TRIGONOMEETRILINE VÕRRAND Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb vaid trigonomeetrilise funktsiooni argumendis. Trigonimeetrilised põhivõrrandid: sin x = m cos x = m tan x = m TRIGONOMEETRILISE VÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Teisendan trigonomeetrilise võrrandi põhivõrrandiks: a) kui võimalik, lahendan ruutvõrrandi sin x; cos x või tan x järgi b) Kasutades trigonomeetrilisi valemeid teisendan vasakupoole korrutiseks, kui parem pool on 0 (null).
b = r sin ϕ, a = r cos ϕ, ning z = a + bi = r cos ϕ + ir sin ϕ, millest saame kompleksarvu trigonomeetriline kuju. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Definitsioon Avaldist z = r · (cos ϕ + i · sin ϕ) nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks kujuks. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Definitsioon Avaldist z = r · (cos ϕ + i · sin ϕ) nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks kujuks. Definitsioon Arv r on kompleksarvu z moodul |z|. Arvu ϕ nimetatakse kompleksarvu z argumendiks ja t¨ahistatakse ϕ = arg z. Teist ja kolmandat j¨
2 Arkusfunktsioonid: arcsin(-x) = -arcsinx sin(arcsinx) = x arccos(-x) = arccosx cos(arccosx) = x arctan(-x) = -arctanx tan(arctanx) = x Ande Andekas-Lammutaja Trigonomeetriline võrrand Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab tundmatut ainult trigonomeetrilise funktsiooni argumendis. sinx = m: x = (-1)n arcsinm + n ; n Z x = (-1)n + n180° ;nZ Kontroll tehakse väärtustel n = 0 ja n = 1 cosx = m: x = ± arccosm + 2n ; n Z x = ± + n360° ;nZ Kontroll tehakse väärtustel + ja tanx = m: x = arctanm + n ;nZ x = + n180° ;nZ < arctan m <
siinusest kui funktsioonist selle tänapäevases mõttes. Kõik see juhtus peale matemaatilise analüüsi leiutamist ning pandi lõplikult paika Leonhard Euleri (1707–1783) poolt 18. sajandil. Tänu tema töödele läheneme me trigonomeetriale nii nagu me teeme seda tänapäeval. Kuni XVI sajandini oli osa matemaatikast, mida me tänapäeval kutsume trigonomeetriaks, osake astronoomiast. Alates XVI sajandist muutus trigonomeetria iseseisvaks uurimisobjektiks. Selle perioodi tähtsamaks trigonomeetriliseks tööks sai Johannes „Regiomontanus“ Mülleri (1436–1476) raamat „Igasugustest kolmnurkadest“. Raamat ise avaldati mitmeid kümnendeid hiljem. Kuigi Müller teadis kindlasti läbi araablaste tööde tangensfunktsiooni olemasolust, kasutas ta oma raamatus ainult siinust. Mülleri töös ei ole siinus ikka veel suhe vaid kindla pikkusega lõik nagu hindudel.[3] Oleme vaadelnud juba siinuse ja tangensi teket, aga kas on midagi teada koosinusest? Väga sageli kasutati nurga
Trigonomeetrilised võrrandid © T. Lepikult, 2010 Trigonomeetriline võrrand Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb vaid trigonomeetriliste funktsioonide argumentides Näiteks võrrand 2 sin 2 x + cos x - 1 = 0 on trigonomeetriline võrrand, võrrand x sin 1 + x 2 cos = 0 aga ei ole trigonomeetriline võrrand. Võrrandeid sin x = a, | a | 1, tan x = a, cos x = a, | a | 1, cot x = a, nimetatakse trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks.
.., 2*p * = a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn (kus k on täisarv) .... Kompleksarvu trigonomeetriline kuju x r cos, y r sin n*1, n*2, ..., n*p x iy r cosir sin r cosi sin Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete = x iy trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse ning korrutamise vahel on kompleksarvu mooduliks ja suurust selle kompleksarvu järgmised: argumendiks; neid tähistatakse järgmiselt: 1) maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. leiduvad r z| , arg z . sellised maatriksid A ja B, et Kompleksarvu z 0 argument on üheselt määratud kuni AB BA;
kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z 2 = a 2 + b2 i loetakse võrdseteks ( z1 = z 2 ) , kui a1 = a 2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. z = a + bi = 0 siis ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0. z = a + bi = r cos + i sin ehk z = r (cos + i sin ) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suurust selle kompleksarvu argumendiks. 2. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise valemid. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Liitmine: z1 + z 2 = (a1 + b1i ) + (a 2 + b2 i ) = (a1 + a 2 ) + (b1 + b2 )i Lahutamine: z1 - z2 = (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2 ) + (b1 - b2 )i
Tahhümeetrilise mõõdistamise põhimõte seisneb selles, et määratakse korraga punkti plaaniline asend ja kõrgus. Seda saab teha, kui on teada kaugus instrumendist kuni punktini, instrumendi punkti maastikupunktiga ühendava joone suund maastikupunkti kõrguskasv pikksilma pööramistelje suhtes. Kaugus määratakse kaugusmõõturiga, suuna saame horisontaalringilt ning kõrguskasvu saab arvutada maapinna kaldenurga ja kauguse kaudu. Sellist kõrguskasvu määramist nim trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. (Tahhümeetriline mõõdistamine – kiirmõõtmine. Tah. Mõõdist. Jaamades mõõdistatakse polaarkoordinaatide meetodil. Määratakse mõõdistavate punktide kõik koordinaadid (x;y;z). Lõpptulemuseks on topograafiline plaan.) Tahhümeetritel on spetsiaalne seade mis korjab signaali sateliitidelt. Kõik see tehnika teeb selle riista väga kalliks. Peaaegu kõik meie objektide mõõdistamised on teostatud selle aparaadiga.
koordinaatide alguspunkti ja polaarteljeks x-telje positiivse suuna. Siis kehtivad seosed: a = r cos , b = r sin . Järelikult saab kompleksarvu z esitada kujul z = a + bi = r cos + ir sin ehk z = r ( cos + i sin ) . (3) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suurust selle kompleksarvu argumendiks; neid tähistatakse järgmiselt: r = z , = arg z . 2. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise valemid. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. 1. Komplesarvude liitmine. Kahe kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i summaks nimetatakse võrdusega
f ' (c) f ' '(c) fn(c) a ( n ) ( x-c )n = f(c)+ 1! (x-c)+ 2! (x-c) 2 +...+ n n ! (x-c) +... n=0 Fourier' rida Funktsiooni f(x) trigonomeetriliseks Fourier' reaks lõigus [- , ] nimetatakse rida a ( n ) cos ( n x) ¿ f(x)= a (0) +b(n)sin(nx)), kus kordajad a0, a1, a2 on määratud seostega + ¿ 2 n=1
... kus ai=reaalarv, kus a,a1,a2,a3,....on reaalarvud. i=0 35. Taylori ja McLaurini read. f(x)= f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)2/2! + f'''(a)(x-a)3/3! + ... = f(i)(a)(x-a) i/ i! i=0 Funktsiooni f(x) Taylori rida punktis a. Kui a=0 nim. Taylori rida McLaurini reaks. 36. Millist rida nimetatakse trigonomeetriliseks reaks? (lk 52) a0/2+ [ancos nx + bnsin nx] n=1 37. Olgu 2 - perioodiline funktsioon esitatud trigonomeetrilise reana. Tuletada valemid selle rea kordajate jaoks. Millist rida nimetatakse Fourier reaks? (lk 53 ja 55) a0=1/n - f ( x) dx 1 ak= f ( x ) cos kxdx - 1 bk= f ( x) sin kxdx -
Tahhümeetrilise mõõdistamise põhimõte seisneb selles, et määratakse korraga punkti plaaniline asend ja kõrgus. Seda saab teha, kui on teada kaugus instrumendist kuni punktini, instrumendi punkti maastikupunktiga ühendava joone suund maastikupunkti kõrguskasv pikksilma pööramistelje suhtes. Kaugus määratakse kaugusmõõturiga, suuna saame horisontaalringilt ning kõrguskasvu saab arvutada maapinna kaldenurga ja kauguse kaudu. Sellist kõrguskasvu määramist nimet. trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. (Tahhümeetriline mõõdistamine kiirmõõtmine. Tah. Mõõdist. Jaamades mõõdistatakse polaarkoordinaatide meetodil. Määratakse mõõdistavate punktide kõik koordinaadid (x;y;z). Lõpptulemuseks on topograafiline plaan.) 20. Ettevalmistustööd tahhümeetrilisel mõõdistamisel Antud maatükile tuleb valida sobivad jaamapunktide asukohad. (punktide vahel peab olema nähtavus, seisupunktilt peab olema näha kõiki maastiku
Tahhümeetrilise mõõdistamise põhimõte seisneb selles, et määratakse korraga punkti plaaniline asend ja kõrgus. Seda saab teha, kui on teada kaugus instrumendist kuni punktini, instrumendi punkti maastikupunktiga ühendava joone suund maastikupunkti kõrguskasv pikksilma pööramistelje suhtes. Kaugus määratakse kaugusmõõturiga, suuna saame horisontaalringilt ning kõrguskasvu saab arvutada maapinna kaldenurga ja kauguse kaudu. Sellist kõrguskasvu määramist nimet. trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. (Tahhümeetriline mõõdistamine kiirmõõtmine. Tah. Mõõdist. Jaamades mõõdistatakse polaarkoordinaatide meetodil. Määratakse mõõdistavate punktide kõik koordinaadid (x;y;z). Lõpptulemuseks on topograafiline plaan.) 56.Ettevalmistustööd tahhümeetrilisel mõõdistamisel. Antud maatükile tuleb valida sobivad jaamapunktide asukohad. (punktide vahel peab olema nähtavus, seisupunktilt peab olema näha kõiki maastiku kontuure
Tahhümeetrilise mõõdistamise põhimõte seisneb selles, et määratakse korraga punkti plaaniline asend ja kõrgus. Seda saab teha, kui on teada kaugus instrumendist kuni punktini, instrumendi punkti maastikupunktiga ühendava joone suund maastikupunkti kõrguskasv pikksilma pööramistelje suhtes. Kaugus määratakse kaugusmõõturiga, suuna saame horisontaalringilt ning kõrguskasvu saab arvutada maapinna kaldenurga ja kauguse kaudu. Sellist kõrguskasvu määramist nimet. trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. (Tahhümeetriline mõõdistamine kiirmõõtmine. Tah. Mõõdist. Jaamades mõõdistatakse polaarkoordinaatide meetodil. Määratakse mõõdistavate punktide kõik koordinaadid (x;y;z). Lõpptulemuseks on topograafiline plaan.) 56. Ettevalmistustööd tahhümeetrilisel mõõdistamisel. Antud maatükile tuleb valida sobivad jaamapunktide asukohad. (punktide vahel peab olema nähtavus,
28 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 5. Fourier' read Def. Funktsionaalrida a0 a + a n cos nx + bn sin nx = 0 + a1 cos x + b1 sin x + a 2 cos 2 x + b2 sin 2 x + ... (5) 2 n =1 2 nimetatakse trigonomeetriliseks reaks. Kui trigonomeetrilise rea summa S (x ) eksisteerib, siis on ta perioodiline funktsioon perioodiga 2 piirkonnas (- , ) . Olgu funktsioon f määratud lõigus [- , ] või olgu perioodiline perioodiga 2 piirkonnas (- , ) . Def. Kui rea (5) kordajad on määratud valemitega (Euleri-Fourier' valemitega) 1 1
Tahhümeetrilise mõõdistamise põhimõte seisneb selles, et määratakse korraga punkti plaaniline asend ja kõrgus. Seda saab teha, kui on teada kaugus instrumendist kuni punktini, instrumendi punkti maastikupunktiga ühendava joone suund maastikupunkti kõrguskasv pikksilma pööramistelje suhtes. Kaugus määratakse kaugusmõõturiga, suuna saame horisontaalringilt ning kõrguskasvu saab arvutada maapinna kaldenurga ja kauguse kaudu. Sellist kõrguskasvu määramist nim trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. (Tahhümeetriline mõõdistamine kiirmõõtmine. Tah. Mõõdist. Jaamades mõõdistatakse polaarkoordinaatide meetodil. Määratakse mõõdistavate punktide kõik koordinaadid (x;y;z). Lõpptulemuseks on topograafiline plaan.) 20. Ettevalmistustööd tahhümeetrilisel mõõdistamisel Antud maatükile tuleb valida sobivad jaamapunktide asukohad. (punktide vahel peab olema nähtavus, seisupunktilt peab olema näha kõiki maastiku kontuure ja reljeefi elemente)
plaaniline asend ja kõrgus. Seda saab teha, kui on teada kaugus instrumendist kuni punktini, instrumendi punkti maastikupunktiga ühendava joone suund maastikupunkti kõrguskasv pikksilma pööramistelje suhtes. Kaugus määratakse kaugusmõõturiga, suuna saame horisontaalringilt ning kõrguskasvu saab arvutada maapinna kaldenurga ja kauguse kaudu. Sellist kõrguskasvu määramist nimet. trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. 28. Trigonomeetriline nivelleerimine. Punkti A kohal on tahhümeeter ja punkti B kohal on latt pikkusega l. Punktide A ja B kõrgusvahe hAB = d * tan + i l. Kui viseerida latile instrumendi kõrgus i, siis l = i ja valem lihtsustub: hAB = d * tan . Praktilisel mõõtmisel ei ole viseerimiskiir risti latiga, lisaks sellele on tehniliste ebatäpsuste tõttu kaugusmõõturi konstant 100-st erinev. hAB
plaaniline asend ja kõrgus. Seda saab teha, kui on teada kaugus instrumendist kuni punktini, instrumendi punkti maastikupunktiga ühendava joone suund maastikupunkti kõrguskasv pikksilma pööramistelje suhtes. Kaugus määratakse kaugusmõõturiga, suuna saame horisontaalringilt ning kõrguskasvu saab arvutada maapinna kaldenurga ja kauguse kaudu. Sellist kõrguskasvu määramist nimet. trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. 28. Trigonomeetriline nivelleerimine. Punkti A kohal on tahhümeeter ja punkti B kohal on latt pikkusega l. Punktide A ja B kõrgusvahe hAB = d * tan + i l. Kui viseerida latile instrumendi kõrgus i, siis l = i ja valem lihtsustub: hAB = d * tan . Praktilisel mõõtmisel ei ole viseerimiskiir risti latiga, lisaks sellele on tehniliste ebatäpsuste tõttu kaugusmõõturi konstant 100-st erinev. hAB
2. jagatis: z1/z2 = z1 * z2-1, kui z2 0 Kompleksarvude vallas säiluvad reaalarvude vallast tuntud tehetega seotud omadused. 2. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega. Moivre'i valem. Kompleksarvude juurimine (Tõestusega). r - arvu z moodul |z|; - arvu z argument; i - imaginaarühik r = sqrt(x2 + y2); cos = x/r; sin = y/r z = x + yi = r(x/r + yi/r) = r(cos + isin) Kompleksarvu z 0 avaldist nurga ja arvu r abil nimetatakse tema trigonomeetriliseks kujuks. Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega: z1 = x1 + y1i = r1(cos1 + isin1); z2 = x2 + y2i = r2(cos2 + isin2) 1. korrutamine: z1z2 = r1r2(cos1cos2 + icos1sin2 + isin1cos2 - sin1sin2) = r1r2(cos(1+2) + isin(1+2)) 2. jagamine: z1/z2 = (r1/r2) * ((cos1 + isin1)/(cos2 + isin2)) = (r1/r2) * ((cos1 + isin1)*(cos2 - isin2)/(cos22 + sin22)) = (r1/r2) * (cos1cos2 - icos1sin2 + isin1cos2 + sin1sin2) = (r1/r2)*(cos(1-2) + isin(1-2)) astendamine: zn = rn(cosn + isinn)
Tahhümeetrilise mõõdistamise põhimõte seisneb selles, et määratakse korraga punkti plaaniline asend ja kõrgus. Seda saab teha, kui on teada kaugus instrumendist kuni punktini, instrumendi punkti maastikupunktiga ühendava joone suund maastikupunkti kõrguskasv pikksilma pööramistelje suhtes. Kaugus määratakse kaugusmõõturiga, suuna saame horisontaalringilt ning kõrguskasvu saab arvutada maapinna kaldenurga ja kauguse kaudu. Sellist kõrguskasvu määramist nim trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. 40. Ekker-mõõdistamise põhimõte Vajalikud instrumendid: mõõdulint, rulett, vardad, 2-3 tähist, ekker. Situatsiooni mõõdistamise aluseks on teodoliitkäigu küljed ja punktis. Vajaduse korral rajatakse mõõdistamise tarbeks diagonaalkäik. Hoonestatud või osaliselt hoonestatud maatüki mõõdistamisel on sobivaim ekkermõõdistamine. Ekker peab olema hoolikalt justeeritud. 41. Trigonomeetriline nivelleerimine.
Tahhümeetrilise mõõdistamise põhimõte seisneb selles, et määratakse korraga punkti plaaniline asend ja kõrgus. Seda saab teha, kui on teada kaugus instrumendist kuni punktini, instrumendi punkti maastikupunktiga ühendava joone suund maastikupunkti kõrguskasv pikksilma pööramistelje suhtes. Kaugus määratakse kaugusmõõturiga, suuna saame horisontaalringilt ning kõrguskasvu saab arvutada maapinna kaldenurga ja kauguse kaudu. Sellist kõrguskasvu määramist nim trigonomeetriliseks nivelleerimiseks. 40. Trigonomeetriline nivelleerimine. Trigonomeetrilist ehk kaldkiirtega nivelleerimist kasutatakse kõrguskasvude määramiseks mägisel maastikul, kui maapinna kalded on suured, ligipääsmatute punktide kõrguste määramisel, kõrguskasvude määramiseks suurte vahemaade puhul. Selle täpsus on mitu korda väiksem geomeetrilise nivelleerimise täpsusest. Suuremate kauguste puhul on tarvis arvesse võtta Maa kumeruse ja refraktsiooni mõju.
3 3.5 Trigonomeetriliste funktsioonide perioodid Funktsioonide sin ja cos periood on 2 , funktsiooni tan periood on . Seega sin ( + 2n ) = sin , cos ( + 2n ) = cos , tan ( + n ) = tan , milles n . 3.6 Taandamisvalemid 18 Taandamisvalemite abil saab mistahes nurga trigonomeetrilise funktsiooni teisendada teravnurga trigonomeetriliseks funktsiooniks. 1. Kui nurk on negatiivne, siis kasutatakse valemeid sin ( - ) = - sin cos ( - ) = cos tan ( - ) = - tan 2. Kui nurk on suurem kui 2 , siis lahutatakse kõigepealt perioodi kordne. 3. Kui nurk on väiksem kui 2 , siis saab nurgale anda ühe kujudest ± , 2 - või 3 ± , ± . Kui taandamisel kasutatakse kujusid ± ja 2 - , siis funktsiooni 2 2 3
Funktsioonide sin ja cos periood on 2 , funktsiooni tan periood on . Seega sin 2n sin , cos 2n cos , tan n tan , milles n ¢ . 3.6 Taandamisvalemid 18 Taandamisvalemite abil saab mistahes nurga trigonomeetrilise funktsiooni teisendada teravnurga trigonomeetriliseks funktsiooniks. 1. Kui nurk on negatiivne, siis kasutatakse valemeid sin sin cos cos tan tan 2. Kui nurk on suurem kui 2 , siis lahutatakse kõigepealt perioodi kordne. 3. Kui nurk on väiksem kui 2 , siis saab nurgale anda ühe kujudest , 2 või 3 , . Kui taandamisel kasutatakse kujusid ja 2 , siis funktsiooni
= (Re z) + (Im z) = |z| Re z = cos Im z = sin Im z Ilmselt tan = Re z . Kasutades u ¨leminekuvalemeid, saame z = Re z + i Im z = |z| cos + i|z| sin = |z|(cos + i sin ) 16 V. Kompleksarvud Avaldist z = |z|(cos + i sin ) nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks kujuks (ehk esi- tuseks). Polaarnurka nimetatakse kompleksarvu z argumendiks ning t¨ahistatakse := Arg z. Punkti z asukoht komplekstasandil ei muutu, kui argumenti arg z muuta mingi t¨ aisarv korda 2 v~ orra. Seega on kompleksar- vu argument m¨aa¨ratud vaid 2 t¨ aisarvulise kordseni. Polaarnurga v¨a¨artust arg z, mis rahuldab v~orratust - < arg z , nimeta- takse argumendi peav¨ a¨ artuseks. Kompleksarvu argument avaldub
Re(z) O a Siis siinuse ja koosinuse seostest täisnurkses kolmnurgas saame b = r sin , a = r cos , ning z = a + b i = r cos + i r sin , millest saamegi kompleksarvu trigonomeetrilise kuju. Definitsioon 15.7 Avaldist z = r · (cos + i · sin ) (15.4) nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks kujuks. Reaalarv r on kompleksarvu z moodul |z|. Reaalarvu nimetatakse ka kompleksarvu z argumendiks ja tähistatakse = arg(z). Märkus 15.5 Kompleksarvu z = a + b i argumendi leidmisel tuleb jälgida a ja b märki. Kuigi on loogiliselt tuletatav, võib jälgida järgmist skeemi: b := arctan ja vastavalt veeranditele (15.5) a
annaabi.ee 
