· Suunatud positiivsest laengust eemale Magnetväli · esineb seal, kus on elektrivool/juhtmete vahel · Samasuunalised voolud tõmbuvad · Välja kirjeldab magnetinduktsioon · Suunatud põhjast lõunasse (põhjast välja, lõunast sisse) Seaduspärasused · F < 0 tõmbejõud · F > 0 tõukejõud · Elektivälja tugevus ja magnetväli on tugevaimad seal, kus jõujooni on tihedamalt · Elektrivälja jõujooned ühtivad E-vektoriga (positiivsest eemale) · Magnetvälja jõujooned ühtivad B-vektoriga (juhtmega risti, jõusuunaga risti) · Magnetjõud on voolusuuna ja magnetväljaga risti · Kahe parelleelse juhtme korral on ühe juhtme magnetväli teise juhtmega risti Vasaku käe reegel Näpud näitavad voolusuunda, pöial jõusuunda, peopesa magnetvälja Parema käe rusikareegel Pöial näitab voolusuunda, kõverdatud sõrmed magnetvälja Vastastikmõju · Nõrk vastastikmõju esineb mikroosakeste vahel
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Tabelid Üliõpilane Tõnis Rohula õppemärkmik 083135 Õppejõud Ahti Lohk õpperühm EAKI-21 Variant: 5 Ristkülikmaatriks leida maatriksi iga rea skalaarkorrutis vektoriga leida minimaalne element antud ridade vahemikus (S) moodustada uus maatriks ridadest, kus esimene element on suurem antud arvust Ruutmaatriks lahutada esimene veerg veergudest, kus peadiagonaali element on positiivne leida saadud maatriksi elementide aritmeetiline keskmine leida minimaalne element ülalpool kõrvaldiagonaali (S) Ülesande realisatsioon Ruutmaatriksi puhul
Asetame vooluraami püsimagneti pooluste vahele, kus on homogeenne magnetväli. Kui vooluraami positiivse normaali n-> (vektor) suund ei ühti magnetinduktsiooni vektori B -> (vektor) suunaga, siis raam ei ole tasakaalus ja hakkab pöörlema (joonis D). Järelikult raamile mõjuvate jõudude moment on nullist erinev. Jõudude momendi väärtus sõltub raami asendist vektori B-> (vektor) suhutes, kui raami normaali n-> (vektor) suund ühtib normaali B-> (vektor) sunaga (raamitasand on rist vektoriga B->), siis jõu moment võrdub nulliga ja raam on tasakaalus. Jõumoment on suurim, kui vektor N on risti vektoriga B (Joonis D). Katseliselt on kindlaks tehtud, et magnetväljas paiknevale vooluraamile mõjub suurim jõumoment. M on võrdeline voolutugevusega ja raami pindalaga. Suhe M/ I*A ei sõltu voolutugevusest ja raami pindalast ning iseloomustab magnetvälja kohas, kus raam asub. Magnetinduktsiooni vektori
Vektori lahutamine tähendab selle vektori vastandvektorite liitmist. Selleks, et lahutada ühest vektorist teine paigutatakse need vektorid ühisesse alguspunkti. Vahevektor on vektor, mis ühendab vektorite lõpp-punkte ja on suunatud vähendatava vektori poole. a + b ( ax - bx ; ay - by ) Vektori korrutamisel arvuga k saame vektori, mis on pikkuselt võrdne arvu |k| ja vektori a pikkuse korrutisega. k a ( k x1 ; k y1 ) Kui k 0, siis vektor k a on samasuunaline vektoriga a . Kui k 0, siis vektor k a vastassuunaline vektoriga a Kui punktid A( x1; y1 ) ja B( x2 ; y2 ), siis selle lõigu keskpunkti C( xc ; yc ) koordinaadid on x 1 + x2 y 1 + y 2 x c= 2 ja y c = 2 Vektorite u ja v skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. Definitsioonvalem u v = ( u ) ( v ) cos .
PÖÖRDNURK-NURK,MILLE VÕRRA PÖÖRDUB RINGJOONELISELT LIIKUV KEHA,TRAJEKTOORI KÕVERUSKESKPUNKTI ÜHENDAV RAADIUS.RADIAAN-KESKNURK,MIS VASTAB RINGJOONE KAARELE,MILLE PIKKUS ON VÕRDNE SELLE RINGJOONE RAADIUSEGA.JOONKIIRUS- LÄBITUD TEEPIKKUSE JA LIIKUMISAJA SUHE.NURKKIIRUS-PÖÖRDENURGA JA SELLE SOORITAMISEKS KULUNUD AJAVAHEMIKU JAGATIS.PERIOOD-AJAVAHEMIK,MILLE JOOKSUL LÄBITAKSE ÜKS TÄISRING.SAGEDUS-AJAÜHIKUS TEHTAVATE TÄISRINGIDE ARV.KESKTÕMBEKIIRENDUS-ALATI RISTI JOONKIIRENDUSE VEKTORIGA,SUUNATUD RINGI KESKPUNKTI POOLE,SÕLTUB TRAJEKTOORI KÕVERUSRAADIUSEST,KEHA KIIRUSEST.
10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada vähemalt kahe vektoriga, millede summa annab esialgse vektori. On vajalik, et lihtsustada ülessande lahendamist. Tavaliselt lahutatakse vektorid teljesuunalisteks komponentideks. 23. Lähtudes seosest pöördliikumist iseloomustavate suuruste vahel, tuletage seos kiiruste vahel. 35. Lähtudes raskusjõu väljast, tuletage potentsiaalse energia valem. A12=m*g*(y1-y2)=-(m*g*y2-
· Näitame, et pöördvõrdelise sõltuvuse korral on muutujate vastavate väärtuste korrutis jääv. Näitame seda. x1 y1 x2 y2 . Arvutame korrutise. · Kui k>0 ja x>0, siis ühe suuruse muutudes mingi arv korda muutub teine suurus vastupidises suunas sama arv korda. 100 km läbimiseks kuluv aeg ja kiirus, sama pindalaga ristküliku pikkus ja laius · 8. Funktsiooni graafiku lüke vektoriga (0;a), graafik, valem · Teeme funktsiooni y=4/x graafikule lükke vektoriga (0;2) · Valem: (x;y)-------(x;y+a) · Iga argumendi väärtuse korral liidetakse funktsiooni väärtusele a. · f(x) f(x)+a 4 4 4 + 2x y= y = + 2, so y = x x x 9
üldvõrrandis • p – tasandi kaugus koordinaatide alguspunktist • d – punkti kaugus tasandist Tasandi võrrand • Üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 • Tasandi normaalvektor: = (A; B; C) • Punkt A(ihivektor: = (; ) Võrrand: = •Kui tasand lõikab koordinaattelgi punktides K(a; 0; 0), L(0; b; 0) ja M(0; 0; c), siis on tasandi võrrandiks + + 1 Tasandi võrrandi erinevad kujud • Ühe punkti ja kahe mittekollineaarse vektoriga määratud tasandi võrrand: =0 • Kolme punktiga määratud tasandi võrrand • Tasandi normaalvõrrand =0 NB: Märk ruutjuure ees võetakse vastupidine D märgiga. • Nurk tasandite vahel = • Tasandite paraleelsuse tunnus ↔ • Tasandite ristseisu tunnus =0↔ Ülesanne 1 •Leia tasandite vaheline nurk 5x – y + 3z = 2 ja 2x – 2y – 4z + 6 = 1 = 90° Ülesanne 2 • Kas antud tasandid on paralleelsed, ühtivad või lõikuvad?
kera TULETISED JA TEKSTÜLESANDED tuletised korrutise tuletis: jagatise tuletis: liitfunktsiooni tuletis: ekstreemumkohad nullkohad: positiivsus: negatiivsus: ekstreemum: kasvamisvahemik: kahanemisvahemik: puutuja kohal : vektor ja sirge tasandil vektorite skalaarkorrutis: vektorid on risti, kui vektorid on paralleelsed, kui tõusu ja algordinaadiga määratud sirge: punkti ja tõusuga määratud sirge: kahe punktiga määratud sirge: punkti ja vektoriga määratud sirge: sirge üldvõrrand: sirgete paralleelsus: sirged on paralleelsed, kui sirgete ristseis: aritmeetiline jada geomeetriline jada hääbuva jada summa:
B LNV=lg2-lg1 Slg=Klg*LNV Slg C A T1 T2 lg1 lg2 Lähtepunktist A mõõdetakse Krk,arvutakse Slg kandakse Krk.Punktist B tõmmatakse rööpselt hoovuse vektoriga lõik BC.C on laeva asukoht 4.Arvutatud koha ja loginäidu arvutamine:PK,Krk,T1,tuul,Vlg,Klg lg1 Krk B t=Slg *60 Vlg Slg LNV=Slg
B LNV=lg2-lg1 Slg=Klg*LNV Slg C A T1 T2 lg1 lg2 Lähtepunktist A mõõdetakse Krk,arvutakse Slg kandakse Krk.Punktist B tõmmatakse rööpselt hoovuse vektoriga lõik BC.C on laeva asukoht 4.Arvutatud koha ja loginäidu arvutamine:PK,Krk,T1,tuul,Vlg,Klg lg1 Krk B t=Slg *60 Vlg Slg LNV=Slg
XY pikkust, s.t. | | := |XY |. Vastandvektor Seotud vektorit nimetame seotud vektori vastandvektoriks. Seotud vektori vastandvektorit t¨ahistame abil, s.t. - := . Kollineaarsed seotud vektorid Kui kaks vektorit on omavahel paralleelsed OMADUSED: 1) Refleksiivsus - iga seotud vektor on kollineaarne iseendaga. 2) Transitiivsus - kui seotud vektor on kollineaarne teise seotud vektoriga ja teine oma korda kolmandaga, siis on ka esimene seotud kolmandaga. 3) Sümmeetria - kui üks seotud vektor on kollineaarne teise seotud vektoriga, siis teine seotud vektor on kollineaarne esimesega Samasuunalised (erisuunalised) seotud vektorid kui vektorid a ja b on kollineaarsed ning nende suund on sama (suund on vastupidine) Seotud vektori ekvivalents kui kaks vektorit on omavahel võrdete pikkustega, paralleelsed ja samasuunalised OMADUSED:
vooluallika koguvõimsusesse määrab vooluallika kasuteguri. Maksimaalse kasuliku võimsuse saame takistuste suhte juures R/R=1 kasutegur on siis 50% 3. Mis tahes voolu magnetväli on arvutatav selle voolu elementide poolt põhjustatud magnetvälja tugevuste summana. Vooluelementide väljatugevus: dB=k2IdLsina*1/rruut a(alfa) on nurk vooluelemendi IdL ja sellelt välja punkti viiva raadiusvektori r vahel ning dB vektori suund on risti mõlema vektoriga. 4. Transformaatoriks nim elektromagnetilist seadet, mis on mõeldud teatud pingega vahelduvvoolu muundamiseks sama sagedusega, kuid teistsuguse pingega vahelduvvooluks. Trafo ülekandearvuks kutsutakse trafo sekundaar- ja primaarmähiste keerdude arvu suhet. Autotrafoks nim trafot, mille alampingemähiseks on osa ülempingemähisest. 5. Kõige levinum on kehade soojendamisest saadud helendumine. Seda helendumise liiku kutsutakse soojukiirguseks
Suur prantsuse füüsik ja matemaatik. Üks elektrodünaamika rajajaid. Tõi füüsikasse elektrivoolu mõiste Lõi esimese magnetismiteooria Avastas elektrivoolude mahaanilise vastasmõju ja vastasmõjujõudude kohta kehtiva seaduse. Ta tegeles ka mehaanikaga, tõenäosusteooriaga ja matemaatilise analüüsiga. Ampere seadus On magnetväljas asuvale vooluga juhtmelõigule mõjuv jõud F on võrdeline voolutugevusega I juhtmes, vektoriga B, juhtmelõigu pikkusega l ning siinusega nurgast voolu suuna ja magnetvälja suuna vahel. F= B I l sin . Ampere'i katsetega oli eelkõige kindlaks tehtud, et kahe vooluga juhtme vahel mõjuv jõud on võredeline voolutugevusega mõlemas juhtmes. Magnetvälja jõujooned Magnetvälja jõujoonteks nimetatakse jooni, mille puutuja suund igas punktis ühtib magnetilise induktsiooni vektori suunaga.
Neid suurusi aga skalaarideks.Mõnede suuruste määramisel on lisaks väärtusele vaja näidata ka suunda (ntx jõud ,kiirus,moment).Selliseid füüs suurusi nim vektoriteks.Tehted: a) vektori * skalaariga av-=av-- b)v liitm v=v1+v2 c)kahe vektori skalaarkorrutis on skalaar, mis on võrdne nende vektor on nurkkiiruse vektoriga samasuunaline e aksiaalvektor. a τ =εR vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. d) 2 vektori vektorkorrutis on vektor,mille
trajektoori kõveruskeskpunkti ühendav radius. 4. Radiaan nendes mõõdetakse pöörde nurka. 5. Joonkiirus ringliikumisel läbitud teepikuse ja liikumisaja suhe. 6. Nurkkiirus pöörde nurga ja selle sooritamiseks kuluva aja suhe. 7. Periood seos nurkkiirusega T= 2/ 8. Sagedus 9. Sageduse seos nurkiirusega =2f 10.Kesktõmbekiirendus suunamuutusest tingitud kiirendus on suunatud alati keha trajektoori kõveruskeskpunkti poole, seega kiirus vektoriga risti. 11.Jõu õlg jõu mõjusirge kaugus pöörlemis punktist. 12. Jõumoment jõu ja jõu õla korrutis. 13.Impulsimoment impulsi ja tema kõverusraadiuse koorutist. 14.Võnkumine üks osa perjoodiliselt korduvatest liikumistest. 15.Vabavõnkumine kui võnkumine toimub süsteemisiseste jõudude mõjul. 16.Sundvõnkumine kui võnkumine toimub mingi välise perjoodilise jõu mõjul. 17. Hälve - võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist. 18
Suund määratakse vasaku käe reegliga kui vasaku käe väljasirutatud sõrmed näitavad positiivse laetud kega liikumise suunda ja magnetvälja jõujooned tulevad peopessa, siis väljasirutatud pöial näitab osakesele mõjuvat Loerentzi jõu suunda. Miinusmärgiline Lorentzi jõud tähendab vastupidist suunda või paremat kätt. L. jõud ei põhjusta osakeste liikumist vaid muudab suunda, st. ta ei tee tööd. Kolm varianti laengu liikumisel magnetväljal: *v vektor on paralleelne B vektoriga. osakese kiirus jääb samaks, suund ka ei muutu *v vektor ristub B vektoriga *v vektor on B vektori suhtes mingi ühikulise nurgaga tekib kruvijoon, mille raadiuse määravad magnetiduktsioon ja magnetväljaga risti olev kiiruse komponent. Kruvi sammu määrab äa kiiruse magnetvälja suunaline komponent.Aine magnetiline läbitavus: Aine magnetiline läbitavus näitab, mitu kora on magnetinduktsioon aines suurem magnetinduktsioonist vaakumis
Seda definitsiooni on võimalik üldistada suvalise lõpliku arvu vektorite jaoks. Definitsioon. Vektorite a ja b vaheks nimetatakse vektorit a b , mis on võrdne summaga a b a b . Definitsioon. Vektori a korrutiseks arvuga nimetatakse vektorit a , mis on vektoriga a samasuunaline, kui 0 ja temaga vastassuunaline, kui 0 . Moodul: a a . 1 Lineaartehete omadused: a b b a , kommutatiivsus a b c a b c , assotsiatiivsus k1 k2 a k1k2 a , k1 k2 a k1a k2a ,
võrra. Laetud juhi energia võrdub laadimisel kulutatud tööga dA=fii*d*q Kondensaatori energia w=Curuut/2 3. Mis tahes voolu magnetväli on arvutatav selle voolu elementide poolt põhjustatud magnetvälja tugevuste summana. Vooluelementide väljatugevus: dB=k2IdL sina*1/r ruut a(alfa) on nurk vooluelemendi vektori IDL ja sellelt välja punkti viiva raadiusvektori r vahel ning dB vektori suund on risti mõlema vektoriga. 4. Kinnises, ilma vooluallikata kontuuris tekkivat voolu nimetatakse induktsioonivooluks. Selle põhjustaja on magnetvoo muutumine ajas. Faraday: igas kinnises kontuuris indutseeritakse elektrivool, kui muutub kontuuri poolt aheldatud magnetvoog ajas. Lenzi: induktsioonivoolul on alati selline suund, et tema magnetväli takistab induktsioonivoolu esilekutsuvat magnetvoo muutust. El.magnet
Magnetvälja jõujooned joon, mille igas punktis puutuja siht ühtib vektori B-> sihiga antud punktis. Pöörisväli - kinniste jõujoontega väli, magnetväli on seega pöörisväli. Magnetvoo - suurus, mis võrdub magnetinduktsiooni vektori mooduli B, pindala A ning vektorite B-> ja n-> vahelise nurga cos korrutisega ( =BAcos ) Amperei jõud on magnetväljas mõjuv jõud, sõltub vektori B-> ja juhi vahelisest nurgast. Ampere´i seadus: F=Ilsin Jõud F on risti nii vooluelemendiga, kui ka vektoriga B->. Tema suuna võib määrata vasakukäe reegliga: vasak käsi asteda nii, et B-> suundub peopessa ja 4 väljasirutatud sõrme näitavad voolusuunda, siis sõrmedega täisnurga moodustav pöial näitab vooluelemendile mõjuva jõu suunda. Laurentzi jõud - jõud, millega magnetväli mõjutab laetud osakest. (Fl = F//N) Magnetiline läbitavus B/Bo=µ iseloomustab keskkonna magnetilisi omadusi.
Juurimine: n r (cos + i sin ) = n r + i sin n n 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Liitmine: AB + BC = AC . Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab tingimusi: 1. vektor c on paralleelne vektoriga ; 2. kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse a korrutamisel arvu c absoluutväärtusega c . 4. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiliste vektorite skalaarkorrutis. Skalaarkorrutise 5 omadust. n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu (a1 ; a 2;... a n ) , võetuna kindlas
skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. 9. Juurvõrrand on võrrand, milles muutuja esineb juuritavas. 10. Kui punktid A(x1; y1) ja B(x2;y2) on lõigu otspunktid, siis selle lõigu keskpunkti C(xc;yc) koordinaadid on 11. Vektor on lõik, millel on suund, siht ja pikkus. 12. Vektoreid saab liita, kui liita vektorite vastavad koordinaadid. 13. Vektori vastandvektoriks nim. vektorit, millel on antud vektoriga sama siht ja pikkus, kuid vastupidine suund. 14. Vektorid on kollineaarsed ehk samasihilised, kui nad asuvad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. 15. v= lp - ap 16. Vektori pikkus võrdub koordinaatide ruutjuure summast. 17. sin= vastask./hüp. cos= lähisk./ hüp. tan= vastask./ lähisk. 18. 1 radiaan on raadiuse pikkusele kaarele toetuv kesknurk. 19. Skalaarkorrutis: a ja b skalaarkorrutiseks a*b nim. nende vektorite pikkuste ning
1. Andmed INP-profiil S235 b = c = a/2 = 0,75 m F = 10 kN p = F/b = 13,33 kN [S] = 4 a = 1,5 m 1.1 Toereaktsioonid (1) Ühtlase joonkoormuse resultant = pL => 0,375*13,33 = 5 kN 1.1 Toereaktsioonid (2) =0 F*AC - FB*AB + Fres*AD = 0 => arvutan sellest FB asendades arvudega -FB = 1.1 Toereaktsioonid (3) =0 FA*AB Fres*DB + F*BC = 0 => arvutan sellest FA asendades arvudega FA = vektori sound vale Joonis parandatud vektoriga 1.1 Toereaktsioonid (4) kontroll =0 F + FB FA Fres1 Fres2 = 0 => 10 + 8,75 8,75 5 5 = 0 Toereaktsioonide väärtused ja suunad on õiged! 2. Sisejõudude analüüs 2.1 Sisejõud lõikes C C'C -> 0 Tasakaaluvõrrandid: =0 =0 F*CC'- Mc'=> Mc'=-F*CC' Mc= Mc' = 0 kNm 2.2 Sisejõud lõikes G GG -> 0
võrdseteks. Vektorite liitmine. Olgu antud kaks vektorit A ja B(joon.2). Resul-tantvektori C saamiseks viime vektori B paralleelselt iseenesega edasi nii, et tema alguspunkt ühtiks vektori A lõpuga (joon.3.). Sum-mat võib esitada kujul C = A + B Vektorite lahutamine. Kahe vektori A ja B vaheks A-B nim. vektorit C, mis, liidetuna vektooriga B, annab vektori A (joon.4). Kuna vahe A-B esitub kujul A - B = A + ( -B ), siis saame vektori C = A B, kui liidame vektoriga A vektori, mis on võrdvastupidine vektoriga B. Vektorite lahutamine komponentideks. Iga vektori A võib asendada mitme vektoriga A1, A2 jne., mille summa annab vektori A. (joon.5.). Vektori projektsioon teljel. Vektori projektsioon on skalaar. Kui suund punktis 1` punkti 2` ühtib suunaga n , loetakse projektsioon positiivseks, vastasel juhul on projektsioon negatiivne (joon.6.) Tähistatakse: vektori A projektsiooni suunal n tähistatakse An. Ühikvektor
Õpiväljund Õppinud inimene selgitab, kuidas leida rööpühenduses olevate komponentide voolutugevust ning mis asi on vooluresonants. Õpiobjekti sisu Siin kohal ei arvesta pooli juhtmetraadi aktiivtakistust. Väljaselgitamaks koguvoolu, joonestatakse vektordiagramm. Alustatakse vabalt valitud asendis vektorist U, mis on kõigis harudes ühine. Samas faasis pingega on aktiivvool Ia vektor. Induktiivvoolu IL vektor jääb pingest 90o maha, mis on vastupidise suunaga mahtuvusvoolu Ic vektoriga, mis on pingest 90o ees. Ühendades vektorite alguspunkti lõpppunktiga, saamegi koguvoolu I vektori, mis on pingest nurga mahajääv. NB! Vooluvektorite mõõtkava peab olema ühine. Valemid voolude leidmiseks: Faasinurk leitakse valemitega: Aktiivvool = 1. cos = või Induktiivvool = 2
Kordamine kontrolltööks.Jõud 1.Mis on jõud? Jõud on füüsikaline suurus, mis iseloomustab vasastikmõju tugevust. *ühik 1N *tähis F *põhjustab liikumist *on vektoriaalne suurus 2.Mida tähendab, et jõud on vektoriaalne suurus? Tähendab, et jõul on suund ja saab väljendada vektoriga. 3.Resultalnt jõu leidmine. Resultant jõud on teiste jõudude summa. 4.Newtoni I seadus I seadus: määrab paigalseisu ja ühtlase ringjoonelise liikumise.1.keha seisab paigal või liigub ühtlaselt ringjooneliselt, kui: a. jõudusid üldse ei mõju. b. mõjuvad jõud on võrdsed ja vastassuunalised. Newtoni II seadus II seadus: määrab kiirendusega liikumiseKehale mõjuv jõud on võrdne keha massi ja selle jõu poolt antud kiirenduse korrutisega. Newtoni III seadus
Parema käe kolmik Kolmevektorilist vektorsüsteemi {x, y, z} nimetatakse parema käe kolmikuks, kui vaadelduna vektori z lõppp-punktist toimub vektori x pööre vektorini y lühemat teed pidi kellaosuti liikumise suunale vastupidises suunas. Vektorkorrutis Vektorite x, y vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit x×y, mis on määratud järgmiste tingimustega: 1. |x×y| = |x||y| sin ∠(x, y), kus ∠(x, y) on nurk vektorite x ja y vahel 2. vektor x×y on risti nii vektoriga x, kui ka vektoriga y 3. vektorsüsteem {x, y, x×y} on parema käe kolmik Vektorkorrutamise omadused 1. vektorid x, y on kollineaarsed vektorid parajasti siis, kui x×y = 0, st kui vektorite x, y vektorkorrutis on võrdne nullvektoriga 2. vektorite x, y vektorkorrutise pikkus |x×y| on võrdne vektoritele x, y ehitatud rööpküliku pindalaga Srk(x, y), st |x×y| = Srk(x, y) 3. vektorkorrutamine on kaldsümmeetriline, st x×y = −y×x 4
12) Esmalt arvutame selle punkti kiirusvektori v kui kohavektori esimese ajalise tuletise, kasutades liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja: v (t ) = r (t ) = r ( - i sin(t ) + j cos(t ) ) . (2.13) Et vektori v skalaarkorrutis vektoriga r võrdub nulliga (kontrollida iseseisvalt!), siis on ka tõestatud, et kiirusvektor on pöördliikumisel trajektoori raadiusega risti. Kiirusvektori tuletis aja järgi annab kiirendusvektori: a (t ) = -r ( i cos(t ) + j sin(t ) ) = - 2 r . 2 (2.14)
Tuua näiteid. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Suunatud on see kehale mõjuvate jõududel vastu. Näited: kerge varras, rullikute paar, liigend Kuidas tuleb joonisele märkida sideme reaktsioonid juhul kui tala on seina müüritud (joonis!)? Xa, Ya, M Kahe vektori ja momendiga. Kuidas tuleb joonisele märkida sideme reaktsioonid sfäärilise liigendi korral ruumis (joonis!)? Xa, Ya, Za kolme vektoriga. Kuidas tuleb joonisele märkida sideme reaktsioonid silindrilise liigendi korral ruumis (joonis!)? Xa, Ya kahe vektoriga. Sõnastada staatika I aksioom (tasakaalu aksioom). Kaks absoluutselt jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad on võrdvastupidised ja mõjuvad piki sama sirget. Sõnastada staatika II aksioom (superpositsiooni aksioom). Tasakaalus olevate jõudude lisamine või ärajätmine ei mõjuta jäiga keha tasakaalu või liikumist.
Füüsika- loodusteadus, mis uurib täpisteaduslike meetoditega mateeria põhivormide liikumist ja vastastikmõju Mateeria põhivormid on aine ja väli Aine on mateeria vorm, mida iseloomustab nullist erinev sisumass Väli on mateeria vorm, mis vahendab vastastikmõjusid Mehaanika jaguneb: kinemaatika, dünaamika, staatika Kinemaatika- uurib kuidas keha liigub, ei uuri liikumise põhjuseid. Vastab küs. kuidas keha liigub? Dünaamika- uurib, miks keha liikuma hakkab, uurib liikumise põhjuseid (miks keha liigub?) Staatika- selgitab välja millised on tasakaalutingimused, uurib millal keha on paigal (millal keha on paigal?). Mehaanika seisneb kehade või nende osade ümberpaiknemise uurimises, kusjuures ümberpaiknemine toimub teiste kehade suhtes. Üks vanemaid teadusi. Mehaanika alusepanijad: G. Galilei (1564-1642) avastas mehaanika põhlised seaduspärasused. I. Newton (1642-1727) lõi ühtse seadusliku süsteemi. L.Euler (1707-1783) pani mehaanika kirja val...
Vektori pikkus |u|= Kahe punkti vaheline kaugus AB= Nurk vektorite vahel cos= KOLMNURK Siinusteoreem Koosinusteoreem a2=b2+c2 -2bccos; b2=a2 + c2-2accos; c2=a2+b2-2abcos. Kolmurga pindala S= ; S=pr ; S=absin ; S= ; S= ; S= SIRGE VÕRRANDID Üldvõrrand - ax + by=c või ax + by +c =0 x-teljega paralleelne sirge y=a y-teljega paralleelne sirge x=b koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand: I ja III veerand y=x; II ja IV veerand y=-x punktiga A(x1;y1) ja vektoriga v=(sx;sy) määratud sirge = punktidega A(x1;y1) ja B(x2;y2) määratud sirge punktidega A(a;0) ja B(0;b) ehk telglõikudes ,ääratud sirge punktiga A(x1;y1) ja tõusuga k määratud sirge y-y1 =k(x-x1) tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge y=kx+b nurk sirgete y=k1x+b1 ja y=k2x+b2 vahel tan=||
Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks.See on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Sirge vektorvõrrand ja sirge kanoonilised võrrandid Kui vektor r-r1 on paralleelne vektoriga s ja paralleelsete vektorite vektorkorrutis on 0, siis s(r- r1)=0, so sirge vektorvõrrand. Võrrandeid x-x1/s1= y-y1/s2= z-z1/s3 nim sirge kanoonilisteks võrranditeks ruumis. X-x1/s1=y-y1/s2 on sirge kanoonilinr võrrand tasandil. Kahe antud punkti läbiva sirge võrrand Ruumis on antud 2 punkti M1(x1,y1,z1) ja M2(x2,y2,z2). Et leida võrrandit sirgele mis läbib punkte M1 ja M2 tarvitseb võtta punkti M1 alguspunktiks ja vektor M1M2 sirge sihivektoriks.
Newtoni teise seaduse (F=ma) järgi evB=mv2/R, millest trajektoori kõverusraadius R=mv/eB Kõrvalekaldumise suund määratakse vasaku käe reegliga. Liikugu osake positiivse laenguga e, massiga m ja kiirusega v homogeensesse magnetvälja nurga a all induktsioonijoonte suhtes. Lahutame kiirusvektori v kaheks komponendiks v1 ja v2 nii, et vektor v1 (v1=vcosa) on suunatud piki induktsioonijooni ja v2 (v2=vsina) on nendega risti. Vektor v1 on paralleelne vektoriga B ja põhjustab osakese ühtlase liikumise piki induktsioonijooni. Kiirusvektori komponent v2 on aga risti induktsioonijoontega ja põhjustab osakese liikumise mööda ringjoont nagu eespool mainitud. Nende kahe liikumise resultandiks on, et laetud osake liigub homogeenses magnetväljas mööda spiraalikujulist trajektoori. Vaatame nüüd olukorda, kus positiivselt laetud osake lendab mittehomogeensesse magnetvälja tasandis S. Lahutame magnetilise induktsioonivektori B punktis A kaheks
Vektorite liitmine- Selleks, et liita mitut vektorit, tuleb esimese (I) vektori lõpust tõmmata teine vektor (II), II vektori lõpust kolmas (III) vektor jne. Liitmise tulemuseks on vektor, mis on tõmmatud I vektori algusest viimase vektori lõppu. Vektorite lahutamine-Selleks, et lahutada ühte vektorit teisest, tuleb teisele vektorile liita esimese vastandvektor. Antud vektori vastandvektoriks nimetatakse vektorit, millel on antud vektoriga sama siht ja võrdne pikkus, kuid vastupidine suund. Vektori projektsioon- Vektori projektsiooniks teljele x nim telje lõigu a*b pikkust mille algus on vektori alguse projektsioon teljele ja lõpuks vektori lõpuprojektsioon teljele. Vektori projektsioon on posit kui telje lõigu sound langeb ühte telje suunaga, millele projekteeritakse vector ja minus kui need suunad on vastupidised. 14
Kui skalaar on negatiivne arv, muutub vektori suund vastupidiseks. 2 3. Kahe vektori skalaarkorrutis Kahe vektori skalaarkorrutis on arv, mis saadakse, kui korrutatakse vektorite absoluutväärtused ja nendevahelise nurga koosinus: a b = ab cos . ( ) Skalaarkorrutis saab koosneda ainult kahest tegurist, sest a b c on juba skalaari korrutamine vektoriga, mille tulemuseks on vektor. Skalaarkorrutis on 0, kui vektorid on risti, sest siis cos = 0. Skalaarkorrutis on negatiivne, kui on suurem kui 90º, ja positiivne, kui on väiksem kui 90º. Skalaarkorrutis on kommutatiivne: a b = ba . See on näha skalaarkorrutise definitsioonist. ( ) Skalaarkorrutis on distributiivne: a b + c = a b + a c . Seda saab tõestada geomeetriliselt. 4. Vektorite vektorkorrutis
puhul ja on lihtsam) [(kõik on vektorid) x=1+2+3+...+n] x 1 3 2 4 2 1 x Rööpküliku meetod: Nihutab vektorid ühte alguspunkti(paljude vektorite korral liialt keeruline kui mitte võimatu) 1 x 2 10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada vähemalt kahe vektoriga, millede summa annab esialgse vektori. Vajalik: leida tuule jõu komponent mis veab jahti vastu tuult, teljestikus leida vajaliku telje sihilist komponenti et lahendada ülesannet. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? Vektori projektsioon teljel on skalaar. Teades nurka vektori ja telje vahel ning projektsiooni pikkust, saame arvutada vektori tõelise pikkuse koosinusfunktsiooni kaudu. 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik?
kondeka ühelt juhilt teisele, et muuta potensiaalide vahet ühe ühiku võrra. Laetud juhi energia võrdub laadimisel kulutatud tööga dA=fii*d*q Kondensaatori energia w=Curuut/2 3. Mis tahes voolu magnetväli on arvutatav selle voolu elementide poolt põhjustatud magnetvälja tugevuste summana. Vooluelementide väljatugevus: dB=k2IdL sina*1/r ruut a(alfa) on nurk vooluelemendi vektori IDL ja sellelt välja punkti viiva raadiusvektori r vahel ning dB vektori suund on risti mõlema vektoriga. 4. Kinnises, ilma vooluallikata kontuuris tekkivat voolu nimetatakse induktsioonivooluks. Selle põhjustaja on magnetvoo muutumine ajas. Faraday: igas kinnises kontuuris indutseeritakse elektrivool, kui muutub kontuuri poolt aheldatud magnetvoog ajas. Lenzi: induktsioonivoolul on alati selline suund, et tema magnetväli takistab induktsioonivoolu esilekutsuvat magnetvoo muutust. El.magnet
Korrastasime suvalise pinnatüki kerapinna osana, mis toetub ruuminurga elemendile d. Leiame voo läbi kogu suletud pinna. 7. Lõpmatu laetud tasandi elektriväljatugevus.Joonis ja tuletus. Lähtudes ühiklaengu käitumisest pinna juures ja sümmeetria kaalutlustest, on elektriväljatugevuse vektor risti pinnaga. Valime suletud pinna risttahukakujulise nii, et otspind on risti elektriväljatugevuse vektoriga. Risttahuka sisse jääb osa tasandist, mille laeng on : Voog läbi külgpinna on null, sest: Järelikult koguvoog on ainult läbi kahe põhja S Vastavalt Gauss'i teoreemile. Elektriväljatugevus ei sõltu kaugusest lõpmatu laetud tasndi juures. See on homogeenne elektriväli. Iga reaalset pinda, ka kõverat, saab vaadelda homogeense välja allikana, kui vaatluspunkt valida piisaval kaugusel pinnast. 8
× ja on risti. Analoogselt põhjendatakse vektorite × ja ristseis. Teoreemi teise väite tõestuseks kasutame kolmandat järku determinandi geomeetrilist tähendust: V = D = ( × ) = × cos , kus V on vektoritele , , ehitatud rööptahuka ruumala ning on vektorite × ja vaheline nurk. Selle rööptahuka kõrgus h on aga cos (vt. eelmist joonist ja arvestada, et vektor ^ on paralleelne vektoriga × ). Seega V = × h . Siit järeldub, et arv × võrdub vaadeldava rööptahuka põhja pindalaga. See on samaväärne teoreemi teise väitega. Järeldus. Vektorkorrutis × võrdub nullvektoriga parajasti siis, kui vektorid ja on kollineaarsed. Ütleme tõestuseta, et vektorid , ja × moodustavad nn. parema käe kolmiku (vektori × suunda saab määrata ka nn. kruvireegliga).
Voolu magnetväli ja väline magnetväli mõjutavad teineteist ja ketas hakkab pöörlema. · Magnetkaardid- kaardi sisenemisel indutseerib magnetriba induktsioonivoolu. · Turvaväravad- Pärnu Ühisgümnaasium Rein Karjane © 2008.a. Harjutusülesanded kt. nr. 7. G2 klass Elektromagnetiline induktsioon 1. Magnetvälja magnetiline induktsioon on 0,1 T ja selles paikneb raam mõõtmetega 4 cm * 5 cm. Milline on raami läbiv magnetvoog, kui raami normaal moodustab B vektoriga nurga 45 kraadi? 0,14mWb 2. Magnetväljas on jõujoontega risti raam, mille pindala on 6 cm2 ja seda raami läbib magnetvoog 2,1 * 10-4 Wb. Milline on magnetiline induktsioon? 0,35 T 3. Magnetvoog läbi pooli, millel on 400 keerdu, muutus 0,02 Wb võrra 2 sekundi jooksul. Kui suur indutsiooni elektromotoorjõud tekkis raamis? 4V 4. Poolil on 100 keerdu. Magnetvoog läbi selle muutub 0.032 Wb võrra ja tekitab emj 10 V. Millise aja jooksul magnetvoog peab muutuma? 0,32 s 5
Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutlust f:VV nim selle vektorruumi V lineaarteisenduseks (ehk kujutusest vektorruumist V iseendasse tagasi. 1º leidub või eksisteerib vähemalt üks punkt. 2º igale kahele kindlas järjekorras võetud punktide paarile (A;B) on vastavusse seatud parajasti üks vektor AB. 3º iga punkti A ja iga vektori a korral eksisteerib parajasti üks B nii et punktidele A ja B vastab vektor a. 4º rööpküliku aksioom, kui vektor AB on võrdne vektoriga CD siis AC on võrdne BD'ga. J1: AC=BD a+b=b+a. J2: AD=BD+AB a+(b+c)=(a+b)+c. J3: BB=0 a=a+0. J4: BA=(-a) a+(-a)=0 1* igale paarile (,a) on vastavusse seatud parajasti üks vektor a. 2* (+)a= a+ a. 3* (a)=( )a. 4* (a+b)= a+ b. 5* 1 ·a=a. J5: =a(a)= · a. (-a)=-1 ·a. J6: ·0=0. J7: 0 ·a=0. J8: -(-a)=a. leiduvad vektorid {e, e2, e 3} x nii et mistahes vektor x on avaldatav x=x 1·e 1+x2·e 2+x3·e 3 kusjuures x1·e 1+x2·e 2+x3·e 3=0 peab paika vaid siis kui x 1+x2+x3=0. Olgu
mingit mõju. Seega sõltub ka jõu moodul vektoori B juhiga ristuva kopmonendi mõjuva jõu B2= Bsin . Magnetväljas paiknevale vooluelemendile mõjuv jõud F väljendub valemiga F=BIlsin , kus B- magnet induktsiooni vektori moodul , I- voolutugevus juhis, l- magnetväljas paikneva vooluelemendi pikkus ja - induktsiooni vektori ja vooluelemendi vaheline nurk. Seda valemit nim. Ampieri seaduseks. Jõud F on risti nii voolu elemendiga kui ka vektoriga B. Tema suuna võib määrata vasaku käe reegliga : kui vasak käsi asetada nii, et magnet induktsiooni vektori juhiga ristuv komponent B1(vektor) ja väljasirutatud sõrme näitavad voolusuunda, siis sõrmedega täis nurga moodustav pöial näitab vooluelemndile mõjuva jõu suunda. (joonis 2). Magnetvälja mõju vooluga kasutatakse elektrimootoris . alaslisvoolu mootori pöörlev osa ehk rootor , sisaldab juhtme keerde (1), mis on sümmeetriliselt rootori pöörlemistelje (2) suhtes
ap ⃗ avaldub ülejäänud vektorite lineaarse kombona. LAUSE: Kui lineaarselt sõltumatute vektorite süsteemi a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak täiendamisel vektoriga ⃗a saame lineaarselt sõltuva vekorite süsteemi, siis vektor ⃗a avaldub vektorite a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak lineaarse kombono, so ⃗a =λ1 ⃗ a1 + λ2 ⃗ a2 +…+ λk ⃗ ak . ⃗a ⃗b λ , et ⃗a =λ ⃗b .
siis laguneb paremal pool) lineaarse Segakorrutis Kolme vektori determinant kahe sama järku võrrandisüsteemi saab kirjutada segakorrutiseks nimetatakse kahe determinandi summaks, kus esimeses maatrikskujul AX = B, Teoreem vektori skalaarset korrutist determinandis koosneb vaadeldav rida (Kronecker-Capelli). Lineaarne kolmanda vektoriga esimestest liidetavatest ja teises võrrandisüsteem on lahenduv II järku jooned. Ellips Ellipsiks determinandis teistest liidetavatest; parajasti siis, kui võrrandisüsteemi nimetatakse tasandi nende ülejäänud read jäävad aga endisteks. 6. omadus maatriksi A ja laiendatud maatriksi punktide hulka , milliste kauguste
Vektorid Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused Suurusi mis on kirjeldatavad üksnes arvulise väärtusega nagu aeg, lõigu pikkus, kujundi pindala jne, nim skalaarseteks suurusteks ehk skalaarideks. Suurusi mille iseloomustamiseks on vaja teada peale arvulise väärtuse ka suunda nagu jõud, kiirus jne, nim vektoriaalseteks suurusteks ehk vektoriteks. Vektori pikkus Iga vektorit võime geomeetriliselt kujutada kindla pikkuse ja suunaga sirglõiguna. Vektori pikkuseks ehk moodduliks nim vektori kui lõigu pikkust. *Vektorit, mille moodul võrdub ühega nim ühikvektoriks. Nullvektoriks nim vektorit mille alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad. Vektorite võrdsus Kaht vektorit nim võrdseteks kui nad on võrdse pikkusega ja samasuunalised ja vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vabavektor- see on veektorid mille alguspunkti valik ei ole millegagi kitsendatud. Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektoreid nim kollineaarseteks, kui peale ühisesse alg...
Kompleksarvude astendamine: m×n- maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust nimetatakse vektorit c, n=(x+iy)n koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit mis rahuldab tingimusi: 1) vektor con paralleelne vektoriga ; Maatriksi element 2) kui c 0 , siis vektori csuund ühtib vektori suunaga, c Arve a ij maatriksist nimetatakse maatriksi elementideks. 0 korral aga on vektorid Esimene indeks märgib reanumbrit, teine indeks cja vastassuunalised;
1. Määra treitera lõikeosa pinnad ja servad. 1. Põhitasand 2. Esipind 3. Peatagapind 4. Abitagapind 5. Pealõikeserv 6. Abilõikserv 7. teratipp Lõikuri töönurki mõõdetakse lõike-, põhi- ja lõikuvatel tasanditel. Lõiketasand (inclination plane) on lõikepinna puutetasand, mis läbib teriku pealõikeserva. Lõiketasand on alati risti põhitasandiga. Põhitasand (reference plane) on lõikeserval antud punktis lõikekiiruse vektoriga sihiga risti olev tasand. Põhitasand on pikiettenihke ja ristiettenihke suundadega paralleelne tasand. Risttasand on antud punktis lõikeservaga risti asetsev tasand. Teriku kujundusnurgad määravad selle tööosa elementide asendi ruumis koordinaaditasandite suhtes ja omavahel. Neid nurki nimetatakse teriku staatilisteks nurkadeks. Teriku nurgad mõjutavad oluliselt lõikeprotsessi ja pinnatöötluse kvaliteeti. 2. Määra teriku pinnad ja nurgad pearisttasandil. 1. 1 - Esipind 2
Elektronile mõjuva Lorentzi jõu suunda näitab analoogiliselt paikneva parema käe pöial. Tasub rõhutada, et Lorentzi jõud mõjub laetud osakestele alati risti nii liikumissuuna kui ka magnetvälja suunaga. Seetõttu ei saa Lorentzi jõud liikumisel tööd teha. Ta võib vaid muuta liikumise suunda. Kõige tugevam on Lorentzi jõud liikumissuunaga ristuvas magnetväljas. Sel juhul sin=1 ja järelikult FL=qvBFL=qvB Kui laengukandja kiirusvektor on risti magnetvälja suunaga (B- vektoriga), siis paneb Lorentzi jõud vaakumis asetseva laengukandja liikuma piki ringjoont ümber magnetvälja suuna, toimides kesktõmbekiirendust andva jõuna. Kui laengukandja liigub piki magnetvälja suunda (v- ja B-vektorid on samasihilised), siis Lorentzi jõudu ei teki, sest on sin=0 ja seega ka FL=0. Kui v- ja B-vektorite vahel on suvaline nurk, siis võime laengukandja kiiruse lahutada kaheks komponendiks: B-vektoriga ristuvaks vr ja B-vektoriga paralleelseks vp.
Kandja 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt (nihe, kiirus, kiirendus, jõud ..) Skalaar füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus (temperatuur, mass, tihedus..), Tehted skalaaridega on nii nagu tehted reaalarvudega. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. 10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada kahe vektoriga, mille summa annab esialgse vektori. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? On sageli vajaminev tegevus, et valmistada hetkel vajaliku suunaga vektorit. 13. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. 14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. 15. Mis on taustsüsteem? Joonisel on kujutatud üks keha kahel erineval ajahetkel.
(sama- ja vastusuunalised) Komplanaarne vektor - kui pärast ühisesse algpuunkti viimist vektorid asuvad phel ja samal tasandil Kahe vektori skalaarkorrutis arv, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja vektorivahelise nurga koosinuse korrutisega. Kahe vektori vektorikorrutis vektor, mille pikkus on arvuliselt võrdne niisugugse rööpküliku pindala Kolme vektori segakorrutis kahe vektori vektorkorrutise skalaarset korrutist kolmanda vektoriga 5. Sirge tasandil (võrrandid, eeskirjad, valemid) 6. Teist järku algebraalised jooned (ringjoon, ellips, parabool, hüperbool) Ellips Tasandi nende punktide hulka, milliste kauguste summa kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne. x2/a2 + y2/b2 = 1 b2 = a2 c2 e = c/a - ekstrentrilisus a pikkem pooltelg b lühem pooltelg c fookuse kaugus sümeetria keskpunktist Hüperbool
annaabi.ee 
