Kangas nr 2 Toote 20 kr 10 kr 6 kr 8 kr kasum Tulemusena selgitada: Milliseid tooteid valmistada ja toota, et saadav kasum oleks suurim? Millisel määral kasutatakse optimaalse plaani korral materjale? Kui suurenda materjalide kogust, kas see suurendaks ka kasumit ja kui palju? X1, X2, X3, X4 toodete valmistamise kogused Z= 20x1+10x2 + 4x3+8x4 MAX - kasum toodangult (kr) 2x1 + 1x3 + 4x4 <= 400 - pärisnahk (m) 4x1 + 2x2 + 4x3 + <= 200 - kangas nr 1 (m) 1x1 + 1x2 + 2x3 + 4x4 <=100 - kunstnahk (m) x2 + + 4x4 <=80 - kangas nr 2 (m) Tundmatute mittenegatiivsus: x1<=0, x2<=0, x3<=0, x4<=0 Viin sihifunktsiooni suurused ühele poole: Z-20x1-10x2 -4x3 -8x4 =0 Lisan abitundmatud võrrandi saamiseks:
u x v x u x v x c u x c u x uv u v v u u u v uv v v2 Edasi vaatame ülesandeid. 1. Leia funktsiooni y = 2x3 + 4x2 – 5x + 8 tuletis. Lahendus: 2. Leia funktsiooni y = 2x5 + 7x4 – 4x3 + 10x – 21 tuletis. Lahendus: y ‘ = (2x5)’ + (7x4)’ – (4x3)’ + (10x) – 21’ = 10x4 + 28x3 – 12x2 + 10. Tööd asuvad aadressil www.kool.ee 1 3. Leia funktsiooni y tuletis. x5 Lahendus: 7 4. Leia funktsiooni y tuletis. x3 Lahendus:
Kõrgema astme võrrandid Lahendivalemid on tuletatud ka kolmanda ja neljanda astme võrrandite jaoks, kuid need on küllalt keerulised. Tihti on aga võimalik kõrgema astme võrrandeid lahendada korrutiseks teisendamise abimuutuja kasutamise või mõne muu võttega. Tutvume mõningate selliste võtetega. Näide 1. Lahendada võrrand : x5 = 4x3. Lahendus. Toome kõik liikmed vasakule : x5 - 4x3 = 0 Toome ühise kordaja x3 sulgude ette: x3(x2 4) = 0 Korrutis võrdub nulliga, kui kordajatest on null: x3 = 0 või x2 4 = 0 Lahendades, saame : x1 = 0, x2 = 2, x3 = -2. Näide 2. Lahendada võrrand x3 - 3x2 = 2x 6. Lahendus .Toome võrrandi kõik liikmed vasakule poole võrdusmärki ja teisendame siis selle poole korrutiseks: x3 - 3x2 - 2x + 6 = 0;
Põltsamaa ametikool Puit-ja kiviehitiste restauraator Seinaploki arvutamise ülessanded Mati Rammul Ülessanne 1 Mitu alust aeroc classic 300 plokke on tarvis, et laduda 4x3m suurune sein Seinas on 3 akent mõõtudega 2x1.2m ning 2 ust mõõtudega 0,9x2.1m Ploki kulunorm on 8.3 plokki/m2 alusel on 35 plokki. 1. 4x3=12 2. 3(2x1.2)7.2 3. 0.9x2,1=1,89 4. 7.2+1,89=9,09 5. 12-9,09=2,91 6. 2,91x8.3=24,153 Vastus: Vaja läheb 1-te alust plokke. Ülessanne 2 Mitu alust aeroc classic 300 plokke on tarvis, et laduda 8x3m suurune sein Seinas on 2 akent mõõtudega 2x1.2m ning 2 ust mõõtudega 0,9x2.1m Ploki kulunorm on 8.3 plokki/m2 alusel on 40 plokki. 1. 8x3=24 2. 2(2x1.2)=4.8 3. 2(0.9x2,1)=3,78 4. 4.7+3,78=8,48 5. 24-8,48=15,52 6. 15,52x8,3=128,816=129 7
A B C D E F G H 1 Tooteportfelli mudel 2 3 Sisendandmed 4 Tunnitasu $8,00 z=6x1+2x2+4x3+3x4->max (kasum) 5 Metalli hind untsi kohta $0,50 2x1 +x2+3x3+2x4<=4000 (tööjõud) 6 Klaasi hind untsi kohta $0,75 4x1+2x2 +x3+2x4<=6000 (metall) 7 6x1+2x2 +x3+2x4<=10000 (klaas)
0 0 0 Näidis 2. Leida ydx xdy , kui AB on funktsiooni AB y x2 graafiku lõik, A(0;0) ja B(2;4). Kuna y x2 , siis dy 2 xdx . 2 2 2 4x3 16 Seega ydx xdy x dx x 3xdx 4 x dx AB 2 0 0 2 3 0
x ln x dx . 18. Avaldada m¨aa¨ramata integraal (7x + 1)dx . x2 + 2x - 3 19. Avaldada m¨aa¨ramata integraal (2x2 + 2x + 1)dx . x(x + 1)2 20. Avaldada m¨aa¨ramata integraal (4x3 - 23x2 + 14x + 8)dx . 4x + 1 21. Arvutada m¨aa¨ratud integraal 1 (2 - 3x)3 dx . 2 3 22. Arvutada m¨aa¨ratud integraal sin2 x cos xdx .
Austerservik · Kübar: hallikas-, oliiv- kuni violetjaspruun või mustjas, tihti sinkjas, kleepuv, keeljas, väga lihakas ja suur, kuni 15 cm. · Eoslehekesed: valkjad, hallikad, kollakad või kahvatuvioletjad, jalale laskuvad. · Jalg: valge või hallikas, üleni (isegi eoslehekeste vehele ulatuvalt9 või vähemalt alusel viltjaskarvane, külgmine, mõnikord Seeneliha: valge, tüse. peaaegu puudub, kuni 4x3 cm. · Metsades, parkides, aedades, puiestikes, kalmistutel, surnud ja elusatel lehtpuudel, kändudel, pakkudel, põõsjalt, harva. Aastaringselt, eriti hilissügisel ja talvel. Värskelt hea söögiseen.Viljeldakse, ka Eestis. Kaseriisikas · Viljakehad: piimmmahlaga · Kübar: liharoosa, pruunikas- või kollakasroosa, hiljem pleegib heledamaks, takerkarvane, ringvöödiline, noorelt sisserullunud
Sisepõlemismootorid erinevad ka silindrite arvu ning silindrite asetuse poolest: - 1 silindriline (1) - Ridamootor (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16) - V-Mootor (2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24) - Boksermootor (2, 4, 6, 8, 12) - VR-Mootor (5, 6, 8, 12, 16) - W-Mootor (3, 8, 12, 16) - U-Mootor (4, 12, 16) - Y-Mootor (3, 6, 12, 18, 24) - H-Mootor (16, 24, 40) - X-Mootor (16, 24) - Tähtmootor (3, 5, 7, 9, 11) (Lennukimootor) - Ridatähtmootor ((6x2=12, 4x3=12, 6x4=24, 4x5=20, 2x6=12, 4x6=24, 6x6=36, 3x7=21, 4x7=28, 6x7=42, 8x7=56, 4x9=36) (Lennuki ja laevamootor) - Mitmesektsiooniline tähtmootor (2x7=14, 2x9=18, 4x7=28) (Lennukimootor) - Pöördkolb- ehk Wankelmootor (sulgudes on võimalik silindrite arv, rasvaselt on tänapäeval maismaasõidukitel kasutatavad mootorid) Neljataktiline sisepõlemismootor on tänapäeval kõige levinum jõuallikas autodele, mootorratastele, laevadele (paatidele) aga ka statsionaarsetele seadmetele
Tööjõud (h 150 2 1 2 2 450m2 ja niiti 235 rulli. Aeg Kasum 32 65 12 35 pealt 65 eurot, Lille pealt 12 x1 x2 x3 x4 Muutujad 0.00 58.75 0.00 0.00 Z Sihtfunkt 3818.75 Matemaatiline mudel Z= 32x1+65x2+12x3+35x4-> max 4x1+2x2+4x3+6x4≤320 5x1+3x2+3x3+4x4≤450 3x1+4x2+5x3+3x4≤235 2x1+1x2+2x3+2x4≤150 Sihifunktsiooni kasum peab olema maksimaalne kui kasum Puhhil on 32, Maasikul 38, Lillel 12 ja Koeral 35 eurot. Vatti kulub Puhhile, Maasikule, Lillele ja Koerale vastavalt 4, 2, 4 ja 6 kuupmeetrit. Kokku on vatti olemas 320 kuupmeetrit. Riiet kulub Puhhile, Maasikulee, Lillele ja Koerale vastavalt 5, 3, 3 ja 4 ruutmeetrit. Kokku on riiet kasutada 450 ruutmeetrit.
leida funkstiooni II järku tuletis y``(x) 4. leida y``(x) väärtused kriitilistes punktides (p. 2.), kui y``(x) > 0 x is on lokaalne miinimum kui y``(x) < 0 x is on lokaalne maksimum 5. vajaduse korral leida funktsiooni väärtused lokaalsetes ekstreemumites. Näide 4.5. Leida funktsiooni y = x4 8x2 + 16 lokaalsed ekstreemumid II järku tuletise abil. Lahendus: 1. leiame funkstiooni I järku tuletis y`( x): y`( x) = 4x3 16x 2. leiame kriitilised punktid: määramatused puuduvad, y`( x) = 0 4x3 16x = 0 4x(x2 4) = 0 x1= 0, x2 = 2, x3 = -2 3.leida funkstiooni II järku tuletis y``(x): y``(x) = 12x2 16 4. y``(0) = 12 0 16 = -16 < 0 punktis x = 0 on lokaalne maksimum, y``(2) = 12 4 16 > 0 punktis x = 2 on lokaalne miinimum, y``(- 2) = 12 4 16 > 0 punktis x = - 2 on lokaalne miinimum. 5
1.22. Funktsiooni lokaalne ekstreemum Kui f-nil y=f(x) eksisteerib tuletis ja f'(x) on <0 punktis x, siis see funktsioon on punktis x rangelt kasvav ja f'(x)>0 puhul rangelt kahanev. f'(x)>0 Rangelt kasvav. f'(x)<0 Rangelt kahanev. Kui range kahanemine läheb üle rangeks kasvamiseks või vastupidi, siis funktsiooni tuletis selles puntkis peab võrduma nulliga. Sellist punkti f(x) korral, kus tema tuletis on 0 nim. Funktsiooni statsionaarseks punktiks. N. y=x4 y'=4x3 f'(0)=0 ning f'(a)=0 on selle f-ni statsionaarne punkt. Kirjutan välja Taylori valemi koos jääkliikmega: , kuna f'(a)=0, siis . F''(a)0 ja on punktis a pidev. L1. Kui tegemist on statsionaarse punktiga, kus f'(a)=0, f''(a)0 ning f''(x) on pidev, siis punktis a on fuktsioonil lokaalne ekstreemum ja kui teine tuletis punktis a on rangelt positiivne siis punktis a lokaalne miinimum ja kui f''(a) on rangelt negatiivne siis on punktis a lokaalne maksimum. Def. 1
Jan 31st Loosen up, agility circuit (same as previous cycle) Feb 1st Travel to New York Feb 2nd Millrose Games Feb 3rd Travel to Athens Feb 4th REST Feb 5th Bench Press 5x3 up to 405lbs, Rhythmic step- step-ups 3x5 (good intensity), 5x20m sprints Feb 6th Explosive Back Squat x3x3x3x2x2, up to 500lbs if feeling okay, Push Push Jerk (light & fast), 4x3 up to 110kg, Throwing workout Feb 7th Travel to Ostrava Feb 8th loosen up & agility circuit Feb 9th do something explosive this day, either lifting, throwing , or sprinting sprinting Feb 10th Travel to Valencia Feb 11th Competition in Valencia, Spain Feb 12th Travel to Birmingham Feb 13th Bench Press x4x3x3x2 up to 450lbs, Jump Squat 5x3, work up to 200kg, 200kg, agility circuit afterward
2 1 1 1 = ln |x4 + 2x2 | = (ln(16 + 2 · 4) - ln(1 + 2)) = ln 8 1.04 2 1 2 2 dt M.v. t = x4 + 2x2 dt = (4x3 + 4x)dx dx = 3 4x + 4x 7. Leida integraalid (ositi integreerimisega) (2p): 1 xe-2x dx, 3x2 ln xdx. 0 Lahendus.
eelnõust. ELi õigustikus on määratletud ka teenuse mõisted nt teenused, mida osutatakse elektrooniliselt, kaugteenusena, teenuse saaja individuaalse nõude alusel jne; samuti sätestatakse nende teenuste (nt e-kaubandus) õiguslik kaitse. EKSAM 2 tundi Eksami küsimused ainekava teemade alusel: Kuidas EL alguse sai?(nimeta 6 olulisemat perioodi ja mis sellel perioodil oli oluline 6x3 =18P) Lepingud (nimeta olulisemad EL lepingud ja ja nende tähtsus 4x3 = 12P) EKSAM 2 tundi Eksami küsimused ainekava teemade alusel: Nimeta Euroopa Liidu institutsioonid ja iseloomusta lühidalt nende tegevust? 5X3=15 P EKSAM 2 tundi Eksami küsimused ainekava teemade alusel: Nimeta EL organisatsioonid ja agentuurid ning nimeta nende loomise vajadus ja põhiülesanded 4x3=12P. EKSAM 2 tundi Eksami küsimused ainekava teemade alusel: Nimeta Euroopa Liidu õigusaktid (seleta
3.2, kusjuures x U (x0 ){x0 } 0 < |x - x0 | < ja f (U (x0 ){x0 }) U (a) (0 < |x - x0 | < |f (x) - a| < ) . Lause 1 v¨ aide on l¨ uhidalt kirja pandav kujul lim f (x) = a ( > 0 = () > 0 : 0 < |x - x0 | < |f (x) - a| < ) . xx0 N¨ aide 1. N¨ aitame, l¨ ahtudes vahetult Lausest 1, et 4x3 + 2x lim = 2. (1.5.1) x0 x Kui kasutada Lause 1 t¨ ahistust, siis f (x) = 4x3 + 2x /x, x0 = 0 ja a = 2. Olgu suvaline positiivne arv. N¨ aitame, et leidub selline = () , mille korral 4x3 + 2x 0 < |x - 0| < - 2 < . (1.5.2)
FUNKTSIOONID. 1. (1997 A) Leidke funktsiooni y = 4x3 3x2 maksimum- ja miinimumkoht ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2 2. (1997 B) Leidke funktsiooni y 2 x määramispiirkond, maksimum- ja x 1 miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid;
on koosk~ olaline. 2 Alfredo Capelli (1855-1910), itaalia matemaatik 6 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 5.3 ¨ Ulesanne N¨aidata, et s¨ usteemil 4x1 + 2x2 - 5x3 + 3x4 = 4 6x1 + 4x2 - 7x3 - 5x4 = - 6 3x1 + x2 - 4x3 + 7x4 = 10 puuduvad lahendid. Uurida (selgitada) p~ ohjust. 5.4 Lahendite arvust Teoreem 5. Koosk~ olalisel LVS-il 1.1 on 1) parajasti u ¨ks lahend kui n = r(A), 2) l~ opmata palju lahendeid, kui n > r(A). 6 ¨ Uld- ja erilahend 6.1 ¨ Uld- ja erilahendi m~ oiste LVS-i u¨ldlahend on selline parameetritest s~ oltuv lahend, mis ra-
( x 4)2 ' (x @ x @ x @ x ) (x @ x @ x @ x ) ' x 8 ehk ( x 4 )2 ' x 4 @ 2'x 8 (xy)4 ' (xy) (xy) (xy) (xy) ' x @ y @ x @ y @ x @ y @ x @ y' x 4 y 4 Avaldises 5x2 on x muutuja 5 kordaja ehk koefitsient. Avaldist 5x2 nimetatakse üksliikmeks. Üksliige sisaldab kordajat ja üht või mitut muutujat. Näiteks 23 x 105 x 2 y 5 25 x 3 y z Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saame hulkliikme ehk polünoomi Näiteks 4x3 + 5x2 - 2x + 10; 15x4 - 3x2 + 2x - 3; x4 +1. Polünoomiks ehk hulkliikmeks nimetatakse järgmist avaldist an x n % an&1 x n&1 % ... % a1x % a0 kus an, an-1, a1 on polünoomi kordajad ja x muutuja. Hulkiikme ühesuguseid liikmeid võib liita ja lahutada, liites või lahutades nende liikmete ees olevaid kordajaid.
= - = = ( ) = Avaldises 5x2 on x muutuja ning 5 kordaja ehk koefitsient. Avaldist 5x2 nimetatakse üksliikmeks. Üksliige sisaldab kordajat ja üht või mitut muutujat (näiteks 23x; 105x2y5; 25 3 ). Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saame hulkliikme ehk polünoomi (näiteks 4x3+5x2-2x+10; 15x4-3x2+2x-3; x4+1). Polünoomiks ehk hulkliikmeks nimetatakse järgmist avaldist: + - - + + + Hulkiikme ühesuguseid liikmeid võib liita ja lahutada, liites või lahutades nende liikmete ees olevaid kordajaid. 4 5 + 9 5 = 13 5 12 - 3 = 9 3 3 + 5 2 + 2 + 4 3 + 7 = 7 3 + 5 2 + 9 Korrutamisel ja jagamisel vastavalt korrutatakse või jagatakse nii kordajaid kui muutujaid.
kordused kokku) 1 KM) (korduste arv minutis) 1 3x3 9 90 18 2 3x2 6 95 20 3 3x6 18 70 22 4 4x3 12 90 18 5 4x2 8 95 18 6 3x8 24 70 20 Maksimaalse jõu arendamise perioodile järgneb võimsuse arendamise periood, mille kestuseks on tavaliselt 6-8 nädalat ja mille jooksul arendatakse sõudmisspetsiifilist võimsust nii kangiga kui ka veepeal
dx F y Seega saab u ¨he muutuja ilmutamata funktsiooni tuletise leidmiseks kasu- tada ka valemit dy F = - x. (6.15) dx Fy aide 1. Leiame ilmutamata funktsiooni x4 + y 4 - a2 x2 y 2 = 0 tuletise N¨ dy . dx Siin F (x, y) = x4 + y 4 - a2 x2 y 2 , seega Fx = 4x3 - 2a2 xy 2 ja Fy = 4y 3 - 2 2 2a x y. Valemi (6.15) j¨argi dy 4x3 - 2a2 xy 2 x(2x2 - a2 y 2 ) =- 3 = - . dx 4y - 2a2 x2 y y(2y 2 - a2 x2 ) Vaatleme ilmutamata pidevat funktsiooni F (x, y, z) = 0. See v~orrand m¨a¨arab muutja z kahe muutja x ja y funktsioonina. Eeldame, et funktsioonil F (x, y, z) eksisteerivad punktis P (x, y, z) ja selle mingis u
Kui P = (x1 , f (x1 )) on joone y = f (x) k¨ aa¨nupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist j¨ arku kriitiline punkt. Vastupidine v¨aide kehti. funktsioonil v~oib olla ka selliseid teist j¨arku kriitilisi punkte, kus k¨a¨anupunkti ei ole. N¨aiteks funktsioonil f (x) = x4 on teist j¨arku kriitiline punkt x = 0 (sest f (0) = 0). Samas aga selle funktsiooni esimest arku tuletis f (x) = 4x3 kasvab kogu arvteljel, kaasa arvatud punkti x = 0 j¨ ¨mbrus. Seega on joon y = x4 k~oikjal n~ogus, millest j¨areldub, et tal ei ole u u ¨ldse k¨ anupunkte. Lihtne on kontrollida, kasutades §4.2 toodud lokaalse ekstree- a¨ mumi piisavaid tingimusi, et punktis x = 0 on funktsioonil f (x) = x4 hoopis lokaalne miinimum.
Kui P = (x1 , f (x1 )) on joone y = f (x) k¨ a¨anupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist j¨ arku kriitiline punkt. Vastupidine v¨aide kehti. funktsioonil v~oib olla ka selliseid teist j¨arku kriitilisi punkte, kus k¨a¨anupunkti ei ole. N¨aiteks funktsioonil f (x) = x4 on teist j¨arku kriitiline punkt x = 0 (sest f (0) = 0). Samas aga selle funktsiooni esimest j¨arku tuletis f (x) = 4x3 kasvab kogu arvteljel, kaasa arvatud punkti x = 0 ¨mbrus. Seega on joon y = x4 k~oikjal n~ogus, millest j¨areldub, et tal ei ole u u ¨ldse k¨a¨anupunkte. Lihtne on kontrollida, kasutades §4.2 toodud lokaalse ekstree- mumi piisavaid tingimusi, et punktis x = 0 on funktsioonil f (x) = x4 hoopis lokaalne miinimum. P¨ ustitame k¨ usimuse: millistel piisavatel tingimustel on teist j¨arku kriitilises
annaabi.ee 
