Ülesanne 1 Graafikule on kantud järgmisi kitsendusi iseloomustavad sirged: 1,5x1 + x2 >= 15 3x1 + 5x2 >= 45 x1 + 2x2 <= 22 x1, x2 >= 0 1. Kontrollida sirgete õigsust (märgistada teljed) Sirged lõikavad koordinaattelge järgmistes punktides: 1. kitsendus 2. kitsendus x1 x2 x1 x2 0 15 0 9 10 0 15 0 2. Märgistada lubatud lahendite piirkond. A x1 + 2x2 <= 22
Ülesanne 1 Graafikule on kantud järgmisi kitsendusi iseloomustavad sirged: 1,5x1 + x2 >= 15 3x1 + 5x2 >= 45 x1 + 2x2 <= 22 x1, x2 >= 0 1. Kontrollida sirgete õigsust (märgistada teljed) Sirged lõikavad koordinaattelge järgmistes punktides: 1. kitsendus 2. kitsendus x1 x2 x1 x2 0 15 0 9 10 0 15 0 2. Märgistada lubatud lahendite piirkond. A x1 + 2x2 <= 22
00 58.75 Contin $D$10 Muutujad x3 0.00 0.00 Contin $E$10 Muutujad x4 0.00 0.00 Contin Constraints Cell Name Cell Value Formula Status Slack $K$10 Vatt 117.5 $K$10<=$B$3 Not Binding 202.5 $K$11 Riie 176.25 $K$11<=$B$4 Not Binding 273.75 $K$12 Niit 235 $K$12<=$B$5 Binding 0 $K$13 Tööjõud 58.75 $K$13<=$B$6 Not Binding 91.25 $B$10 Muutujad x1 0.00 $B$10>=0 Binding 0.00 $C$10 Muutujad x2 58.75 $C$10>=0 Not Binding 58.75 $D$10 Muutujad x3 0.00 $D$10>=0 Binding 0.00 $E$10 Muutujad x4 0.00 $E$10>=0 Binding 0.00 tions are satisfied. atic Scaling 1%, Assume NonNegative Microsoft Excel 14.0 Sensitivity Report
Ülesanne 5 Firma valmistab kahte sorti koogisegusid A ja B kasutades kahte toorainet R1 ja R2. Vajalikud andmed on toodud tabelis: Tooraine Tooraine kulu toodete A ja B Tooraine valmistamiseks kogus A B R1 1 2 6000 R2 2 1 8000 Tulu 1 toote valmistamisest 7 5 Maksimaalne nõudlus 3000 2000 Koostada lineaarse planeerimise ülesanne, et aidata firmal otsustada, mida ja kui palju toota, et saada maksimaalset tulu. 1. Koostada lineaarse planeerimise ülesanne (kitsendused + sihifunktsioon) 2. Analüüsida graafilisel meetodil saadud lahendit. 8500 B 8000 7500 7000 6500
Ülesanne 1 Firma toodab kahesuguseid metalltooteid M1 ja M2, milliseid toodetaksekse ühel ja samal masinal. Ühe toote M1 valmistamine võtab aega 10 minutit ja toote M2 valmistamine 2 minutit. Masinat on võimalik kasutada kuni 35 tundi nädalas. Toote M1 valmistamiseks vajatakse toormaterjali 1 kg ja toote M2 valmistamiseks 500 g. Toormaterjali on võimalik nädalas saada mitte rohkem kui 600 kg. Nõudlus toote M2 järgi ei ole suurem kui 800 toodet nädalas. Leida, kui palju tooteid M1 ja M2 peaks firma tootma, et kasum kujuneks suurimaks, kui on teada, et ühe toote M1 tootmiskulu on 50 € ja toodet müüakse hinnaga 100 € tükk ja ühe toote M2 tootmiskulu on 60 € ja müüakse hinnaga 80 € tükk. 1. Püstitada lineaarse planeerimise ülesanne põhikujul: a) tundmatud b) kitsendused c) sihifunktsioon 2. Koostada esialgse ülesandega duaalne ülesanne. 3. Koostada algsimplekstabel ülesande la
Majandusmatemaatika TEM0222 konspekt 1. Gaussi meetod e. elimineerimise meetod täpselt määratud süsteemi korral (võrrandite arv=tundmatute arv): maatriksis jäätakse kõik peadiagonaali elemendid 1ks, kõik ülejäänud elemendid muudetakse 0ks. Selleks valitakse igast reast ja veerust ühe korra juhtelement. Ühest reast või veerust mitu korda juhtelementi valida ei saa. Juhtelemendi rida lahutatakse või liidetakse teistele ridadele, et ülejäänud ridadest saada samasse veergu kus juhtelemend asub nullid. N: -1 2 1 1 ! 7 1 3 -1 1 ! 4 1 8 1 1 ! 13 11 11!6 Mittestabiilse süsteemi korral: Kasutusele tuleb Crameri valem. X1=x1(maatriks)/kogumaatriks Crameri valemit ei kasuta ükski arvutiprogramm, sest see võib anda väga suure vea. Gaussi meetodis saab arvutusvigade vähendamiseks valida juhtelemendiks maksimaalse absoluutväärtusega arvu (antud veerus kui ka kogu süsteemis). Gaussi meetodiga saab leida ka pöördmaatriksit. Pöördmaatr
Leida a) kasumi muutumise kiiruse sõltuvus hinnast; b) kui suur on kasumi muutumise kiirus hindada 100 kr, 150 kr , 200 kr ja 250 kr korral. Lahendus: a) Kasumi muutumise kiiruseks on tuletis kasumifunktsioonist: P´ (p) = - 40 · 2 p +16 000 = - 80 p +16 000 See tähendab, et kui hinda p muuta 1 krooni võrra, siis kasum muutub - 80 p +16 000 võrra. b)Leiame kasumi muutumise kiiruse erinevate hindade korral: P´ (100) = - 80 100 + 16 000 = 8000 ( 100 kroonise hinna korral muutumise kiirus on 8000 (kasumi) kr ühe (hinna) krooni kohta); P´ (150) = - 80 150 + 16 000 = 4000 ( 150 kroonise korral on kasumi muutus 4000 kr, s.t. nüüd mõjutab hind kasumit vähem); P´ (200) = - 80 200 + 16 000 = 0 (200 kroonise korral kasumit hinna muutumine ei suurenda ega vähenda; see on optimaalne hind); P´ (250) = - 80 250 + 16 000 = - 4000 (250 kroonise hinna korral on tuletis negatiivne ehk tegemist on kahanemisega
spetsialiseeru otsene näitaja misnäitaja mahunäitaja mahunäitaja Teravilja müügi Segavilja osakaal Segavilja Kasvupind jrk saagikus, kg/ha kogumüügist toodang, kg kokku, ha X1 X2 X3 X4 1 3148,148148148 1 68 000 178,90 2 2238,938053097 0,3082771129 50 600 124,91 3 1700 0,440320407 35 700 376,00 4 3007,692307692 0,0376854187 39 100 763,00 5 2304 0,5555555556 28 800 51,00 6 3098,591549296 0,4973633043 22 000 351,10 7 2000 0,113773135 4 000 26,40 8 1823,529411765 0,5131964809
Nõudluse analüüs näitab, et nõudlust kirjeldab mudel 500 & 2 q . a) Leida tulufunktsioon ja kasumifunktsioon. b) Arvutada kasumi väärtus koguste 40 ja 100 korral. c) Leida optimaalne tootmismaht ja maksimaalne kasum. 2.19 Millised järgmistest avaldistest võivad kirjeldada kasumifunktsiooni? a) &5 q 2 % 60 q % 7000 ; b) &20 q 2 % 100 q & 15000 ; c) 1,5 q 2 % 100 q & 15000 . 2.20 Kulude analüüs näitas, et fikseeritud kulud nädalas on 8000 krooni ja muutuvkulu tooteühiku kohta on 500 krooni. Nõudluse analüüsil saadi nõudlusfunktsiooniks p(q) ' &0,71 q % 1000 , kus p on hind ja q tootmismaht. Leida a) kasumi sõltuvus tootmismahust; b) kasumi suurus tootmismahu korral 300 toodet nädalas, c) opitmaalne tootmismaht ja maksimaalne kasum. Liitfunktsioon. NÄIDE 2.7. Liitfunktsioon Linnas sõltub keskmine autoga liikumise kiirus v autode arvust N, v=v(N)
Vastus a) b) Ülesanne 1.5 On toodud mitmesugused kulud golfivarustust tootva firma kohta. Iga kulu puhul märkida tähtedega, millist liiki kuluga tegemist: NB! Ühte ja sama kulu võib liigitada mitmeti Kululiigid a) muutuvkulu b) püsikulu c) perioodikulu d) tootekulu e) halduskulu f) müügikulu g) tootmiskulu h) uurimis ja arendustegevuse kulu i) põhimaterjal j) põhitööliste palk k) tootmise lisakulu Kulud 1.Golfivarustuse tootmiseks kasutatud metall 2.Tsehhijuhataja ametipalk 3.Tsehhiruumide kütmiseks kasutatud gaas 4.Müüjate makstud komisjonitasud 5.Golfikotte valmistavate töötajatele makstud töötasu 6.Uut golfivarustust projekteeriva inseneri ametipalk 7.Firma presidendi sekretäri PC kulum Ülesanne 1.6. Firma toodab telefone. Ühe telefoniga seotud kulud on järgmised,: Põhimaterjal 120 Põhitööliste palk 30
I. Determinandid 1 Determinandi m~ oiste 1.1 Idee selgitus Algul defineerime esimest j¨ arku determinandi, siis esimest j¨arku determinandi abil teist j¨ arku determinandi, seej¨arel teist j¨arku determinandi abil kolmandat j¨ arku detereminandi jne, n-j¨arku determinandi defineerime (n - 1)-j¨arku determinandi kaudu. Sel- list defineerimisviisi nimetatakse induktiivseks ja vastavat objekti induktiivseks konstruktsiooniks. Eelnevalt on soovitatav tutvuda maatriksi m~oistega (II.1.1). Kooloniga v~ordus A := B t¨ahendab j¨argnevas, et A on defineeri- tud B kaudu. Seda v~ordust kasutame ka samav¨ a¨arsete t¨ ahistuste sissetoomiseks. 1.2 Esimest j¨ arku determinant Arvu a R determinandi |a| ehk esimest j¨ arku determinandi de- fineerime valemiga |a| := det a := a. 1.3 N¨ aide | - 5| = -5
koostatud süsteem. Miinimumülesande korral on vaja sirget nihutada kuni esimese ühise punktini lubatavate lahendite piirkonnaga või nihutada vektorile vastassuunas kuni viimase ühise punktini ( sõltub piirkonna ja vektori vastastikkusest asendist). Näide: Kahte tüüpi toodete valmistamiseks on 80 kg toorainet ja 6 tundi aega. Esimese toote valmistamiseks kulutatakse igale tootele 2 kg toorainet ja aega 0,1 tundi, teisele tootele kulub toorainet 1 kg ja aega 0.12 tundi. Leida tootmisplaan ,mille korral saadav tulu oleks suurim, kui esimest toodet on võimalik turustada kuni 30 tk ja teist toodet kuni 40 tk. Sealjuures saadakse iga I tüüpi toote müügist 50 kr tulu ja tesit tüüpi toote müügist 30 kr tulu. 1. Koostada ülesandele matemaatiline mudel; 2. Lahendada saadud mudel graafiliselt. Mudeli koostamiseks soovitav estada kõik algandmed tabeli kujul. Ressursid Kulu I tootele Kulu II tootele Ressursi maht
Ülesanne 1. Lahendada transpordiülesanne. 1. Kas transpordiülesanne on kinnine või lahtine? Miks? kinnine pakutav ja nõutav kogus samad 2. Leida transpordiülesande esialgne lubatav lahend: a) loodenurga meetodil; b) Vogeli meetodil 3. Kontrollida lahendi optimaalsust lähtudes Vogeli meetodil saadud lahendist a) leida potentsiaalid b) leida teisendatud transpordikulud. 4. Leida optimaalne lahend lähtudes Vogeli meetodil saadud lahendist. Kirjutada välja lahend. 5. Leida optimaalsed transpordikulud. ai 10 7 9 6 7 19 C= 11 11 9 10 5 12 21 17
Miinimumülesande korral on vaja sirget nihutada kuni esimese ühise punktini lubatavate lahendite piirkonnaga või nihutada vektorile vastassuunas kuni viimase ühise punktini ( sõltub piirkonna ja vektori vastastikkusest asendist). Näide: Kahte tüüpi toodete valmistamiseks on 80 kg toorainet ja 6 tundi aega. Esimese toote valmistamiseks kulutatakse igale tootele 2 kg toorainet ja aega 0,1 tundi, teisele tootele kulub toorainet 1 kg ja aega 0.12 tundi. Leida tootmisplaan ,mille korral saadav tulu oleks suurim, kui esimest toodet on võimalik turustada kuni 30 tk ja teist toodet kuni 40 tk. Sealjuures saadakse iga I tüüpi toote müügist 50 kr tulu ja tesit tüüpi toote müügist 30 kr tulu. 1. Koostada ülesandele matemaatiline mudel; 2. Lahendada saadud mudel graafiliselt. Mudeli koostamiseks soovitav estada kõik algandmed tabeli kujul. Ressursid Kulu I tootele Kulu II tootele Ressursi maht
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Infotehnoloogia teaduskond I KODUTÖÖ Koostas: Nimi tudengikood Tallinn 2017 Funktsioonide leidmine f1 142438 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 445 118 750 = 1A87 F91E => Σ(1,7,8,9,10,15,16) 445 118 750 / 3 = 148 372 916 = 8D7 FDB4 => (4,13,11)- f2 142438 * 7 * 7 * 7 * 7 = 341 993 648 = 1462 68B0 => Σ(0,1,2,4,6,8,11) 341 993 648 / 3 = 113 997 882 = 6CB 783A => (3,7,10,12)- f3 142438 * 11 * 11 * 11 * 11 = 2 085 434 758 = 7C4D 3586 => Σ(3,4,5,6,7,8,12,13) 2 085 434 758 / 3 = 695 144 919 = 296F 11D7 => (1,2,9,14,16)- f4 142438 * 13 * 13 * 13 = 312 936 286 = 12A7 075E => Σ(0,1,2,5,7,10,15) 312 936 286 / 3 = 104 312 095 = 637 AD1F => (3,6,14,16)- Minimeerimine Lähte- espresso tulemus espr. v2 (-Dexact) espr. v3 (#010
1 Otsus tellimuse suuruse kohta koguserabati tingimustes 2 3 Sisendid Koguserabati tingimused 4 Ühiku kulu - vt. tabel paremal Alates hulgast Ühiku kulu Alates_hulgast =Mudel!$D$5:$D$9 5 Tavaline müügihind $30 0 $24,00 Jääkide_realiseerimise_hind =Mudel!$B$6 6 Jääkide realiseerimise hind $10 1000 $23,00 Kasum =Mudel!$B$19
ÜLESANDED Ülesanne 2-11 Firmal õnnestub ära müüa kogu toodang, kusjuures q toote tootmisel nädalas on kogukulud 300q+2000. Nõudluse analüüs näitab, et nõudlust kirjeldab mudel 500-2q. a) Leida tulufunktsioon ja kasumifunktsioon. b) Arvutada kasumi väärtus koguste 40 ja 100 korral. c) Leida optimaalne tootmismaht ja maksimaalne kasum. Ülesanne 2-12 Kulude analüüs näitas, et fikseeritud kulud nädalas on 8000 krooni ja muutuvkulu tooteühiku kohta on 500 krooni. Nõudluse analüüsil saadi nõudlusfunktsiooniks p(q)=-0,71q+1000, kus p on hind ja q tootmismaht. Leida a) kasumi sõltuvus tootmismahust; b) kasumi suurus tootmismahu korral 300 toodet nädalas; c) opitmaalne tootmismaht ja maksimaalne kasum. VASTUSED 2-11 a) R=500q-2q2; P=-2q2+200q-2000; b) P(40)=2800, P(100)=-2000; c) q=50, P(50)=3000. 2-12 a) P(q)=-0,71q2+500q-8000; b) P(300)=78 100 kr nädalas; c) q=352, P(352)=80 028.
4 800 -400 300 5 600 1400 800 3. Forma Inc tegeleb koduelektroonoka tootmisega ja müüb oma toodangus 3-l turul: Saksamaal, Suurbr Rootsis. Ettevõtte on kõikide riikides tulumaksukohustuslane. Ettevõtte andmed 201(1): Saksamaa Suurbrit Rootsi EUR GBP SEK Kasum enne makse (tuh.) 9000 8000 5000 Ettevõtte t/m määr % 40% 15% 45% Valuuta kurss EUR suhtes x 0.87 8.7 201(2)a. On pleneeritud järgmised muutused: Saksamaal alandatakse t/m määra 30%-le; Suurbritaan suurendatakse müüki 10%; Rootsi krooni kurss langeb 9 SEK/EUR Leida Forma Inc planeeritav konsolideeritud puhaskasum EUR-ides ja efektiivne t/m määr 201(2) a? 4. Tahate investeerida Rootsi võlakirjadesse
KARNAUGH' KAARDID Karnaugh' kaart on funktsiooni tõeväärtustabeli sihipärane topoloogiline ümberpaigutus tasandil või ruumis. T Ü Tõeväärtustabeli igale reale vastab kaardil üks ruut. T Karnaugh' kaartide topoloogia 2muutuja Karnaugh' kaart on tabel mõõtmetega 2 2 (või 1 4) ruutu ; 3muutuja Karnaugh' kaart on tabel mõõtmetega 2 4 = 8 ruutu ; 4muutuja Karnaugh' kaart on tabel mõõtmetega 4 4 = 16 ruutu ; e h n ik a t või i 6 - muutuja Karnaugh' kaart v ut Karnaugh' kaartide põhiomadused r 2 - muutuja 3 - muutuja 4 - muutuja Karnaugh' kaart Karnaugh
Ühe muutuja funktsioonid 2 Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks Vastused Q 2 1.Kulufunktsioon on C(Q) = 600 + 4Q + 200 ning tulufunktsioon R(Q) = 20Q, kus Q on tootmismaht. Leida M C(8) ja M R(4). Leida püsikulu ja muutuvkulu, kui Q = 10. Leida ka tooteühiku hind. Q Lahendus: M C = C (Q) = 4 + 100 . M C(8) = 4.08. Toodangu suurendamisel kaheksast tooteühikust üheksa tooteühikuni suurenevad kulud 4.08 rahaühiku võrra. M R = R (Q) = 20. Nagu näha MR ei sõltu toodangu hulgast. Toodangu suurendamisel ühe ühiku võrra tulu suureneb alati 20 rahaühiku võrra. Kulufunktsiooni vabaliige on 600, mis ongi püsikuluks (see ei sõltu toodanguhulgast Q). Q2 102 Muutuvkulu avaldub kujul T V C(Q) = 4Q + 200
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus).
Arvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja arvu bi selle imaginaarosaks. KOMPLEKSARVUD Kui a = 0, siis on tegemist imaginaararvuga bi, kui b = 0, siis saame arvu a + 0·i, mis on reaalarv a. Kui a = b = 0, siis siis saame tulemuseks arvu 0. KOMPLEKSARVU MÕISTE. TEHTED KOMPLEKSARVUDEGA Kaks kompleksarvu on omavahel võrdsed parajasti siis, kui nende reaalosad ja 1. Kompleksarvu mõiste imaginaarosad on vastavalt võrdsed: a + ib = c + id
AIY3310 Diskreetne matemaatika Lühikonspekt Käesolev lühikonspekt katab suure osa aines AIY3310 (endise koodiga LIY3310) loetavast. Samal ajal ei saa seda materjali vaadelda kui antud aine täiskonspekti, mille läbitöötamine garanteeriks hea eksamiresultaadi. Loengutes ja harjutustundides käsitletakse mitmeid probleeme tunduvalt põhjalikumalt. Sellest hoolimata usun, et antud kirjutisest on paljudele tudengitest lugejatele kasu valmistumisel kontrolltööks ja eksamiks. Margus Kruus HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid · Hulkade ühend AB={x |(xA)V (xB)} · Hulkade ühisosa (lõige) AB={x |(xA)& (xB) · Hulga täiend A = { x | ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. ·
HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid Hulkade ühend A B = { x ( x A) V ( x B ) } Hulkade ühisosa (lõige) A B = { x ( x A) & ( x B ) Hulga täiend A = { x ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. Hulkade vahe A B = { x ( x A) & ( x B ) } Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused Kommutatiivsusseadused A B = B A B = B Assotsiatiivsusseadused A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B )
Mikroökonoomika Ettevõtteteooria Harjutus Harjutused majandusõpetuses (mikroökonoomika) Ettevõtteteooria Ülesanne 4.3 Valige ainuke õige vastusevariant tabeli põhjal Tõümmake sellele ring ümber Teie väikeettevõttes küpsetatakse saiakesi. Tabelis on toodud saiakeste kogutoodang ühes nädalas erineva arvu küpsetusahjude korral Ahjud, tk. 1 2 3 4 5 TP 1000 2200 3500 4200 4800 MP 1200 1300 700 600 1) Tabeli põhjal hakkab kahaneva piirtootlikuse seadus toimima: a) teise ahju rakendamisel c) neljanda ahju rakendamisel b) kolmanda ahju rakendamisel d) viienda ahju rakendamisel 2) Keskmine kogutoodang on maksimaalne, kui on rakendatud: a) üks ahi c) neli ahju b) kaks ahju e) viis ahju c) kolm ahju 3) Viienda ahju piirtoodang on a) 1000 c) 700 b) 600
1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 -
Kahendfunktsioon Loogikaskeem x3 x3 1 1 x2 + x3 x2 y = x1 (x2 + x3) + x1 x2 x3 & x1(x2 + x3) 1 y x1 x1 1 x1x2x3 & x2 1 17.3.14 T. Evartson 1 Koostada loogikaskeem 17.3.14 T. Evartson 2 Koostada loogikaskeem x1 x3 & x4 1 & 1 1 y 1 & 1 & x2 1 1 & 17.3.14 T
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill ……………�
Mis on Diskreetne Matemaatika ? Termineid: — verbaalne esitus on mistahes info esitamine lingvistilise keele abil. " diskreetne " ≡ " mitte pidev " ehk " astmeline " — formaalne esitus on mistahes info esitamine ilma lingvistilise keele abita ehk kokkulepitud sümbolite abil. vs. " Diskreetne Matemaatika " ↔ " Pidev Matemaatika " NB! MÕTLEMINE on alati verbaalne ehk toimub mingi lingvistilise keele Diskreetne Matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate funktsioonidega. abil.
TALLINNA MAJANDUSKOOL Ärijuhtimise osakond AS VILJANDI AKEN JA UKS Praktikaaruanne Juhendaja: Ene Vaksmaa Tallinn 2010 SISUKORD SISUKORD...........................................................................................................2 SISSEJUHATUS ..................................................................................................5 1. ORGANISATSIOONI ÜLDINE ISELOOMUSTUS.......................................6 2. RAAMATUPIDAMISE KORRALDUS.......................................................... 7 2.1 Teooria.......................................................................................................................... 7 2.2. AS Viljandi Aken ja Uks raamatupidamise sise-eeskiri................................................ 8 2.3. Alused........................................................................................................................... 9 2.4.
Microsoft Excel 16.0 Answer Report Worksheet: [Kodutöö OPERATSIOON 3 SOLVER.xlsx]ül 1 Report Created: 21.5.2018 20:36:19 Result: Solver found a solution. All Constraints and optimality conditions are satisfied. Solver Engine Engine: Simplex LP Solution Time: 0,078 Seconds. Iterations: 8 Subproblems: 0 Solver Options Max Time Unlimited, Iterations Unlimited, Precision 0,000001, Use Automatic Scaling Max Subproblems Unlimited, Max Integer Sols Unlimited, Integer Tolerance 1%, Assume NonNegative Objective Cell (Max) Cell Name Original Value Final Value $J$28 Kasum arvutuslik 0 30050 Variable Cells Cell Name Original Value Final Value Integer $C$29 X väärtused A 0 200 Contin $D$29 X väärtused B 0 0 Contin $E$29 X vä�
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111; 24x2 + 5x 1 24x2 + 6x
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
