF 4. Ratsionaalfunktsiooni nim. lihtmurruks, kui m
Puul on n tippu ja n-1 kaart. Kromaatiline arv on minimaalne arv millega saab kõik graafi tipud ära varvida nii, et naabertipud oleksid erivärvi. Graafe saab esitada naabrusmaatriksiga, intsidentsusmaatriksiga. Algebrad: Algebra koosneb alushulgast ja defineeritud tehetest. Tehe on alushulgal kinnine siis, kui rakendada tehet kahe elemendi peale, siis vastus on samuti selle hulga element. Ühe binaarse tehteda algebralist süsteemi nimetatakse grupoidiks. Ühikelement on selline element, millele rakendades tehet suvalise elemendiga, saab vastuses selle sama elemendi. Pöördelement on selline element, mis tehte rakendamisel elemendiga annab vastuseks ühikelemendi. Poolrühm on assotsiatiivse tehtega süsteem. Poolrühm, kus eksisteerib ka ühikelement on monoid. Rühm on süsteem milles kehtib: assotsiatiivsus, ühikelement ja iga
. Ratsionaalfunkts e murdratsionaalseks funkts nim kahe polünoomi jagatisena esitatavat funkts-i f(x)=Qm(x)/Pn(x) Ratsionaalfunktsiooni nim lihtmurruks , kui mn, vastasel korral aga liigmurruks Murdlineaarseks funkts nim funkts kujul a0x+a1/b0x+b1, b00 Algebraliseks funkts nim funkts y=f(x), mis rahuldab võrrandit P ( x ) y n + Q ( x ) y n -1 + ... + R ( x ) y + S ( x ) = 0 ( n N ) , kus R(x), Q(x), ... , R(x), S(x) on mingid polünoomid. Irratsionaalfunkts nim algebralist funkts-i, mis ei ole ratsionaalfunkts Funktsioone, mis ei ole algebralised nim transtsendentseteks funkts-ideks( nt trigof, ekspoent, logaritmf) Jadaks nim funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga etteantud kuitahes väikese positiivse arvu puhul saab näidata
S r on võrdne nulliga. Sellest järeldub, et B - jooned on kinnised jooned e magnetväli on allikatevaba väli. r r r Vektori B tsirkulatsiooniteoreem: B dl = µ 0 I , kus I väljendab kontuuri poolt r r hõlmatud voolude algebralist summat. See teoreem diferentsiaalkujul: rot B = µ 0 j . Siit järeldub, et magnetväli on solenoidaalne väli. Lõpmata pika solenoide magnetväli: B = µ 0 n I , kus I on voolutugevus solenoidis ja n - solenoidi keerdude arv pikkusühiku kohta. Vooluga kontuuri käitumist magnetväljas mõjustab suuresti selle magnetmoment r r p m = ISn , kus I on voolutugevus kontuuris ja S kontuuri katva pinna pindala. Välises r
Abel, E. jt Aritmeetika ja algebra. Tartu, 1984 Gabovits, J. Võrratused. Tartu, 1970 Jürimäe, E., Velsker, K. Matemaatika käsiraamat IX - XI klassile. 2. tr. Tallinn, 1984 Litvinenko, V. N. jt Praktikum po reseniju matematitseskih zadats. Moskva, 1984 (vene keeles). 2 VÕRRATUSED Kaks algebralist avaldist, mis on omavahel seotud märkidega >, või < , moodustavad võrratuse. Tundmatuid sisaldava võrratuse korral tekib selle lahendamise probleem. Vaatleme siin vaid ühe tundmatuga võrratusi. Sellise võrratuse lahendiks nimetatakse tundmatu väärtust, mille puhul võrratus on rahuldatud, st mille asetamisel võrratusse tundmatu asemele saame õige arvulise võrratuse. Lahendada võrratus tähendab leida selle kõik lahendid.
elektriseadmeid nagu hõõglambid, sirgjuhtmed. Aktiivtakisti vool on pingega faasis; sest mõlema algfaas =0, nad muutuvad korraga. ÜLESANNE: I=U/R I=4/20=0,2 P=U*I = 0,4*0,2= 0,8 9.1 Kirchhoffi esimene seadus Vooluahela hargnemispunkti suubuvate voolude summa võrdub sealt väljuvate voolude summaga. Näiteks punkti C kohta võib kirjutada I1+I2=I3 ehk kui viia kõik liikmed vasakule siis I1+I2-I3=0, mida võib lühemalt kirjutada = 0, kus täht (sigma) sümboliseerib algebralist summat.Võib sõnastada: vooluahela hargnemispunktis on voolude algebraline summa võrdne nulliga. 2. Elektrimagnetid Kui pooli paigutada terassüdamik, suureneb vootihedus M(mikro) korda, vastavalt sellele suureneb ka külgetõmbejõud ja saadakse elektromagnet, mis võib külge tõmmata ferromagnetilisest materjalist esemeid 3.Vahelduvvooluahel induktiivtakistusega Poolil on induktiivsus L, tema aktiivtakistus on väike nii, et seda ei pruugigi arvestada ( r=0)
Kuna teise kiire tee on pikem, hilineb ta faasis võrra. Arvestades, et optiliselt tihedamas keskkonnas kasvab "optiline tee pikkus" korda ( on murdumisnäitaja), saame käiguvaheks Samakalde interferents. Tasaparalleelse kihi kahelt küljelt peegeldunud kiirte vahel tekib faasinihe, mis sõltub langemisnurgast. Et murdumisseaduse järgi on , tuleb (pärast paari algebralist teisendust) Niisiis: kui , võimendavad kiired teineteist ning pind tundub heledana. Et väärtus sõltub vaatenurgast (kiire kaldest) nimetataksegi nähtust samakalde interferentsiks. Nurgad, millele vastab maksimum, saame valemist , kus on täisarv. Seega ehk Nii on näiteks peaks ühe millimeetri paksuse klaasplaadi korral olema 30-kraadise nurga all näha 4714. maksimum, 4715.maksimum aga asub 3.7 kaareminuti võrra madalamal. Kas proovime?
vastavusse mitu funktsiooni väärtust.(Ruudud jne) 8.Algebraline funktsioon-nim funktsiooni, mis saadakse x-st lõpliku arvu algebraliste tehete teel 8.1. Täisratsionaalsed funktsioonid- nime funktsiooni kujul: y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 ,kus n on positiivne täisarv ja a reaalarvud. 8.2 Murdratsionaalsed funktsioonid nim kahe hulk liikme jagatist. Y= y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 / y=bnxn + bn-1xn-1 +K+b1x+b0 8.3. Irratsionaalsed funktsioonid- nim algebralist funktsiooni, kui lisaks eelpool toodud tehetele võetakse argumendi sisaldavast avaldisest juur. Kõik ülejäänud funktsioonid on mittealgebralised ehk transtsendentsed. Liitfunktsioon Liitfunktsiooniks nimetatkse funktsiooni piirkonnas X kujul F(x)=f[p(x)]. Liitfunktsioon koosneb mitmest funktsioonist. Pöördfunktsioon Olgu y=f(x) mingi funktsioon, kus x on argument ja y funktsioon.Kui lahendada see võrrand x suhtes, samme x=p(y). Nende graafikud on samad
Tegelik mõõde on toote valmistamisel saadud ja otseselt Suurima deformatsioon ehk II tugevusteooria: piirseisund tekib siis, kui moodulilt mõõdetud mõõde. Igal tootel on oma, teistest erinev, tegelik mõõde. suurim suhteline joondeformatsioon antud punktis saavutab teatud piirväärtuse 39. Mis on mõõtme piirhälbed? (habraste materjalide surve) Piirhälbed näitavad piirmõõtme ja nimimõõtme algebralist vahet. Suurimale II = E max = 1 - M ( 2 + 3 ).või. ekv II = 0,35 + 0,65 2 + 4 2 [ ] piirmõõtmele vastavat piirhälvet nimetatakse ülemiseks hälbeks ja vähimale vastavat Suurima nihkepinge ehk III tugevusteooria: piirseisund tekib siis kui (sõltumata alumiseks hälbeks. Hälve on alati märgiga suurus. Positiivne hälve näitab, kui palju
Praktikas determinandi arvutamise lihtsustamiseks kasutatakse Laplace'i teoreemi, kui fikseeritakse ainult u ¨ks rida (veerg). Meenutame, et maatriksi esimest j¨arku miinoriteks on maatriksi elemendid. Kui fikseerime maatriksi X puhul i-nda rea, siis selle rea abil saab moodustada j¨argmised miinorid xi1 , xi2 , . . . , xin xij , j Nn . Lepime veel kokku t¨ahistada esimest j¨arku miinori xij algebralist t¨aiendit Xij abil. Valem (4.5) saab n¨uu¨d kuju |X| = xi1 Xi1 + xi2 Xi2 + . . . + xin Xin . (4.6) 38 Vastav valem i-nda veeru fikseerimisel on |X| = x1i X1i + x2i X2i + . . . + xin Xin . (4.7) Valemeid (4.6) ja (4.7) nimetatakse determinandi |X| arendisteks vastavalt i-nda rea ja i-nda veeru j¨ argi. Kahe viimase valemi t¨ahtsus seineb selles, et avaldiste paremal pool on
Praktikas determinandi arvutamise lihtsustamiseks kasutatakse Laplace’i teoreemi, kui fikseeritakse ainult u ¨ks rida (veerg). Meenutame, et maatriksi esimest j¨arku miinoriteks on maatriksi elemendid. Kui fikseerime maatriksi X puhul i-nda rea, siis selle rea abil saab moodustada j¨argmised miinorid xi1 , xi2 , . . . , xin ⇐⇒ xij , ∀ j ∈ Nn . Lepime veel kokku t¨ahistada esimest j¨arku miinori xij algebralist t¨aiendit Xij abil. Valem (4.5) saab n¨uu¨d kuju |X| = xi1 Xi1 + xi2 Xi2 + . . . + xin Xin . (4.6) 38 Vastav valem i-nda veeru fikseerimisel on |X| = x1i X1i + x2i X2i + . . . + xin Xin . (4.7) Valemeid (4.6) ja (4.7) nimetatakse determinandi |X| arendisteks vastavalt i-nda rea ja i-nda veeru j¨ argi. Kahe viimase valemi t¨ahtsus seineb selles, et avaldiste paremal pool on
joonele. Kui ei teki kahtlust, mille kohta karedus kehtib, siis võib kirjutada ka mõõtjoonele mõõtme taha. Tolerantsid ja istud ning nende märkimine joonistel Detaili tööjoonisele annab konstruktor igale mõõtmele nimiväärtuse – nimimõõtme ja lisaks veel suurima ja vähima väärtuse – suurima piirmõõtme ja vähima piirmõõtme. Suurima ja vähima piir- mõõtme vahet nimetatakse tolerantsiks. Suurima piirmõõtme ja nimimõõtme algebralist vahet nime- tatakse ülemiseks hälbeks, alumise piirmõõtme ja nimimõõtme algebralist vahet nimetatakse alumi- seks hälbeks. Tolerantsi graafilist kujutist nimetatakse tolerantsiväljaks. Sageli kasutatakse masinates avade ja võllide ühendusi, seejuures on mõlemal ühendataval detailil, nii aval kui võllil ühine nimimõõde, kuid tolerantsiväljad paiknevad mõlemal erinevalt. Olenevalt tole- rantsiväljade vastastikusest asendist saadakse ühenduse iseloom – ist
Kui tähistada Q( mittehomogeense DV erilahend. Diferentsiaalvõrrandi pny(n) + ... + p1y' + p0y = 0 lahendit otsime kujul y = eax. Saame pnaneax+ ... + p1aeax + p0eax = 0. Algebralist + , + , +) , siis vektor = (,,) ja | | = ()^2 +()^2 +()^2 ning / () = lim võrrandit Pn(a) := pnan + ... + p1a + p0 = 0 nimetame lineaarse konstantsete kordajatega DV karakteristlikuks võrrandiks ning Pn (()-())/ | | , kus punkt Q paikneb punktit P vektori l suunas lähtuval kiirel
7 · Algebralise süsteemi moodustab algebra koos suhete hulgaga. Olgu antud järjestussuhe . · Elementide m1 ja m2 ülemrajaks on element m3 , kui m1 m3 ja m2 m3 . · Elementide m1 ja m2 alamrajaks on element m4 , kui m4 m1 ja m4 m2 . Ülemraja on vähim, kui ta on väiksem suvalisest teisest ülemrajast. Alamraja on suurim, kui ta on suurem suvalisest teisest alamrajast. · Võreks nimetatakse algebralist süsteemi < M, , , >, kus on osalise järjestuse suhe hulgal M ning 2 suvalist elementi hulgast M omavad vähimat ülemraja ja suurimat alamraja. Seejuures ja on üldistatud operatsioonid rajade leidmiseks, milliste lahtimõtestus on tunduvalt laiem kui lihtsalt hulgateoreetilised operatsioonid. Näited. 1. Naturaalarvude hulk N; a b = min (a,b); a b = max (a,b), a b. 2. Hulk N; a b - SÜT; a b - VÜK; a b - b jagub a-ga. 3. Kahendvektorite hulk; (x1 ,x2 ,....,xn ) (y1 ,y2 ,...
[mM m-1M ( m m-1 = m-1 m = e ) ]. Algebralise süsteemi moodustab algebra koos suhete hulgaga. Olgu antud järjestussuhe . Elementide m1 ja m2 ülemrajaks on element m3 , kui m1 m3 ja m2 m3 . Elementide m1 ja m2 alamrajaks on element m4 , kui m4 m1 ja m4 m2 . Ülemraja on vähim, kui ta on väiksem suvalisest teisest ülemrajast. Alamraja on suurim, kui ta on suurem suvalisest teisest alamrajast. Võreks nimetatakse algebralist süsteemi < M, , , >, kus on osalise järjestuse suhe hulgal M ning 2 suvalist elementi hulgast M omavad vähimat ülemraja ja suurimat alamraja. Seejuures ja on üldistatud operatsioonid rajade leidmiseks, milliste lahtimõtestus on tunduvalt laiem kui lihtsalt hulgateoreetilised operatsioonid. Näited. 1. Naturaalarvude hulk N; a b = min (a,b); a b = max (a,b), a b. 2. Hulk N; a b - SÜT; a b - VÜK; a b - b jagub a-ga. 3
Erinevad on ka intensiivsuse jaotumismustrid difraktsioonipildis. Konkreetselt etendavad nende tekkimisel rolli valguse lainepikkus λ, ava karakteristlik mõõde R, ava ja ekraani vaheline kaugus b ning (punkt)valgusallika kaugus avast a. (Näiteks ümmarguse ava korral on karakteristlikuks mõõtmeks tema raadius, kitsa pilu korral selle laius). Valguse käitumisviisi iseloomustamiseks ava taga kasutatakse ülalnimetatud nelja suuruse algebralist kombinatsiooni - parameetrit: p=ρF/R kus ρF=√❑ Kui parameeter p>> 1, siis on tegemist nn kaugväljaga ja dΦ=∮E dS =(E=const)=E∮ dS=E*4*pi*rifraktsioonipilt, midΦ=∮E dS =(E=const)=E∮ dS=E*4*pi*ra me näeme, on Fraunhoferi oma. Kui p≤ 1, siis asume lähiväljas ja näeme Fresneli dΦ=∮E dS =(E=const)=E∮ dS=E*4*pi*rifraktsiooni
tasaparalleelsele plaadile (jääkiht veelombi pinnal). Siis näeme korraga kaht kiirt: ühte, mis peegeldub (jää)kihi ülemiselt ja teist, mis peegeldub alumiselt pinnalt. Kuna teise kiire tee on pikem, hilineb ta faasis võrra. Arvestades, et optiliselt tihedamas keskkonnas kasvab "optiline tee pikkus" korda ( on murdumisnäitaja), saame käiguvaheks Et murdumisseaduse järgi on , tuleb (pärast paari algebralist teisendust) Niisiis: kui , võimendavad kiired teineteist ning pind tundub heledana. Et väärtus sõltub vaatenurgast (kiire kaldest) nimetataksegi nähtust samakalde interferentsiks. Nurgad, millele vastab maksimum, saame valemist , kus on täisarv. Seega ehk Nii on näiteks peaks ühe millimeetri paksuse klaasplaadi korral olema 30-kraadise nurga all näha 4714. maksimum, 4715.maksimum aga asub 3.7 kaareminuti võrra madalamal. Kas proovime?
tasaparalleelsele plaadile (jääkiht veelombi pinnal). Siis näeme korraga kaht kiirt: ühte, mis peegeldub (jää)kihi ülemiselt ja teist, mis peegeldub alumiselt pinnalt. Kuna teise kiire tee on pikem, hilineb ta faasis võrra. Arvestades, et optiliselt tihedamas keskkonnas kasvab "optiline tee pikkus" korda ( on murdumisnäitaja), saame käiguvaheks Et murdumisseaduse järgi on , tuleb (pärast paari algebralist teisendust) Niisiis: kui , võimendavad kiired teineteist ning pind tundub heledana. Et väärtus sõltub vaatenurgast (kiire kaldest) nimetataksegi nähtust samakalde interferentsiks. Nurgad, millele vastab maksimum, saame valemist , kus on täisarv. Seega ehk Nii on näiteks peaks ühe millimeetri paksuse klaasplaadi korral olema 30-kraadise nurga all näha 4714. maksimum, 4715.maksimum aga asub 3.7 kaareminuti võrra madalamal. Kas proovime?
Definitsioon 6. Algebraliseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = f (x), mis rahuldab v~ orrandit P (x)y n + Q(x)y n-1 + . . . + R(x)y + S(x) = 0 (n N), kus P (x), Q(x), . . . , R(x) ja S(x) on mingid pol¨ unoomid. Lihtsamateks algebralisteks funktsioonideks on konstantne funktsioon, astmefunkt- sioon x ( Q{0}) ja pol¨ unoom. Definitsioon 7. Irratsionaalfunktsiooniks nimetatakse algebralist funktsiooni, mis ei ole ratsionaalfunktsioon. Kui Z, siis x on ratsionaalfunktsioon ja kui Q / Z, siis x on irrat- sionaalfunktsioon. Definitsioon 8. Funktsioone, mis ei ole algebralised, nimetatakse transtsendentse- teks funktsioonideks. Transtsendentseteks funktsioonideks on n¨aiteks trigonomeetrilised funktsioonid, ek- sponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon. 1.3. Jada piirv¨ a¨ artus Funktsiooni piirv¨ a¨
suhtes nurga (kreeka väiketäht alfa) all, on jõud F = B I l sin , Siit nähtub, et kui vooluga juhe on magnetväljaga rööpne, siis sin = 0 ja F = 0, see tähendab, et mingit jõudu ei teki. 3.3 Koguvoolu seadus Vooluga juhtme(te) ümber tekkiva magnetvälja tugevuse H ja teda põhjustava elektrivoolu I vahelise seose määrab koguvooluseadus. Kui on mitu vooluga juhet, mis läbivad suletud kontuuriga (magnetjõujoonega!) pinda, siis seda pinda läbivate voolude algebralist summat nime- tatakse koguvooluks. Magnetvälja tugevuse H ja suletud kontuuri pikkuse (võetuna mööda magnet- jõujoont) l korrutist H l, või üldjuhul H l , nimetatakse magneetimisergutuseks. (Kreeka suurtäht sigma on matemaatilise summa märk). Koguvoolu seadus ütleb, et magneetimisergutus mööda kinnist kontuuri on võrdne koguvooluga, mis läbib kontuuriga piiratud pinda I = H l . 44 Magnetvälja tugevus oleneb voolu kaugusest. Igas
___ ___ z = a*b*c + a*b + a*c + b*c = a*b*c + a*(b + c) + b*c . Nüüd on olemas kõik vajalik selleks, et hakata koostama kontaktivabat loogika- skeemi, kasutades selleks loogikaelemente NING, VÕI ja EI. Koostatud skeem on toodud joonisel 2.3. Joonis 2.3 Kui soovime kasutada loogikaskeemi koostamiseks loogikaelemente VÕI-EI, tuleb minimeeritud loogikafunktsiooni algebralist avaldust teisendada sääraselt, et temas moodustuksid disjunktsioonitehetega seotud grupid ehk teisisõnu, kõik konjunktsioonitehted tuleb asendada disjunktsioonitehetega. See on võimalik, kasutades de Morgani teoreemi __ ____ a*b = a + b . Siit järeldub, et ja seega võime minimeeritud loogikafunktsiooni avaldise kirjutada kujul ning koostada loogikaskeemi joonisel 2.4 toodud kujul, kasutades ainult loogika-
tegeliku mõõtme lubatud suurimat ja vähimat väärtust, mille juures toode vastab veel joonisele, määratakse piirmõõtmetega. Tegeliku mõõtme suurimat lubatavat väärtust nimetatakse suurimaks piirmõõtmeks Dmax, dmax. Tegeliku mõõtme vähimat lubatavat väärtust nimetatakse vähimaks piirmõõtmeks Dmin, dmin. Mõlemad piirmõõtmed võivad olla nimimõõtmest nii suuremad kui ka väiksem. Piirhälbed näitavad piirmõõtme ja nimimõõtme algebralist vahet. Suurimale piirmõõtmele vastavat piirhälvet nimetatakse ülemiseks hälbeks ja vähimale vastavat – alumiseks hälbeks. Hälve on alati märgiga suurus. Positiivne hälve näitab, kui palju võib detaili tegelik mõõde olla nimimõõtmest suurem ja negatiivne hälve vastupidi – kui palju võib tegelik mõõde olla nimimõõtmest väiksem. Piirhälbed kirjutatakse vahetult nimimõõtme järel. Siin on kaks süsteemi:
Klassikaline automaatjuhtimise teooria põhineb ülekandefunktsioonidel, mis sobivad hästi elektriajamite üksikute komponentide mudeliteks. 140 Ülekandefunktsioon on lineaarse ahela matemaatiline mudel, mis kirjeldab selle väljund-ja sisendmuutujate suhet operaatorkujul nulliga võrdsete algtingimuste korral. Diferentsiaalvõrrandite teisendamisel operaatorkujule (Laplace'i teisendus) kasutatakse algebralist suurust s, mida nimetatakse Laplace'i operaatoriks. Sümbolkujul 2 3 d d d s = , s 2 = , s 3 = jne. dt dt dt See on moodus, kuidas teisendada diferentsiaalvõrrand algebralisele kujule, et leida selle lahendid.
niisiis f (c) = 0. Tõestatud teoreemi geomeetriline tähendus selgub järgmisest väitest. Järeldus 3.12 Kui lõigus pideva funktsiooni graafiku otspunktid asuvad teine teisel pool x-telge, siis graafik lõikab x-telge vähemalt ühes punktis. Teoreemil 3.11 on ka rakenduslik väärtus, teda saab kasutada võrrandi lahendi olemasolu tõestamisel ja ka ligikaudse lahendi leidmisel. Näide 3.3. Vaatleme n-astme algebralist võrrandit f (x) := a0 xn + a1 xn−1 + . . .+ an = 0, eeldame, et n on paaritu arv. Kirjutades funktsiooni f ümber kujul a1 a2 an f (x) = xn a0 + + 2 + ...+ n , x x x on lihtne näha, et kui võtta x küllalt suur, siis arvu f (x) märk on sama, mis kordaja a0 märk, aga kui x on küllalt väike negatiivne arv, siis on väärtusel f (x) vastupidine märk
annaabi.ee 
