Lim /t= , t 0. . 53. ? , , . , . 54.- 55. . wz='k 56. . >0 "+" , <0 57. ? lim w/t= w (w- ). t 0 58. . = ="; ="='z 59. ? 60. ? , . 61. . , . - , . (.) -. 62. ? ., . . 63. . z=0-t; =0t-t2/2 64. ? ., . 65. . = 0 + t, = n·2/60, n 66. - . v=h='h; xr=rsin=h; v=r 67. ? v=h='h; 68. . a = ×r + ×v a = a + a 69. ? a=h2+4 *70. . at=rsin=h *71. ? at=rsin=h 72. . a = ×v 73. ? an=vsin90=2h 74. ? . . , , . 75. ? AB, -, - , - xA, yA, ( ) 76. ? , . 77. . xA=f1(t); yA=f2(t); =f3(t) 78. ? 79. . . , , , . Vb=Va+omega*(vekt veli4inq!!!) 80. v BA . vba = sin90° 81. v BA v BA ? = - 82.
Lim /t= , t 0. . 53. ? , , . , . 54.- 55. . wz='k 56. . >0 "+" , <0 57. ? lim w/t= w (w- ). t 0 58. . = ="; ="='z 59. ? 60. ? , . 61. . , . - , . (.) -. 62. ? ., . . 63. . z=0-t; =0t-t2/2 64. ? ., . 65. . = 0 + t, = n·2/60, n 66. - . v=h='h; xr=rsin=h; v=r 67. ? v=h='h; 68. . a = ×r + ×v a = a + a 69. ? a=h2+4 *70. . at=rsin=h *71. ? at=rsin=h 72. . a = ×v 73. ? an=vsin90=2h 74. ? . . , , . 75. ? AB, -, - , - xA, yA, ( ) 76. ? , . 77. . xA=f1(t); yA=f2(t); =f3(t) 78. ? 79. . . , , , . Vb=Va+omega*(vekt veli4inq!!!) 80. v BA . vba = sin90° 81. v BA v BA ? = - 82.
Matriklinumber: 072974 Rühm: MATB Kuupäev: 15. mai 2012 Õppejõud: Merle Randrüüt Leo Teder Ülesanne 1 r = 250 mm l = 900 mm xB = 400 mm yB = 300 mm a) Määrata punkti A koordinaadid xA , yA funktsioonina pöördenurgast . xA = r * cos yA = r * sin b) Määrata punkti C koordinaadid xC , yC funktsioonina pöördenurgast . y B-rsin =arctan x B-rcos x C =rcos +lcos y C =rsin +lsin c) Kirjutada MATLAB-i või Octave'i pro- gramm, mis esitab punkti C liikumise graafiku (joon, mida mööda punkt C liigub) vedava lüli ühe täispöörde jooksul. Bx = 0.4; By = 0.3; r = 0.25; l = 0.9; gamma = atan ((By - r*sin(fii))/(Bx - r*cos(fii))); Cx = r*cos(fii) + l*cos(gamma); Cy = r*sin(fii) + l*sin(gamma); n = 100; fii = linspace (0, 2*pi, n); for a = 1:n
Seega R r . a) VOAB on täisnurkne kolmnurk. Saame leida ringi raadiuse r. AO = R r; BO r sin = = ( R - r) sin = r ; 2 AO R - r 2 Rsin -rsin = r r+rsin = Rsin r1 + sin = R sin 2 2 2 2 2 2 R sin Ringi raadius on r = 2 . 1 + sin 2 2 R
A Ax Ay r Ax = r * sin Ay = r * cos Punkit A kordinaadid: A{r*sin ; r*cos } 0 2) Määrata liuguri punkti B horisontaalkordinaat Bx funktsioonina nurgast . Ax rsin Bx tan = a+ A y -> tan = a+rcos tan = h ja Järelikult: hrsin B x= a+cos 3) Määrata pöördenurk 1, mille korral on Bx maksimaalne. Anda nurga suurus kraadides ning kordinaat millimeetrites
r kus s on punkti poolt läbitud kaare pikkus. Et liikumine on ühtlane, siis v = const ja s vt v = v t. Siit saame = ehk = . Oleme saanud seose nurkkiiruse ja joonkiiruse rt r vahel. Tuletame punkti liikumise võrrandid, mille abil saab määrata punkti koordinaadid suvalisel ajahetkel. 1 Jooniselt näeme, et x = rcos ja z = rsin s vt Valemist (1) tuleneb = + 0 , millest edasi saame = + 0 = t + 0 r r Kui alghetke loeme nulliks, siis t = t ja saamegi liikumisvõrranditeks x = r cos(t + 0 ) (2) z = r sin (t + 0 ) Punkti kohavektor on seega r (t ) = r cos(t + 0 )i + r sin (t + 0 )k (3)
J = y y y z = cos sin 0= = - sin 2 cos 2 = - cos sin z z z z 0 0 1 J=-= f ( x; y; z )dxdydz = f ( cos ; sin ; z ) dddz V Kolmekordne integraal sfäärkoordinaatides (joon) P(; ; r); sin=OP/r (OPP) OP=rsin; cos=x/OP x=OPcos=rcos sin sin =y/OP ( y=OPsin x = r cos sin =rsin sin ); Q cos =z/r ( z=rcos). y = r sin sin z = r cos x x x r - r sin sin r cos cos cos sin
Y-telg nendega risti olev joon ekvaatori tasandil. Seda kasutatakse GPS-mõõtmiste puhul, kui satelliitide asukoht on määratud geotsentriliste koordinaatidega. 5. Väljendavad punkti kaugust koordinaattelgedest. X X Y Y 6. Kahemõõtmeline koordinaatide süsteem. Esitatakse nurgaga koordinaattelje suhtes ja kaugusega telje alguspunktist. X X=rcos Y=rsin r Y 7. Esiteks: geodeetilise põhivõrgu punktid maaellipsoidi pinnale kanda Teiseks: valida projektsiooni abipind Kolmandaks: kanda sellele üle maaellipsoidi kaardivõrk ja põhivõrgu punktid 8. Kaardiprojektsioonid- silindrilised(riskülik), koonilised(kolmnurk), tasandilised(ring). Kaardid ja moonutused: konformsed(EST), õigepindsed, õigepikkuselised.
1.1.4.Ühtlaselt muutuv ringliikumine Kui ringliikumise joonkiirus ühtlaselt muutub,siis on tegemist tangensiaalkiirusega a¯( -all),lisaks normaalkiirendusele: a¯( -all)=limV¯/t=dV¯/dt Skalaarselt: a( -all)=lim(R)/ t=Rlim/t=R(d/dt)=R Nurkkiirendus defineeritakse,kui nurkkiiruse muut ajaühiks,see tähendab =d/dt Kasutades raadiusvektorit r¯ ja nurkkiiruse vektorit ¯=d¯/dt võime tangensiaalkiirenduse kirja panna vektorkorrutisena a¯ (-all)= ¯*r¯ Vektorkorrutise moodul a(-all)= rsin=R ja R=rsin on trajektoori raadius.Leiame kogukiirenduse vektori: a¯=a¯(n-all)+a¯(-all) ja selle mooduli: a²=a(n-all)²+a(-all)² a= (a(n-all)²+a(-all)²= ((V²/R)² + (R)²) 1.2.Dünaamika 1.2.1.Newtoni seadused I seadus: Iga keha püsib paigal,või on ühtlases sirgjoonelises liikumises seni,kuni teiste kehade mõju ei sunni seda liikumisolekut muutma; II seadus: Rakendades kehale,massiga m,jõu F¯ saab keha kiirenduse a¯,a¯=F¯/m(F=ma).
1.1.4.Ühtlaselt muutuv ringliikumine Kui ringliikumise joonkiirus ühtlaselt muutub,siis on tegemist tangensiaalkiirusega a( all),lisaks normaalkiirendusele: a( all)=limV/t=dV/dt Skalaarselt: a( all)=lim(R)/ t=Rlim/t=R(d/dt)=R Nurkkiirendus defineeritakse,kui nurkkiiruse muut ajaühiks,see tähendab =d/dt Kasutades raadiusvektorit r ja nurkkiiruse vektorit =d/dt võime tangensiaalkiirenduse kirja panna vektorkorrutisena a (all)= *r Vektorkorrutise moodul a(all)= rsin=R ja R=rsin on trajektoori raadius.Leiame kogukiirenduse vektori: a=a(nall)+a(all) ja selle mooduli: a²=a(nall)²+a(all)² a= (a(nall)²+a(all)²= ((V²/R)² + (R)²) 1.2.Dünaamika 1.2.1.Newtoni seadused I seadus: Iga keha püsib paigal,või on ühtlases sirgjoonelises liikumises seni,kuni teiste kehade mõju ei sunni seda liikumisolekut muutma; II seadus: Rakendades kehale,massiga m,jõu F saab keha kiirenduse a,a=F/m(F=ma).
integraalis f ( x , y ) dxdy= f ( x (u , v ) , y ( u , v ) )J ( u , v )dudv , kus J(u,v) on teisenduse D D' jakobiaan J(u,v)= |xy '' uu xy'' vv| !=0 Üleminek Kui x=r*cos, y=r*sin ja teisenduse jakobiaan J(r,)=r, siis polaarkoordinaatidele r 2 () f ( x , y ) dxdy= d f ( rcos , rsin ) rdr D r 1 () Kolmekordne Piirväärtust, mis ei sõltu piirkonna V jaotusviisist ja punktide P i valikust, integraal nimetatakse kolmekordseks integraaliks Muutujavahetus kolmekordses f ( x , y , z ) dxdydz= f ( x (u , v , w ) , y ( y , v , w ) , z ( u , v , w ) ) J ( u , v , w )dudvdw ,
· Resonants on võnkesüsteemis esinev nähtus, mis seisneb amplituudi olulises suurenemises juhul kui sundvõnkesagedus saab võrdseks omasagedusega. Resonants tekib sundvõnkumise korral, kui sundvõnkumise sagedus saab võrdseks süsteemi enda võnkumise sagedusega. 11. · Harmoonilise võnkumise võrrand - Harmooniliseks võnkumiseks nimetatakse kõiki võnkumisi, mida saab kirjeldada siinus- või koosinusfunktsiooni abil. x = rsin t · nurksagedus (tähis ) on võnkuva keha 2 sekundi jooksul sooritatud võngete arvu. Ühikuks on herts. = 2f · Faas ehk võnkefaas on võnkeperioodi iseloomustav suurus. · Faasi ja hälbe vahekord · Laineks nimetatakse võnkumise levimisprotsessi ruumis. Laine kui häiritus levib keskkonnas lõpliku kiirusega. · Energia ja aine vahekord-
r ur = NQ ( v B ) r r v dl ur r ur ( F =Q v B ) ( ( )) ur ur r ur F =Q E+ v B 18. -- , , B, dl, I. ur r ur d F = Idl B 17 22.09.2013 FÜÜSIKA II EKSAM 19. µ0 dl r dB = 4 r 3 bd dl = sin 2 x = dl sin x = r d rd dl = sin b b = rsin = r = sin µ0 bd I µ I cos d = = 0 d 4 r sin 4 2 2 b µ0 µI B=2 2 I cos d = 0 0 4 b 2 b µ0 I B= 2 b µ0 I dl sin dB = 4 R2 = 2 µ I dl dB = 0 4 R 2 µ I µ I µ I B= dB = 0 2 dl = 0 2 R = 0 4 R 4 R 2
kirjeldab olukorda ,milles võnkuv keha antud hetkel viibib.Mida nimetatakse füüsikaliseks pendliks?Füüsikaliseks pendliks nimetatakse iga reaalset keha ,mis ripub kinnitatuna raskuskeskmega mitte kokkulangevast punktist.Ristuvate võnkumiste liitmine? Üldisel juhul tekivad väga keerulised trajektoorid. XXVI N r mv Jõuõlg?M=rFsin , r on punktist O jõu rakenduspunkti tõmmatud raadiusvektor. Lõiku l=rsin nimetatakse jõu F õlaks. Jõu mõjumissirge kaugus pöörlemisteljest.Impulsmoment?impulsimomendiks telje suhtes nim teljel asuva punkti suhtes määratud impulsimomendi selle telje suunalist komponenti Relativistlik impulss,jõud???? dr dr dv p m m m
keha antud hetkel viibib. 6) Mida nimetatakse füüsikaliseks pendliks? Füüsikaliseks pendliks nimetatakse iga reaalset keha ,mis ripub kinnitatuna raskuskeskmega mitte kokkulangevast punktist. 7) Ristuvate võnkumiste liitmine? Üldisel juhul tekivad väga keerulised trajektoorid. XXVI 1) Jõuõlg? M=rFsin , r on punktist O jõu rakenduspunkti tõmmatud raadiusvektor. Lõiku l=rsin nimetatakse jõu F õlaks. Jõu mõjumissirge kaugus pöörlemisteljest. 2) Impulsmoment? N = r × mv impulsimomendiks telje suhtes nim teljel asuva punkti suhtes määratud impulsimomendi selle telje suunalist komponenti 3) Relativistlik impulss,jõud???? dr dr dv p = m =m =m d v v dt 1 - ( ) 2 1 - ( )2
M Mx, My; Mx(x), My(y) M(x;y) 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. Polaarkoordinaadistik tasandil: · Suunaga arvtelg e. polaartelg. · Alguspunkt · Ühiku pikkus · Polaarraadius r = |OM| · Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: · x = rcos; y = rsin. · r = (x2+y2)1/2; tan = y/x. 12. Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti silinderkoordinaadid. Seosed punkti rist- ja silinderkoordinaatide vahel. Ristkoordinaadistiku ruumis moodustavad kolm paarikaupa ristuvat koordinaattelge, mille alguspunktid ühtivad. Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x-teljeks, teist ordinaatteljeks ehk y-teljeks ja kolmandat aplikaatteljeks ehk z- teljeks.
Jõud millega kaks ainepunkti üksteist mõjutavad, asuvad samal sirgel, on suuruse poolest võrdsed ja suunalt vastupidised. Nende summa on alati null, nii ainepunkti kui ka telje momendi puhul. Ainepunkti impulsimoment. Impulsimomendi jäävuse seadus Punkti impulsimoment defin analoogiliselt punkti jõumomendiga. Impulsimoment on liikumishulga moment. L=m[rv], kus r on keskpunktist tõmmatud raadiusvektor. Võime kasutada ka impulsi õla valemit- l=rsin(alfa). Nüüd saame, et L=lp=rmvsin(alfa). Impulsimomendi tuletis aja järgi on võrdne jõumomendiga, nii nagu impulsi tuletis aja järgi on võrdne punktile rakendatud jõuga. Impulsimomendi jäävuse seadus järeldub sellest, et summaarne impulsimoment ei sõltu ajast, seega ainepunktide isoleeritud süsteemi impulsimoment on jääv suurus. Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand
funktsioonide esitamises, nimetatakse liikumise määramise koordinaatviisiks ja ta nõuab konkreetse koordinaadistiku valikut. I) Ristkoordinaadid x=x(t), y=y(t), z=z(t) => M(x,y,z) II) Silindrilised koordinaadid: = (t) raadius, =(t) asimuut, z=z(t) aplikaat. M(,,z). Ristkoordinaatidele x= r*cos *cos, y= rcos*cos, z= r* sin. III) Sfäärilised koordinaadid r= r(t), = (t), = (t). M (r, , ) IV) Polaarkoordinaadid r=r(t), = (t). M(r, ). Ristkoordinaatidele: x= rcos , y= rsin c) loomulik viis DEF: Liikumise määramise loomuliku viisi puhul antakse ette punkti trajektoor ja ta liikumise seadus sel trajektooril. = (t) -liikumisseadus 20. Vektori skalaarse argumendi järgi võetud tuletise mõiste. Olgu vektor ~a antud mingis koordinaatide süsteemis kui skalaarse argumendi u pidev funktsioon. ~a= ~a(u), vahet ~a= ~a(u+u)- ~a(u) nimetatakse vektori ~a juurdekasvuks. ~a/u=(~a(u+u)- ~a(u))/ u, kui piirväärtus u0 puhul, juhul kui see on olemas
suuna vahel. - nurk OMxy ja OM vahel. Seosed punkti rist- ja sfäärkoordinaatide vahel:1) x 2) y 3) z = sin* 12. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. Polaarkoordinaadistik tasandil: 1) Suunaga arvtelg e. polaartelg. 2) Alguspunkt 3) Ühiku pikkus 4) Polaarraadius r = |OM| 5) Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: 1) x = rcos; y = rsin. 2) r = (x2+y2)1/2; tan = y/x. 13. Geomeetrilise vektori mõiste, tähistused. Vektorite võrdsus. Kollineaarsed vektorid. Vektor e. suunatud lôik lôik, millel on määratud suund (siht, suund ja suurus). Tähistused a = (a1;a2;a3) vôi AB = (a1;a2;a3). Vektorite vôrdsus - vektoreid nim. vôrdseteks, kui nad on kollineaarsed, samasuunalised ja vôrdse pikkusega (vôivad erineda vaid alguspunkti poolest).
konstantne. Ühtlaselt kiireneval liikumisel vektorit ¯=d¯/dt võime a > 0, ühtlaselt aeglustuval liikumisel a < 0. tangensiaalkiirenduse kirja panna vektorkorrutisena Kiirus muutub sel juhul ajas seaduse v = v0 +at järgi. Läbitud teepikkus on leitav a¯ (-all)= ¯*r¯ seosest s = v0 t + a t2/ 2 Vektorkorrutise moodul a(-all)= rsin=R Kiirenduse SI-ühik on üks meeter sekundi ja R=rsin on trajektoori raadius.Leiame ruudu kohta (1 m /s2). Vaba langemine kogukiirenduse vektori: vaakumis on sobiv näide ühtlaselt a¯=a¯(n-all)+a¯(-all) ja selle mooduli: Järelikult keha mass on inertsuse mõõt ja näitab,kui suurt jõudu on vaja keha a²=a(n-all)²+a(-all)² liikumisoleku muutmiseks.
F F millest c P + T - l sin N= F tan cos + sin F T = Ti Ti+1 Asetades N suuruse varuteguri avaldusse, arvestades, et l = bcos ning x = Rsin, ning tähistades tan ma = cos + sin F saab pärast teisendamist varuteguri jaoks avalduse 8 i=n 1
vahelist kaart võtta sirgelt. Olenevalt kõvera raadiusest on märgistamise tihedus kas: 5, 10 või 20m. Kõverate detailseks märkimiseks on olemas väga mitmeid mooduseid. Ristjoonte viis (ristkoordinaatide viis) Ristjoonte puhul x telg läheb mööda tangensit KA-st või KL-st NP poole ja y puhul on temaga risti. Märkimiseks valitakse sobiv kaare pikkus. Igale valitud kaare pikkusele vastab kesknurk . Vastavad ristjoonte pikkused arvutatakse valemitega X1=Rsin ja y1=R(1-cos). Järgmistes valemites iga kord suureneb. Koordinaadid arvutatakse välja kuni kõvera keskpunktini(KK) või veidi üle. Märkimine tehakse KL ja KA keskkoha poole. Siin kasutatakse ruletti ja linti ning ristjoone püstitamiseks teodoliiti ja selle tõttu on märkimine mõnevõrra ebamugav kuid ta on täpne. Selle meetodi puuduseks on, et y koordinaat hakkab kiiresti kasvama ja võib sattuda kinnisele maastikule.
icos1sin2 + isin1cos2 + sin1sin2) = (r1/r2)*(cos(1-2) + isin(1-2)) astendamine: zn = rn(cosn + isinn) Movier'i valem: astendamise erandjuht r=1 korral - (cos + isin)n = cosn + isinn Kompleksarvu z-ndaks juureks nimetatakse sellist kompleksarvu w, mille korral wn = z (n - naturaalarv) z = 0 => 01/n = 0; z 0 - otsime n-dat juurt w w = (cos + isin) nii, et wn = z ehk n(cosn + isinn) = r(cos + isin) => ncosn = rcos ja nsinn = rsin => ()2 ja liita => 2n = r2 => = r1/n; n = r cosn = cos ja sinn = sin => n = + 2k, k Z => = ( + 2k)/n wk = (cosk + sink) 1 ja 2 määravad ühe ja sama nurga juhul, kui nad erinevad arvu 2 täisarvu kordse võrra. 1 - 2 = 2t; t Z => (1 - 2) / 2 Z (1 - 2) / 2 = (( + 2k1)/n - ( + 2k2)/n) / 2 = (k1 - k2) / n Z k1/n = q1 + r1/n; 0 <= r1 < n; k2/n = q2 + r2/n; 0 <= r2 < n (k1 - k2) / n = q1 - q2 + (r1 - r2)/n Z => (r1 - r2)/n Z <=> r1 - r2 = 0 <=> r1 = r2
kohavektori ja polaartelje vahel nimetatakse nurgakoordinaadiks ehk polaarnurgaks ehk asimuudiks. Seios polaarkoordinaatide r ja selles vahemikus kui ta on pidevalt diferentseeruv, (x, y(x), y'(x)) C x C (a,b). ristkoordinaatide x ja y vahel on antud trigonomeetriliste funktsioonidega: x = rcos , y=rsin . Üldkujul võib harilikku diferentsiaalvõrrandit(HDV) esitada kujul F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0. Esimest järku HDV üldkuju on F(x, y, y') = 0. Esimest järku HDV normaalkuju on y' = f(x, y)
kangi toetuspunktist erinevatel kaugustel. Väiksem koormus kangi toetuspunktile lähemal tasakaalustab suurema koormuse toetuspunktist kaugemal. Suurust l nimetati jõu F(vector) õlaks ning tema korrutist selle jõu mooduliga F jõumomendiks punkti O suhtes (tähis Mo). Mo=Fl Jõu F õlaks punkti O suhtes nimetatakse selle jõu mõjusirge lühimat kaugust punktini O: l=rsin. Impulsi jäävuse seadus. Vektorist suurust p = mv nimetatakse ainepunkti impulsiks. Seadus: Ainepunktide isoleeritud süsteemi kogu impulss on jääv. m v = const Jõumoment telje suhtes-jõu pöördevõimesõltub jõu suurusest F ja õlast h. Jõu pöördevõimet iseloomustavat skalaarset korrutist Fh nimetatakse jõu momendiks telje suhtes. M t(F)=+-Fh. Kui jõud ja telg asuvad samas tasandis, siis jõu moment telej suhtes võrudb nulliga. Mt(F2)=Mt(F3)=0 15
teeme (vt joonis 1): ristkoordinaate xyz, silinderkoordinaate rz ja sfäärkoordinaate . Silinderkoordinaatide saamiseks tuleb punkt P(x,y,z) projekteerida XY-tasandile, selleks on joonisel 1 punkt P'(x,y,0). Punkti P' kaugus koordinaatide algusest O ongi parajasti polaar- raadius r (r = x 2 + y 2 ), polaarnurk (0O < 360O , või ka 180O < 180O ) on aga nurk X-telje positiivse suuna ja polaarraadiuse vahel, kusjuures x = rcos , y = rsin . Koordinaadid r ja on tavalised polaarkoordinaadid XY-tasapinnal. Sfäärkoordinaatide puhul on suurus punkti P(x,y,z) kaugus koordinaatide algusest O ( = x 2 + y 2 + z 2 ). Nurk määratakse siin samal viisil kui silinderkoordinaatide korral, aga vertikaaltasapinnas mõõdetav nurk (90O < 90O) määrab raadiuse kaldenurga XY-tasapinna suhtes. Praktilisel joonestamisel pole ülaltoodud seoseid koordinaatide vahel vaja teada, küll aga
P + T - lsin N= F tan cos + sin F T = Ti Ti+1 Asetades N suuruse varuteguri avaldusse, arvestades, et l = bcos ning x = Rsin, ning tähistades tan ma = cos + sin F saab pärast teisendamist varuteguri jaoks avalduse i=n 1
annaabi.ee 
