graafik lõikab x-telge kohal 1. 21. (2004) On antud funktsioon y 2 x 3 3 x 2 2. 1) Leidke funktsiooni tuletis. 2) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. 4) Joonestage funktsiooni y 2 x 3 3x 2 2 graafik. 5) Koostage võrrand joone y 2 x 3 3 x 2 2 puutujale punktis (2 ; 6). 22.(2004) Antud on sirged y = x, y = - 4x ja y = -x + 6. 1) Arvutage nende sirgete lõikepunktide koordinaadid. 2) Joonestage antud sirged ühes ja samas teljestikus. 3) Leidke antud sirgete lõikepunkte läbiva parabooli y ax 2 bx c võrrand. 4) Arvutage eelmises punktis saadud parabooli haripunkti koordinaadid. 23. (2004) Antud on funktsioon f ( x) cos 4 x sin 4 x . 1) Lihtsustage funktsiooni avaldist.
pingutusketirattaga) 14. Kirjeldada rullketi tööprotsessi ülekandes. Keti kõik lülid järjestikku hambuvad ketirataste hammastega. Nn ”hulknurgaefekti” tõttu toimub keti vedava haru pidev võnkumine ja keti kiiruse muutus( effekt on seda suurem, mida väiksem on ketiratta hammaste arv). Ketilüli haakub ketirattaga sirgel, mis ei ole ketiratta jaotusringjoone puutuja, seejärel viib ketiratas keti jaotusringjoone puutujale. Keti liikudes iga lüli koormus on tsükliline. Ketile mõjub lisaks ks tsentrifugaaljõud( eriti kiirustel rohkem kui 15m/s) Peamine tõrkepõhjus on lülide materjalide väsimus. 15. Millel põhineb kettülekande projekteerimise metoodika? Määratleda kõigepealt olilised parameetrid(ülekande võimsus, võllide pöörlemiskiirused, nõutav tööiga, ruumipiirangud, varutegurid, võllide vahekaugus) Arvutada kettülekande nõutav võimsus
net 8. (20p) Paja telglõige on piiratud joontega y = x2 ja y = 1. Pada asetseb koonuses, mille tipp on allpool, telg on vertikaalne ja telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke paja põhja kaugus koonuse tipust. Lahendus: Paja telglõige on piiratud parabooliga y = x2 ja sirgega y = 1. Teeme joonise: Kolmnurk KCL on võrdhaarne täisnurkne kolmnurk. KCL = 900 ja CLK = 450 .Seega moodustaja tõusunurk on 45o. Leiame puutuja võrrandi koonuse moodustajale kui parabooli puutujale. Enne tuleb leida aga tuletis funktsioonist y = x2. y´(x) = 2x. k = f ( x0 ) = 2 2 x0 2 x0 = 1 x0 = 0,5 y0 = 0,52 = 0, 25 Puutepunkt on (0,5; 0,25). Puutuja võrrand on seega y 0,25 = 1 . (x 0,5); y = x 0,5 + 0,25; y = x 0,25. Saime sirge, mis lõikab y-telge punktis C(0; -0,25) Vastus: Paja põhja kaugus koonuse tipust on 0,25. 9. (20p) On antud funktsioon f ( x ) = sin x - cos x . 1) Lihtsustage avaldist f ( x ) f ( - x )
y − f(a) = p(x − a), kus p on s tõus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Lõikaja AP tõusunurk tähistatakse β-ga. Seega on lõikaja AP tõus ¯p = tan β. Täisnurkselt kolmnurgalt APQ näeme, et p¯ = tan β = (f(x) − f(a))/(x – a) . Vaatleme nüüd piirprotsessi x → a. Kui x → a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus ¯p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal saame puutuja tõusu f ( x )−f (a) jaoks järgmise valemi: p=lim p=lim =f ' (a)
Joone puutuja s võrrandi tuletamine. Puutuja s avaldub punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a):=p(x-a), kus p on tõus ja momendil veel tundmatu. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Joone lõikaja tõusunurk on . Seega on lõikaja tõus p=tan . Vaatleme nüüd piirprotsessi x->a. Kui x->a, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult tuletise definitsiooni põhjal Avaldame puutuja võrrandi Viimane valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Def. Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub jone y=f(x) puutujaga selles punktis. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan
Joone puutuja s võrrandi tuletamine. Puutuja s avaldub punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a):=p(x-a), kus p on tõus ja momendil veel tundmatu. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Joone lõikaja tõusunurk on . Seega on lõikaja tõus p=tan . Vaatleme nüüd piirprotsessi x->a. Kui x->a, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult tuletise definitsiooni põhjal Avaldame puutuja võrrandi Viimane valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Def. Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub jone y=f(x) puutujaga selles punktis. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan
9) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a,f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) kus p on s t~ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. L~oikaja AP t~ous on ¯ p = tan. T¨aisnurkselt kolmnurgalt APQ n¨aeme, et ¯ p = tan =f(x) - f(a)/x - a . Vaatleme nu¨u¨d piirprotsessi x a. Kui x a, siis P l¨aheneb punktile A m¨o¨oda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous ¯ p puutuja t~ousule p. J¨arelikult, tuletise definitsiooni p~ohjal p = lim xa ¯ p = lim xa f(x) - f(a) /x a = f'(a) saamegi puutuja v~orrandi y - f(a) = f'(a)(x - a). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f(x) norxmaalsirgeks punk- tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) .
mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Puutja võrrandiks on: y y0 = f'(x0)(x x0) Võrrandi tuletamine: Tuletame puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime, et valemi y - b = p(x - a) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi x a. Kui x a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal p = p = = f ` (a) Valemitest y f (a) = p(x - a) ja p = limp = = f (a) Lõpp võetud vanast konspektist ja lim p õige kirjapilt jäi mulle arusaamatuks. Normaalsirge. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub funktsiooni y = f(x) graafiku puutujaga selles punktis. Punkti A = (x0 ,y0) läbiva normaalsirge võrrand: y y0 = -
36) Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Olgu l~oikaja AP t~ousunurk t¨ahistatud ga. Seega on l~oikaja AP t~ous p = tan . Täisnurkselt kolmnurgalt näeme, et p = tan = . 37) m¨ooda joont y = f (x). Vastavalt puutuja definitsioonile Kui xa, siis P l¨aheneb punktile A l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f (x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous p puutuja tõusule p. J¨arelikult, tuletise definitsiooni p~ohjal p= tan = 0 38) Saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) , mis kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk 0 tuletis f (a) on m¨a¨aratud.
36) Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Olgu l~oikaja AP t~ousunurk t¨ahistatud ga. Seega on l~oikaja AP t~ous p = tan . Täisnurkselt kolmnurgalt näeme, et p = tan = . 37) m¨ooda joont y = f (x). Vastavalt puutuja definitsioonile Kui xa, siis P l¨aheneb punktile A l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f (x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous p puutuja tõusule p. J¨arelikult, tuletise definitsiooni p~ohjal p= tan = 0 38) Saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) , mis kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk 0 tuletis f (a) on m¨a¨aratud.
3) kus p on s tõus. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Selleks vaatleme joonist 3.3lk33. Joonisel on lõikaja AP tõusunurk tähistatud -ga. Seega on lõikaja AP tõus p(kriipsuga) = tan. Joonisel olevalt täisnurkselt kolmnurgalt näeme et p(kriipsuga)= tan = (f(x)-f(a))/x-a. Vaatleme nüüd piirprotsessi xa. Kui xa siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p(kriipsuga) puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal p = lim(xa) p(kriips) = lim(xa) (f(x)-f(a))/x-a=f'(a)(3.4) Valemitest (3.3) ja (3.4) saamegi puutuja võrrandi y- f(a) = f'(a)(x - a) : (3.5) Valem (3.5) kehtib juhul kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on /2 siis ei ole f'(a) määratud ja puutuja võrrand on x = a. Normaal: Joone normaalsirge ja tema võrrand
10) kus p on s tõus. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Selleks vaatleme joonist 3.3. Joonisel on lõikaja AP tõusunurk tähistatud -ga. Seega on lõikaja AP tõus p = tan . Täisnurkselt kolmnurgalt APQ näeme, et Vaatleme nüüd piirprotsessi x a. Kui x a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi Valem (3.12) kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on /2 , siis ei ole f(a) määratud ja puutuja võrrand on x = a. Joone normaalsirge definitsioon: Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja
99. Millega võrdub vedru elastsusjõud? Fx = -cx 100. Mis on vedru jäikustegur? võrdetegur c kannab nimetust vedru jäikustegur ja ta näitab sisuliselt millist jõudu on vaja rakendada selleks, et vedru pikkust muuta ühe pikkusühiku võrra 101. Mida nimetatakse jõu võimsuseks? Valem. Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Jõu võimsuseks nimetatakse tema töö muutumise kiirust antud ajahetkel. P=dW/dt Skalaarne, jõu projekteerimisel puutujale (kiiruse sihile) võib kasutada vetorite mooduleid. 102. Kuidas arvutada jõu võimsust? Jõu võimsus võrdub jõu ja tema rakenduspunkti kiirusvektori skalaarkorrutisega. 103. Mida nimetatakse konservatiivseks jõuks? Konservatiivseteks ehk potentsiaalseteks jõududeks nimetatakse niisuguseid jõudusid, mille töö ei sõltu jõu rakenduspunkti poolt läbitud trajektoori kujust ega pikkusest, vaid ainult alg- ja lõppasendist. 104
tõus. Momendil on p(puutuja) veel tundmatu kaugus. Avaldame suuruse p(puutuja) funktsiooni f tuletise kaudu. (JOONISEL) on lõikaja AP tõusunurk tähistatud -ga. Seega on lõikaja AP tõus p(lõikaja)=tan. Täisnurkselt kolmnurgalt APQ näeme, et Vaatleme nüüd piirprotsessi xa. Kui xa, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p(puutuja). Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal: Järeldub puutuja võrrand: Valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on , siis ei ole f'(a) määratud ja puutuja võrrand on x=a. c. Joone normaalsirge definitsioon Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A
Joone puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont Tuletame puutuja s võrrandi. Märgime, et valemi korral avaldub puutuja s võrrand punktis kujul kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi . Kui siis läheneb P punktile A mööda joont . Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Valemid · Joone normaalsirge ja selle võrrand Joone normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone puutujaga selles punktis. Arvutame normaalsirge leidmiseks tõusu kuna ja siis Punkti läbiva normaalsirge võrrand on järgmine: , kui · Diferentseeruvuse geomeetriline sisu - Argumendi väärtusel diferentseeruva funktsiooni
p(x a), kus p on s tõus. Praegu on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni tuletise kaudu. Vaatleme joonist, kus lõikaja AP tõusunurk on tähistatud -ga. Seega on lõikaja AP tõus . Täisnurkselt kolmnurgalt APQ näeme, et . Vaatleme piirprotsessi . Kui , siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal . Eelnevatest valemitest saamegi puutuja võrrandi See valem kehtub juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f ` (a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on , siis ei ole f ` (a) määratud ja puutuja võrrand on x = a. JOONE NORMAALSIRGE DEFINITSIOON Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse, sirget, mis läbib punkti A ja ristub
Punkti A = (a, b) läbiva ja tõusu p omava sirge võrrand on y - b = p(x - a) (3.9) Eelneva valemi põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) (3.10) (kus p on sirge tõus) Vaatleme nüüd piirprotsessi x a. Kui x a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal (3.11) Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi y - f(a) = f'(a)(x - a) Joone normaalsirge definitsioon Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis.
Punkti A = (a, b) läbiva ja tõusu p omava sirge võrrand on y − b = p(x − a) (3.9) Eelneva valemi põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y − f(a) = p(x − a) (3.10) (kus p on sirge tõus) Vaatleme nüüd piirprotsessi x → a. Kui x → a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal (3.11) Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi y − f(a) = f’(a)(x − a) Joone normaalsirge definitsioon Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis.
Liikuva punkti P trajektoor on ruumipunktide hulk, mida punkt läbib ajavahemiku t 2 - t1 jooksul. 25. Mis on punkti liikumise kiirus? Punkti liikumise kiirus on füüsikaline suurus, mis näitab kui pika vahemaa läbib punkt mingis ajaühikus. Kiiruse suurus on teepikkuse tuletis aja järgi. 26. Mis on punkti liikumise keskmine kiirus? s vk = tl - t a 27. Kuhu on suunatud kiirus kõverjoonelisel liikumisel? Joone puutujale liikumise suunas 28. Mis on punkti liikumise kiirendus? Punkti liikumise kiirendus on füüsikaline suurus, mis näitab ühtlasel muutuval liikumisel, kui palju muutub punkti kiirus ajaühikus. a = (v-v0)/t Kiirendus on kohavektori teine tuletis aja järgi. 29. Mis on kiirenduse tangentsiaalkomponent? Kiirenduse tangentsiaalkomponent on suunatud piki trajektoori puutujat ja ta näitab, kuidas muutub punkti liikumise kiiruse suurus; tema arvutamiseks tuleb kiiruse suurus
Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Tuletame puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime, et valemi y - b = p(x - a) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi x a. Kui x a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal p = limp = lim f (x) f (a)/ x - a= f ` (a) xa xa Valemitest y f (a) = p(x - a) ja p = limp = lim f (x) f (a)/ x - a= f (a) xa xa saamegi puutuja võrrandi y - f(a) = f (a)(x - a) , kui puutuja tõus p ehk tuletis f(a) on määratud, nt
lahendamist ning neid avastatakse lahendusega. R2 R1 m1g G = mg R1 m2g R2 Sidemete tüübid: Pind, joon, punkt – sidemereaktsioon alati risti kontaktpindalaga või punktist lastud puutujale Niit, kett, varras – sidemereaktsioon on suunatud piki sidet R2 R = G = mg R3 R1 m Silindriline šarniir (liigend): G = mg
– INT – joonte lõikumispunkt; ÜLESANNE I Pinnatükk 171 – INT Apparent – joonte näiv lõikepunkt (näiteks kiivsirgete näiv lõikepunkt mingil projektsioonil); – SNAP to Extension – pikendatava punktini; – CEN – kõverjoone keskpunkt; – QUA – ruudu tipud ringjoonele; – TAN – puutepunkt kõverjoonele; – PER – risti joonele (ka kõverjoonele – kujundatakse ristjoon puutujale antud punktis); – PAR – rööpne joonele; – INS – sisestuspunkt, näiteks tekstile või plokile; – NOD – punkt (kujundatud käsuga POINT): – NEA – joonele lähim punkt (sisuliselt – punkt joonel); – NON (Snap to None)– tähendab, et järgnevalt ei kasutata ühtki punkti asukoha täppismääramise alamprogrammi. – OSNAP Settings – käsu OSNAP aktiivsete alamkäskude seadistus; . . . . . . . . . . . . . . . .
G a x x Joonis 3.3 Vaatleme n¨ ¨d piirprotsessi x a. Kui x a, siis P l¨aheneb punktile A uu m¨ o¨oda joont y = f (x). Vastavalt puutuja definitsioonile l¨aheneb l~oikaja AP 66 joone y = f (x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous p¯ puutuja t~ousule p. J¨arelikult, tuletise definitsiooni p~ohjal f (x) - f (a) p = lim p¯ = lim = f (a) . (3.11) xa xa x-a Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) . (3.12) Valem (3
G a x x Joonis 3.3 Vaatleme n¨ uu ¨d piirprotsessi x a. Kui x a, siis P l¨aheneb punktile A m¨o¨oda joont y = f (x). Vastavalt puutuja definitsioonile l¨aheneb l~oikaja AP 66 joone y = f (x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous p¯ puutuja t~ ousule p. J¨arelikult, tuletise definitsiooni p~ohjal f (x) - f (a) p = lim p¯ = lim = f (a) . (3.11) xa xa x-a Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) . (3.12) Valem (3
T¨aisnurkses kolmnurgas P RQ nurk tipu P juures on sel juhul samuti . Selle nurga vastaskaateti RQ pikkus on y ja l¨ahiskaateti P R pikkus x. Seega y tan = x st funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe t¨ahendab l~oikaja P Q t~ousu. Kui n¨ uu ¨d x 0, siis x + x x, seega graafikul Q P ja l~oikaja P Q hakkab l¨ahenema funktsiooni graafikule punktis P t~ommatud puutujale. Puutuja t~ousunurk ja funktsiooni tuletis y f (x) = lim = lim tan = tan x0 x t¨ahendab geomeetriliselt funktsiooni graafikule punktis abstsissiga x t~omma- tud puutuja t~ousunurga tangensit ehk puutuja t~ousu. Kui vaatleme muutujat x ajana, siis kirjeldab funktsioon y = f (x) min- gisugust ajas kulgevat protsessi, n¨aiteks sirgjoonelist liikumist. Ajahetkel x
annaabi.ee 
