vanakraamikaupmees). 2) Leidub x nii, et H(x): Leidub keegi, kes on aus inimene (Leidub aus inimene). 3) Inimene, kes on vanakraamikaupmees, ei ole aus inimene. (Iga vanakraamikaupmees on ebaaus; Kui keegi on vanakraamikaupmees, on ta ebaaus inimene) 4) Leidub keegi, kes on aus vanakraamikaupmees (Leidub aus vanakraamikaupmees). 5) Leidub keegi, kes kui ta on aus inimene, on vanakraamikaupmees. 3 - Lapsed - inimesed Esitada predikaatarvutuse valemitena: 1)Leidub keegi, kes on laps. 2)Lapsed on inimesed. 3)Leidub keegi, kes ei ole laps. 4)Leidub keegi, kes ei ole laps ega inimene. 5)Kõik inimesed ei ole lapsed - parafraseerime - leidub keegi, kes on inimene, kuid pole laps. 1) Võtame kasutusele predikaadi Laps(x) - x on laps E x Laps(x) - Leidub üks x, kes on laps. 2) Võtame kasutusele predikaadi Inimene(x) - x on inimene A x (Laps(x) -> Inimene(x)) 3) E x ½ Laps(x) 4) E x ½ Laps(x) & ½ Inimene (x)
1837 Morse elektritelegraaf. 1847-1854 George Boole, de Morgan. 1857 perfolint(Wheatstone).1867 "Type writer" sholes,glidden,soule.1879 Kaasaegse loogika alus: Gottlob Frege(öloob kaasaegse predikaatarvutuse). 1890 - Hollerith'i perfokaardid->sellest firmast tekkis IBM.1845-1918 elas, Hulgateooria: Georg Cantor.1920...Enigma kodeerimiseks Saksa lennu-,merevägi.1935-1937 Turingi masin1936: Churchi lambda-arvutus.1930-1935-1937 Vannevar Bush MIT:dif. Võrrandite lahendamiseks(100t,tuhanded releed,150 mootorit,2000lampi). 1889-1951Ludwig Wittgenstein. 1938, Shannon'i magistritöö sidus: Boole algebra. Elektrilülitid ja -skeemid. Bitid ja info kodeerimise. Info otsimise algoritmid
· Predikaate tähistame predikaatsümbolitega A, B, C, koos argumentidega; argumentideks on termid. · Predikaate võib omavahel kombineerida lausearvutuse tehete ja kvantoritega 7 Indiviidid: · objektid, mille kohta midagi väidetaks · Hulka M nimetatakse indiviidide piirkonnaks, see fikseerib objektid, mille kohta predikaat midagi väidab Kvantorid: Term. Predikaatarvutuse valem. Vabad ja seotud muutujad. Keele signatuur: konstant-, funktsionaal- ja predikaatsümbolid. Term. Def. 2 Termid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: · Iga indiviidmuutuja on term · Iga C-sümbol on term · Kui f on n-kohaline funktsionaalsümbol ja t1,t2,...,tn on termid, siis f(t1,t2,...,tn) on term. Termi, milles ei esine ühtegi indiviidmuutujat, nim muutuajateta termiks. Predikaatarvutuse valem Def 3
..) tähistavad vaadeldaval hulgal määratud funtksioone Predikaatsümboleid kasutatakse elementide omaduste ja nendevaheliste seoste kirjapanemiseks Termid on parajasti need, mida saab koostada järgnevate reeglite abil: o Iga indiviidmuutuja on term o Iga konstantsümbol on term o Kui f on n-kohaline funktsionaalsümbol ja t 1, t2, ... , tn on termid, siis f(t1, t2, ... , tn) on term Predikaatarvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: o Kui P on n-kohaline predikaatsümbol ja t1, t2, ... , tn on termid, siis P(t1, t2, ... , tn) on predikaatarvutuse valem o Kui F on predikaatarvutuse valem, siis ¬F on predikaatarvutuse valem o Kui F ja G on predikaatarvutuse valemid, siis (F & G), (F G), (F G) ja (F G) on predikaatarvutuse valemid
Gödel väitis, et igas formaalses aritmeetikas leidub tõene lause, mis ei ole antud formaalses aritmeetikas tõestatav. Täielikkuse teoreem; http://cs.ttu.ee/kursused/itv0010/various/lrttyld.html : ,,1930. aastal tõestas Gödel, et loogika baaskeel, Fregest lähtuv ja Russelli, Whiteheadi, Hilberti, Tarski, Gentzeni töödes kaasaegse kuju saanud esimest järku predikaatarvutus on täielik: iga tegelikult õige väide, mida saab predikaatarvutuses kirja panna, on predikaatarvutuse formaalsete reeglite abil tõestatav. Siinkohal toetub ``õigsuse'' mõiste Tarski, poolt rajatud teooriale semantikast ja mudelitest." Esmapilgul tundub teoreem täielikkusest olevat vastuolus järgmises lõigus vaadeldava teoreemiga formaalse aritmeetika mittetäielikkusest, kuid see vastuolu on ainult näiline: predikaatarvutuse keeles ei saa otseselt kirja panna matemaatilise induktsiooni printsiipi, mis n-ö loob ehk genereerib täisarvud koos kõigi nende omadustega
3) B C Esimesest kahest saab järeldusreegli abil formaalselt tuletada väite B, ning B ja väide (3) annavad järeldusreegli abil lõpuks väite C. Viimase tuletussammu formaalseks läbiviimiseks asendasime järeldusreeglis muutujad A ja B muutujatega B ning C. Enamik loogikaharusid kasutab lausearvutuse keele rikastatud variante, mis lubavad kirja panna märksa keerulisemaid väiteid, kui puhas lausearvutus võimaldab. Olulisem neist rikkamatest formaalsetest keeltest on predikaatarvutuse keel, milles saab rääkida objektidest, nende omadustest ja omavahelistest suhetest. Keerulisemad formaalsed keeled võimaldavad väljendada lisaks samasust, paratamatust, võimalikkust, teadmist ja aega, suhtuda väidetesse kui objektidesse, kasutada vaikimisi-reegleid jne. Põhimõtteliselt on võimalik konstrueerida kuitahes keerulisi ja väljendusrikkaid formaalseid keeli, kuid fikseerimata ning pidevalt areneva loomuliku keelega võrreldes jääb mistahes formaalne keel alati piiratuks.
1. Olgu meil kasutada predikaadid ISA(x,y), EMA(x,y) ja MEES(x) mis tähendavad vastavalt, et x on y isa, x on y ema ja x on meessoost. Predikaatmuutujate määramispiirkonnaks on kõigi inimeste hulk. Väljendada predikaatarvutuse abil sugulussidemed: a) õed - x ja y on õed kui xy (ÕDE(x,y) z (ISA(z,x) & ISA(z,y)) & u (EMA(u,x) & EMA(u,y)) & ¬(MEES(x) MEES(y))). või x on y-i õde kui xy (ÕDE(x,y) z (ISA(z,x) & ISA(z,y)) & u (EMA(u,x) & EMA(u,y)) & ¬MEES(x)) lugesin õigeks ka nö. kasuõdede variandi. (25% õigeid vastuseid) b) vanatädi - x on y-i vanatädi kui xy (VANATÄDI(x,y) zuvw((EMA(z,y) ISA(z,y)) & (EMA(u,z)
tõeväärtuse, osalausete konkreetne sisu ei ole aga tähtis. • Lausearvutuse tehteks nimetatakse niisugust lausetes kasutatavat seost, mille tõeväärtus on tema osalausete tõeväärtuste funktsioon (Boole’i funktsioon). Semantika – valemi tõeväärtuse määratlus téma alamvalemite töeväärtuste põhjal. 3 Predikaatarvutus 3.1 Formaliseerimine predikaatarvutuse keeles Predikaat väljendab objekti omadust või mingit seost (relatsiooni) objektide vahel. !!! Esimest järku predikaatarvutuses: - predikát konstandid—puuduvad predikát muutujad st.kui predikát on defineeritud, siis arutluse käigus tema tähendus ei muutu, - üks predikaat ei tohi olla teise predikaadi argumendiks. • Liitlausete formaliseerimine: - Atomaarne lause e. aatom–sisaldab vaid ühte predikaati
Kui A ja B, siis A Ei ole tõsi, et A ja mitte A Modus ponens: Kui Ast järeldub B ja A on tõsi, siis on ka B tõsi. Näide: Iga anarhist on vabaabielu pooldaja Mõned valitseva partei liikmed on anarhistid --------------------------------------------- Mõned valitseva partei liikmed on vabaabielu pooldajad Näite jätk Iga x on y Mõni z on x ------------------- Mõni z on y Loogika - keel formaliseeritudkujul, kasutades kunstlikke formaalseid keeli Lausearvutuse keel Predikaatarvutuse keel Reeglid Samasusseadus ühegi lause sisu ei muutu arutluse käigus Vasturääkivusseadus ükski lause ei saa olla endaga vastuolus Välistatud kolmanda seadus iga lause on kas tõene või väär, kolmandat võimalust ei ole Küllaldase aluse seadus ühtli lauset ei saa pidada tõeseks või vääraks ilma küllaldase aluseta. Näide Maril on täna hea tuju Kui Maril on hea tuju, siis on Jüri õnnelik ------------------------- Jüri on täna õnnelik Lauseid....
Aritmeetiline masin- 1640, ainult liitis ja lahutas, Kristlik filosoof Blaise Pascal Leibnizi arvuti 1671, Saksa filosoof Leibniz, arvuti: liitis, lahutas, korrutas, jagas Elektritelegraaf - Morse 1837 Loogika (lausearvutuse) alused 1847-1854 Perfolint - Wheatstone 1857 Frege loob kaasaegse predikaatarvutuse - 1879 Herman Hollerith perfokaartidega masin USA rahvaloenduse andmete töötlemiseks 1890, sellest firmast tekkis IBM Vaakumtoru - 1906, Lee Deforest Artikkel Turingi masinast: universaalsus, mittelahenduvus 1935-1937 Churchi lambda-arvutus, Churchi tees. - 1936,universaalsus, mittelahenduvus Z1 1936 , Konrad Zuse mehhaaniline arvuti MARK I 1939-1944, Harvardi elektriline(releedega) digitaalne arvuti ABC computer 1939-1942 , Atanasoff-Berry esimene elektronarvuti
1857 Wheatstone: perfolint yourself computing fans 1847-1854 Loogika (lausearvutuse) alused G. BOOLE, de MORGAN 1974 Xerox Alto, personal computer to be used for research, first serious 1879: Kontseptuaalne notatsioon ("Begriffsschrift"), loob kaasaegse machine to feature a modern user interface: windows, mouse, etc invented predikaatarvutuse - GOTTLOB FREGE by Engelbart in 1964 1890: Herman Hollerith: perfokaartidega masin USA rahvaloenduse andmete 1969-1973 C development, 1978 " The C Programming Language" töötlemiseks (Thompson, Ritchie, Kernighan)
indiviidideks. Hulgal M määratud kahekohaline predikaat ehk BINAARNE PREDIKAAT Pxy on kujutis, mis seab igale idiviidide järjestatud paarile(x;y), kus x kuulub hulka M, vastavusse ühe kindla tõeväärtusega (tõene või väär). UNIVERSAALHULGAKS ehk UNIVERSAALSEKS HULGAKS nimetatakse hulka, mis sisaldab alamhulkadena kõiki antud probleemi või arutluse raames vaadeldavaid hulki. Kvantori ulatuses paiknevat valemit nimetatakse ka KVANTORILE ALLUVAKS VALEMIKS. Muutuja esinemine predikaatarvutuse valemis on SEOTUD, kui muutuja esineb mõne kvantori ulatuses. Kui muutuja esinemine ei ole seotud, siis on see muutuja esinemine VABA. Muutuja ON valemis SEOTUD, kui kõik tema esinemised valemis on seotud. VASTASEL JUHUL on muutuja VABA Valem on KINNINE, kui kõik tema muutujad ON SEOTUD. VASTASEL JUHUL nimetatakse valemid LAHTISEKS. LAUSEKS nimetatakse kinnist predikaatarvutuse valemit, st valemit, milles ei ole vabu muutujaid. TULETUS
(S P) & (¬S M) & (A ¬P) = (¬S P) & (S M) & (¬A ¬P) = ¬S & S & ¬A ¬S & S & ¬P ¬S & M & ¬A ¬S & M & ¬P P & S & ¬A P & S & ¬P P & M & ¬A P & M & ¬P = ¬S & M & ¬P See on ainus komponent mis saab tõene olla, siit järeldub, et Mike tuleb aktsioonile ning lisaks ka veel see, et Sam ja Peter ei tule. 27_fl_i-v L5 PREDIKAATARVUTUSEST Predikaatarvutuse tähestik: · predikaatsümbolid: A, B, C, P, A1, B2, A6, ... (suurtähed); · indiviidmutujad: x, y, z, x1, z2, y6, ... (tähestiku viimased tähed); · indiviidkonstantide sümbolid: a, b, c, h, a1, j6, ... (tähestiku esimesed tähed); · loogiliste tehete sümbolid: ¬, &, , , , - üldisuskvantor (kõik, iga, jne), - olemasolukvantor (mingi, mõni, leidub vähemalt üks jne),
operaator Radiolinja Soomes). jne).Välisseadmed - monitor, klaviatuur jne. Turing ressursside haldamine (mälu, protsessor, 1879 Kaasaegse loogika alus: Gottlob machine - lihtne teoreetiline masin. Alan Turingi seadmed),protsesside haldamine, võrguliides ja Frege(öloob kaasaegse predikaatarvutuse). 1993 NCSA Mosaic 1.0 I popp avalikult idee, milline võiks olla lihtne universaalne arvuti: võrguprotokollid,turvalisuse garanteerimine. saadaval brauser;Inteli Pentium prose. suudaks arvutada/järeldada kõike!! Turingi tees: 2.Operatsioonisüsteemi muud funkt ,kasutajate
1879 Kaasaegse loogika alus: Gottlob sum : INTEGER := 0; kohaselt peaks A olema tõestatav. Kuna me valesid (interneti) kaudu;inteli 80386. väiteid tõestada ei saa, siib peabki A olema õige. Frege(öloob kaasaegse predikaatarvutuse). begin Kuna A on õige, peab kehtima see, mida A väidab: 1987 – GCC kompilaator UNIXil, IBMi ps2 vga-ga. for i in 0..n loop A pole tõestatav. Tõepoolest, kui A oleks tõestatav,
On esimese mehaanilise automaatkalkulaatori (arvuti) loojaks ja seega pani ta aluse arvutite arenguloole. GEORGE BOOL DE MORGAN Loogika (lausearvutuse) alused 1847-1854 Matemaatilise algebra ideede kasutamine loogika jaoks: Loogika algebra: 1A = A, 0A = 0, A+0 = A, A+1 = 1 A+B = B+A, AB = BA, AA = A Enimkasutatud tehted on & (ja e. konjunktsioon) V (või e. disjunktsioon) - (ei e. eitus) => (järeldus e. implikatsioon) == (samasus e. ekvivalents) GOTTLOB FREGE 1879 loob kaasaegse predikaatarvutuse Näide: Isa(Jaan,Mihkel). Isa(Jaan,Ants). Isa(Ants,Peeter). Iga x, y, z jaoks: Isa(x,y) & Isa(y,z) => Vanaisa(x,z). Tõesta, et eksisteerivad z, u nii et Vanaisa(z,u). 3 HERMAN HOLLERITH 1890 perfokaartidega masin USA rahvaloenduse andmete töötlemiseks Hollerith'i firmast tekkis IBM VAAKUMTORUD 1906, Lee Deforest GEORG CANTOR 1845-1918
1847-1854 Loogika (lausearvutuse) alused- G. BOOLE, de MORGAN 1974 - Xerox Alto, personal computer to be used tor tesearch, first serioua 1 879 : Kiltseplua alre notafsioon ("8egriff6schrift"), loob kaasaeqse machire to tature a hodern usea intelface: wihdows, mouse, etc invented lt)76 - Applc Conrputcr(Jobs. Woznirk). vi predikaatarvutuse - GOTTLOB FREGE by Engelbart in 1964 1890: Hermah Hollerith: perfokaartidega masin USA rahvaloendu3e andmete 1969-1973 c development, 1978 " The C Programming Language" 1977 - Comnrrxlorc PET, Apple lI, VisiCalc(1979)
allikates käsitletud erinevalt. Meie võtame aluseks S. Haacki ,,Loogika filosoofias" esitatu, mille eeskujul saab loogikat jaotada traditsiooniliseks, klassikaliseks ja mitteklassikaliseks.Ajalooliselt oli esimene loogika Aristotelese loogika, mis arenes edasi nn traditsiooniliseks loogikaks. Traditsiooniline loogika koosneb peamiselt aristotellikust süllogistikast ning sellega seotud väite- ja mõisteõpetusest. Traditsiooniline loogika on tänapäeval taandunud lausearvutuse ja predikaatarvutuse ees, mis on arvutuslikult võimsamad kui traditsiooniline loogika. Klassikaline loogika on lausearvutus ja predikaatarvutus. Mõneti lihtsustatult võib öelda, et traditsiooniline loogika on mõisteloogika ja klassikaline loogika on predikaatarvutus ehk predikaatloogika, kuna lausearvutus on esitatav predikaatarvutuse osana. Klassikalises loogikas on väljend lause sama tähendusega, mis propositsioon (väitlause sisu, mis pole seotud konkreetse keele või ütlemisviisiga)
allikates käsitletud erinevalt. Meie võtame aluseks S. Haacki ,,Loogika filosoofias" esitatu, mille eeskujul saab loogikat jaotada traditsiooniliseks, klassikaliseks ja mitteklassikaliseks. Ajalooliselt oli esimene loogika Aristotelese loogika, mis arenes edasi nn traditsiooniliseks loogikaks. Traditsiooniline loogika koosneb peamiselt aristotellikust süllogistikast ning sellega seotud väite- ja mõisteõpetusest. Traditsiooniline loogika on tänapäeval taandunud lausearvutuse ja predikaatarvutuse ees, mis on arvutuslikult võimsamad kui traditsiooniline loogika. Klassikaline loogika on lausearvutus ja predikaatarvutus. Mõneti lihtsustatult võib öelda, et traditsiooniline loogika on mõisteloogika ja klassikaline loogika on predikaatarvutus ehk predikaatloogika, kuna lausearvutus on esitatav predikaatarvutuse osana. Klassikalises loogikas on väljend lause sama tähendusega, mis propositsioon (väitlause sisu, mis pole seotud konkreetse keele või ütlemisviisiga)
ekvivalents) A& B AV B -A A => B -------- -------- ---- -------- TTT TTT VT TTT TVV TTV TV TVV VVT VTT VTT VVV VVV VTV Kaasaegse loogika alus: Gottlob Frege 1879: Kontseptuaalne notatsioon ("Begriffsschrift") loob kaasaegse predikaatarvutuse; Isa (Jaan,Mihkel). Isa(Jaan,Ants).Isa(Ants,Peeter).Iga x, y, z jaoks: Isa(x,y) & Isa(y,z) => Vanaisa(x,z).Tõesta, et eksisteerivad z, u nii et Vanaisa(z,u). 1890: Herman Hollerith: perfokaartidega masin USA rahvaloenduse andmete töötlemiseks Hollerith'i firmast tekkis IBM Vaakumtoru 1906 Le e Deforest Georg Cantor (1845-1918) hulgateooria rajaja, matemaatika alused lõid kõikuma, avastas paradokse matemaatikas 1935-1937: artikkel Turingi masinast: universaalsus, mittelahenduvus
18. LAUSEARVUTUSE ÜLESANNETE LAHENDUSVÕTTEID. 1. Esmalt tuleb sooritada sulgudes asetsevad tehted. Vajadusel kasutada mitmekordseid sulge. 2. Tehete järjekorra kohta vt p 14. 3. Samaväärsuse tuvastamisel võib kasutada tõeväärtustabeleid või lahendada ülesanne nendeta. 4. Lisaks vaata lk. 69 jj E. Kasaku õpikust. 1 9 . P R E D I K A ATA R V U T U S E P Õ H I I D E E D . K VA N T O R I D . K VA N T O R I T E DUAALSUSREEGLID. Predikaatarvutuse põhiideed: 1. Arvestatakse, et lauses on kaks osa: ! ! ! - objektid (see, mille kohta midagi väidetakse) - predikaat (see, mis väljendab indiviidide teatud omadusi või nendevahelisi seoseid). 3. Lausearvutuse reeglid ja sümbolid jäävad kehtima, kuid tehakse täiendusi. 4. Mõnikord tehakse täiendavaid nõudeid (nt, et indiviidide hulk ei tohi olla tühi). Kvantorid: ∀ – üldisuskvantor ∃ – olemasolukvantor
18. LAUSEARVUTUSE ÜLESANNETE LAHENDUSVÕTTEID. 1. Esmalt tuleb sooritada sulgudes asetsevad tehted. Vajadusel kasutada mitmekordseid sulge. 2. Tehete järjekorra kohta vt p 14. 3. Samaväärsuse tuvastamisel võib kasutada tõeväärtustabeleid või lahendada ülesanne nendeta. 4. Lisaks vaata lk. 69 jj E. Kasaku õpikust. 1 9 . P R E D I K A ATA R V U T U S E P Õ H I I D E E D . K VA N T O R I D . K VA N T O R I T E DUAALSUSREEGLID. Predikaatarvutuse põhiideed: 1. Arvestatakse, et lauses on kaks osa: ! ! ! - objektid (see, mille kohta midagi väidetakse) - predikaat (see, mis väljendab indiviidide teatud omadusi või nendevahelisi seoseid). 3. Lausearvutuse reeglid ja sümbolid jäävad kehtima, kuid tehakse täiendusi. 4. Mõnikord tehakse täiendavaid nõudeid (nt, et indiviidide hulk ei tohi olla tühi). Kvantorid: üldisuskvantor olemasolukvantor
1A = A, 0A = 0, A+0 = A, A+1 = 1 A+B = B+A, AB = BA, AA = A Loogikatehted on funktsioonid tõeväärtustel T ja V. Enimkasutatud tehted on & (ja e. konjunktsioon) V (või e. disjunktsioon) - (ei e. eitus) => (järeldus e. implikatsioon) == (samasus e. ekvivalents) Kaasaegse loogika alus: Gottlob Frege 1879: Kontseptuaalne notatsioon ("Begriffsschrift") loob kaasaegse predikaatarvutuse Näide: Isa(Jaan,Mihkel). Isa(Jaan,Ants). Isa(Ants,Peeter). Iga x, y, z jaoks: Isa(x,y) & Isa(y,z) => Vanaisa(x,z). Tõesta, et eksisteerivad z, u nii et Vanaisa(z,u). Hollerith’i perfokaardid 1890: Herman Hollerith: perfokaartidega masin USA rahvaloenduse andmete töötlemiseks Firmast tekkis IBM Vaakumtorud Vacuum Tube (1906, Lee Deforest) Three elements device used as electronic switch and amplifier: two electrodes
saab progeda rekursiooniga ja vastupidi lambda-arvutus - Lambda-arvutuse keel on Alonzo Churchi poolt 1930. aastatel leiutatud lihtne ja universaalne meetod funktsioonide kirjapanekuks. Churchi tees: mida saad mõnes keeles progeda, saad lambda arvutusese keeles kirja panna. Asendusmeetod. Prolog on esimene loogilise programmeerimise keel. Põhiidee on nõuda otsitava lahenduse kirjeldamist esimest järku predikaatarvutuse keeles, kusjuures Prolog-i süsteem sisaldab teatud tüüpi automaatset teoreemitõestajat, mis on võimeline lahendust automaatselt otsima ja tuletama. Siiski pole Prolog automaatse teoreemitõestamise süsteem. __________________________________________________________________ 11. nädal • Eksam: lahenduvus teoreetilises ja tavamõttes, mis on lahenduvad ülesanded. Positiivsete
Sümboleid: eeldustest saab tuletada, samasus (loogiline samaväärsus); ¬ eitus; & konjunktsioon; V disjunktsioon; implikatsioon; ekvivalents; Tuletussüsteem koosneb tuletusreeglitest ja teisendusreeglitest. Tuletusreeglid näitavad mida saab mingist väitest (oletusest) või väidetest tuletada. Nende reeglite endi põhjendamine osutub aga tõsiseks filosoofiliseks probleemiks. Nagu loogikaid nii on ka tuletussüsteeme mitmesuguseid, nt predikaatarvutuse tuletussüsteem. Järgnevalt käsitleme nö loomulikku tuletussüsteemi võttes aluseks Copi ja Coheni raamatu, mis pole mõeldud matemaatikutele. Esitatud süsteem on täielik ja kasutab lausearvutust. Muidugi on võimalik tuletada lisavalemeid, kuid olemasolevatest piisab lahenduva tõeväärtusülesande lahendamiseks. Tuletusreeglite abil saame teha loogilisi järeldusi märksa kiiremini kui näiteks tõeväärtustabeleid kasutades
& (ja e. konjunktsioon) V (või e. disjunktsioon) - (ei e. eitus) => (järeldus e. implikatsioon) == (samasus e. ekvivalents) A& B AVB - A A => B -------- -------- ---- -------- TTT TTT VT TT T TVV TTV TV TVV VVT VTT VTT VVV VVV VTV Kaasaegse loogika alus: Gottlob Frege 1879: Kontseptuaalne notatsioon ("Begriffsschrift") loob kaasaegse predikaatarvutuse Näide: Isa(Jaan,Mihkel), Isa(Jaan,Ants), Isa(Ants,Peeter). Iga x, y, z jaoks: Isa(x,y) & Isa(y,z) => Vanaisa(x,z). Tõesta, et eksisteerivad z, u nii et Vanaisa(z,u). Frege filosoofina: logitsist Hollerith’i perfokaardid 1890: Herman Hollerith: perfokaartidega masin USA rahvaloenduse andmete töötlemiseks Hollerith’i firmast tekkis IBM. Vaakumtorud- 1900: vaakumdiood, Lee de Forest: 1906: vaakumtriood. Hulgateooria: Georg Cantor Elas 1845-1918. Hulgateooria rajaja
annaabi.ee 
